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高一数学必修1第一章 1.3.2 第2课时


§1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性 第2课时 奇偶性的应用

内容 索引

01

明目标 知重点

填要点 记疑点

02

03

探要点 究所然

当堂测 查疑缺

04
<

br /> 明目标、知重点 1.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解.

2.会推断奇偶函数的性质.
3.培养利用数学概念进行判断、推理的能力及加强化归 与转化能力的训练.

填要点·记疑点 奇偶性的应用中常用到的结论 (1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则必有f(0)= 0 . (2)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x) 在[-b,-a]上是 增 函数,且有最小值 -M .

(3)若偶函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)
上是 增函数 .

探要点·究所然 探究点一 利用奇偶性求函数解析式
例1 函数f(x) 是定义域为 R的奇函数,当x>0 时, f(x) =- x + 1 , 求当x<0时,f(x)的解析式.

解 设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)+1=x+1,

又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=x+1,

∴当x<0时,f(x)=-x-1.

反思与感悟

求给定哪个区间的解析式就设这个区间

上的变量为 x ,然后把 x 转化为- x ,此时- x 成为了已

知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函
数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式.

跟踪训练1 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x) 1 = ,求函数f(x),g(x)的解析式. x-1 解 ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),

由 f(x)+g(x)= . x-1

1



用-x 代换 x 得 f(-x)+g(-x)= , -x-1

1

∴f(x)-g(x)= , -x-1

1



(①+②)÷ 2,得 f(x)= 2 ; x -1
(①-②)÷ 2,得 g(x)= 2 . x -1 x

1

探究点二 奇、偶函数的单调性 思考1 观看下列两个偶函数的图象在y轴两侧的图象有何

不同?可得出什么结论?



偶函数在 y 轴两侧的图象的升降方向是相反的;

即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

思考2

观看下列两个奇函数的图象在y轴两侧的图象有何

不同?可得出什么结论?



奇函数在y轴两侧的图象的升降方向是相同的;即奇函

数在关于原点对称的区间上的单调性相同.

例2

已知函数f(x)是奇函数,其定义域为(-1,1),且在[0,1)

上为增函数.若f(a-2)+f(3-2a)<0,试求a的取值范围.
解 ∵f(a-2)+f(3-2a)<0, ∴f(a-2)<-f(3-2a). 又f(x)为奇函数,∴f(a-2)<f(2a-3). 又f(x)在[0,1)上为增函数,

∴f(x)在(-1,1)上为增函数,

?a-2<2a-3, ? ? ∴?-1<a-2<1, ? ? ? -1<2a-3<1,

?a>1, ? ? ∴?1<a<3, ? ? ?1<a<2,

∴1<a<2. ∴a的取值范围为(1,2).

反思与感悟

在奇、偶函数定义中,交换条件和结论仍

成立.即若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x).若f(x)为偶函数, 则f(-x)=f(x).

跟踪训练 2

已知 f(x)是定义在 (- 1,1)上的奇函数,且 f(x)

在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0.
解 ∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数, ∴由f(1-x)+f(1-2x)<0, 得f(1-x)<-f(1-2x). ∴f(1-x)<f(2x-1).

又∵f(x)在(-1,1)上是减函数,

?-1<1-x<1, ? ? ∴? -1<2x-1<1, ? ? ? 1-x>2x-1.

2 2 解得 0<x< .∴原不等式的解集为(0, ). 3 3

探究点三 函数的奇偶性与单调性的综合 例3 设函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,

又f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(x)<0,试判断函数F(x)= 1 在(-∞,0)上的单调性,并给出证明. f?x?
解 F(x)在(-∞,0)上是增函数,以下进行证明: 设x1<x2<0,则-x1>-x2>0, ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,

∴f(-x1)<f(-x2),即f(-x2)-f(-x1)>0. ① 又∵f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数, ∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2).

由①式得-f(x2)+f(x1)>0,
即f(x1)-f(x2)>0. 又∵f(x)在(0,+∞)上总小于0,

f(x1)· f(x2)>0,

f?x1?-f?x2? 1 1 F(x2)-F(x1)= - = >0. f?x2? f?x1? f?x1?· f?x2? 1 故 F(x)= 在(-∞,0)上是增函数. f?x?

反思与感悟

判断抽象函数奇偶性时,赋值后出现f(-

x) 和 f(x) 是关键,故赋值要恰当,要认真体会赋值法在
解题中的作用.

跟踪训练 3
f(y).

已知函数 f(x) ,当 x , y∈R 时,恒有 f(x + y) = f(x) +

(1)求证:f(x)是奇函数;
证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.

∵f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,
则f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,

则f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.
∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),

∴f(x)为奇函数.

1 (2)如果x∈(0,+∞),f(x)<0,并且f(1)=- ,试求f(x) 2 在区间[-2,6]上的最值.

解 设x1<x2,且x1,x2∈(0,+∞). 则f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]

=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.

∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x)在R上单调递减.

∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.

1 ∵f(1)=- ,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, 2
f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.

∴f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.

当堂测·查疑缺

1 2 3 4 5

1. 若函数 f(x) = x3 , x∈R ,则函数 y = f( - x) 在其定义域
上是( )

A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数

D.单调递增的奇函数

1 2 3 4 5

解析 由题意,得y=f(-x)=-x3,

易知函数y=-x3为奇函数且为R上的减函数,
故答案为B. 答案 B

1 2 3 4 5

2.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,若 f(a)<f(b),则一定可得( A.a<b B.a>b ) C

C.|a|<|b|

D.0≤a<b或a>b≥0

解析 因y=f(x)为偶函数,所以y=f(x)=f(|x|),

又因f(a)<f(b),所以f(|a|)<f(|b|),
由f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以|a|<|b|.

1 2 3 4 5

3.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+

3x+1,则f(x)等于( D )
A.x2 B.2x2 C.2x2+2 D.x2+1

解析 ∵f(x)+g(x)=x2+3x+1,
∴f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.



又f(x)是偶函数,且g(x)是奇函数,
∴f(x)-g(x)=x2-3x+1. 由①②联立,得f(x)=x2+1. ②

1 2 3 4 5

4.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的递 [0_________. ,+∞) 减区间是

解析 利用函数f(x)是偶函数,得k-1=0,k=1,
所以f(x)=-x2+3, 其单调递减区间为[0,+∞).

2 1 2 3 4 5 ? x ? +2x,x≥0, 5.若函数 f(x)=? 为奇函数, ? ?g?x?,x<0

则f(g(-1))=________. -15
解析 当x<0时,则-x>0,由于f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x)=(-x)2-2x=x2-2x, 所以f(x)=-x2+2x. 即g(x)=-x2+2x,因此,f(g(-1))=f(-3)=-9-6=-

呈重点、现规律
1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映,也体现了在关

于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化,
这是对称思想的应用. 2.(1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即f(0) 有意义,那么一定有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数 为奇函数. (2) 偶函数的一个重要性质: f(|x|) = f(x) ,它能使自变量化归到 [0 , +∞)上,避免分类讨论.

3.具有奇偶性的函数的单调性的特点:

(1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性.
(2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性. 4.函数图象的平移变换是一种基本的图象变换.一般地,函

数y=f(x-a)的图象可由函数y=f(x)的图象向右(a>0)或向
左(a<0)平移|a|个单位得到.


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