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幂函数


中小学 1 对 1 课外辅导专家

龙文教育学科教学案
教师: 赵仁廷学生:潘鑫日期:2012-10-14 课 题
幂函数

星期:日时段: 10 : 00-12 :00

学习目标与 考点分析
学情分析

1.高考以基础知识为主,考查幂函数的图像和性质,多以填空题出现

也会出现与函数性质,二次函数,方程,不等式结合出现综合性较强的解答题 2.掌握常见的五种幂函数,会考查求值,单调性,奇偶性和最值等问题。 与以前所学的两个基本初等函数有类似的地方,也有很不一样的地方,要注 意区别对待。
1. 教学重点:幂函数的图像和性质 2. 教学难点:幂函数的图像和性质的发现过程,注意相关性质的趋势变化 授课,典型题讲解,强化练习

学习重难点 教学方法

教学提纲与过程
第一部分:教学提纲 (一)授课 (二)典型题讲解 (三)课堂练习 第二部分:教学过程 知识要点:
一.幂函数的概念,形如一般地,形如 y ? x ( a ? R ) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数 判断下列函数是不是幂函数 1、 (1) y ? x (2) y ? x
4 m ?2

(45分钟—55分钟) (45 分钟—55 分钟) (30 分钟—35 分钟)

?

(3) y ? 1 (4) y ? 2 (5) y ? 2 x (6) y ? x ? 2
x
2

3

2、 幂函数 y ? ( m ? 2 ) x , 求 m=_____ 二.常见的五种幂函数
1
?1 2 3 (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3) y ? x ; (4) y ? x ; (5) y ? x .

图像和性质:

1

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幂函数性质归纳. 观察图象,总结填写下表
y ? x
y ? x
2

y ? x

3

1

y ? x

2

y? x

?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 总结共性: (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) y ? x , y ? x , y ? x 是奇函数, y ? x 是偶函数
3 ?1

2

1
?1 (3)在区间(0,+∞)上函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 2 是增函数, y ? x 是减函数。

2

3

(4)在第一象限中,函数 y ? x 其他:你还能发现什么规律? 第一象限的规律: a>1 时 : 0<a<1 时: a<0 时 记忆口诀:

?1

的图像向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近。

“正抛负双,大竖小横” ,即α >0(α ≠1)时图象是抛物线型;α <0 时图象是双曲线型;α >1 时图 象是竖直抛物线型;0<α <1 时图象是横卧抛物线型 具体幂函数的画法:结合奇偶性画出另外一半。 例 1: (1)已知幂函数过(3, 2 7 ),求该函数的定义域
3 9

(2)已知幂函数过(3,

) ,求它的定义域

2

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 思路点播:它是基本简单函数,求解析式一般用待定系数法。 注意求幂函数的定义域,遇到指数式分数或负数时要化成根式。 例 2: .如图所示,曲线是幂函数 y ? x 在第一象限内的图象,已知 ? 分别取
? 1,1, 1 2 , 2 四个值,则相应图象依次为:
?



例 3:幂的大小比较 (1) 3
0 .7

,3

0 .8

(2) 0 .2 1 , 0 .2 3

3

3

(3) 4 .1 , 3 .8

0 .4

? 0 .4

, ( ? 0 .4 )

0 .6

(4) 0 .2

0 .5

, 0 .4

0 .3

思路点拨:

(5)已知幂函数 f(x),有 a

m ?1

? a

m

2

, 求 a的 取 值 范 围 。

f (x) ? x

m ?2m ?3

2

( m ? Z )是 偶 函 数 , 且 在 区 间 ( 0 , ? ) 上 是 减 函 数 。 + f (x) ? b xf ( x ) 的奇偶性。

例 4.已知幂函数

( 1) 求 f(x)( 2) 讨 论 F(x)=a

3

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1

f (x) ?

x ? x
3

?

1 3

1

?

1 3

, g (x) ?

x +x 5

3

5

例 6:已知函数 1) 证 明 f ( x ) 是 奇 函 数 , 并 求 f ( x )的 单 调 区 间 ; (
( 2 ) 分 别 计 算 f ( 4 )- 5 f ( 2 ) g ( 2 ) 和 f ( 9 )- 5 f ( 3 ) g ( 3 ) 的 值 , 对 于 所 有 不 等 于 0的 x, 有 f(x)和 g(x)的 等 式 并 证 明 出 来 。

思维点拨:利用奇偶性解决与幂函数有关的综合问题是一类比较常见的综合题。

已 知 函 数 f ( x)=x

?k

2 qq

?k?2

( k ? Z ) 满 足 f ( 2 ) ? f (3).

(1) 求 k 的 值 并 求 出 相 应 f ( x )的 解 析 式 ;

例 7:( 2 ) 对 于 ( 1 ) 中 得 到 的 函 数 f ( x ) , 试 判 断 是 否 存 在 q ,
让 函 数 g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在 区 间 [-1, 2]上 值 域 为 17 [ - 4 , ].若 存 在 , 求 出 q ; 若 不 存 在 , 说 明 理 由 。 8

4

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思维点拨:掌握幂函数图像是研究幂函数性质的基础,对于存在性问题,先假设成立,若成立,已知条件是 否充分,若不充分,显然不成立。

引导自我总结: 1.谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系? 2.幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面? 规律总结: 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论; 2.对于幂函数 y= x ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限, 其次确定曲线的类型,即 ? <0,0< ? <1 和 ? >1 三种情况下曲线的基本形状,还要注意 ? =0,±1 三个 曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆: “正抛负双,大竖小横” ? >0 ,即 ( ? ≠1)时图象是抛物线型; ? <0 时图象是双曲线型; ? >1 时图象是竖直抛物线型;0< ? <1 时图象是 横卧抛物线型.
?

课后习题
2

1.y= x 5 的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图 2. 函数 y=(x -2x)
2
- 1 2

的定义域是

2

1

3. 函数 y= x 5 +2x 5 +4(x≥-32)值域.

4. 函数 y=
x

1
2- m - m
2

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是________.

5

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4 5.已知函数 y= 15 - 2 x - x . 2

(1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间.

1

6. 已 知 函 数 f ( x ) = x 2 , 且 f ( 2 x ? 1) ? f (3 x ), 则 x的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 7.

8.

9.

6

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教学反思:

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字: 教师评定: 1、 学生上次作业评价: ○ 非常好 ○好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 需要优化 ○ 需要优化

2、 学生本次上课情况评价:○非常 好 ○好

教师签字:

教导主任签字: ___________

龙文教育教务处

7

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