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2007年全国高中数学联赛(安徽赛区)预赛试卷


2007 年安徽省高中数学联赛初赛区试卷
一.选择题 1.如果集合 A B 同时满足 A ? B ? ?1, 2,3, 4? , A ? B ? ?1? , A ? ?1? , B ? ?1? 就称有序集对 ? A, B ? 为 、 “好集对”,这里有序集对 ? A, B ? 意指,当 A ? B 时, ? A, B ? 和 ? B, A? 是不同的集对。那么“好集对”

一共有 _______个. A. 64

B. 8

C. 6

D. 2

2.设函数 f ? x ? ? lg 10? x ?1 ,方程 f ?2x ? f ?1 2x 的解为_______________. A. log 2 ? lg 2 ? ? 1 B. lg ? log 2 10 ? ? 1 C. lg ? lg 2 ? ? 1 D. log 2 ? log 2 10 ? ? 1

?

?

? ?

? ?

3.设 A ? 100101102103?499500 是一个 1203 位的正整数,由从 100 到 500 的全体三位数按顺序 排列而成。那么,A 除以 126 的余数是_________. A.78 B. 36 C. 6 D. 0
? 4. 在直角 ?ABC 中,?C ? 90 ,CD 为斜边上的高,D 为垂足,AD ? a ,BD ? b , CD ? a ? b ? 1 ,

设数列{uk}的通项为

uk ? ak ? ak ?1b ? ak ?2b2 ????? ? ?1? bk , k ? 1,2,3,..., 则___________
k

A. u2008 ? u2007 ? u2006

B. u2005 ? u2007 ? u2006

C. 2007u2008 ? 2008u2007 D. 2008u2008 ? 2007u2007 5.在正整数构成的等差数列 1,3,5,7,…中删去所有和 55 互质的项之后,把余下的各项按从小至 大的顺序构成一个数列 ?an ? , 易见 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 7, a4 ? 9, a5 ? 13,??? . 那么 a2007 ? ______. A.9597 6.设 B. 5519 C. 2831 D. 2759

A ? 1 ? cos3? ? 1 ? cos 7? ? 1 ? cos11? ? ??? ? 1 ? cos87? , B ? 1 ? cos3? ? 1 ? cos 7? ? 1 ? cos11? ? ??? ? 1 ? cos87? .

则 A : B =___________.

A.

2? 2 2

B.

2 ? 2

2

C .

2 1 ?

D

. ?2

1

二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形一共有___________种。 8.设 n ? 2007 ,且 n 为使得 an ?

?

2 ? 2 ? i 2 ? 2 取实数值的最小正整数,则对应此 n 的

?

n

an ? _______.
9.若正整数 n 恰好有 4 个正约数,则称 n 为奇异数,例如 6,8,10 都是奇异数。那么,在 27,42,

69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个正整数中,奇异数有______个. 10. 平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,顶点 A 出发的三条棱 AA、AB、AD 的长度分别为 2、3、4 1 且两两夹角都为 60 ,那么这个平行六面体的四条对角线 AC1、BD、DB1、CA 的长度(按顺序)分别为 1 1 _____________. 11.函数 f ? x ? , g ? x ? 的迭代函数定义为
?

f ?1? ? x ? ? f ? x ? , f ? 2? ? x ? ? f ? f ? x ? ? ,??? , f ? n ? ? x ? ? f f ? n ? ?1? x ? g ?1? ? x ? ? g ? x ? , g ? 2? ? x ? ? g ? g ? x ? ? ,??? , g ? n ? ? x ? ? g g ? n ? ?1? x ?
其中 n ? 2, 3, 4, ??? . , 设 f ? x ? ? 2 x ? 3, g ? x ? ? 3x ? 2 ,

?

?

?

?

,

? f ?9? ? x ? ? g ? 6? ? y ? , ? ? ?9? ? 6? 方程组 ? f ? y ? ? g ? z ? , 的解为_________________. ? ?9? ? 6? ? f ? z ? ? g ? x?. ?
12.设平行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=2,BD= 2 3 ,则平行四边形 ABCD 绕直线 AC 旋转所得 旋转体的体积为____________。 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知椭圆 T: 3x2 ? 4 y2 ? 12 和点 Q(q,0) ,直线 l 过 Q 且与 T 交于 A,B 两点(可以重合) 。 Ⅰ ).若∠ AOB 为钝角或平角(O 为原点) ,q=4,试确定 l 的斜率的取值范围。 Ⅱ ).设 A 关于长轴的对称点为 A1,F 为椭圆的右焦点,q=4,试判断 A1 与 F、B 三点是否共线,并说 明理由。 Ⅲ ).问题Ⅱ )中,若 q≠4,那么 A1,F、B 三点还能否共线?请说明理由。

14.数列 ? xn ? 由下式确定: xn?1 ?

xn 2 xn 2 ? 1

, n ? 1, 2, 3, ???, x1 ? 1

试求 lg x2007 的整数部分 k ? ? lg x2007 ? 。 (注: ? a ? 表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分)

15.设给定的锐角△ABC 的三边长为 a,b,c,正实数 x,y,z 满足

ayz bzx cxy ? ? ? P, 其中 P 为给定 x y z

的正实数, 试求 S ? ? b ? c ? a ? x ? ? c ? a ? b ? y ? ? a ? b ? c ? z 的最大值, 并求出当 S 取此最大值时, x,
2 2 2

y,z 的取值。


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