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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习:课时冲关练(一) 1.1集合、常用逻辑用语]


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课时冲关练(一)
集合、常用逻辑用语 A 组(30 分钟 76 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.(2014 ·辽宁高考)已知全集 U=R,A=
?U (A∪B)=

/>,B=

,则集合

( A. C. 【解析】选 D.由于 A∪B= = . B. D. ,结合数轴, ?U (A∪B)

)

2.(2014·湖州模拟)已知全集 U={0,1,2,3,4},A={1,2,3},B={2,4},则
?U (A∪B)=

( A.{2} B.{0} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}

)

【解析】选 B.因为 A∪B={1,2,3,4},所以 ?U (A∪B)={0}. 3.(2014·温州模拟)已知 x,y∈R,则“x+y=1”是“xy≤ ”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选 A.因为 x+y=1 时,x2+y2+2xy=1, 又因为 x2+y2≥2xy, 所以 1=x2+y2+2xy≥4xy, 所以 xy≤ . 当 xy≤ 时,x+y=1 不一定成立,例如 x=1,y= 时,x+y= >1. 4.已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2+x=0}关系的韦 恩(Venn)图是 ( )

【解析】选 B.由 N={x|x2+x=0},得 N={-1,0},则 N

M,故选 B.

5.已知集合 A={x|log2x<1},B={x|0<x<c,其中 c>0}.若 A∪B=B,则 c 的 取值范围是 ( A.(0,1] C.(0,2] ) B.[1,+∞) D.[2,+∞)

【解析】选 D. 因为 A={x|log2x<1}={x|0<x<2},A ∪ B=B 得 A ? B, 又 B={x|0<x<c,其中 c>0},所以结合数轴得 c≥2,故选 D. 6.(2014·深圳模拟)已知集合 A={0,1},则满足条件 A∪B={0,1,2,3}的 集合 B 共有 ( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

【 解 析 】 选 D. 由 题 知 B 集 合 必 须 含 有 元 素 2,3, 可 以 是 {2,3},{0,2,3},{1,2,3},

{0,1,2,3},共 4 个,故选 D. 【误区警示】本题容易出现忽视集合{0,1,2,3}的情况,需要强化集合 也是其本身的子集的意识. 7.(2014·杭州模拟)在△ABC 中,“∠A<30°”是“cosA> ”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选 C.因为在△ABC 中,∠A<30°, 故 cosA> 成立;当 cosA> 时, 在△ABC 中 0°<∠A<30°, 所以在△ABC 中,“∠A<30°”是“cosA> ”的充要条件. 8.M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若 M∩N=N,则实数 a 的值为 ( A.1 C.1 或-1 B.-1 D.0 或 1 或-1 ) )

【解析】选 D.由于 M∩N=N,所以 N ? M, 而 M={a},N={x|ax-1=0}, 当 a=0 时,N= ? ,符合题意;当 a≠0 时,N= 〒1.综上,实数 a 的值为 0 或 1 或-1. 【误区警示】错选 C,即漏掉 a=0 这种情况,原因在于忘记当 N= ? 时的 情况 .对于最高次数项含有参数的方程或不等式 ,在研究其解集时 ,不 能忘记讨论参数等于零的情况. ,依题意有 a= ,所以得 a=

9.(2014·陕西师大附中模拟)已知集合 A={x||x-1|<2},B={x|x≥m}, 且 A∩B=A,则实数 m 的取值范围是 ( A.m≥3 B.m≤3 ) D.m≥-1

C.m≤-1

【解题提示】由 A∩B=A 得 A ? B,借助数轴求解. 【解析】选 C.由|x-1|<2 得,-1<x<3,所以 A={x|-1<x<3}, 因为 A∩B=A,所以 A ? B,则 m≤-1. 10.(2014·天津模拟)下列有关命题的说法正确的是 ( A.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 B.函数 f(x)=tanx 的定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z} C.命题“? x0∈R, +5x0+1>0”的否命题是:“? x∈R,x2+5x+1<0” )

D.“a=2”是“直线 y=-ax+2 与 y= x-1 垂直”的必要不充分条件 【解析】选 A.对于 A,因为原命题为真,故其等价命题逆否命题为真;B 错误,定义域应为 {x|x ? k? ? , k ? Z ? ;C 错误,原命题的否命题是: ? x∈ R,x2+5x+1≤0;D 错误,因为两直线垂直的充要条件为 (-a)〓 =-1 ? a= 〒2,故“a=2”是“直线 y=-ax+2 与 y= x-1 垂直”的充分不必要条件, 故选 A. 11.下列命题中的真命题是 ( A.? x0∈R,x0+ = B.? x∈(0,+∞),ex>x+1 C.? x0∈R, -x0+1=0 )
? 2

D.? x∈(0,π ),sinx>cosx 【解析】选 B.A 选项中,x+ = ?

因为Δ=9-4〓2〓2<0,所以方程无解,即不存在任何实数使得方程成立, 故 A 错误;B 选项,由函数 y=ex 和 y=x+1 的图象可知,正确;C,D 显然错误. 故选 B. 12.已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q:x>a,且 q 的一个充分不必要条件是 p,则 a 的取值范围是 A.a≥1 ( ) C.a≥-1 D.a≤-3

B.a≤1

【解析】选 A.解 x2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,故 p:-3≤x≤1, q:x≤a. 由 q 的一个充分不必要条件是 p,可知 p 是 q 的充分不必要条件,故 a ≥1. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.(2013·济南模拟)已知集合 A={x||x-1|<2},B={x|log2x<2},则 A∩ B= .

【解析】将两集合化简得 A={x|-1<x<3},B={x|0<x<4},故结合数轴得 A ∩B={x|-1<x<3}∩{x|0<x<4}={x|0<x<3}. 答案:{x|0<x<3} 14.(2014·南充模拟)同时满足①M? {1,2,3,4,5},②a∈M,则 6-a∈M 的非空集合 M 有 个.

【解析】因为非空集合 M ? {1,2,3,4,5},且若 a∈M,则必有 6-a∈M,那 么 满 足 上 述 条 件 的 集 合 M 有

{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共 7 个. 答案:7 15. 设 全 集 U=A ∪ B={x ∈ N*|lgx<1}, 若 A ∩

( ?U B)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合 B=

.

【解析】A∪B={x∈N*|lgx<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩( ?U B) ={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},所以 B={2,4,6,8}. 答案:{2,4,6,8} 16.下列四个命题:①? x∈R,x2+x+1≥0; ②? x∈Q, x2+x- 是有理数; ③? α 0,β 0∈R,使 sin(α 0+β 0)=sinα 0+sinβ 0; ④? x0,y0∈Z,使 3x0-2y0=10. 所有真命题的序号是 .

【解析】①②显然正确 ;③中,若α= ,β=0,则 sin(α+β)=1,sinα +sinβ=1+0=1,等式成立,所以③正确;④中,当 x=4,y=1 时,3x-2y=10 成立,所以④正确.故填①②③④. 答案:①②③④ B 组(30 分钟 76 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.(2014·杭州模拟)已知集合 M={1,2,3,4,5},N= {x | ( ) B.{1,4,5} D.{1,3,4,5} ≤1 得 ≥0,x<1 或 x≥3,即 N={x|x<1 或 x≥3},
2 ? 1? ,则 M∩N= x-1

A.{4,5} C.{3,4,5} 【解析】选 C.由

M∩N={3,4,5},故选 C. 2.(2014· 宁波模拟)命题:? x,y∈R,若 xy=0,则 x=0 或 y=0 的逆否命题

是 ( A.? x0,y0∈R,若 x0≠0 或 y0≠0,则 x0y0≠0 B.? x0,y0∈R,若 x0≠0 且 y0≠0,则 x0y0≠0 C.? x,y∈R,若 x≠0 或 y≠0,则 xy≠0 D.? x,y∈R,若 x≠0 且 y≠0,则 xy≠0 【解题提示】对于原命题:如果 p,则 q,将条件和结论既“换质”又“换 位”得如果非 q,则非 p,这称为原命题的逆否命题. 【解析】选 D. ? x,y∈R 为前提条件,x=0 或 y=0 的否定为 x≠0 且 y≠ 0,xy=0 的否定为 xy≠0,故选 D. 【误区警示】 本题有两处高频易错点,一是易错选 B,忽视了 “ ? x,y∈R” 是公共的前提条件;二是错选 C,错因是没有将逻辑联结词“或”进行否 定改为“且”. 3.(2014 ·台州模拟) 设全集 U=R,A={x|x(x-2)<0},B={x|y=ln(1-x)}, 则图中阴影部分表示的集合为 ( ) )

A.{x|x≥1} C.{x|0<x≤1}

B.{x|1≤x<2} D.{x|x≤1}

【解析】选 B.分别化简两集合可得 A={x|0<x<2},B={x|x<1},故 A∩ B={x|0<x<1},故阴影部分所示集合为{x|1≤x<2}. 【误区警示】本题要注意集合 B 表示函数的定义域,阴影部分可视为集

合 A,B 的交集在集合 A 下的补集,结合数轴解答,注意等号能否取到. 4.已知集合 A={x|-1≤x≤1},B={x|-1≤x≤a},且(A∪B)? (A∩B),则 实数 a= ( A.0 B.1 C.2 D.3 )

【解析】选 B.由(A∪B)? (A∩B)易得 A∪B=A∩B,则 A=B,所以,a=1. 5.(2014·绍兴模拟)设 A,B 是两个非空集合,定义运算 A×B={x|x∈A ∪ B 且 x?A∩ B}.已知 A={x|y= ( ) B.[0,1)∪[2,+∞) D.[0,2] },B={y|y=2x,x>0}, 则 A×B=

A.[0,1]∪(2,+∞) C.[0,1]

【解析】 选 A.由题意得 A={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},B={y|y>1},所以 A∪B=[0,+≦),A∩B=(1,2],所以 A〓B=[0,1]∪(2,+≦). 6.(2014·湛江模拟)已知:命题 p:a=1 是 x>0,x+ ≥2 的充分必要条件; 命题 q:? x0∈R, +x0-2>0.则下列命题正确的是 ( )

A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“( p)∧q”是真命题 C.命题“p∧( q)”是真命题 D.命题“( p)∧( q)”是真命题 【解析】选 B.对于命题 p:当 a=1 时,x>0,x+ ≥2 成立; 当 x>0,x+ ≥2 时,a≥2x-x2, 又 2x-x2=-(x-1)2+1≤1.所以 a≥1,因此命题 p 是假命题, p 是真命题;

对于命题 q:当 x=2 时,x2+x-2>0 成立,故命题 q 是真命题, q 是假命题. 综上知( p)∧q 是真命题,故选 B. 7.给出下列命题: ①? x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; ③“若 a>b>0 且 c<0,则 > ”的逆否命题; ④若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 其中真命题是 ( A.①②③ C.①③④ ) B.①②④ D.②③④

【解析】选 A.①中不等式可表示为(x-1)2+2>0,恒成立; ②中不等式可变为 log2x+ ≥2,得 x>1;③中由 a>b>0,得 < ,而 c<0,

所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真;④由 p 且 q 为假只能得 出 p,q 中至少有一个为假,④不正确. 8.若“0<x<1”是“(x-a)[x-(a+2)]≤0”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 ( A.(-∞,0]∪[1,+∞) C.[-1,0] ) B.(-1,0) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

【解析】选 C.(x-a)[x-(a+2)]≤0 ?a≤x≤a+2, 由集合的包含关系知:
? a∈[-1,0].

【方法技巧】根据充要性求参数取值范围的策略 (1)简化条件与结论.

(2)根据条件与结论的关系,得到集合间的包含关系. (3)根据集合间的包含关系列不等式(组)求解. 9.(2014·嘉兴模拟)已知命题 p:? x∈[1,2],x2-a≥0,命题 q:? x0∈ R, ( +2ax0+2-a=0. 若命题 p ∧ q 是真命题 , 则实数 a 的取值范围是 ) B.{a|a≥1} D.{a|-2≤a≤1}

A.{a|a≤-2 或 a=1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2}

【解析】选 A.对于命题 p,当 x∈[1,2]时,x2-a≥0 恒成立,所以 a≤1; 对于命题 q,方程 x2+2ax+2-a=0 有实数解,所以 4a2+4a-8≥0,解得 a≥1 或 a≤-2.由于 p∧q 是真命题,所以 a≤-2 或 a=1,故选 A. 10.已知集合 P={0,m},Q={x|2x2-5x<0,x∈Z},若 P∩Q≠ ? ,则 m 等于 ( A.1 ) B.2 C.1 或 D.1 或 2
5 2

【解析】选 D.由于 Q={x|2x2-5x<0,x∈Z}= {x|0 ? x ? ,x ? Z} ={1,2},而 P={0,m}且 P∩Q≠ ? ,故 m=1 或 2.故选 D. 11. 已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8}, 定义集合 A×B={(x,y)|x∈ A,y ∈ B}, 则集合 A × B 中属于集合 {(x,y)|logxy ∈ N} 的元素个数是 ( A.3 【 解 析 ) B.4 】 选 B. C.8 由 给 出 的 D.9 定 义 得 A 〓

B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2), (2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),

(4,8)}.其中 log22=1,log24=2,log28=3,log44=1,因此一共有 4 个元素, 故选 B. 12.(2014·洛阳模拟)有如下四个命题: p1:? x0∈(0,+∞), p2:? x0∈
2 = , x0 1

< ;

;

p3:? x∈R,2x>x2; p4:? x∈(1,+∞), 其中真命题是 ( A.p1,p3 ) C.p2,p3 D.p2,p4 >lo x.

B.p1,p4

【解析】选 D.根据指数函数的性质,
? x∈(0,+≦),

>

,

故命题 p1 是假命题; 令 f(x)= 则f = - , >0,f = <0,所以 f f <0,

所以命题 p2 是真命题; 当 x=2 时,2x=22=4,x2=22=4, 故 2x>x2 不成立,命题 p3 是假命题; 当 x>1 时, 故 >lo >1,lo x 恒成立, x<0,

命题 p4 是真命题,所以选择 D.

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.设集合 A={5,log2(a+3)},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B= .

【 解 析 】 由 A ∩ B={2} 可 得 ,log2(a+3)=2, 所 以 a=1,b=2, 所 以 A ∪ B={1,2,5}. 答案:{1,2,5} 14.给出下列四个命题: ①命题“若α =β ,则 cosα =cosβ ”的逆否命题; ②“? x0∈R,使得 -x0>0”的否定是:“? x∈R,均有 x2-x<0”;

③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件; ④p:a∈{a,b,c},q:{a}? {a,b,c},p 且 q 为真命题. 其中真命题的序号是 .(填写所有真命题的序号)

【解析】对①,因命题“若α=β,则 cosα=cosβ”为真命题,所以其逆 否命题亦为真命题,①为真命题; 对②,命题“ ? x0∈R,使得 -x0>0”的否定应是:

“ ? x∈R,均有 x2-x≤0”,故②为假命题; 对③,因由“x2=4”得 x=〒2,所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条 件,故③为假命题; 对④,p,q 均为真命题,由真值表判定 p 且 q 为真命题,故④为真命题. 答案:①④ 15.若 r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0,如果对? x∈R,r(x)为假命 题,s(x)为真命题,则 m 的取值范围是 .

【解析】若 r(x)为真命题,即对 ? x∈R,sinx+cosx>m 为真命题,

则 m<(sinx+cosx)min,又因为 sinx+cosx = sin ,且≤ sin ≤ , ,

所以 m<-

,因为 r(x)为假命题,则 m≥-

若 s(x)为真命题,即对 ? x∈R,x2+mx+1>0, 所以Δ=m2-4<0,所以-2<m<2, 又因为 r(x)为假命题,s(x)为真命题, 所以 答案:[,2) 所以≤m<2.

【一题多解】因为 r(x):对 ? x∈R,sinx+cosx>m 为假命题, 所以 r(x)为真命题, r(x)为 ? x0∈R 使得 sinx0+cosx0≤m, 即 m≥(sinx+cosx)min, 又因为 sinx+cosx= 所以≤ sin sin ≤ , .所以 m≥,

若 s(x)为真命题,即对 ? x∈R,x2+mx+1>0,所以Δ=m2-4<0,所以-2<m<2, 又因为 r(x)为假命题,s(x)为真命题, 所以 答案:[,2) 所以≤m<2.

16.对于集合 M,N,定义:M-N={x|x∈M 且 x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设 A={y|y=x2-3x,x∈R},B={x|y=log2(-x)},则 A⊕B=
9 4

.
9 4

【解析】A= {y | y ? - } ,B={x|x<0},A-B={x|x≥0},B-A= {x | x<- } , 则 A⊕B=(A-B)∪(B-A)= ∪[0,+≦).

答案:

∪[0,+≦)

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