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2015-2016学年湖南省张家界市高一年级第二学期期末联考数学(A)卷试题


湖南省张家界市 2016 年高一年级第二学期期末联考

数学试题卷(A)
考生注意:本试卷分第Ⅰ卷(60 分)和第Ⅱ卷(90 分)两部分,考试内容为必修二与 必修五全部内容,共 4 页.考试时量 120 分钟,满分 150 分。考生必须在答题卷上答题,在 草稿纸、试题卷上答题无效.

第I卷
一、选择题:本大题共 12

小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的,请将所选答案填涂在答题卷中对应位置. 1.不等式 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 A. (?1, 2) B. (1, 2) 2.直线 x ? A. 0 A.圆心 ? ?2,0 ? , r ? 4 C.圆心 ? 0,2 ? , r ? 4 C. ( ?2,1) D. (??,1) ∪ (2, ??)

?
4

的倾斜角为 B.

? 4

C.

? 2

D.

3? 4

3.圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 的圆心坐标和半径 r 分别为 B.圆心 ? 2,0 ? , r ? 2 D.圆心 ? 0, ?2 ? , r ? 2

4 4.已知一个球的体积为 ? ,则该球的表面积为 3
A. ? B. 2? C. 3? D. 4?
?y ≤ x ? 5.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 1 ,则 Z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ≥ ?1 ? A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 a b 6.在⊿ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c. 若 ? ? 1 ,则角 C ? b?c a?c ? ? ? 2? A. B. C. D . 3 6 4 3 7.下列命题中正确的是 A.若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点; B.若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行; C.若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l // ? ; D.如果两条平行线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. 8.海上两小岛 A, B 到海洋观察站 C 的距离都是10km ,小岛 A 在观察站 C 的北偏东 20 ? ,小岛

B 在观察站 C 的南偏东 40 ? ,则 A 与 B 的距离是
A. 10km B. 10 2km C. 10 3km D. 20km 9.关于空间直角坐标系 O ? xyz 中的一点 P(1, 2,3) ,有下列说法: ①点 P 到坐标原点的距离为 13 ;

1 3 ② OP 的中点坐标为 ( ,1, ) ; 2 2
③点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为 ? ?1, ?2, ?3? ; ④点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为 ?1,2, ?3? ; ⑤点 P 关于坐标平面 xOy 对称的点的坐标为 ?1,2, ?3? . 其中正确的个数是 A. 2 B. 3

C. 4

D. 5

10.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,若 S15 ? 0, S 1 6 ? 0 ,则在数列 ?an ? 中绝 对值最小的项为 A. a 7 11.设 x ? B. a 8 C. a 9 D. a10

1 1 ,则 y ? 2 x ? 的最大值是 2x ? 1 2 A. 2 B. 1

C. ?2

D. ?1

12 .若实数 a , b, c 成等差数列,动直线 l : ax ? by ? c ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 9 相交于
A, B 两点,则使得弦长 AB 为整数的直线 l 共有(

)条 D. 5

A. 2

B. 3

C. 4

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中对应题号后的 横线上. 13.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 13 ? 2n ,则其前 n 项和 Sn 达到最大值时,

n?

.

14.某几何体的三视图如图所示,则其体积为________. 15.若 P(2,?1) 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方 程为 . (第 14 题图)

16.记 a(m, n) ( m, n ? N * )表示从 n 起连续 m(m ? 1) 个正整数的和. (1)则 a(2,3) ? ; .(只须写出一种正确结果即可)

(2)将 2016 写成 a(m, n) 的形式是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 10 分) 已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与直线 l2 : ax ? 8 y ? 11 ? 0 互相平行. (1)求实数 a 的值; (2)求直线 l1 与 l2 之间的距离.

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足
an ? 3(n ? N * , n ≥ 2) , a4 ? 9. an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n ; (2)设 bn ? 1 ? 2log3 an ,若数列 ?bn ? 的前 k 项和 Sk ? ?45, 求 k 的值.

19. (本小题满分 12 分) 在锐角⊿ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c. 若 2a sin B ? 3b . (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 3,△ ABC 的面积为 3 3 ,求 a .

20. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形, PD ? 平面ABCD,
EC // PD .且 PD ? 2EC ? 2.

(1)求证: AC // 平面PBE ; (2)若 AD ? 1 ,求直线 PB 与底面 ABCD 所成角的 大小; (3)若 AD ? 1 ,求四棱锥 B ? PDCE 的体积. (第 20 题图) 21. (本小题满分 12 分)
?x ? 0 ? 设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的整点个数为 an (n ? N * ) , ? y ≤ ?nx ? 3n ?
(整点即横、纵坐标均为整数的点) .

(1)计算 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (3)记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Tn ?
Tn ≤ m ,求实数 m 的取值范围.

Sn ,若对于一切的正整数 n ,总有 3 ? 2n ?1

22. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,相互垂直的两条直线 l1 , l2 都过点 A(a,0) , (1)当 a ? 2 时,若圆心为 M (1, m)(m ? 0) 的圆和圆 C 外切且与直线 l1 , l2 都相切,求圆 M 的方程; (2)当 a ? ?1 时,记 l1 , l2 被圆 C 所截得的弦长分别为 d1 , d 2 ,求: ① d12 ? d22 的值; ② d1 ? d2 的最大值.

张家界市 2016 年普通高中一年级第二学期期末联考

数学参考答案(A)
一、选择题: 1—5 BCBDA; 二、填空题: 13.6 14. 6—10 CACAB; 11—12 DC

16. (1)7(2 分); 三、解答题:

p 15. x ? y ? 3 ? 0 3 285) ; a(21,86) ; a(63,1) 任一个均可(3 分) 671 ) (2) a(3, ; a(7,

17.解: (1)由 4 a ? 24 ? 0 ,得 a ? 6 ……………………………………………5 分 (2) d ?

35 7 ? ………………………………………………………………10 分 10 2

18.解: (1) an ? 3

n ?2

………………………………………………………………6 分

(2) bn ? 5 ? 2n ……………………………………………………………8 分

k ?9

…………………………………………………………………12 分 ……………………………………2 分

19.解: (1)由已知得: 2sin A sin B ? 3 sin B,
? sin A ? 3 2

由于A为锐角, ?A ?

?
3

………………………………………………6 分

1 (2)由 S ? bc sin A ,得 c ? 4 ………………………………………………8 分 2 由余弦定理得:
a 2 ? 9 ? 16 ? 12 ? 13

? a ? 1 3 ………………………………… . 12 分

20.解: (1)设 AC与BD的交点为O, 取PB的中点F , 连接EF , OF

1 1 则OF // PD且OF ? PD. 又由已知:EC // PD且EC ? PD , 2 2 ? O C E 为平行四边形 F .………………2 分 ? OF // EC且OF ? EC 从而AC // EF , 又EF ? 面PBE , AC ? 面PBE .
故AC // 面PBE …………………………………………………………4 分 (2)? PD ? 平面ABCD,??PBD为PB与平面ABCD所成的角.……………6 分

在Rt△PDB中,PD ? BD ? 2.??PBD ?
(3)? BC ? 面PDCE

?
4

.

………………………8 分

1 2 ? VB-PDCE ? ?S梯形PDCE ?BC ? . ……………………………………………12 分 3 4 21.解: (1) a1 ? 3,a2 ? 6, a3 ? 9. ………………………………………………………3 分

(2)由x ? 0, ?nx ? 3n ≥ y ? 0, 得0 ? x ? 3,? x ? 1或x ? 2.
? Dn内的整点在直线x ? 1和x ? 2上. 记直线y ? ?nx ? 3n为l , l与直线x ? 1, x ? 2的交点的纵坐标分别为y1 , y2 , 则y1 ? ?n ? 3n ? 2n, y2 ? ?2n ? 3n ? n,? an ? 3n …………………………7 分

(3)? Sn ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ?

3n(n ? 1) n(n ? 1) ,…………………9 分 .?Tn ? 2 2n (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(2 ? n) ?Tn?1 ? Tn ? ? ? , 2n?1 2n 2n?1 3 ?当n ≥ 3时, Tn ? Tn?1,且T1 ? 1 ? T2 ? T3 ? , 故T2 , T3是最大项.………11 分 2

3 故m ≥ 为所求.………………………………………………………12 分 2 ? ? 9 ? m2 ? 2 ? r 22.解: (1)设圆 M 的半径为 r ,由题意有: , ……………………3 分 ? 2 2 2 ? ?(2 ? 1) ? m ? 2r
解得m ? 7, r ? 2 …………………………………………………………5 分

?圆M的方程为( x ? 1)2 ? ( y ? 7)2 ? 4. …………………………………6 分
(2)① 当 a ? ?1 时,设 l1 , l2 被圆 C 所截得的弦的中点分别为 E , F .

?四边形AECF为矩形。 ? CE ? CF ? AC ? 1, ……………………8 分
? ? d1 ?2 ? ? ? d2 ?2 ? 即?4 ? ? ? ? ? ?4 ? ? ? ? ? 1, 化简得d12 ? d22 ? 28. ………………10 分 ? ? ?2? ? ? ? ? ? 2? ? ?
d 2 ? d 2 2 ? d1 ? d 2 ? ≥? ②由 1 ? 及 ①得 d1 ? d2 ≤ 2 14 2 ? 2 ?
2

2

2

2

即 d1 ? d2 的最大值为 2 14 . …………………………………………12 分


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