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第十章 计数原理、概率与统计第一节


第一节

排列与组合

A 组三年高考真题(2016~2014 年)
1.(2016· 全国Ⅱ,5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A.24 B.18 C.12 D.9 2.(2016· 全国

Ⅲ,12)定义“规范 01 数列”{an}如下:{an}共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1, 且对任意 k≤2m,a1,a2,…,ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4,则不同的“规范 01 数 列”共有( )

A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 3.(2016· 四川,4)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( A.24 B.48 C.60 D.72 4.(2016· 北京,8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒,每次 从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙 盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 5.(2015· 四川,6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40 000 大的偶数共有 ( ) ) )

A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个 6.(2014· 大纲全国,5)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一 个医疗小组,则不同的选法共有( A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 7.(2014· 辽宁,6)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 8.(2014· 四川,6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同 的排法共有( ) ) )

A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 9.(2014· 重庆,9)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演

出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( A.72 B.120 C.144 D.168

)

10.(2014· 安徽, 8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对, 其中所成的角为 60° 的共有 ( )

A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 11.(2014· 福建,10)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从 1 个 红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式 1+a+b+ab 表示出 来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出 来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 12.(2014· 广东,8)设集合 A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合 A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( A.60B.90 C.120 D.130 13.(2015· 广东,12)某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那 么全班共写了________条毕业留言(用数字作答). 14.(2014· 北京,13)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有________种. 15.(2014· 浙江,14)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配 给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有________种(用数字作答). ) )

B 组两年模拟精选(2016~2015 年)
1.(2016· 山东济宁模拟)某中学高三学习雷锋志愿小组共有 16 人,其中一班、二班、三班、四 班各 4 人,现从中任选 3 人,要求这三人不能全是同一个班的同学,且在三班至多选 1 人, 则不同选法的种数为( A.484 B.472 C.252 D.232 2.(2016· 四川成都第二次诊断)某微信群中甲,乙,丙,丁,戊五名成员同时抢 4 个红包,每 人最多抢一个红包,且红包全被抢光,4 个红包中有两个 2 元,两个 3 元(金额相同视为相同 红包),则甲乙两人都抢到红包的情况有( A.36 种 B.24 种 C.18 种 D.9 种 3.(2015· 河南信阳模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要 求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安 排方法有( ) ) )

A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.6 种

4.(2015· 河南郑州二模)某校开设 A 类选修课 2 门;B 类选修课 3 门,一位同学从中选 3 门, 若要求两类课程中至少选一门,则不同的选法共有( A.3 种 B.6 种 C.9 种 D.18 种 5.(2016· 山东枣庄 4 月模拟)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本, 若将其随机地摆成一排,则同一科目的书均不相邻的摆法有________种(用数字作答) 6.(2016· 广东肇庆模拟)某同学有同样的画册 2 本, 同样的集邮册 3 本, 从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有________种(用数字作答). 7.(2016· 河北石家庄一模)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一 名学生, 且甲、 乙两名学生不能分到同一个班, 则不同的分法的种数为________(用数字作答). 8.(2015· 衡水模拟)20 个不加区别的小球放入 1 号,2 号,3 号的三个盒子中,要求每个盒内的 球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为________. )

答案精析
A 组三年高考真题(2016~2014 年)
1.B[从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种,从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种,所以从 E 点到 G 点的最短路径为 6× 3=18 种,故选 B.] 2.C [第一位为 0,最后一位为 1,中间 3 个 0,3 个 1,三个 1 在一起时为 000111,001110; 只有 2 个 1 相邻时,共 A2 4种,其中 110100;110010;110001,101100 不符合题意,三个 1 都不在一起时有 C3 4种,共 2+8+4=14.] 3.D[由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是 1,3,5;分为两步:先从 1,3,5
4 三个数中选一个作为个位数有 C1 3,再将剩下的 4 个数字排列得到 A4,则满足条件的五位数

有 C1 A4 3· 4=72.选 D.] 4.B [取两个球往盒子中放有 4 种情况:①红+红,则乙盒中红球数加 1 个;

②黑+黑,则丙盒中黑球数加 1 个;③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加 1 个; ④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加 1 个;因为红球和黑球个数一样, 所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机, ③和④对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的 黑球数没有任何影响,①和②出现的次数是一样的,所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒 中的黑球数的影响次数一样.综上选 B.] 5.B [由题意,首位数字只能是 4,5,若万位是 5,则有 3× A3 若万位是 4, 则有 2× A3 4=72 个; 4

个=48 个,故 40 000 大的偶数共有 72+48=120 个.选 B.] 6.C
2 [从中选出 2 名男医生的选法有 C6 =15 种, 从中选出 1 名女医生的选法有 C1 5=5 种,

所以不同的选法共有 15× 5=75 种,故选 C.] 7.D [3 人中每两人之间恰有一个空座位,有 A3 2=12 种坐法,3 人中某两人之间有两 3× 个空座位,有 A3 A2 3× 2=12 种坐法,所以共有 12+12=24 种坐法.]

8.B

[当最左端排甲时,不同的排法共有 A5 5种;当最左端排乙时,甲只能排在中间四个

4 5 1 4 位置之一,则不同的排法共有 C1 24=216 种.] 4A4种.故不同的排法共有 A5+C4A4=9×

9.B

3 [依题意,先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A3 3A4=144,其中 3 个

2 3 歌舞类节目互不相邻但 2 个小品类节目相邻的排法种数为 A2 因此满足题意的排法 2A2A3=24,

种数为 144-24=120,选 B.] 10.C [法一 直接法: 如图, 在上底面中选 B1D1, 四个侧面中的面对角线都与它成 60° , 共 8 对,同样 A1C1 对应的也有 8 对,下底面也有 16 对,这共有 32 对;左右侧面与前后侧面 中共有 16 对.所以全部共有 48 对.

法二 间接法:正方体的 12 条面对角线中,任意两条垂直、平行或成角为 60° ,所以成角为 60° 的共有 C2 12-12-6=48.] 11.A [分三步:第一步,5 个无区别的红球可能取出 0 个,1 个,…,5 个,则有(1+a+a2+a3

+a4+a5)种不同的取法;第二步,5 个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同 取法; 第三步, 5 个有区别的黑球看作 5 个不同色, 从 5 个不同色的黑球中任取 0 个, 1 个, …, 5 个,有(1+c)5 种不同的取法,所以所求的取法种数为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5, 故选 A.] 12.D [易知|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1 或 2 或 3,下面分三种情况讨论.其一:|x1|+|x2| +|x3|+|x4|+|x5|=1,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取一个让其等于 1 或-1,其余等于 0,
1 于是有 C1 5C2=10 种情况;其二:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中

任取两个让其都等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等于-1,其余等于 0,于是有 2C2 5
1 +C2 5C2=40 种情况;其三:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取

三个让其都等于 1 或都等于-1 或两个等于 1、 另一个等于-1 或两个等于-1、 另一个等于 1,
3 1 3 2 其余等于 0,于是有 2C3 5+C5C3+C5C3=80 种情况.由于 10+40+80=130,故答案为 D.]

13.1 560 [依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数, 所 以全班共写了 A2 39=1 560 条毕业留言.] 40=40×
4 14.36 [将 A、B 捆绑在一起,有 A2 2种摆法,再将它们与其他 3 件产品全排列,有 A4种摆法, 4 共有 A2 2A4=48 种摆法,而 A、B、C 3 件在一起,且 A、B 相邻,A、C 相邻有 CAB、BAC 两

种情况,将这 3 件与剩下 2 件全排列,有 2× A3 3=12 种摆法,故 A、B 相邻,A、C 不相邻的 摆法有 48-12=36 种.]
1 2 15.60 [分情况: 一种情况将有奖的奖券按 2 张、 1 张分给 4 个人中的 2 个人, 种数为 C2 3C1A4

=36;另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人,种数为 A3 4=24,则获奖情况总共有

36+24=60(种).]

B 组两年模拟精选(2016~2015 年)
1.B
2 [若三班有 1 人入选,则另两人从三班以外的 12 人中选取,共有 C1 4C12=264 种选法.若

三班没有人入选,则要从三班以外的 12 人中选 3 人,又这 3 人不能全来自同一个班,故有
3 C12 -3C3 4=208 种选法.故总共有 264+208=472 种不同的选法.]

2.C

[甲乙两人都抢到红包有三种情况: (1)都抢到 2 元红包,有 C2 (2)都抢到 3 元红包, 3=3 种;

1 2 有 C2 3=3 种;(3)一个抢到 2 元,一个抢到 3 元,有 C2A3=12 种,故总共有 18 种情况.] 2 3 3.B[从 4 人中选出两个人作为一个元素有 C4 种方法, 同其他两个元素在三个位置上排列 C2 4A3

=36,其中有不符合条件的,即学生甲,乙同时参加同一学科竞赛有 A3 3种结果,∴不同的参 赛方案共有 36-6=30,故选 B.]
1 2 4.C [可分以下两种情况:①A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C2 C2种不同选法;② 2 1 A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C2 C3种不同选法.∴根据分类计算原理知不同的选 1 2 1 法共有:C2 C3+C2 2C3=6+3=9 种.故选 C.]

5.48[根据题意,分 2 步进行分析:①将 5 本书进行全排列,有 A5 5=120 种情况.②其中语文书
4 2 4 相邻的情况有 A2 2A4=48 种,数学书相邻的情况有 A2A4=48 种,语文书,数学书同时相邻的 2 3 情况有 A2 2A2A3=24 种,则同一科目的书均不相邻的摆法有 120-48-48+24=48 种.]

6.10 [两种情况:①选 2 本画册,2 本集邮册送给 4 位朋友,有 C2 4=6 种方法;②选 1 本画册, 3 本集邮册送给 4 位朋友,有 C1 4=4 种方法,所以不同的赠送方法共有 6+4=10(种).] 7.8[甲、乙不能分在同一个班,则不同的分组有甲单独一组,只有 1 种;甲和丙或丁两人一 组,有 2 种;甲、丙、丁一组,只有 1 种.然后再把分成的两组分到不同班级里,则共有(1+ 2+1)A2 2=8(种).] 8.120[解析 先在编号为 2,3 的盒内分别放入 1 个,2 个球,还剩 17 个小球,三个盒内每个 至少再放入 1 个,将 17 个球排成一排,有 16 个空隙,插入 2 块挡板分为三堆放入三个盒中 即可,共有 C2 16=120 种方法.]


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