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1.3.3函数的最大(小)值与导数课件新人教A版选修2-2


第一章
导数及其应用

第一章 1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.3 函数的最大(小)值与导数

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

选 练 习

自主预习学案

? 1.理解函数最值的概念及闭区间上函数存在 最值的定理. ? 2.掌握用导数求闭区间上函数最大值和最小 值的方法.

? 重点:函数在闭区间上最值的概念与求法. ? 难点:极值与最值的区别与联系,求最值的 方法.

? 函数最值的概念 ? 思维导航 ? 1.如果函数f(x)在R上是单调递增(或递减)的 函数,是否存在这样的实数a,使得对一切 x∈R,都有f(x)≤f(a)(或f(x)≥f(a))? ? 2.如果f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 定义域为[a,b],当f(x)单调递增(或单调递减) 时,是否存在x0∈[a,b],使对一切x∈[a,b] 都有f(x)≤f(x0)?当f(x)不是单调函数时,是否 存在x0∈[a,b],使对一切x∈[a,b],都有

? 新知导学 f(g) f(b) ? 1.下图中的函数f(x)的最大值为 _____,最 小值为_____.

f(d),f(g)

f(c),f(e)

? 而极大值为__________,极小值为

? 2.由上图还可以看出,假设函数y=f(x)在闭 区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线, 最大值 最小值 可导的 与 该函数在 [a ,b]上一定能够取得_________ _________,若该函数在(a,b)内是 不一定 _________,该函数的最值必在极值点或区 间端点取得.但在开区间(a,b)内可导的函 数f(x)__________有最大值与最小值.

? 牛刀小试 ? 1.(2014·营口三中期中)若a>0,b>0,且 函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值, 则a+b等于( ) ? A.2 B.3 ? C.6 D .9 ? [答案] C ? [解析] f ′(x)=12x2-2ax-2b,由条件知x =1是方程 f ′(x)=0的实数根,∴a+b=6.

? ? ? ? ? ? ? ? ?

2.若函数f(x)=-x4+2x2+3,则f(x)( ) A.最大值为4,最小值为-4 B.最大值为4,无最小值 C.最小值为-4,无最大值 D.既无最大值,也无最小值 [答案] B [解析] f ′(x)=-4x3+4x, 由f ′(x)=0得x=±1或x=0. 易知f(-1)=f(1)=4为极大值也是最大值,故 应选B.

? 3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m是常数)在[- 2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的 最小值为( ) ? A.-37 B.-29 ? C.-5 D.-11 ? [答案] A ? [解析] f ′(x)=6x2-12x=6x(x-2). ? 令f ′(x)=0,解得x=0或x=2 ? ∵f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m. ? ∴f(0)>f(2)>f(-2) ? ∴m=3,最小值为f(-2)=-37,故应选A.

1 3 4.(2014· 枣庄市期中)若1、3为函数f(x)=3x +bx2+cx(b、 c∈R)的两个极值点,则曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线 的斜率为( A.8 C.4 ) B.6 D.0

? [答案] A ? [解析] f ′(x)=x2+2bx+c,由条件知,1、3 是方程f ′(x)=0的两个实根,∴b=-2,c=3, ∴f ′(-1)=8,故选A.

? 5.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1] 上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取 值范围是________. m ? [答案 ] ( - 4 ,- 2) [解析] f ′(x)=m-2x,令f ′(x)=0,得x= .
2 m 由题设得-2< 2 <-1,故m∈(-4,-2).

典例探究学案

? 利用导数求函数的最大值与最 小值
求函数f(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最大 值与最小值.

? [分析] 首先求f(x)在(-1,2)内的极值.然后 将f(x)的各极值与f(-1)、f(2)比较,其中最大 的一个是最大值,最小的一个是最小值.

[解析] f ′(x)=3x2-4x. 4 令f ′(x)=0,有3x -4x=0.解得x=0,3.
2

当x变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: x f ′( x) f ( x) -2 -1 (-1,0) + ? 0 0 1 4 (0,3) - ? 4 3 0 5 -27 4 (3,2) + ? 1 2

故f(x)最大值=1,f(x)最小值=-2.

? [方法规律总结] 1.求可导函数y=f(x)在[a, b]上的最大(小)值步骤如下: ? (1)求f(x)在开区间(a,b)内所有极值点; ? (2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最 小值.

2.正确理解“在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有最 值.” (1)给定的区间必须是闭区间,f(x)在开区间上虽然连续但 1 不能保证有最大值或最小值.如f(x)= x ,x∈(0,1),f(x)在区间 (0,1)连续,但没有最大值和最小值(如图).

(2) 在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断 点 , 也 不 能 保 证 f ( x) 有 最 大 值 和 最 小 值 , 如 函 数 f ( x) =
? ?|x|,-1≤x≤1且x≠0 ? ? ?1,x=0

.

在[-1,1]上有间断点,没有最小值(如图).

3.若连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值 就是最大值,极小值就是最小值.

? π? 函数y=x+2cosx在?0,2?上取最大值时,x的值为( ? ?

)

A.0 π C.3

π B.6 π D.2

? [答案] B

1 [解析] y′=1-2sinx,令y′=0,得sinx=2, π π ∵x∈[0,2],∴x=6. 1 π 1 π 由y′>0得sinx< 2 ,∴0≤x< 6 ;由y′<0得sinx> 2 ,∴ 6 π π π π <x≤2,∴原函数在[0,6)上单调递增,在(6,2]上单调递减. π π 当x=0时,y=2,当x=2时,y=2, π π 当x=6时,y=6+ 3, π π π ∵6+ 3>2>2,∴当x=6时取最大值,故应选B.

? 含参数的函数最值问题
(2013· 浙江余姚中学高二期中)设函数f(x)=x3+ ax2-a2x+m(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值范 围; (3)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒 成立,求m的取值范围.

? [分析] (1)求f(x)的单调区间,可解不等式f ′(x)≥0,f ′(x)≤0,由于f(x)表达式中含参数, 故需注意是否需要分类讨论;(2)f(x)在x∈[- 1,1]内没有极值点的含义是f ′(x)=0在[-1,1] 内没有实数根,故f(x)在[-1,1]内单调; (3)f(x)≤1在[-2,2]内恒成立,则f(x)在[-2,2] 内的最大值≤1.

a [解析] (1)∵f ′(x)=3x +2ax-a =3(x-3)(x+a),
2 2

a a 又a>0,∴当x<-a或x> 3 时,f ′(x)>0;当-a<x< 3 时,f ′(x)<0. a ∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-a),( 3 ,+∞),单 a 调递减区间为(-a,3).

(2)由题设可知,方程f ′(x)=3x2+2ax-a2=0在[-1,1]上 没有实根,
? ?f ∴? ? ?f
2 ? ′?-1?<0, ?3-2a-a <0, ∴? 2 ? ′?1?<0, ?3+2a-a <0,

∵a>0,∴a>3.

a (3)∵a∈[3,6],∴3∈[1,2],-a≤-3, a 又x∈[-2,2],∴当x∈[-2, 3 )时,f ′(x)<0,f(x)单调递 a 减,当x∈( 3 ,2]时,f(x)单调递增,故f(x)的最大值为f(2)或f(- 2).

? 而f(2)-f(-2)=16-4a2<0,f(x)max=f(-2) =-8+4a+2a2+m, ? 又∵f(x)≤1在[-2,2]上恒成立, ? ∴-8+4a+2a2+m≤1, ? 即m≤9-4a-2a2,在a∈[3,6]上恒成立, ? ∵9-4a-2a2的最小值为-87,∴m≤-87.

? [方法规律总结] 1.由于参数的取值范围不同 会导致函数在所给区间上的单调性的变化, 从而导致最值的变化,故含参数时,需注意 是否分类讨论. ? 2.(1)当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单 调时,其最大值、最小值在端点处取得. ? (2)当图象连续不断的函数f(x)在(a,b)内只有 一个极大(或极小)值,则可以断定f(x)在该点 处取到最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是 无穷区间.

? 3.已知函数最值求参数,可先求出函数在给 定区间上的极值及函数在区间端点处的函数 值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最 大值,哪个是最小值,结合已知求出参数, 进而使问题得以解决.

? 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. ? (1)求f(x)的单调递减区间; ? (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求 它在该区间上的最小值. ? [解析] (1)f ′(x)=-3x2+6x+9=-3(x2-2x -3)=-3(x-3)(x+1), ? 令f ′(x)<0,则-3(x-3)(x+1)<0,解得x<- 1或x>3. ? ∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3, +∞).

(2)令f ′(x)=0,∵x∈[-2,2],∴x=-1. 当-2<x<-1时,f ′(x)<0; 当-1<x<2时,f ′(x)>0. ∴x=-1是函数f(x)的极小值点,该极小值也 就是函数f(x)在[-2,2]上的最小值, ? 即f(x)min=f(-1)=a-5. ? ? ? ?

? ? ? ?

又函数f(x)的区间端点值为 f(2)=-8+12+18+a=a+22, f(-2)=8+12-18+a=a+2. ∵a+22>a+2,∴f(x)max=a+22=20, ∴a=-2. ? 此时f(x)min=a-5=-7.

? 与函数最值有关的综合问题
(2014· 山东省菏泽市、河北冀州中学期中)已知 函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16. (1)求a、b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.

? [解题思路探究] 第一步,审题.审结论,确 定解题目标,求a、b的值需建立a、b的方程 组求解;求f(x)在[-3,3]上的最值,需按照 “用导数求函数最值”的一般步骤进行; ? 审条件,挖掘解题信息,“f(x)在x=2处取得 极值c-16”,应从以下三方面把握: ? (一)f(2)=c-16,(二)f ′(2)=0,(三)c-16可 能是极大值,也可能是极小值,需依据解题 过程和条件判断.

? 第二步,建联系,确定解题步骤. ? 先求f ′(x),利用极值条件建立a、b的方程组, 解方程组求a、b;从而得到f(x)解析式;再解 不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)确定f(x)的单调性; 最后由极大值求c,再求f(x)在[-3,3]上的最 小值. ? 第三步,规范解答.

[解析] (1)∵f(x)=ax3+bx+c,∴f ′(x)=3ax2+b, ∵f(x)在点x=2处取得极值c-16,
? ?f ′?2?=0, ∴? ? ?f?2?=c-16, ? ?12a+b=0, 即? ? ?8a+2b+c=c-16. ? ?a=1, 解得? ? ?b=-12.

? ?12a+b=0, 化简得? ? ?4a+b=-8.

? (2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f ′(x)=3x2-12, ? 令f ′(x)=0,得x1=-2,x2=2, ? 当x∈(-∞,-2)或x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0, f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上为增函数, ? 当x∈(-2,2)时,f ′(x)<0,f(x)在(-2,2)上为 减函数. ? 由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)= 16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16, 由题设条件知16+c=28得c=12, ? 此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3, f(2)=c-16=-4,

? [方法规律总结] 1.证明不等式,研究方程根 的个数、两函数图象的交点个数、图象的分 布范围等问题,导数和数形结合法是一种很 有效的方法,经常通过分析函数的变化情况, 结合图形分析求解., ? 2.恒成立问题向最值转化也是一种常见题 型. ? 3.已知函数的最值求待定系数的值或参数的 取值范围是函数最值应用的常见题型之一, 由于参数会对函数的最值点有影响,所以解 决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式 的知识进行求解.

(2013· 江苏泰州二中高二期中)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx 2 +5,若 x=3时,y=f(x)有极值,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线斜率为 3. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值. (3)函数 y=f(x)-m 有三个零点,求实数 m 的取值范围.

[解析] (1)f ′(x)=3x2+2ax+b. 2 2 2 ? ?f ′? ?=3×? ?2+2a× +b=0, 3 3 3 由题意,得? 2 ? ?f ′?1?=3×1 +2a×1+b=3.
? ?a=2, 解得? ? ?b=-4.

所以,f(x)=x3+2x2-4x+5.

(2)由(1)知f ′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2), 2 令f ′(x)=0,得x1=-2,x2=3.
x f ′(x) f(x) 函数值 -11 -4 (-4, -2) + ? -2 0 极大值 13 2 (-2,3) - ? 2 3 0 极小值 95 27 2 (3,1) + ? 4 1

∴f(x)在[-4,1]上的最大值为13,最小值为-11; 95 (3)27<m<13.

准确把握条件 ln x (2013· 北京理,18)设l为曲线C:y= x 在点(1,0) 处的切线. (1)求l的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.

1-lnx lnx [错解] (1)设f(x)= x ,则f ′(x)= x2 . 所以f ′(1)=1. 所以l的方程为y=x-1. lnx (2)由(1)知y=x-1是曲线f(x)= x 在点(1,0)处的切线,又 ln2 当x=2时,有f(2)= 2 <1,故切线l上的对应点(2,1),在曲线C ln2 上的点(2, 2 )的上方,∴曲线C上除切点(1,0)外都在曲线l下 方.

? [辨析] (1)正确;(2)中错误的认为直线l与曲 线C相切,则C上所有点都在直线l的同侧, 从而导致解答错误.错因可能是受直线与二 次曲线相切的迁移影响,没有准确地理解导 数的几何意义所致. 1-lnx lnx
[正解] (1)设f(x)= x ,则f ′(x)= x2 . 所以f ′(1)=1. 所以l的方程为y=x-1.

(2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线l的下 方等价于g(x)>0(?x>0,x≠1). x2-1+lnx g(x)满足g(1)=0,且g′(x)=1-f ′(x)= . x2 当0<x<1时,x2-1<0,lnx<0,所以g′(x)<0,故g(x)单调 递减; 当x>1时,x2-1>0,lnx>0,所以g′(x)>0,故g(x)单调递 增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线l的下方.


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