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数学:1.4《全称量词与存在量词》课件(新人教A版选修1-1)


1.4 全称量词与 存在量词

1.4.1 全称量词

思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)(4)之间有 什么关系? (1)

x?3 ;

(2)2x+1是整数; (3)对所有的

x ? R, x ? 3;

(4)对任意一个

x ? Z , 2x+1是整数.

短语”对所有的””对任意一 个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号 “ ”表示.含有全称 ? 量词的命题,叫做全称命题. 量词的命题,叫做全称命题,
常见的全称量词还有: “对所有的”,”对任意一个”,”对一 切”,”对每一个”,”任给”,”所有的” 等.

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。

符号
全称命题”对M中任意一个x有 p(x)成立”可用符号简记为

?x ? M , p( x)
读作”对任意x属于M,有p(x)成

例1判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数;

(2) ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1;
(3)对每一个无理数x, x 也是无理数.
2

1.4.2 存在量词

思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之 间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)X能被2和3整除;

(3)存在一个x∈ R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

短语”存在一个””至少有一个”在 逻辑上通常叫做存在量词,并用符号” ” ? 表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.

常见的存在量词还有”有些””有 一个””有的””对某个”等.

例如,命题:
有的平行四边形是菱形;

有一个素数不是奇数;
有的向量方向不定;

存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;
有一些实数不能取对数.

特称命题”存在M中的一个x,使p(x) 成 立”可用符号简记为

?x ? M , p( x).
读做”存在一个x,使p(x)成立”.

例2 判断下列特称命题的真假
? 有一个实数x,使 x ? 2 x ? 3 ? 0;
2

? 存在两个相交平面垂直于同一条直线; ? 有些整数只有两个正因数.

练习

P26

1.4.3 含有一个量词 的命题的否定

如何区分命题的否定与否命题? 区别: ①、概念:命题的否定形式是直接对命题进 行否定;而否命题则是原命题的条件和结论 分别否定后所组成的命题。 ②构成:对于“若p,则q”形式的命题,其否 定命题为“若p,则 q”,也就是不改变条件, 而否定结论;而其否命题则为“若非p,则非q”, 也就是条件和结论都否定。 ③、真值:否定命题的真值与原命题相反;而 否命题的真值与原命题无关。

探究
写出下列命题的否定

? 1)所有的矩形都是平行四边形; x ? M,p(x)

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

1)存在一个矩形不是平行四边形;?x ? M,?p(x)

3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论: 全称命题p:

?x ? M , P( x), 它的否定?p: ?x ? M,?p(x).

全称命题的否定是特称命题.

例3 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p:对任意,的个位数字不等于3.

探究
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;

?x ? M,p(x)

2)某些平行四边形是菱形; 3)?x ? R, x2 ? 1 ? 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)
?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变 成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定, 有下面的结论:
特称命题 p : ?x ? M,p(x)

它的否定

?p : ?x ? M,?p(x)

特称命题的否定是全称命题.

例4 写出下列特称命题的否定 (1) 1)p:?x ? R,x2 +2x+3 ? 0; (2)有的三角形是等边三角形;

(3)有一个素数含三个正因数.

正面 等于 词语

大于(>) 小于 (<)



都是

P或q

否定 不等于 不大于 不小 不 (《) 于 是 (》) 正面 至多有 至少有 任意 词语 一个 一个 的 否定 至少有 一个也 某个 两个 没有 所 有 的 某 些

不都 是 至多 有n个 到少 有 n+1 个

非p 且非 q P且q
任意 两个

非P 或非 某两 Q 个

例5写出下列命题的否定,并判断真假: 1)p:任意两个等边三角形都是相似的;

2)p:?x ? R,x2 +2x+2=0;

练习 P28


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