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选修1-1:2.4 圆锥曲线总结


圆锥曲线章末总结 一、 求曲线方程(求轨迹方程)
1. 直接法 例 1:已知点 A,B 的坐标为 (- 1, 0), (1, 0) ,直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜 率之和为 2,求点 M 的轨迹方 程。

2.

相关点代入法。 例 2:从抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上各点向 x 轴作垂线,求

垂线段中点的轨迹方程,并 说明它是什么曲线。

3.

定义法 例 3:一动圆与圆 x2 + y 2 + 6x +5 = 0外切,同时与圆x2 + y 2 - 6x - 91 = 0 内切,求 动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

例 4:一动圆与圆 C1 : x2 + ( y - 3)2 = 1,圆C2:x2 + ( y +3)2 = 9 都外切,求动圆圆心的轨 迹方程,并说明它是什么曲线。

例 5:已知一动圆与圆 C : ( x + 2) + y = 1 外切,且与 x = 1 相切,求动圆圆心的轨迹方 程,并说明它是什么曲线。

2

2

二、 圆锥曲线的定义及其应用。

1

例 6(1)已知椭圆 点的距离为 (2)已知双曲线 点的距离为 (3)

x2 y 2 + = 1 上一点 P 到其中一 个焦点的距离为 4,则 P 到另一个焦 25 9

x2 y 2 = 1 上一点 P 到其中一个焦点的距离为 16,则 P 到另一个焦 16 9

已知抛物线 y 2 = 4 x 上一点 P 到焦点的距离为 5,则点 P 的坐标为

三,圆锥曲线的标准方程及几何性质。 1:求圆锥曲线的标准方程。
例 7: (1)求过点 ( 3, - 5) ,且与椭圆

y 2 x2 + = 1 有相 同焦点的椭圆方程。 25 9

x2 y 2 = 1 有相同渐近线的双曲线方程。 (2) 求过点 (2, - 1) ,且与双曲线 4 2

(3) 求焦点在直线 3x - 2 y - 6 = 0 上的抛物线方程。

2:求离心率的值或范围。
x2 y2 a b F1, A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点, 且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) 2 1 2 3 A. B. C. D. 4 2 2 2 x2 y2 (2) 设 F1,F2 是双曲线a2-b2= 1(a>0,b>0)的左、右两焦点,过 F1 且垂直 于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ ABF2 为钝角三角形,则该双曲线的 离心率 e 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(1, 3) C.( 2+1,+∞) D.(1,1+ 2)
例 8: (1)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点

2

(3) . 点 P 是双曲线

x2 y 2 =1 (a>0,b>0) 左支上的一点, 其右焦点为 F (c, 0) , 若 a 2 b2

c M 为线段 FP 的中点, 且 M 到坐标原点的距离为 , 则双曲线的离心率 的取值 8

范围是( )A.

B.

C.

D.

(4).如图,F1,F2 是双曲线 C1: x 3 -

y2 = 1 与椭圆 C2 3

的公共焦点,点 A 是 C1,C2 在第一象限的公共点.若 |F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是( )

A.

B.

C.

D.

四:直 线与圆锥曲线的位置关系 1.位置关系的判定
x2 例 9:双曲线 -y2=1 与直线 y=kx+1 有惟一公共点,求 k 的值。 4

2.弦长问题(弦长公式 AB=
2 2



[来源:Zxxk.Com]

例 10:已知椭圆 4x +y =1 及直线 y=x+m。[来源:学。科。网]

( 1)当直线与椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围。 (2) 求被椭圆截得的最长弦的长度

[来源:学科网 ZXXK]

3

3.弦的中点问题 例 11:已知双曲线 2x2-y2=2. (1)求以 M(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程; (2)过点 N(1, 1)能否作直线 l, 使直线 l 与所给双曲线交于 P1, P2 两点, 且点 N 是弦 P1P2 的中点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

4. 范围与最值问题
x2 y2 y2 + x 2 = 1 有相同的离心率, 例 12:椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,且与椭圆 a b 2 斜率为 k 的直线 l 经过点 M (0,1) 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B。
(1) 求椭圆 C 的标准方程。 (2) 当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求斜率 k 的取值范围。

[来源:学.科.网]

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5:定值与定点问题。
例 13:已知直线 l 与椭圆

x2 + y 2 = 1 交于 P,Q 两点,O 为坐标原点,且 OP ^ OQ ,试 2

探究 O 到直线 l 的距离是否为定值,若是,求出这个定值,不是,说明理由。

4

x2 y2 例 14: 若直线 l: y=kx+ m 与椭圆 C: + =1 相交于 A, B 两点(A, B 不是左右顶点), 4 3 且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

[来源:学科网 ZXXK]

6.对称问题。
例 15:已知抛物线 y = 4 x 上总有两个不同的点关于直线 y = x + m 对称,求 m 的取值 范围。
2

5


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