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1.4 不等式的证明(三) 教学课件(北师大版选修4-5)


§4

不等式的证明(三)

学习目标
1.理解反证法和放缩法的概念. 2.会用反证法和放缩法证明较简单的不等式.

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预习自测
缩小 (或_____) 放大 分式 放缩法:将所要证明的不等式,通过_____ 1. 放大 (或__

___) 缩小 被减式(或减式) 的分母(或分子),或通过_____ 来证明不等式.

几何法:通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明 2. 不等式的方法称为几何法.
反证法:反证法是常用的证明方法,它是通过证明命题结 3. 否定 不能成立,来肯定命题结论一定_____ 成立 ,其证明 论的_____ 的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出 矛盾;(3)否定假设;肯定结论.
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自主探究
1.哪些命题或不等式适合用反证法证明? 提示 存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出 现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式. 2.用反证法证明不等式时,推出的矛盾通常有哪几种类型? 提示 推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有 的与假设矛盾,有的与已知事实相违背等等.推导出的矛 盾必须是明显的. 3.你能归纳出常用的放缩方法有哪些吗?

提示

(1)舍掉(或加进)一些项.

(2)在分式中放大或缩小分子或分母. (3)应用基本不等式放缩,如a2+b2≥2ab.
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典例剖析
知识点1 放缩法证明不等式

【例1】设 Sn= 1×2+ 2×3+?+ n(n+1),
n(n+1) (n+1)2 求证:不等式 <Sn< 对所有的正整数 n 都 2 2 成立.

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证明

∵Sn> 12+ 22+?+ n2

n( n+1) =1+ 2+?+n= . 2 1+2 2+3 n+n+1 且 Sn< + +?+ 2 2 2 2n+1 3 5 = + +?+ 2 2 2 2n+ 1 (n+1)2 1 3 5 < + + +?+ = 2 2 2 2 2 n( n+ 1) (n+1)2 ∴ <Sn< . 2 2 【反思感悟】 用放缩法证明不等式的过程中,往往采用

添项“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要 不等式放缩等,放缩时要注意适度,否则不能同向传递.
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1 1 1 1.求证:1+ 2+ 2+?+ 2<2 (n∈N+). 2 3 n 1 1 1 1 1 1 证明 1+ 2+ 2+?+ 2 <1+ + +?+ = 2 3 n 2· 3 1·2 n(n-1) ? ? 1 1? 1? ?1 1? ? - ? 1+?1- ?+? - ?+?+? ? 2? ?2 3? ? ?n- 1 n ? 1 =2- <2. n

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知识点2

几何法证明不等式
x2+y2- 2xy +

【例2】已 知 x , y , z>0 , 求 证 :
y2+z2- 3yz > z2+x2-zx.

证明 构造三棱锥 VABC,且 VA= x, VB= y, VC= z,∠ AVB= 45°, ∠ BVC= 30°, ∠ CVA= 60° (如图 ), 则 AB = x2+ y2- 2xy , BC = y2+ z2- 3yz , CA= z2+ x2- zx.
因为在△ABC 中,AB+BC>CA, 所以 x2+y2- 2xy+ y2+z2- 3yz > z2+x2-zx.
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【反思感悟】 本例中待证的不等式类似于三角形的三边 关系,又每个根号内的多项式具有余弦定理的结构形式, 注意到这两点,证题思路就会跃然纸上.

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2.已知:a,b∈R 且 a≠b, 求证:| 1+a2- 1+b2|<|a-b|.
证明 设点 A(1,a)与 B(1,b)(a≠b) 则|OA|= 1+a2,|OB|= 1+b2,|AB| =|a-b|. 如图所示,由三角形的边长性质得: ||OA|-|OB||<|AB| 即| 1+a2- 1+b2|<|a-b|.

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知识点3

反证法证明不等式

已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0. 【例3】

求证:a>0,b>0,c>0.
证明 假设a、b、c不全是正数, 即至少有一个小于或等于0.

又abc>0,不妨假设a<0,则bc<0.
∵b+c>-a>0,∴-a(b+c)>0. ∴a(b+c)<0,又∵bc<0,∴bc+a(b+c)<0.

即ab+bc+ca<0.
这与已知ab+bc+ca>0矛盾. ∴假设不成立. 故a>0,b>0,c>0成立.
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【反思感悟】 用反证法证明不等式,其实质是从否定结 论出发,通过逻辑推理,导出与已知条件或公理相矛盾的 结论,从而肯定原命题成立.

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1+y 1+x 3.已知 x>0,y>0,且 x+y>2,求证: 与 中至少有一 x y 个小于 2. 1+ y 1+x 证明 假设 x ≥2 且 y ≥2. ∵x>0,y>0, ∴1+y≥2x ① 1+x≥2y ② ①+②得 2+(x+y)≥2(x+y), 即 x+y≤2 与 x+y>2 矛盾. 1+y 1+x ∴假设不成立,故 与 中至少有一个小于 2. x y
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课堂小结
放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一.放缩必须 1.

有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考
察,常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用 不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放 缩等. 利用几何法要抓住待证不等式的结构特点充分类比、联 2.

想、转化到已知的几何图形、结论、定理上,然后构造几
何图形,将要证的不等式转化为图形上的问题予以解决, 从而将数与形有机地结合起来.
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3.用反证法证明不等式要把握三点: (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面.当结论的反面 呈现多样性时,必须罗列出各种可能结论,缺少任何一种

可能,反证都是不完全的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面 作为条件,且必须根据这一条件进行推证;否则,仅否定

结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.
(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾、有的 与假设矛盾、有的与已知事实相违背等等.推导出的矛盾 必须是明显的.
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随堂演练
1.设a、b、c∈(0,+∞),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c +a-b,则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的 ( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 必要性是显然成立的. 当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为

负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=
2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立. 答案 C
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2.用反证法证明:如果a,b为正数,则a3+b3≥a2b+ab2. 证明 假设a3+b3<a2b+ab2, 则a3+b3-a2b-ab2<0. ∴a2(a-b)-b2(a-b)<0

即(a-b)2(a+b)<0
又∵(a-b)2≥0,∴a+b<0这与a,b都是正数相矛盾, ∴假设不成立,∴a3+b3≥a2b+ab2.

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1 1 1 3.求证: + ≤1+ . 1+|a| 1+|b| 1+|a+b|
证明 1+|b|+1+|a | 1 1 ∵ + = 1+|a| 1+|b| (1+|a|)(1+|b|)

1+|a|+|b|+1 1+|a|+|b|+1 = ≤ 1+|a|+|b |+ |ab| 1+|a|+|b| 1 1 =1+ ≤1+ . 1+|a|+|b| 1+|a+b|

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