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天津市天津一中2012-2013学年高一下学期期中考试 数学


天津一中 2012—2013 高一年级第二学期数学期中考试试卷 一、选择题: 1.不等式 A. (?2,1) C. (1, ??)

x ?1 ? 0 的解集是为( x?2

) B. (??, ?2) D. (??, ?2) ? (1, ??) ) D. ? 7 ) D.34

2.已知数列 {an } 为等比数列,

a 4 ? a 7 ? 2 , a5 ? a 6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为( A. 7 B. ? 5 C. 5

3.设 ?an ? 是等差数列, a6 ? 2 且 S5 ? 30 ,则 S8 ? ( A.31 B.32 C.33

4.对于实数 a, b, c ,有下列命题: ①若 a ? b ,则 ac ? bc ②若 ac 2 ? bc 2 ,则 a ? b ③若 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? ab ? b 2 ⑤若 a ? b , A. 2 5.已知 ④若 c ? a ? b ? 0 ,则

a b ? c?a c?b
) D. 5

1 1 ? ,则 a ? 0, b ? 0 其中真命题的个数( a b
B. 3 C. 4

???? ??? ? ??? ? AB ? (?4, 2), C (2, a ), D (b , 4) 是平面上的两个点,O 为坐标原点,若 OC / / AB ,

且 OD ? AB ,则 CD ? ( A. (?1, 2)

????

??? ?

??? ?

) C. (2, 4) D. (0,5) ) D.

B. (2, ?1)

6.已知 a ? 1, b ? 6, a ? (b ? a ) ? 2 ,则 a 与 b 的夹角是( A.

?

?

? ? ?
B.

?

?

?
6

?
4
*

C.

?
3

?
2


7. 已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N 满足 a p ? q ? a p ? aq , 且 a2 ? ?6 , 那么 a10 等于 ( A. ?165 B. ?33 C. ?30
?

D. ?21 )

8. 在数列 {a n } 中, 若 2an ? an ?1 ? an ?1 ,(n ? N , n ? 2) , 则下列不等式中成立的是 (
2 A. a2 a4 ? a3 2 B. a2 a4 ? a3 2 C. a2 a4 ? a3 2 D. a2 a4 ? a3

9.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2012 ,其前 n 项和为 S n ,若 ( ) B. ?2012
?

S12 S10 ? ? 2 ,则 S 2012 的值等于 12 10

A. ?2011

C. ?2010

D. ?2013

10.在△ ABC 中, ?BAC ? 60 , AB ? 2, AC ? 1, E , F 为边 BC 的三等分点,则 AE ? AF ? ( A. )

??? ? ??? ?

5 3

B.

5 4

C.

10 9

D.

15 8

二、填空题: 11.若向量 BA ? (2,3) , CA ? (4, 7) ,则 BC ? __________. 12.已知数列 {a n } 满足 an ? 2 ? ? an , (n ? N ) ,且 a1 ? 1, a2 ? 2 ,则该数列第 2013 项等于 __________. 13.已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 135? ,若 a ? ? b ? 1 ,则 ? 的取值范围是__________. 14.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? 2n ,则 an =__________. 15.在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ?
?

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

?

?

1 , a4 ? ?4 ,则 a1 ? a2 ? ? ? an ? __________. 2

16 .在平行四边形 ABCD 中, ?A ? 60? , 边 AB, AD 的长分别为 2,1 , 若 M , N 分别是边

BC , CD 上的点,且满足
三、解答题:

| BM | | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是__________. ? | BC | | CD |

2 17.已知等比数列 {a n } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 .

(1)求数列 {a n } 的通项公式. (2)设 bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. b ? n?

18.解关于 x 的不等式 ? ?? m ? 3? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 0 ,其中 m ? R

19. 已知△OAB 的顶点坐标为 O (0, 0) , A(2,9) , B (6, ?3) , 点 P 的横坐标为 14, 且 OP ? ? PB , 点 Q 是边 AB 上一点,且 OQ ? AP ? 0 . (1)求实数 ? 的值与点 P 的坐标; (2)求点 Q 的坐标; (3)若 R 为线段 OQ 上的一个动点,试求 RO ? ( RA ? RB ) 的取值范围.

??? ?

??? ?

???? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

20.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2a n ? n, (n ? N * ) (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2) 若 bn ? (2 n ? 1) an ? 2 n ?1, 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 求满足不等式

Tn ? 2 ? 128 的最小 2n ? 1

n 值.

21.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an ?1

?1 ? a ? n,n 为奇数 ? ?2 n ,且 bn ? a2 n ? 2, n ? N ? . ?a ? 2n,n 为偶数 ? n

(1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求其通项公式; (3)求在(2)的情形下,设 ( ) n ? cn ? ? nbn ,设 S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,求证: S n ? 6

3 4

参考答案 一、选择题: 1.A 6.C 2 .B 7.C 3.B 8.A 4.B 9.B 5.D 10.A

二、填空题: 11. (-2,-4) 12. 1 13. (??, 0) ? ( 2, ??)

14. an ? n 2 ? n ? 2 15. 2n ?1 ? 16.[2,5] 三、解答题: 17.解:

1 2

3 2 a 2 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 (1)设数列{an}的公比为 q,由 3 所以

q2 ?

1 9.

由条件可知 c>0,故

q?

1 3. a1 ? 1 3.



2a1 ? 3a2 ? 1



2a1 ? 3a2 q ? 1

,所以

1 n 故数列{an}的通项式为 an= 3 .
(2 )

bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ... ? log 3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) b n ( n ? 1) n n ? 1 故 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 2n { } ? b 所以数列 n 的前 n 项和为 n ? 1
18.解: 下面对参数 m 进行分类讨论: ①当 m= ? 3 时,原不等式为 x+1>0,∴不等式的解为 x ? ?1

②当 m ? ?3 时,原不等式可化为 ? x ?

? ?

1 ? ?? x ? 1? ? 0 m ? 3?

?

1 ? 0 ? ?1 m?3 1 m?3

∴不等式的解为 x ? ?1 或 x ?

③当 m ? ?3 时,原不等式可化为 ? x ?

? ?

1 ? ?( x ? 1) ? 0 m ? 3?

?

1 m?4 , ?1 ? m?3 m?3

1 1 ? ?1 原不等式的解集为 ? x ? ?1 ; m?3 m?3 1 1 当 m ? ?4 时, ; ? ?1 原不等式的解集为 ? 1 ? x ? m?3 m?3 1 当 m ? ?4 时, ? ?1 原不等式无解 m?3
当 ? 4 ? m ? ?3 时, 19.解: (1) ? ? ?

7 , y ? ?7 , P(14, ?7) 4

(2) Q (4,3) (3) [ ?

25 , 0] 2

【解析】 ( 1 ) 设 P (14, y ) , 则 OP ? (14, y ), PB ? (? 8, ? 3 ? y ) , 由 OP ? ? PB , 得

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

7 (14, y ) ? ? (? 8,? 3? y ),解得 ? ? ? , y ? ?7 ,所以点 P(14, ?7) 。 4 ???? ??? ? ???? ??? ? (2)设点 Q (a, b) ,则 OQ ? (a, b) ,又 AP ? (12, ?16) ,则由 OQ ? AP ? 0 ,得 3a ? 4b ①
又点 Q 在边 AB 上,所以

12 b ? 3 ,即 3a ? b ? 15 ? 0 ② ? ?4 a ? 6

联立①②,解得 a ? 4, b ? 3 ,所以点 Q (4,3) (3)因为 R 为线段 OQ 上的一个动点,故设 R (4t ,3t ) ,且 0 ? t ? 1 ,则 RO ? (?4t , ?3t ) ,

??? ?

??? ? RA ? (2 ? 4t ,9 ? 3t )



??? ? RB ? (6 ? 4t , ?3 ? 3t )



??? ? ??? ? RA+ RB ? (8 ? 8t , 6 ? 6t )





???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? RO ? ( RA ? RB) ? ?4 t(8 ? 8 t ) ? 3t (6 ? 6t )? 50t 2 ? 50t (0 ? t ? 1),故 RO ? ( RA ? RB) 的取值

范围为 [ ? 20.解:

25 , 0] . 2

(1)因为 S n ? 2an ? n, 所以 S n ?1 ? 2an ?1 ? (n ? 1), (n ? 2, n ? N * ) 两式相减得 a n ? 2a n ?1 ? 1 所以 a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1), (n ? 2, n ? N * ) 又因为 a1 ? 1 ? 2 ,所以 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 所以 a n ? 1 ? 2 n ,所以 an ? 2n ? 1 …………7 分

(2)因为 bn ? (2n ? 1)an ? 2n ? 1 , 所以 bn ? (2n ? 1) ? 2 n 所以 Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ①

2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1



①—②得: ?Tn ? 3 ? 2 ? 2(22 ? 23 ? ? ? 2 n ) ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

22 ? 2n ? 2 ? 6 ? 2? ? (2n ? 1) ? 2n ?1 1? 2

? ?2 ? 2n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? ?2 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1
所以 Tn ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 若 则 …………10 分

Tn ? 2 ? 128, 2n ? 1

2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 128, 2n ? 1
n?1

即2

? 27 , 所以 n ? 1 ? 7 ,解得 n ? 6 ,
Tn ? 2 ? 128, 的最小 n 值 6, 2n ? 1

所以满足不等式

21.解: (1) a2 ?
1 3 3 5 1 5 7 a1 ? 1 ? , a3 ? a2 ? 4 ? ? 4 ? ? , a4 ? a3 ? 3 ? ? ? 3 ? 2 2 2 2 2 4 4

(2) ∵ bn ? a2 n ? 2
1 1 1 a ? 2n ? 1 ? 2 (a2 n ? 4n) ? 2n ? 1 a2 n ? 1 bn ?1 a2 n ? 2 ? 2 2 2 n ?1 1 ∴ ? ? ?2 ?2 ? bn a2 n ? 2 a2 n ? 2 a2 n ? 2 a2 n ? 2 2

又 b1 = a2 – 2 =

3 1 ?2?? 2 2

1 1 ∴ 数列{bn}是首项为 ? ,公比为 的等比数列 2 2 1 1 1 ∴ bn ? ? ?( ) n ?1 ? ?( ) n 2 2 2 3 1 (3) 由 (2) 得 ( ) n ?Cn ? (?n)[?( ) n ] 4 2 1 4 2 2 2 2 ∴ Cn ? n( ) n ?( ) n ? n( ) n ∴ Sn ? C1 ? C2 ? ? ? Cn ? ? 2 ?( ) 2 ? ? ? n ?( ) n 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 Sn ? ( ) 2 ? 2( )3 ? ? ? (n ? 1)( ) n ? n( ) n ?1 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 相减得 Sn ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ? n( ) n ?1 3 3 3 3 3

2 2 [1 ? ( ) n ] 3 ? n( 2 ) n ?1 ? 2[1 ? ( 2 ) n ] ? n( 2 ) n ?1 ?3 2 3 3 3 1? 3
2 2 2 ∴ Sn ? 6[1 ? ( ) n ] ? 3n( ) n ?1 ? 6 ? (6 ? 2n)( ) n ? 6 ,∴ Sn < 6 成立 3 3 3


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