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选修2-1课件2.3.1双曲线及其标准方程


2 . 3.1 双曲线及其标准方程

思考 我们知道,与两个定点距离的和

? 为非零常数? 大于两定点间的距离的
差为非零常数的点的轨 迹是什么?

点的轨迹是椭圆 .那么,与两定点距离的
操作打开的几何画板 观察"与两个定 , 点距离的差为非零常数 的点的轨迹 " 是怎样的图

形 .

如图2.2 ? 1, 取一条拉链, 拉开它的一部分 在拉开 , 的两边上各选择一点分 , 别固定在点F1 , F2上, 把笔 尖放在点M处, 随着拉链 逐渐拉开或者闭拢 笔尖 , 所经过的点就画出一条 曲线.这条曲线是 满足下面条件的点的集 : 合 P ? ? M || MF1 | ? | MF2 |? 常数 ? .
图2.2 ? 1
F1
M

F2

如果使点M到点F2的距离 M 减去到F1的距离所得的差 等于同一个常数 就得到 , F F 另一条曲线(图2.2 ? 1中左 边的曲线).这条曲线是满 图2.2 ? 1 足下面条件的点的集合 : P ? ? M || MF2 | ? | MF1 |? 常数 ?. 这两条曲线合起来叫做 双曲线, 每一条叫 做双曲线的一支. 思考 类比椭圆的定义你能给出双曲线 ,
1 2

的定义吗?

我们把平面内与两个定 F1 , F2 的距离的 点 差的绝对值等于常数?小于 | F1 F2 |? 的点的

? 轨迹叫做 双曲线 ?hyperbola .这 两个定点
叫做 双曲线的焦点, 两个焦点间的距离叫 做 双曲线的焦距.

探究 类比椭圆标准方程的建 立过程, 你 能说说应怎样选择坐标 , 建立双曲线的 系 标准方程吗?

我们根据双曲线的几何 特征, 选择适当的坐标系 , 建立双曲线的标准方程 .

y
M

如图2.2 ? 2, 建立直角坐标 系 xOy, 使 x 轴经过两焦点 F1 , F2 , y 轴为线段F1 F2的垂 图2.2 ? 2 直平分线. 设 M ? x, y ? 是双曲线 上任意一点, 双曲线的焦距为 ? 2c?c ? 0 ?, 那么, 焦点F1 , F2的坐标分别是 ? c,0 ?, ?c,0 ?. 又设点M 与F1 , F2 的距离的差的绝对值常 2a. 数
设为2a 可以为问题的研究带来 方便.

F1

O

F2 x

由定义可知 双曲线就是集合 , P ? ?M | || MF1 | ? | MF2 || ? 2a?.

y
M

因为| MF1 |? | MF2 |?

? x ? c ?2 ? y 2 , 2 ? x ? c ? ? y 2 , 所以

F1

O

F2 x

图2.2 ? 2

? x ? c ?2 ? y 2 ? ? x ? c ?2 ? y 2

? ?2a

?1?

类比椭圆标准方程的化 简过程, 化简?1?, 得

?c

2

? a ? x ? a y ? a ?c ? a ?,
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 两边同除于a 2 ?c 2 ? a 2 ?, 得 2 ? 2 ? 1. 2 a c ?a

由双曲线的定义可知 2c ? 2a, , 即c ? a, 所以 c ? a ? 0.
2 2

y
M

类比椭圆标准方程的建 立过 程, 我们令c 2 ? a 2 ? b 2 , 其中 b ? 0, 代入上式, 得 x y ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? . 2 a b
2 2

F1

O

F2 x

?2?

图2.2 ? 2

你能在y轴上找出一点 , 使得 | OB |? b 吗? B

点的坐标都满足方程?2 ?,以方程?2 ?的解

从上述过程可以看到, 双曲线上任意一

? x, y ? 为坐标的点到双曲线的两个焦点 F1 ?? c,0 ? , F2 ?c,0 ? 的距离之差的绝对值 为2a, 即以方程?2 ?的解为坐标的点都在 双曲线上.这样, 我们把方程 ?2 ?叫做 双

.它表示焦点在 x 轴上, 曲线的标准方程 焦点分别是 F1 ?? c,0 ?, F2 ?c,0 ? 的双曲线, 这里 c ? a ? b .
2 2 2

y

思考 类比焦点在y轴上 的椭圆标准方程如图2. , 2 ? 3, 双曲线的焦点分别 是F1 ?0,? c ?, F2 ?0, c ?, a, b的 意义同上, 这时双曲线的 标准方程是什么 ?
M

F2

O

x

F1

图2.2 ? 3

y 2 x2 此时双曲线的方程是 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ?, a b 这个方程也是双曲线的 标准方程.

例1 已知双曲线两个焦点分 别为F1 ?? 5,0 ?, 对值等于6, 求双曲线的标准方程 .

F2 ?5,0 ?, 双曲线上一点 到 F1 , F2 距离差的绝 P

解 因为双曲线的焦点在x轴上, 所以设它的 x2 y 2 标准方程为 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ?. a b

因为2a ? 6,2c ? 10, 所以a ? 3, c ? 5, 所以b ? 5 ? 3 ? 16 .
2 2 2

x y 因此, 双曲线的标准为 ? ? 1. 9 16

2

2

例 2 已知 A, B 两地相距800 m, 在 A 地听到炮 弹爆炸声比B 地晚 2s, 且声速为340m / s, 求炮 弹爆炸点的轨迹方程 . 分析 首先根据题意判断轨迹的形状由声速 , . 及A, B两处听到爆炸声的时间 , 可知A, B两处 差 与爆炸点的距离的差为 定值.这样, 爆炸点在以 A, B为焦点的双曲线上 .因为爆炸点离 处比离 A B 处远 , 所以爆炸点应在靠近B 处的双曲线的 一支上.

解 如图2.2 ? 4, 建立直角坐标 系xOy, 使A, B两点在x轴上, 并且 坐标原点O与AB的中点重合.

y
P

? 设爆炸点P的坐标为 x, y ?, 则 | PA | ? | PB |? 340? 2 ? 680, 即 2a ? 680, a ? 340, 又 | AB |? 800,

A

O

B

x

图2.2 ? 4

所以2c ? 800, c ? 400.所以b2 ? 44400 .
因为| PA | ? | PB |? 680 ? 0, 所以 x ? 0.

? 因此炮弹爆炸点的轨迹 双曲线?的方程为
x y ? ? 1 ? x ? 0 ?. 115600 44400
2 2

利用两个不同的观测点 , B 测得同一点P A 发出信号的时间差可以确定点P所在双曲 , C 线的方程.如果再增设一个观测点 , 利用B,

C ?或A, C ?两处测得的点 发出的信号的时 P 间差, 就可以求出另一个双曲 线的方程. 解 这两个方程组 成 的方程组 , 就能确定点P 的准确位置 这是双曲线的一个重要 , 应用.
操作打开的几何画板 实验解释通过三个测点 , , A B, C确定点P的位置.

如果A, B两处同时听到爆炸声那么爆炸点在什 , 么曲线上? 为什么?

y
M

A

O

B

x

图2.2 ? 5

? 探究 如图2.2 ? 5,点A, B的坐标分别是 ? 5,0 ?, ?5,0 ?, 直线 AM , BM相交于点M , 且它们斜率之 4 积是 , 试求点M的轨迹方程 并由点M的轨迹 , 9 方程判断轨迹的形状与2.1例3比较, 你有什么 , 发现 ?


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