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2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题2 几何问题


2012 年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编

专题 2:几何问题
一、选择题 1. (2012 上海市 4 分)如果两圆的半径长分别为 6 和 2,圆心距为 3,那么这两个圆的位置 关系是【 A. 外离 【答案】D。 【考点】圆与圆的位置关系。 【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两 圆圆心距离等

于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆 心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。 因此, ∵两个圆的半径分别为 6 和 2,圆心距为 3,6﹣2=4,4>3,即两圆圆心距离小于 两圆半径之差, ∴这两个圆的位置关系是内含。故选 D。 2. (2012 安徽省 4 分)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与 这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为 2、 4、3,则原直角三角形纸片的斜边长是【 】 】 B.相 C.相交 D.内含

A.10

B. 4 5

C. 10 或 4 5

D.10 或 2 17

【答案】C。 【考点】图形的剪拼,直角三角形斜边上中线性质,勾股定理 【分析】考虑两种情况,分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图 形,再根据勾股定理求出斜边上的中线,最后即可求出斜边的长:

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①如左图: ∵ CE ? CD2 ? DE2 ? 42 +32 =5 ,点 E 是斜边 AB 的中点,∴AB=2CE=10 。 ②如右图: ∵ CE ? CD2 ? DE2 ? 42 +22 =2 5 , 点 E 是斜边 AB 的中点, ∴AB=2CE= 4 5 。 因此,原直角三角形纸片的斜边长是 10 或 4 5 。故选 C。 3. (2012 广东省 3 分)已知三角形两边的长分别是 4 和 10,则此三角形第三边的长可能是 【 】 A. 5 C. 11 【答案】C。 【考点】三角形三边关系。 【分析】设此三角形第三边的长为 x,则根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第 三边的构成条件, 得 10﹣4<x<10+4, 即 6<x<14, 四个选项中只有 11 符合条件。 故选 C。 4. (2012 广东珠海 3 分)如果一个扇形的半径是 1,弧长是 小为【 A. 30° 】 B. 45° C .60° D.90°
- 2 -

B. 6 D. 16

,那么此扇形的圆心角的大

【答案】C。 【考点】弧长的计算。 【分析】根据弧长公式 l ?

n? r ,即可求解 180 n ? ? ?1 ? 设圆心角是 n 度,根据题意得 ? ,解得:n=60。故选 C。 180 3

5. (2012 浙江宁波 3 分)勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》 中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成 的, 可以用其面积关系验证勾股定理. 图 2 是由图 1 放入矩形内得到的, ∠BAC=90° , AB=3, AC=4,点 D,E,F,G,H,I 都在矩形 KLMJ 的边上,则矩形 KLMJ 的面积为【 】

A.90 【答案】C。

B.100

C.110

D.121

【考点】勾股定理的证明。 【分析】如图,延长 AB 交 KF 于点 O,延长 AC 交 GM 于点 P, 所以,四边形 AOLP 是正方形,边长 AO=AB+AC=3+4=7。 所以,KL=3+7=10,LM=4+7=11, 因此,矩形 KLMJ 的面积为 10× 11=110。故选 C。 6. (2012 江苏宿迁 3 分)在平面直角坐标系中,若将抛物线 y=2x2 - 4x+3 先向右平移 3 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 【 】 B.(-1,4) C.(1,4) D.(4,3)

A.(-2,3) 【答案】D。 【考点】坐标平移。

【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只 改变点的纵坐标,下减上加。因此,将抛物线 y=2x2 - 4x+3 先向右平移 3 个单位长度,再

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向上平移 2 个单位长度,其顶点也同样变换。 ∵ y ? 2x 2 ? 4x ? 3 ? 2 ? x ? 1? +1 的顶点坐标是(1,1),
2

∴点(1,1)先向右平移 3 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,得点(4,3), 即经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是(4,3)。故选 D。 7. (2012 福建南平 4 分)如图,正方形纸片 ABCD 的边长为 3,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,将 AB、AD 分别和 AE、AF 折叠,点 B、D 恰好都将在点 G 处,已知 BE=1,则 EF 的 长为【 】

A.

3 2

B.

5 2

C.

9 4

D.3

【答案】B。 【考点】翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,勾股定理。 【分析】∵正方形纸片 ABCD 的边长为 3,∴∠C=90° ,BC=CD=3。 根据折叠的性质得:EG=BE=1,GF=DF。 设 DF=x,则 EF=EG+GF=1+x,FC=DC-DF=3-x,EC=BC-BE=3-1=2。 在 Rt△EFC 中,EF2=EC2+FC2,即(x+1)2=22+(3-x)2,解得: x ? ∴DF=

3 。 2

3 3 5 ,EF=1+ = 。故选 B。 2 2 2

8. (2012 湖北咸宁 3 分)中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目:墙来了!选手需按墙 上的空洞造型摆出相同姿势,才能穿墙而过,否则会被墙推入水池.类似地,有一个几 何体恰好无缝隙地以三个不同形状的 “ 姿势 ” 穿过 “ 墙 ” 上的三个空洞,则该几何体为 【 】.

A.

B.

C.
- 4 -

D.

【答案】A。 【考点】由三视图判断几何体。 【分析】一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞,即要这 个几何体的三 视图分别是正方形、圆和正三角形。符合此条件的只有选项 A:主视图是正方形,左视图是 正三角形,俯 视图是圆。故选 A。 9. (2012 福建泉州 3 分)如图,点 O 是△ABC 的内心,过点 O 作 EF∥AB,与 AC、BC 分 别交于点 E、F,则【 】

A .EF>AE+BF 【答案】C。

B. EF<AE+BF

C . EF = AE + BF

D.EF≤AE+BF

【考点】三角形内心的性质,切线的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质。 【分析】如图,连接圆心 O 和三个切点 D、G、H,分别过点 E、F 作 AB 的垂线交 AB 于点 I、J。 ∵EF∥AB,∴∠HEO=∠IAE,EI=OD。 又∵OD=OH,∴EI=OH。 又 ∵∠EHO=∠AIE=900 , ∴△EHO≌△AIE ( AAS ) 。 ∴EO=AE。 同理,FO=BF。 ∴AE + BF = EO+FO= EF 。 故选 C。 10. (2012 湖南长沙 3 分)现有 3cm,4cm,7cm,9cm 长的四根木棒,任取其中三根组成 一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是【 A.1 个 【答案】B。 【考点】构成三角形的三边的条件。 B.2 个 C.3 个 D.4 个 】

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【分析】四条木棒的所有组合:3,4,7 和 3,4,9 和 3,7,9 和 4,7,9,根据三角形两 边之和大于第三边,两边之差小于第三边的构成条件,只有 3,7,9 和 4,7,9 能组成三角 形。故选 B。 11.(2012 湖南怀化 3 分) 等腰三角形的底边长为 6, 底边上的中线长为 4, 它的腰长为 【 A.7 【答案】 C。 【考点】等腰三角形的性质,勾股定理。 【分析】如图,△ABC 中 AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,根据等腰三角形三线 合一的性质,AD⊥BC。 在 Rt△ABD 中,BD= 故选 C。 12. (2012 湖南湘潭 3 分)如图,在⊙O 中,弦 AB∥CD,若∠ABC=40° ,则∠BOD=【 】 B.6 C.5 D.4 】

1 × 6=3,AD=4,根据勾股定理,得 AB=5。 2

A.20° 【答案】D。

B.40°

C.50°

D.80°

【考点】圆周角定理,平行线的性质。 【分析】∵弦 AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD(两直线平行,内错角相等) 又∵∠ABC=40° ,∴∠BOD=2∠ABC=2× 40° =80° (同圆所对圆周角是圆心角的一 半) 。故选 D。 13. (2012 四川自贡 3 分)如图①是一个几何体的主视图和左视图.某班同学在探究它的俯 视图时,画出了如图②的几个图形,其中,可能是该几何体俯视图的共有【 】

A.3 个 个 【答案】C。

B.4 个

C .5 个

D. 6

- 6 -

【考点】简单组合体的三视图。 【分析】由主视图和左视图看,几何体的上部都位于下部的中心,在两种视图下是全等的, 故 d 不满足要求。故选 C。 14.(2012 辽宁阜新 3 分) 如图, 四边形 ABCD 是平行四边形, BE 平分∠ABC, CF 平分∠BCD, BE、CF 交于点 G.若使 EF ?

1 AD ,那么平行四边形 ABCD 应满足的条件是【 4



A.∠ABC=60° 8 【答案】D。

B.AB:BC=1:4

C.AB:BC=5:2

D.AB:BC=5:

【考点】平行四边形的性质,平行的性质,等腰三角形的判定。 【分析】∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AB=CD,AD=BC。∴∠AEB=∠EBC。 又 BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。 同理可得:DC=DF。 ∴AE=DF。∴AE-EF=DE-EF,即 AF=DE。

1 AD 时,设 EF=x,则 AD=BC=4x。 4 1 ∴AF=DE= (AD-EF)=1.5x。∴AE=AB=AF+EF=2.5x。 4
当 EF ? ∴AB:BC=2.5:4=5:8。 ∵以上各步可逆,∴当 AB:BC=2.5:4=5:8 时, EF ?

1 AD 。故选 D。 4

15. (2012 山东泰安 3 分)如图,AB∥CD,E,F 分别为 AC,BD 的中点,若 AB=5,CD=3, 则 EF 的长是【 】

A.4 【答案】D。

B.3

C.2

D.1

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【考点】三角形中位线定理,全等三角形的判定和性质。 【分析】连接 DE 并延长交 AB 于 H, ∵CD∥AB,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE。 ∵E 是 AC 中点,∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE(AAS) 。 ∴DE=HE,DC=AH。 ∵F 是 BD 中点,∴EF 是△DHB 的中位线。∴EF= ∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选 D。

1 BH。 2

? ? CB ? ,则下 16. (2012 河南省 3 分)如图,已知 AB 为⊙O 的直径,AD 切⊙O 于点 A, EC
列结论不一定正确的是【 】

A.BA⊥DA 【答案】D。

B.OC∥AE

C.∠COE=2∠CAE

D.OD⊥AC

【考点】切线的性质,圆周角定理,平行的判定,垂径定理。 【分析】由为直径,AD 为切线,根据切线的性质可知:BA⊥DA。故 A 正确。 ∵根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,得

?EOB ? 2?EAO, ?EOB ? 2?BOC 。
∴ ?EAO ? ?BOC 。∴OC∥AE。故 B 正确。 由“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可以判断 C 正确。

? 的中点时,OD⊥AC 才成立。故 D 不正确。 根据垂径定理,只有在点 E 是 AC
故选 D。 二、填空题 1. (2012 北京市 4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做 整点.已知点 A(0,4) ,点 B 是 x 轴正半轴上的整点,记△AOB 内部(不包括边界) 的整点个数为 m.当 m=3 时,点 B 的横坐标的所有可能值是 标为 4n(n 为正整数)时,m= (用含 n
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;当点 B 的横坐

的代数式表示. )

【答案】3 或 4;6n-3。 【考点】分类归纳(图形的变化类),点的坐标,矩形的性质。 【分析】根据题意画出图形,再找出点 B 的横坐标与△AOB 内部(不包括边界)的整点 m 之间的关系即可求出答案: 如图:当点 B 在(3,0)点或(4,0)点时,△AOB 内部(不包括边界)的整点 为(1,1) , (1,2) , (2,1) ,共三个点,∴当 m=3 时,点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4。 当点 B 的横坐标为 4n(n 为正整数)时, ∵以 OB 为长 OA 为宽的矩形内 (不包括边界) 的整点个数为 (4n-1) × 3=12 n-3, 对角线 AB 上的整点个数总为 3, ∴△AOB 内部(不包括边界)的整点个数 m=(12 n-3-3)÷ 2=6n-3。

2. (2012 广东汕头 4 分)如图,在?ABCD 中,AD=2,AB=4,∠A=30° ,以点 A 为圆心, AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E,连接 CE,则阴影部分的面积是 ▲ (结果保留 π) .

【答案】 3 ? ? 。 【考点】平行四边形的性质,扇形面积的计算 【分析】过 D 点作 DF⊥AB 于点 F。 ∵AD=2,AB=4,∠A=30° ,
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1 3

∴DF=AD?sin30° =1,EB=AB﹣AE=2。 ∴阴影部分的面积=平行四边形 ABCD 的面积-扇形 ADE 面积-三角形 CBE 的面 积 = 4 ?1 ?

30 ? ? ? 22 1 1 ? ? 2 ?1 ? 3 ? ? 。 360 2 3

3. (2012 广东深圳 3 分) 如图, Rt△ABC 中, C= 90o, 以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE, 且正方形对角线交于点 D,连接 OC,已知 AC=5,OC=6 2 ,则另一直角边 BC 的长为 ▲ .

【答案】7。 【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,等腰直角三角形的 判定和性质,勾股定理。 【分析】如图,过 O 作 OF 垂直于 BC,再过 O 作 OF⊥BC,过 A 作 AM⊥OF, ∵四边形 ABDE 为正方形,∴∠AOB=90° ,OA=OB。 ∴∠AOM+∠BOF=90° 。 又∵∠AMO=90° ,∴∠AOM+∠OAM=90° 。∴∠BOF=∠OAM。 在△AOM 和△BOF 中, ∵∠AMO=∠OFB=90° ,∠OAM=∠BOF, OA=OB, ∴△AOM≌△BOF(AAS)。∴AM=OF,OM=FB。 又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90° , ∴四边形 ACFM 为矩形。 ∴AM=CF, AC=MF=5。 ∴OF=CF。∴△OCF 为等腰直角三角形。 ∵OC=6 2 ,∴根据勾股定理得:CF2+OF2=OC2,即 2CF2=(6 2 )2,解得: CF=OF=6。 ∴FB=OM=OF-FM=6-5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。

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4. (2012 广东珠海 4 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,如果 AB=26, CD=24,那么 sin∠OCE= ▲ .

【答案】

5 。 13

【考点】垂径定理,勾股定理,锐角三角函数的定义。 【分析】如图,设 AB 与 CD 相交于点 E,则根据直径 AB=26,得出半径 OC=13;由 CD=24, CD⊥AB,根据垂径定理得出 CE=12;在 Rt△OCE 中,利用勾股定理求出 OE=5;再根据正 弦函数的定义,求出 sin∠OCE 的度数:

sin?OCE ?

OE 5 = 。 OC 13

5. (2012 浙江宁波 3 分)如图,△ABC 中,∠BAC=60° ,∠ABC=45° ,AB=2 2 ,D 是线 段 BC 上的一个动点,以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB,AC 于 E,F,连接 EF,则线段 EF 长度的最小值为 ▲ .

【答案】 3 。 【考点】垂线段的性质,垂径定理,圆周角定理,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊 角的三角函数值。 【分析】由垂线段的性质可知,当 AD 为△ABC 的边 BC 上的高时,直径 AD 最短,此时线 段 EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60° ,当半径 OE 最短时,EF 最短。如图,连接 OE,OF, 过 O 点作 OH⊥EF,垂足为 H。 ∵在 Rt△ADB 中,∠ABC=45° ,AB=2 2 , ∴AD=BD=2,即此时圆的直径为 2。
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1 ∠EOF=∠BAC=60° , 2 3 3 ∴在 Rt△EOH 中,EH=OE?sin∠EOH=1× = 。 2 2
由圆周角定理可知∠EOH= 由垂径定理可知 EF=2EH= 3 。 6. (2012 江苏泰州 3 分)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点 A 、 B 、 C 、 D 都 在 这 些 小 正 方 形 的 顶 点 上 , AB 、 CD 相 交 于 点 P , 则 tan ∠ APD 的 值 是 ▲ .

【答案】2。 【考点】正方形的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义。 【分析】如图,连接 BE,交 CD 于点 F。 ∵四边形 BCED 是正方形, ∴DF=CF=

1 1 CD,BF= BE,CD=BE,BE⊥CD,∴BF=CF。 2 2 1 1 CF= BF。 2 2

根据题意得:AC∥BD,∴△ACP∽△BDP。 ∴DP:CP=BD:AC=1:3。∴DP=PF= 在 Rt△PBF 中, tan?BPF ?

BF ? 2。 PF

∵∠APD=∠BPF,∴tan∠APD=2。 7. (2012 福建福州 4 分)如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36° ,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,则 AD 的长是 ▲ ,cosA 的值是 ▲ .(结果保留根号)

【答案】

5-1 5+1 ; 。 2 4

【考点】黄金分割,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,相似三角形的判定和性质,锐

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角三角函数的定义。 【分析】可以证明△ABC∽△BDC,设 AD=x,根据相似三角形的对应边的比相等,即可列 出方程,求得 x 的值;过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,则 E 为 AB 中点,由余弦定义可求出 cosA 的值: 180° -∠A ∵ 在△ABC 中,AB=AC=1,∠A=36° ,∴ ∠ABC=∠ACB= =72° 。 2 1 ∵ BD 是∠ABC 的平分线,∴ ∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36° 。 2 ∴ ∠A=∠DBC=36° 。 又∵∠C=∠C,∴ △ABC∽△BDC。∴ AC BC = 。 BC CD

5+1 5-1 1 x 设 AD=x,则 BD=BC=x.则 = ,解得:x= (舍去)或 。 x 1-x 2 2 ∴x= 5-1 。 2

1 如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,∵ AD=BD,∴E 为 AB 中点,即 AE= 2 1 AB= 。 2 1 2 5+1 AE 在 Rt△AED 中,cosA= = = 。 AD 4 5-1 2 8. (2012 湖北宜昌 3 分)已知⊙O 的半径为 5,圆心 O 到直线 l 的距离为 3,则反映直线 l 与⊙O 的位置关系的图形是【 】

A. 【答案】B。

B.

C.

D.

【考点】直线与圆的位置关系。1419956 【分析】根据直线与圆的位置关系来判定:①直线 l 和⊙O 相交?d<r;②直线 l 和⊙O 相 切?d=r;③直 线 l 和⊙O 相离?d>r(d 为直线与圆的距离,r 为圆的半径)。因此, ∵⊙O 的半径为 5,圆心 O 到直线 l 的距离为 3, ∵5>3,即:d<r,∴直线 L 与⊙O 的位置关系是相交。故选 B。 【宜昌无填空题,以倒数第二条选题代替】
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9. (2012 湖北襄阳 3 分)在等腰△ABC 中,∠A=30° ,AB=8,则 AB 边上的高 CD 的长是 ▲ .

【答案】4 或 3 或

4 3 。 3

【考点】等腰三角形的性质,含 30 度角的直角三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角 的三角函数值。 【分析】根据题意画出 AB=AC,AB=BC 和 AC=BC 时的图象,然后根据等腰三角形的 性质和解直角三角形,分别进行计算即可: (1)如图,当 AB=AC 时, ∵∠A=30° , ∴CD=

1 1 AC= × 8=4。 2 2

(2)如图,当 AB=BC 时,则∠A=∠ACB=30° 。 ∴∠ACD=60° 。∴∠BCD=30° ∴CD=cos∠BCD?BC=cos30° × 8=4 3 。 (3)如图,当 AC=BC 时,则 AD=4。 ∴CD=tan∠A?AD=tan30°?4=

4 3 。 3 4 3 。 3

综上所述,AB 边上的高 CD 的长是 4 或 3 或

10. (2012 湖南长沙 3 分)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD=2,∠B=60° ,则 BC 的长为 ▲ .

【答案】4。 【考点】等腰梯形的性质,平行四边形的判定和性质,等边三角形的判定和性质。 【分析】过点 A 作 AE∥CD 交 BC 于点 E, ∵AD∥BC,∴四边形 AECD 是平行四边形。 ∴AE=CD=2,AD=EC=2。 ∵∠B=60° ,∴△ABE 是等边三角形。∴BE=AB=AE=2。 ∴BC=BE+CE=2+2=4。

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11. (2012 四川凉山 5 分)如图,在四边形 ABCD 中,AC=BD=6,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,则 EG2+FH2= ▲ 。

【答案】36。 【考点】三角形中位线定理,菱形的判定和性质,勾股定理。 【分析】如图,连接 EF,FG,GH,EH,EG 与 FH 相交于点 O。 ∵E、H 分别是 AB、DA 的中点,∴EH 是△ABD 的中位线。 ∴EH=

1 BD=3。 2 1 1 AC=3,FG= BD=3。 2 2

同理可得 EF=GH=

∴EH=EF=GH=FG=3。∴四边形 EFGH 为菱形。 ∴EG⊥HF,且垂足为 O。∴EG=2OE,FH=2OH。 在 Rt△OEH 中,根据勾股定理得:OE2+OH2=EH2=9。 等式两边同时乘以 4 得:4OE2+4OH2=9× 4=36。 ∴(2OE)2+(2OH)2=36,即 EG2+FH2=36。 12. (2012 贵州铜仁 4 分)以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点,引两条相互垂直的射线, 分别与正方形的边交于 A、B 两点,则线段 AB 的最小值是 【答案】 2 。 【考点】正方形的性质,垂线段最短的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的 判定和性质,勾股定理,三角形中位线定理。 【分析】如图, ∵四边形 CDEF 是正方形,∴∠OCD=∠ODB=45° ,∠COD=90° ,OC=OD。 ∵AO⊥OB,∴∠AOB=90° 。 ∴∠CAO+∠AOD=90° ,∠AOD+∠DOB=90° ,∴∠COA=∠DOB。 ∵在△COA 和△DOB 中,∠OCA=∠ODB,OC=OD,∠COA=∠DOB, ∴△COA≌△DOB(ASA) 。∴OA=OB。 ∵∠AOB=90° ,∴△AOB 是等腰直角三角形。
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由勾股定理得: AB ? OA2 ? OB2 ? 2OA 。 ∴要使 AB 最小,只要 OA 取最小值即可。 根据垂线段最短的性质,当 OA⊥CD 时,OA 最小。 ∵四边形 CDEF 是正方形,∴FC⊥CD,OD=OF。∴CA=DA,∴OA= ∴AB= 2 。 13. (2012 山东滨州 4 分)如图,锐角三角形 ABC 的边 AB,AC 上的高线 CE 和 BF 相交于 点 D,请写出图中的两对相似三角形: ▲ (用相似符号连接) .

1 CF=1。 2

【答案】△BDE∽△CDF,△ABF∽△ACE。 【考点】相似三角形的判定。 【分析】 (1)在△BDE 和△CDF 中,∵∠BDE=∠CDF,∠BED=∠CFD=90° , ∴△BDE∽△CDF; (2)在△ABF 和△ACE 中,∵∠A=∠A,∠AFB=∠AEC=90° ,∴△ABF∽△ACE。 14. (2012 山东济宁 3 分)如图,在等边三角形 ABC 中,D 是 BC 边上的一点,延长 AD 至 E,使 AE=AC,∠BAE 的平分线交△ABC 的高 BF 于点 O,则 tan∠AEO= ▲ .

【答案】

3 。 3

【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角 函数值。 【分析】∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC=60° ,AB=BC。 ∵BF⊥AC,∴∠ABF=

1 ∠ABC=30° 。 2

∵AB=AC,AE=AC,∴AB=AE。 ∵AO 平分∠BAE,∴∠BAO=∠EAO。
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∵在△BAO 和△EAO 中,AB=AE,∠BAO=∠EAO,AO=AO,

3 。 3 15. (2012 山东日照 4 分)如图,过 A、C 、D 三点的圆的圆心为 E,过 B、F、E 三点的
∴△BAO≌△EAO(SAS) 。∴∠AEO=∠ABO=30° 。∴tan∠AEO=tan30° =

圆的圆心为 D, 如果∠A=63° , 那么∠θ= 【答案】180。





【考点】等腰三角形的判定和性质,三角形外角定理。 【分析】如图,连接 CE,DE, ∵过 A、C 、D 三点的圆的圆心为 E,过 B、F、E 三点的 圆的圆心为 D, ∴AE=CE=DE=DB。∴∠A=∠ACE,∠ECD=∠CDE,∠DEB=∠DBE=∠θ。 ∵∠A=63° ,∴∠AEC=1800-2× 630=540。 又 ∵∠ECD=∠CDE=2∠θ , ∴∠AEC=∠ECD + ∠DBE=3∠θ , 即 3∠θ=540 。 ∴∠θ=180。 16. (2012 山东枣庄 4 分)如图所示,DE 为△ABC 的中位线,点 F 在 DE 上,且∠AFB= 90° ,若 AB=5,BC=8,则 EF 的长为 ▲ _.

【答案】

3 。 2

【考点】三角形中位线的性质,直角三角形斜边上中线的性质。 【分析】由于 DE 为△ABC 的中位线,BC=8,从而根据三角形中位线平行于第三边并且等 于第三边一半的性质,得 DE=4;又由于∠AFB=90° ,点 D 为 AB 的中点,AB=5,从而根 据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质,得 DF=

5 5 。因此 EF=DE-DF=4- = 2 2

3 。 2
- 17 -

17. (2012 广西来宾 3 分)如图,为测量旗杆 AB 的高度,在与 B 距离为 8 米的 C 处测得旗 杆顶端 A 的仰角为 56° ,那么旗杆的高度约是 据:sin56°≈0.829,cos56°≈0.559,tan56°≈1.483) ▲ 米(结果保留整数).(参考数

【答案】12。 【考点】解直角三角形的应用(仰角仰角问题),锐角三角函数定义。 【分析】直接根据正切函数定义求解:AB=BC· tan∠ACB=8· tan56°≈8×1.483≈12(米)。 18. (2012 河北省 3 分)用 4 个全等的正八边形进行拼接,使相等的两个正八边形有一条公 共边,围成一圈后中间形成一个正方形,如图 1,用 n 个全等的正六边形按这种方式进行拼 接,如图 2,若围成一圈后中间形成一个正多边形,则 n 的值为 ▲ 。

【答案】6。 【考点】正多边形内角和定理,周角定义。 【分析】∵正六边形的每个内角为 ?

6?2 ? 180? ? 120? , 6

∴围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角 ? 360? ? 2 ?120? ? 120? ,它也是 正六边形。 ∴n=6。 19. (2012 新疆区 5 分)如图所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆 的面积 S1 =

25 ? ,S2=2π,则 S3 是 8





- 18 -

【答案】 ? 。 【考点】勾股定理。 【分析】如图,由圆的面积公式得 S1 = ? ? ? = 解得, c2 =25,a 2 =16 。 根据勾股定理,得 b2 =c2 ? a 2 =9 。

9 8

1 2

1 ?c? 2 ? 2?

2

25 1 1 ?a? ? , S2 = ? ? ? =2? , 8 2 2 ?2?

2

1 ?b? 1 9 S3 = ? ? ? = ? b2 = ? 。 2 ?2? 8 8
20. (2012 黑龙江哈尔滨 3 分)如图。四边形 ABCD 是矩形,点 E 在线段 CB 的延长线上, 连接 DE 交 AB 于点 F,∠AED=2∠CED,点 G 是 DF 的中点,若 BE=1,AG=4,则 AB 的 长为 ▲

2

【答案】 15 。 【考点】矩形的性质,平行的性质,直角三角形斜边上中线的性质,三角形外角性质,等腰 三角形的判定和性质,勾股定理。 【分析】∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC。∴∠CED=∠ADE。 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=900。 ∵点 G 是 DF 的中点,∴AG=

1 DF=DG。∴∠CGE=2∠ADE=2∠CED。 2

又∵∠AED=2∠CED,∴∠CGE=∠AED。∴AE=AG。 又∵BE=1,AG=4,∴AE=4。 ∴ AB ? AE2 ? BE2 ? 42 ?12 ? 15 。
- 19 -

21. (2012 黑龙江大庆 3 分)用八个同样大小的小立方体粘成一个大立方体如图 1,得到的 几何体的三视图如图 2 所示, 若小明从八个小立方体中取走若干个, 剩余小立方体保持原位 置不动,并使得到的新几何体的三视图仍是图 2,则他取走的小立方体最多可以是 个. ▲

【答案】2。 【考点】由三视图判断几何体,简单组合体的三视图。 【分析】由于从八个小立方体中取走若干个,剩余小立方体保持原位置不动,并使得到的新 几何体的三视图都相同,由主视图可知有 2 层 2 列,由左视图可知有 2 层 2 行,由俯视图可 知最少有 4 个小立方体, 所以下层 4 个小立方体不变, 同时上层每一横行和每一竖列上都有 一个小立方体。因此,取走的小立方体最多可以是 2 个,即上层一条对角线上的 2 个。 三、解答题 1. (2012 山东淄博 9 分)在矩形 ABCD 中,BC=4,BG 与对角线 AC 垂直且分别交 AC,AD 及射线 CD 于点 E,F,G,AB=x. (1)当点 G 与点 D 重合时,求 x 的值; (2)当点 F 为 AD 中点时,求 x 的值及∠ECF 的正弦值.

【答案】解:(1)当点 G 与点 D 重合时,点 F 也与点 D 重合。 ∵矩形 ABCD 中,AC⊥BD,∴四边形 ABCD 是正方形。
- 20 -

∵BC=4,∴x= AB= BC=4。 (2)∵点 F 为 AD 中点,BC=4,∴AF=2。 ∵ ∴ 矩 形 ABCD 中 , AD∥BC , ∴△AEF∽△BEB 。

AE FE AF 2 1 ? ? ? ? 。 CE BD CB 4 2
∴ CE=2AE,BD=2FE 。∴ AC=3AE,BF=3FE 。 ∵矩形 ABCD 中,∠ABC=∠BAF=900, ∴ 在 Rt△ABC 和 Rt△BAF 中 由 勾 股 定 理 得

AC2 =AB2 +BC2,BF2 =AF2 +AB2 ,
即 ? 3AE ? =x 2 +42,? 3FE ? =22 +x 2 。
2 2

两式相加,得 9 AE 2 +FE 2 =2x 2 +20 。 又∵AC⊥BG,∴在 Rt△ABE 中, AE 2 +FE 2 =AB 2 =x 2 。 ∴ 9x 2 =2x 2 +20 ,解得 x=

?

?

2 35 (已舍去负值)。 7

1 ? 20 1 ? 20 ? 48 132 528 ? 132 ,FE 2 = ? ? 4+ ? = ,CE 2 =4AE 2 =4 ? = ∴ AE 2 = ? ? +16 ? = 。 9 ? 7 9 ? 7 ? 63 63 63 ? 63
∴在 Rt△CEF 中由勾股定理得 CF2 =FE2 +CE2 =
2

48 528 576 。 + ? 63 63 63

48 1 3 2 CF ∴ ? sin ?ECF ? = 2 = 63 = 。∴ sin ?ECF= 。 576 12 6 EF 48
【考点】矩形的性质,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三 角函数定义。 【分析】(1)由点 G 与点 D 重合得出四边形 ABCD 是正方形即可求得 x 的值。 ( 2 ) 由 点 F 为 AD 中 点 和 矩 形 的 性 质 , 得 △AEF∽△BEB , 从 而 得

AC=3AE,BF=3FE 。在 Rt△ABC、 Rt△BAF 和 Rt△ABE 应用勾股定理即可求得 x 的值。
在 Rt△CEF 中应用勾股定理求得 CF,根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF 的正弦值。 2. (2012 山西省 12 分)问题情境:将一副直角三角板(Rt△ABC 和 Rt△DEF)按图 1 所 示的方式摆放, 其中∠ACB=90° ,CA=CB,∠FDE=90° ,O 是 AB 的中点, 点 D 与点 O 重合, DF⊥AC 于点 M,DE⊥BC 于点 N,试判断线段 OM 与 ON 的数量关系,并说明理由.
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探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法: 解:OM=ON,证明如下: 连接 CO,则 CO 是 AB 边上中线, ∵CA=CB,∴CO 是∠ACB 的角平分线. (依据 1) ∵OM⊥AC,ON⊥BC,∴OM=ON. (依据 2) 反思交流: (1)上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指: 依据 1: 依据 2: (2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程. 拓展延伸: (3)将图 1 中的 Rt△DEF 沿着射线 BA 的方向平移至如图 2 所示的位置,使点 D 落在 BA 的延长线上,FD 的延长线与 CA 的延长线垂直相交于点 M,BC 的延长线与 DE 垂直相交于 点 N,连接 OM、ON,试判断线段 OM、ON 的数量关系与位置关系,并写出证明过程.

【答案】 (1)解:等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高互相重合) ;角平分线上的点到角的两边距离相等。 (2)证明:∵CA=CB,∴∠A=∠B。 ∵O 是 AB 的中点,∴OA=OB。 ∵DF⊥AC,DE⊥BC,∴∠AMO=∠BNO=90° 。 ∵在△OMA 和△ONB 中,∠A=∠B,OA=OB,∠AMO=∠BNO, ∴△OMA≌△ONB(AAS) 。∴OM=ON。 (3)解:OM=ON,OM⊥ON。理由如下: 连接 CO,则 CO 是 AB 边上的中线。 ∵∠ACB=90° ,∴OC=

1 AB=OB。 2

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又∵CA=CB, ∴∠CAB=∠B=45,∠1=∠2=45° ,∠AOC=∠BOC=90° 。∴∠2=∠B。 ∵BN⊥DE,∴∠BND=90° 。 又∵∠B=45° ,∴∠3=45° 。∴∠3=∠B。∴DN=NB。 ∵∠ACB=90° ,∴∠NCM=90° 。 又∵BN⊥DE,∴∠DNC=90° 。∴四边形 DMCN 是矩形。∴DN=MC。 ∴MC=NB。 ∴△MOC≌△NOB(SAS) 。∴OM=ON,∠MOC=∠NOB。 ∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON,即∠MON=∠BOC=90° 。 ∴OM⊥ON。 【考点】等腰三角形的性质,角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性 质。 【分析】(1)根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。 (2)利用 AAS 证明△OMA≌△ONB 即可。 (3)利用 SAS 证明△MOC≌△NOB 即可得到 OM=ON,∠MOC=∠NOB。通过角 的等量代换即可得∠MON=∠BOC=90° ,而得到 OM⊥ON。 3. (2012 福建厦门 10 分)已知 过点 P 分 别作 PE⊥AC、PF⊥BD,垂足分别为 E、F,PE=PF. (1)如图,若 PE= 3,EO=1,求∠EPF 的度数; (2)若点 P 是 AD 的中点,点 F 是 DO 的中点,BF =BC+3 2-4,求 BC 的长. ABCD,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 P 在边 AD 上,

【答案】解:(1)连接 PO , ∵ PE=PF,PO=PO,PE⊥AC、PF⊥BD, ∴ Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)。 ∴∠EPO=∠FPO。 EO 3 在 Rt△PEO 中, tan∠EPO= = , PE 3
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∴ ∠EPO=30° 。∴ ∠EPF=60° 。 (2)∵点 P 是 AD 的中点,∴ AP=DP。 又∵ PE=PF,∴ Rt△PEA≌Rt△PFD(HL) 。 ∴∠OAD=∠ODA。∴ OA=OD。 ∴ AC=2OA=2OD=BD。∴ ABCD 是矩形。 ∵ 点 P 是 AD 的中点,点 F 是 DO 的中点,∴ AO∥PF。 ∵ PF⊥BD,∴ AC⊥BD。∴ ABCD 是菱形。∴ ABCD 是正方形。 ∴ BD= 2BC。 3 3 2 ∵ BF= BD,∴BC+3 2-4= BC,解得,BC=4。 4 4 【考点】平行四边形的性质,角平分线的性质,三角形中位线定理,全等三角形的判定和性 质,正方形的判定和性质,锐角三角函数定义。 【分析】 (1) 连接 PO, 利用解直角三角形求出∠EPO=30° , 再利用“HL”证明△PEO 和△PFO 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO,从而得解。 (2)根据条件证出 算即可得解。 4. (2012 甘肃白银 10 分)如图,点 A,B,C,D 在⊙O 上,AB=AC,AD 与 BC 相交于点 E, AE ? ABCD 是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计

1 1 ED ,延长 DB 到点 F,使 FB ? BD ,连接 AF. 2 2

(1)证明:△BDE∽△FDA; (2)试判断直线 AF 与⊙O 的位置关系,并给出证明.

【答案】 解: (1) 证明: 在△BDE 和△FDA 中, ∵FB=

1 1 BD ED 2 BD, AE= ED, ∴ ? ? 。 2 2 FD AD 3

又∵∠BDE=∠FDA,∴△BDE∽△FDA。 (2)直线 AF 与⊙O 相切。证明如下: 连接 OA,OB,OC, ∵AB=AC,BO=CO,OA=OA,

- 24 -

∴△OAB≌△OAC(SSS)。∴∠OAB=∠OAC。 ∴AO 是等腰三角形 ABC 顶角∠BAC 的平分线。 ∴AO⊥BC。 ∵△BDE∽FDA,得∠EBD=∠AFD,∴BE∥FA。 ∵AO⊥BE,∴AO⊥FA。∴直线 AF 与⊙O 相切。 【考点】相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,平行的 判定和性质,切线的判定。 【分析】(1)因为∠BDE 公共,夹此角的两边 BD:DF=ED:AD=2:3,由相似三角形的 判定,可知△BDE∽△FDA。 (2)连接 OA、OB、OC,证明△OAB≌OAC,得出 AO⊥BC.再由△BDE∽FDA, 得出∠EBD=∠AFD,则 BE∥FA,从而 AO⊥FA,得出直线 AF 与⊙O 相切。 5. (2012 广东广州 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,F 为 AD 的中点, CE⊥AB 于 E,设∠ABC=α(60°≤α<90° ) . (1)当 α=60° 时,求 CE 的长; (2)当 60° <α<90° 时, ①是否存在正整数 k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. ②连接 CF,当 CE2﹣CF2 取最大值时,求 tan∠DCF 的值.

【答案】解: (1)∵α=60° ,BC=10,∴sinα=

CE 3 CE ? ,即 sin60° = ,解得 CE= 5 3 。 10 2 BC

(2)①存在 k=3,使得∠EFD=k∠AEF。理由如下: 连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G, ∵F 为 AD 的中点,∴AF=FD。 在平行四边形 ABCD 中, AB∥CD, ∴∠G=∠DCF。 在△AFG 和△CFD 中, ∵∠G=∠DCF, ∠G=∠DCF,AF=FD, ∴△AFG≌△CFD(AAS) 。∴CF=GF,AG=CD。

- 25 -

∵CE⊥AB,∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。 ∵AB=5,BC=10,点 F 是 AD 的中点,∴AG=5,AF= ∴AG=AF。 ∴∠AFG=∠G。 在△AFG 中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF, 又∵∠CFD=∠AFG,∴∠CFD=∠AEF。 ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF, 因此,存在正整数 k=3,使得∠EFD=3∠AEF。 ②设 BE=x,∵AG=CD=AB=5,∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x, 在 Rt△BCE 中,CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。 在 Rt△CEG 中,CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x。 ∵CF=GF(①中已证) ,∴CF2=( ﹣5x。 ∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣ ∴当 x=

1 1 AD= BC=5。 2 2

1 1 1 CG)2= CG2= (200﹣20x)=50 2 4 4 5 2 25 ) +50+ 。 2 4

5 ,即点 E 是 AB 的中点时,CE2﹣CF2 取最大值。 2
25 5 15 5 15 ,CE= 100 ? x 2 = 100 ? = , 4 2 2 2

此时,EG=10﹣x=10﹣ =

5 15 CG 15 ? 2 ? ∴ tan?DCF ? tan?G ? 。 15 EG 3 2
【考点】锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行四边形的性质,对顶角的性质,全 等三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线性质,等腰三角形的性质,二次函数的最 值,勾股定理。 【分析】 (1)利用 60° 角的正弦值列式计算即可得解。 (2)①连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G,利用“角边角”证明△AFG 和△CFD 全等,根据全等三角形对应边相等可得 CF=GF,AG=CD,再利用直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半可得 EF=GF,再根据 AB、BC 的长度可得 AG=AF,然后利用等边对等角的 性质可得∠AEF=∠G=∠AFG,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ∠EFC=2∠G,然后推出∠EFD=3∠AEF,从而得解。
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②设 BE=x,在 Rt△BCE 中,利用勾股定理表示出 CE2,表示出 EG 的长度, 在 Rt△CEG 中, 利用勾股定理表示出 CG2,从而得到 CF2,然后相减并整理,再根据二次函数的最值问题解 答。 6. (2012 广东肇 庆 10 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 E, 交 BC 于点 D,连结 BE、AD 交于点 P. 求证: (1)D 是 BC 的中点; (2)△BEC ∽△ADC; (3)AB? CE=2DP?AD.

【答案】证明:(1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90° ,即 AD⊥BC。 ∵AB=AC,∴D 是 BC 的中点。 (2)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=∠ADB=90° ,即∠CEB=∠CDA=90° , ∵∠C 是公共角,∴△BEC∽△ADC。 (3)∵△BEC∽△ADC,∴∠CBE=∠CAD。 ∵AB=AC,AD=CD,∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。 ∵∠ADB=∠BEC=90° ,∴△ABD∽△BCE。

AB AD AB BC 。∴ 。 ? ? BC BE AD BE AB 2BD AB BD ∵BC=2BD,∴ ,即 。 ? ? AD BE 2AD BE
∴ ∵∠BDP=∠BEC=90° , ∠PBD=∠CBE , ∴△BPD∽△BCE 。 ∴

DP BD 。 ? CE BE


AB DP ,即 AB?CE=2DP?AD。 ? 2AD CE

【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)由 AB 是⊙O 的直径,可得 AD⊥BC,又由 AB=AC,由三线合一,即可证得 D 是 BC 的中点。 (2)由 AB 是⊙O 的直径,∠AEB=∠ADB=90° ,又由∠C 是公共角,即可证得
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△BEC∽△ADC。 (3)易证得△ABD∽△BCE 与△BPD∽△BCE,根据相似三角形的对应边成比例 与 BC=2BD,即可证得 AB?CE=2DP?AD。

? 的中点,过点 D 作 7. (2012 贵州毕节 14 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 为弦,D 是 BC
EF⊥AC 的延长线于 E,交 AB 的延长线于 E,交 AB 的延长线于 F。 (1)求证:EF 是⊙O 的切线; (2)若 sin ∠F= ,AE=4,求⊙O 的半径和 AC 的长。

1 3

【答案】(1)证明:连接 OD,

? 的中点,∴∠BOD=∠A。 ∵D 是 BC
∴OD∥AC。 ∵EF⊥AC,∴∠E=90° 。∴∠ODF=90° 。 ∴EF 是⊙O 的切线; (2)解:在△AEF 中,∵∠E=90° ,sin∠F= ∴ AF ?

1 ,AE=4, 3

AE ? 12 。 sin?F 1 3

设⊙O 的半径为 R,则 OD=OA=OB=R,AB=2R. 在△ODF 中,∵∠ODF=90° ,sin∠F= ,∴OF=3OD=3R。 ∵OF+OA=AF,∴3R+R=12,∴R=3。 连接 BC,则∠ACB=90° 。 ∵∠E=90° ,∴BC∥EF。∴AC:AE=AB:AF。 ∴AC:4=2R:4R,∴AC=2。 ∴⊙O 的半径为 3,AC 的长为 2。 【考点】弧、圆周角和圆心角的关系,圆周角定理,平行的判定和性质,切线的判定,锐角
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三角函数定义,平行线分线段成比例定理。 【分析】 (1) 连接 OD, 根据圆周角定理, 可得∠BOD=∠A, 则 OD∥AC, 从而得出∠ODF=90° , 即 EF 是⊙O 的切线。 (2)先解直角△AEF,由 sin∠F=

1 ,得出 AF=3AE=12,再在 Rt△ODF 中,由 3

sin∠F= ,得出 OF=3OD,设⊙O 的半径为 R,由 AF=12 列出关于 R 的方程,解方程即可 求出⊙O 的半径。连接 BC,证明 BC∥EF,根据平行线分线段成比例定理得出 AC:AE=AB: AF,即可求出 AC 的长。 8. (2012 江苏泰州 12 分)如图,已知直线 l 与⊙O 相离,OA⊥l 于点 A,OA=5,OA 与⊙O 相交于点 P,AB 与⊙O 相切于点 B,BP 的延长线交直线 l 于点 C. (1)试判断线段 AB 与 AC 的数量关系,并说明理由; (2)若 PC= 2 5 ,求⊙O 的半径和线段 PB 的长; (3)若在⊙O 上存在点 Q,使△QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形,求⊙O 的半径 r 的取值范 围.

1 3

【答案】解:(1)AB=AC。理由如下: 连接 OB。 ∵AB 切⊙O 于 B,OA⊥AC,∴∠OBA=∠OAC=90° 。 ∴∠OBP+∠ABP=90° ,∠ACP+∠CPB=90° 。 ∵OP=OB,∴∠OBP=∠OPB。 ∵∠OPB=∠APC,∴∠ACP=∠ABC。 ∴AB=AC。 (2)延长 AP 交⊙O 于 D,连接 BD,
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设圆半径为 r,则由 OA=5 得,OP=OB=r,PA=5-r。 又∵PC= 2 5 , ∴ AB2 ? OA2 ? OB2 ? 52 ? r 2,AC2 ? PC2 ? PA2 ? 2 5 由(1)AB=AC 得 52 ? r 2 ? 2 5 ∴AB=AC=4。 ∵PD 是直径,∴∠PBD=90° =∠PAC。 ∵∠DPB=∠CPA,∴△DPB∽△CPA。∴ 得 PB=

?

?

2

2 。 ? ( 5 ? r)

?

?

2

2 ,解得:r=3。 ? ( 5 ? r)

2 5 2 CP AP ? ,即 ,解 ? 6 BP PD BP

6 5 。 5
(3)作线段 AC 的垂直平分线 MN,作 OE⊥MN, 则 OE=

1 1 1 2 2 AC= AB= 5 ?r 。 2 2 2 1 2 2 5 ? r ≤r, 2

又∵圆 O 要与直线 MN 交点,∴OE= ∴r≥ 5 。 又∵圆 O 与直线 l 相离,∴r<5。

∴⊙O 的半径 r 的取值范围为 5 ≤r<5. 【考点】切线的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,直线与圆 的位置关系,相似三角形的判定和性质。 【 分 析 】 ( 1 ) 连 接 OB , 根 据 切 线 的 性 质 和 垂 直 得 出 ∠OBA=∠OAC=90° ,推出 ∠OBP+∠ABP=90° , ∠ACP+∠CPB=90° ,求出∠ACP=∠ABC,根据等腰三角形的判定推出即可。 (2)延长 AP 交⊙O 于 D,连接 BD,设圆半径为 r,则 OP=OB=r,PA=5-r,根 据 AB=AC 推出

52 ? r 2 ? 2 5

?

?

2

2 ? ( 5 ? r) ,求出 r,证△DPB∽△CPA,得出

CP AP ,代入求出 PB 即可。 ? PD BP

(3)根据已知得出 Q 在 AC 的垂直平分线上,作出线段 AC 的垂直平分线 MN,作 OE⊥MN,求出 OE<r,求出 r 范围,再根据相离得出 r<5,即可得出答案。 9. (2012 山东淄博 9 分)在矩形 ABCD 中,BC=4,BG 与对角线 AC 垂直且分别交 AC,AD 及射线 CD 于点 E,F,G,AB=x.

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(1)当点 G 与点 D 重合时,求 x 的值; (2)当点 F 为 AD 中点时,求 x 的值及∠ECF 的正弦值.

【答案】解:(1)当点 G 与点 D 重合时,点 F 也与点 D 重合。 ∵矩形 ABCD 中,AC⊥BD,∴四边形 ABCD 是正方形。 ∵BC=4,∴x= AB= BC=4。 (2)∵点 F 为 AD 中点,BC=4,∴AF=2。 ∵ ∴ 矩 形 ABCD 中 , AD∥BC , ∴△AEF∽△BEB 。

AE FE AF 2 1 ? ? ? ? 。 CE BD CB 4 2
∴ CE=2AE,BD=2FE 。∴ AC=3AE,BF=3FE 。 ∵矩形 ABCD 中,∠ABC=∠BAF=900, ∴ 在 Rt△ABC 和 Rt△BAF 中 由 勾 股 定 理 得

AC2 =AB2 +BC2,BF2 =AF2 +AB2 ,
即 ? 3AE ? =x 2 +42,? 3FE ? =22 +x 2 。
2 2

两式相加,得 9 AE 2 +FE 2 =2x 2 +20 。 又∵AC⊥BG,∴在 Rt△ABE 中, AE 2 +FE 2 =AB 2 =x 2 。 ∴ 9x 2 =2x 2 +20 ,解得 x=

?

?

2 35 (已舍去负值)。 7

1 ? 20 1 ? 20 ? 48 132 528 ? 132 ,FE 2 = ? ? 4+ ? = ,CE 2 =4AE 2 =4 ? = ∴ AE 2 = ? ? +16 ? = 。 9 ? 7 63 9 7 63 63 63 ? ? ?
∴在 Rt△CEF 中由勾股定理得 CF2 =FE2 +CE2 =

48 528 576 。 + ? 63 63 63

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48 CF2 63 1 3 = 。∴ sin ?ECF= ∴ ? sin ?ECF ? = 2 = 。 576 12 6 EF 48
2

【考点】矩形的性质,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三 角函数定义。 【分析】(1)由点 G 与点 D 重合得出四边形 ABCD 是正方形即可求得 x 的值。 ( 2 ) 由 点 F 为 AD 中 点 和 矩 形 的 性 质 , 得 △AEF∽△BEB , 从 而 得

AC=3AE,BF=3FE 。在 Rt△ABC、 Rt△BAF 和 Rt△ABE 应用勾股定理即可求得 x 的值。
在 Rt△CEF 中应用勾股定理求得 CF,根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF 的正弦值。 10. (2012 四川宜宾 10 分)如图,⊙O1、⊙O2 相交于 P、Q 两点,其中⊙O1 的半径 r1=2, ⊙O2 的半径 r2= 2 .过点 Q 作 CD⊥PQ,分别交⊙O1 和⊙O2 于点 C.D,连接 CP、DP, 过点 Q 任作一直线 AB 交⊙O1 和⊙O2 于点 A.B,连接 AP、BP、AC.DB,且 AC 与 DB 的 延长线交于点 E. (1)求证:

PA ? 2; PB

(2)若 PQ=2,试求∠E 度数.

【答案】 (1)证明:∵⊙O1 的半径 r1=2,⊙O2 的半径 r2= 2 ,∴PC=4,PD=2 2 。 ∵CD⊥PQ,∴∠PQC=∠PQD=90° 。 ∴PC.PD 分别是⊙O1、⊙O2 的直径,在⊙O1 中,∠PAB=∠PCD,在⊙O2 中,∠PBA=∠PDC, ∴△PAB∽△PCD。∴

PA PC 4 PA PB ? ? ? 2。 ? ,即 PB PD 2 2 PC PD

(2) 解: 在 Rt△PCQ 中, ∵PC=2r1=4, PQ=2, ∴cos∠CPQ=

PQ 1 ∴∠CPQ=60° 。 ? 。 PC 2

- 32 -

∵在 Rt△PDQ 中,PD=2r2=2 2 ,PQ=2,∴sin∠PDQ= ∴∠PDQ=45° 。 ∴∠CAQ=∠CPQ=60° ,∠PBQ=∠PDQ=45° 。

PQ 2 ? 。 PD 2

又∵PD 是⊙O2 的直径,∴∠PBD=90° 。∴∠ABE=90° ﹣∠PBQ=45° 。 在△EAB 中,∴∠E=180° ﹣∠CAQ﹣∠ABE=75° 。 答:∠E 的度数是 75° 。 【考点】相交两圆的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函 数值,圆周角定理,三角形内角和定理。 【分析】 (1) 求出 PC、 PD, 证△PAB∽△PCD, 得出

PA PC 4 PA PB ? ? ? 2。 ? , 从而 PB PD 2 2 PC PD

(2)由 cos∠CPQ= 理,得出

PQ 1 ,同理求出∠PDQ=45° 。由圆周角定 ? ,求出∠CPQ=60° PC 2

∠CAQ=∠CPQ=60° ,∠PBQ=∠PDQ=45° ,求出∠PBD=90° ,求出∠ABE=45° 根据三角形的 内角和定理求出即可。 11. (2012 四川广安 9 分)如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB,以 AC 为直径的⊙O 分别 交 AB、BC 于点 M、N,点 P 在 AB 的延长线上,且∠CAB=2∠BCP. (1)求证:直线 CP 是⊙O 的切线. (2)若 BC=2 5 ,sin∠BCP=

5 ,求点 B 到 AC 的距离. 5

(3)在第(2)的条件下,求△ACP 的周长.

【答案】解: (1)∵∠ABC=∠ACB 且∠CAB=2∠BCP,在△ABC 中, ∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° , ∴2∠BCP+2∠BCA=180° 。 ∴∠BCP+∠BCA=90° ,即∠PCA=90° 。

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又∵AC 是⊙O 的直径,∴直线 CP 是⊙O 的切线。 (2)如图,作 BD⊥AC 于点 D, ∵PC⊥AC,∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。 ∵C=2 5 ,sin∠BCP=

5 5

∴ sin?BCP ? sin?DBC ?

DC DC 5 ? ? ,解得:DC=2。 BC 2 5 5

∴由勾股定理得:BD=4。∴点 B 到 AC 的距离为 4。 (3)如图,连接 AN, 在 Rt△ACN 中, AC=

CN CN = = sin ?DBC sin ?BCP

5 5 5

=5 ,

又 CD=2,∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。 ∵BD∥CP,∴△ABD∽△ACP。 ∴

4 3 20 BD AD ,即 。 ? ? 。∴ PC ? PC 5 3 PC AC
25 ? 20 ? ? ? 。 3 ? 3 ?
2

在 Rt△ACP 中, AP ? AC2 +PC2 ? 52 + ? ∴△ACP 的周长为 AC ? CP ? AP ? 5+

20 25 + ? 20 。 3 3

【考点】切线的判定和性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角 形的判定和性质,锐角三角函数定义。 【分析】 (1) ) 根据∠ABC=∠AC 且∠CAB=2∠BCP, 在△ABC 中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° , 得到 2∠BCP+2∠BCA=180° ,从而得到∠BCP+∠BCA=90° ,证得直线 CP 是⊙O 的切线。 (2)作 BD⊥AC 于点 D,得到 BD∥PC,从而利用

sin?BCP ? sin?DBC ?
离为 4。

DC DC 5 ? ? 求得 DC=2,再根据勾股定理求得点 B 到 AC 的距 BC 2 5 5

(3)先求出 AC 的长度,然后由 BD∥PC 求得△ABD∽△ACP,利用比例线段关系 求得 CP 的长度,再由勾股定理求出 AP 的长度,从而求得△ACP 的周长。 12. (2012 四川达州 7 分) 如图,C 是以 AB 为直径的⊙O 上一点, 过 O 作 OE⊥AC 于点 E, 过点 A 作
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⊙O 的切线交 OE 的延长线于点 F,连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. (1)求证:PC 是⊙O 的切线. (2)若 AF=1,OA= 2 2 ,求 PC 的长.

【答案】解:(1)证明:连结 OC, ? ∵OE⊥AC,∴AE=CE。∴FA=FC。 ?∴∠FAC=∠FCA。 ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA。 ∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA,即∠FAO=∠FCO。 ∵FA 与 ⊙O 相 切 , 且 AB 是 ⊙O 的 直 径 , ∴FA⊥AB 。 ∴∠FCO=∠FAO=90° 。 又∵OC 是⊙O 的半径,∴PC 是⊙O 的切线。 (2)∵PC 是⊙O 的切线,∴∠PCO=90° 。 而∠FPA=∠OPC,∠PAF=90° ,∴△PAF∽△PCO 。∴ ∵CO=OA= 2 2 ,AF=1,∴PC= 2 2 PA 。 设 PA=x,则 PC= 2 2x 在 Rt△PCO 中, 由勾股定理得,(2 2x)2 ? (2 2)2 ? (x ? 2 2)2 , 解得:

PA AF 。 ? PC CO

x?

4 2 。 7
∴PC ?

16 。 7

【考点】切线的判定和性质,垂径定理, 圆周角定理,相似三角形的判定和性质,勾股定理。 【分析】(1)连接 OC,根据垂径定理,利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA,然后根据切 线的性质得出∠FAO=90° ,然后即可证明结论。 (2)先证明△PAF∽△PCO,利用相似三角形的性质得出 PC 与 PA 的关系,在 Rt△PCO 中,利用勾股定理可得出 x 的值,从而也可得出 PC 得长。 13. (2012 四川德阳 14 分) 如图,已知点 C 是以 AB 为直径的⊙O 上一点,CH⊥AB 于点
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H,过点 B 作⊙O 的切线交直线 AC 于点 D,点 E 为 CH 的中点,连结并延交 BD 于点 F, 直线 CF 交 AB 的延长线于 G. ⑴求证:AE· FD=AF· EC; ⑵求证:FC=FB; ⑶若 FB=FE=2,求⊙O 的半径 r 的长.

【答案】 (1)证明:∵BD 是⊙O 的切线,∴∠DBA=90° 。 ∵CH⊥AB,∴CH∥BD。∴△AEC∽△AFD。 ∴

AE EC 。∴AE?FD=AF?EC。 ? AF FD CE AE EH 。 ? ? DF AF BF

(2)证明:∵CH∥BD,∴△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF。∴ ∵CE=EH(E 为 CH 中点) ,∴BF=DF。

∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=∠DCB=90° 。 ∴CF=DF=BF, 即 CF=BF。 (3)解:∵BF=CF=DF(已证) ,EF=BF=2,∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。 ∵∠AHE=∠CHG=90° ,∴∠FAH+∠AEH=90° ,∠G+∠GCH=90° 。 ∵∠AEH=∠CEF,∴∠G=∠FAG。∴AF=FG。 ∵FB⊥AG,∴AB=BG。 连接 OC,BC, ∵BF 切⊙O 于 B,∴∠FBC=∠CAB。 ∵OC=OA,CF=BF, ∴∠FCB=∠FBC,∠OCA=∠OAC ∴∠FCB=∠CAB。 ∵∠ACB=90° ,∴∠ACO+∠BCO=90° 。∴∠FCB+∠BCO=90° ,即 OC⊥CG。 ∴CG 是⊙O 切线。
2 ∵GBA 是⊙O 割线, FB=FE=2, 由切割线定理得: (2+FG) =BG× AG=2BG2,

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【注,没学切割线定理的可由△AGC∽△CGB 求得】 在 Rt△BFG 中,由勾股定理得:BG2=FG2﹣BF2,∴FG2﹣4FG﹣12=0。 解得:FG=6,FG=﹣2(舍去) 。 由勾股定理得:AB=BG= 62 ? 22 =4 2 。 ∴⊙O 的半径 r 是 2 2 。 【考点】切线的判定和性质,等腰三角形判定和的性质,直角三角形斜边上的中线性质,勾 股定理,圆周角定理,切割线定理,相似三角形的判定和性质。 【分析】 (1)由 BD 是⊙O 的切线得出∠DBA=90° ,推出 CH∥BD,证△AEC∽△AFD,得 出比例式即可。 (2)证△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF,推出 BF=DF,根据直角三角形斜边上中 线性质得出 CF=DF=BF 即可。 (3)求出 EF=FC,求出∠G=∠FAG,推出 AF=FG,求出 AB=BG,连接 OC,BC, 求出∠FCB=∠CAB 推出 CG 是⊙O 切线,由切割线定理 (或△AGC∽△CGB) 得出 (2+FG)
2

=BG× AG=2BG2, 在 Rt△BFG 中, 由勾股定理得出 BG2=FG2﹣BF2, 推出 FG2﹣4FG﹣12=0,

求出 FG 即可,从而由勾股定理求得 AB=BG 的长,从而得到⊙O 的半径 r。 14. (2012 四川资阳 9 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=30° ,以 AB 为直径的⊙O 交 BC于点 D, 交 AC 于点 E , 连结 DE, 过点 B 作 BP 平行于 DE, 交⊙O 于点 P, 连结 EP、 CP、OP. (1)(3 分)BD=DC 吗?说明理由; (2)(3 分)求∠BOP 的度数; (3)(3 分)求证:CP 是⊙O 的切线; 如果你解答这个问题有困难,可以参考如下信息: 为了解答这个问题,小明和小强做了认真的探究,然后分别用不同的思路完成了这个 题目.在进行小组交流的时候,小明说:“设 OP 交 AC 于点 G,证△AOG∽△CPG”;小强 说:“过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,证四边形 CHOP 是矩形”.

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【答案】解:(1)BD=DC。理由如下:连接 AD, ∵AB 是直径,∴∠ADB=90° 。 ∵AB=AC,∴BD=DC。 (2)∵AD 是等腰△ABC 底边上的中线,

? ? DE ? 。 ∴∠BAD=∠CAD 。∴ BD
∴BD=DE。 ∴BD=DE=DC。∴∠DEC=∠DCE。 ∵△ABC 中,AB=AC,∠A=30° , ∴∠DCE=∠ABC=

1 (180° -30° )=75° 。∴∠DEC=75° 。 2

∴∠EDC=180° -75° -75° =30° 。 ∵BP∥DE,∴∠PBC=∠EDC=30° 。 ∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75° -30° =45° 。 ∵OB=OP,∴∠OBP=∠OPB=45° 。∴∠BOP=90° 。 (3)设 OP 交 AC 于点 G,则∠AOG=∠BOP =90° 。 在 Rt△AOG 中,∵∠OAG=30° ,∴ 又∵

OG 1 ? 。 AG 2

OP OP 1 OP OG OG GP 。∴ 。 ? ? ,∴ ? ? AC AB 2 AC AG AG GC

又∵∠AGO=∠CGP,[w∴△AOG∽△CPG。 ∴∠GPC=∠AOG=90° 。∴CP 是⊙ O 的切线。 【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,相似三角形的判定和性质, 切线的判定。 【分析】(1)连接 AD,由圆周角定理可知∠ADB=90° ,再由 AB=AC 可知△ABC 是等腰三 角形,故 BD=DC。

? D D ? E? , (2) 由于 AD 是等腰三角形 ABC 底边上的中线, 所以∠BAD=∠CAD, 故B
从而可得出 BD=DE,故 BD=DE=DC,所以∠DEC=∠DCE,△ABC 中由等腰三角形的性质
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可得出∠ABC=75° ,故∠DEC=75° 由三角形内角和定理得出∠EDC 的度数,再根据 BP∥DE 可知∠PBC=∠EDC=30° ,进而得出∠ABP 的度数,再由 OB=OP,可知∠OBP=∠OPB,由 三角形内角和定理即可得出∠BOP=90° 。 ( 3 )设 OP 交 AC 于点 G ,由∠BOP=90° 可知∠AOG=90° 在 Rt△AOG 中,由 ∠OAG=30° , 可知

OG 1 O P O P 1 OP OG OG GP 由 , , 由∠AGO=∠CGP ? , ? ? 得 ? ? AG 2 A C A B 2 AC AG AG GC

可得出△AOG∽△CPG,由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90° ,故可得出 CP 是 ⊙O 的切线。 15. (2012 山东滨州 12 分)如图 1,l1,l2,l3,l4 是一组平行线,相邻 2 条平行线间的距离 都是 1 个单位长度,正方形 ABCD 的 4 个顶点 A,B,C,D 都在这些平行线上.过点 A 作 AF⊥l3 于点 F,交 l2 于点 H,过点 C 作 CE⊥l2 于点 E,交 l3 于点 G. (1)求证:△ADF≌△CBE; (2)求正方形 ABCD 的面积; (3)如图 2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为 h1,h2,h3,试用 h1,h2,h3 表示正方形 ABCD 的面积 S.

【答案】解: (1)证明:在 Rt△AFD 和 Rt△CEB 中, ∵AD=BC,AF=CE,∴Rt△AFD≌Rt△CEB(HL) 。 (2)∵∠ABH+∠CBE=90° ,∠ABH+∠BAH=90° ,∴∠CBE=∠BAH。 又∵AB=BC,∠AHB=∠CEB=90° ,∴△ABH≌△BCE(AAS) 。 同理可得,△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。 ∴S 正方形 ABCD=4S△ABH+S 正方形 HEGF=4× × 2× 1+1+1=5。 (3)由(1)知,△AFD≌△CEB,故 h1=h3, 由(2)知,△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF, ∴S 正方形 ABCD=4S△ABH+S 正方形 HEGF=4× (h1+h2)?h1+h22=2h12+2h1h2+h22.
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1 2

1 2

【考点】全等三角形的判定和性质,平行线之间的距离,正方形的性质。 【分析】 (1)直接根据 HL 定理得出 Rt△AFD≌Rt△CEB。 (2) 由 AAS 定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF, 再根据 S 正方形 ABCD=4S△ABH+S
正方形 HEGF

即可得出结论。 (3)由△AFD≌△CEB 可得出 h1=h3,再根据(2)中

△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF,可知 S 正方形 ABCD=4S△ABH+S 正方形 HEGF,从而得出结论。 16. (2012 山东泰安 10 分)如图,E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点,EF⊥AE,EF 分别交 AC,CD 于点 M,F,BG⊥AC,垂足为 C,BG 交 AE 于点 H. (1)求证:△ABE∽△ECF; (2)找出与△ABH 相似的三角形,并证明; (3)若 E 是 BC 中点,BC=2AB,AB=2,求 EM 的长.

【答案】解: (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠ABE=∠ECF=90° . ∵AE⊥EF,∠AEB+∠FEC=90° ,∴∠AEB+∠BEA=90° 。 ∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。 (2)△ABH∽△ECM。证明如下: ∵BG⊥AC,∴∠ABG+∠BAG=90° 。∴∠ABH=∠ECM。 由(1)知,∠BAH=∠CEM,∴△ABH∽△ECM。 (3)作 MR⊥BC,垂足为 R, ∵AB=BE=EC=2, ∴AB:BC=MR:RC=2,∠AEB=45° 。 ∴∠MER=45° ,CR=2MR。 ∴MR=ER=

1 2 MR 2 2 RC= 。∴EM= 。 ? 2 3 sin 45? 3

【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,锐角三角函数,特殊角的
- 40 -

三角函数值。 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是矩形,可得∠ABE=∠ECF=90° ,又由 EF⊥AE,利用同角 的余角相等,可得∠BAE=∠CEF,然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似,即可证 得:△ABE∽△ECF。 (2)由 BG⊥AC,易证得∠ABH=∠ECM,又由(1)中∠BAH=∠CEM,即可证得 △ABH∽△ECM。 (3)首先作 MR⊥BC,垂足为 R,由 AB:BC=MR:RC=2,∠AEB=45° ,即可求得 MR 的长,又由 EM=

MR 即可求得答案。 sin 45?


17. (2012 山东聊城 10 分)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB=AC=10,BC=12,P 是 的一个动点,过点 P 作 BC 的平行线交 AB 的延长线于点 D. (1)当点 P 在什么位置时,DP 是⊙O 的切线?请说明理由; (2)当 DP 为⊙O 的切线时,求线段 DP 的长.

? 的中点时,DP 是⊙O 的切线。理由如下: 【答案】解: (1)当点 P 是 BC
连接 AP。

? ? AC ? ∵AB=AC,∴ AB 。

? ? PC ? ,∴ PBA ? ? PCA ? 。∴PA 是⊙O 的直径。 又∵ PB ? ? PC ? ,∴∠1=∠2。 ∵ PB
又∵AB=AC,∴PA⊥BC。 又∵DP∥BC,∴DP⊥PA。∴DP 是⊙O 的切线。 (2)连接 OB,设 PA 交 BC 于点 E。 . 由垂径定理,得 BE=BC=6。 在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得:AE= AB2 ? BE2 ? 102 ? 62 ? 8 。 设⊙O 的半径为 r,则 OE=8﹣r,
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在 Rt△OBE 中,由勾股定理,得:r2=62+(8﹣r)2,解得 r= ∵DP∥BC,∴∠ABE=∠D。 又∵∠1=∠1,∴△ABE∽△ADP, ∴

25 。 4

BE AE 75 6 8 ,即 ,解得: DP ? 。 ? ? DP 2 ? 25 DP AP 8 4

【考点】圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,切线的判定,勾股定理,垂径定理,相似三 角形的判定和性质。

? 的中点时,得出 PBA ? ? PCA ? ,得出 PA 是⊙O 的直径,再利 【分析】 (1)根据当点 P 是 BC
用 DP∥BC,得出 DP⊥PA,问题得证。 (2)利用切线的性质,由勾股定理得出半径长,进而得出△ABE∽△ADP,即可得 出 DP 的长。 18. (2012 山东东营 10 分) (1)如图 1,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是 AD 延长线上一点,且 DF=BE.求 证:CE=CF; (2)如图 2,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,G 是 AD 上一点,如果∠GCE=45° , 请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD. (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题: 如图 3,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90° ,AB=BC,E 是 AB 上一点,且∠DCE=45° ,BE=4,DE=10, 求直角梯形 ABCD 的面积.

【答案】解:(1)证明:在正方形 ABCD 中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF, ∴△CBE≌△CDF(SAS)。∴CE=CF。 (2) 证明: 如图, 延长 AD 至 F, 使 DF=BE. 连接 CF。 由(1)知△CBE≌△CDF,
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∴∠BCE=∠DCF。 ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD, 即∠ECF=∠BCD=90° 。 又∠GCE=45° ,∴∠GCF=∠GCE=45° 。 ∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC, ∴△ECG≌△FCG(SAS)。∴GE=GF, ∴GE=DF+GD=BE+GD。 (3)如图,过 C 作 CG⊥AD,交 AD 延长线于 G. 在直角梯形 ABCD 中, ∵AD∥BC, ∴∠A=∠B=90° 。 又∠CGA=90° ,AB=BC, ∴四边形 ABCD 为正方形。 ∴AG=BC。 已知∠DCE=45° , 根据(1)(2)可知,ED=BE+DG。 ∴10=4+DG,即 DG=6。 设 AB=x,则 AE=x-4,AD=x-6, 在 Rt△AED 中,∵DE2=AD2+AE2,即 102=(x-6)2+(x-4)2。 解这个方程,得:x=12 或 x=-2(舍去)。 ∴AB=12。 ∴ S梯形ABCD ? (AD ? BC) ? AB ? ( ? 6 ? 12) ?12 ? 108 。 ∴梯形 ABCD 的面积为 108。 【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,直角梯形。 【分析】(1)由四边形是 ABCD 正方形,易证得△CBE≌△CDF(SAS),即可得 CE=CF。 (2)延长 AD 至 F,使 DF=BE,连接 CF,由(1)知△CBE≌△CDF,易证得 ∠ECF=∠BCD=90° ,又由∠GCE=45° ,可得∠GCF=∠GCE=45° ,即可证得△ECG≌△FCG, 从而可得 GE=BE+GD。 (3)过 C 作 CG⊥AD,交 AD 延长线于 G,易证得四边形 ABCG 为正方形,由(1) (2)可知,ED=BE+DG,即可求得 DG 的长,设 AB=x,在 Rt△AED 中,由勾股定理 DE2=AD2+AE2,可得方程,解方程即可求得 AB 的长,从而求得直角梯形 ABCD 的面积。 19. (2012 广西来宾 10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上一点,∠BAC 的平分

1 2

1 2

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线 AD 交⊙O 于点 D,过点 D 垂直于 AC 的直线交 AC 的延长线于点 E. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)如图 AD=5,AE=4,求⊙O 的直径.

【答案】(1)证明:如图,连接 OD, ∵AD 为∠CAB 的平分线,∴∠CAD=∠BAD。 又 OA=OD,∴∠BAD=∠ODA。∴∠CAD=∠ODA。 ∴AC∥OD。∴∠E+∠EDO=180° 。 又 AE⊥ED,即∠E=90° ,∴∠EDO=90° 。 ∴OD 为圆 O 的切线。 (2)解:如图,连接 BD, ∵AB 为圆 O 的直径,∴∠ADB=90° 。

AE 4 ? 。 AD 5 AD 4 又∵∠EAD=∠DAB,在 Rt△ABD 中,∴ cos?DAB ? = 。 AB 5 5 5 25 25 ∴ AB= AD= ? 5= ,即圆的直径为 。 4 4 4 4
在 Rt△AED 中,AE=4,AD=5,∴ cos?EAD ? 【考点】等腰三角形的性质,平行的判定和性质,切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数 定义,特殊角的三角函数值。 【分析】(1)连接 OD,由 AD 为角平分线,得到一对角相等,再由 OA=OD,得到一对角 相等,等量代换得到一对内错角相等,根据内错角相等两直线平行可得 AC∥OD,由两直线 平行同旁内角互补,得到∠E 与∠EDO 互补,再由∠E 为直角,可得∠EDO 为直角,即 DE 为圆 O 的切线。 (2)连接 BD,由 AB 为⊙O 的直径,根据直径所对的圆周角为直角的性质,得到 ∠ADB=90° 。 在 Rt△AED 中, 由 AE 和 AD 的长, 根据锐角三角函数定义求出 cos∠EAD ? 又在 Rt△ABD 中,根据锐角三角函数定义得到 cos?DAB ?

4 。 5

AD 4 = ,即可求出直径 AB 的 AB 5

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长。 20. (2012 广西柳州 10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦. (1)请你按下面步骤画图(画图或作辅助线时先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色字迹 的签字笔描黑); 第一步,过点 A 作∠BAC 的角平分线,交⊙O 于点 D; 第二步,过点 D 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 E. 第三步,连接 BD. (2)求证:AD2=AE?AB; (3)连接 EO,交 AD 于点 F,若 5AC=3AB,求

EO 的值. FO

【答案】解:(1)如图:

(2)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90° 。 又∵DE⊥AC,∴∠AED=90° 。 ∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB。∴Rt△ADE∽Rt△ABD。 ∴AD:AB=AE:AD,∴AD2=AE?AB。 (3)如图,连接 OD、BC,它们交于点 G, ∵5AC=3AB,即 AC:AB=3:5,∴不妨设 AC=3x,AB=5x, ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90° 。∴∠ECG=90° 。

? ? 。∴OD 垂直平分 BC。 又∵∠CAD=∠DAB,∴ DC=DB
1 3 AC= x。∴四边形 ECGD 为矩形。 2 2 5 3 ∴CE=DG=OD-OG= x- x =x。∴AE=AC+CE=3x+x=4x。 2 2
∴OD∥AE,OG=
- 45 -

∵AE∥OD, ∴△AEF∽△DOF。 ∴AE: OD=EF: OF, ∴EF: OF=4x: x=8: 5。 ∴

5 2

EO 8 ? 5 13 ? ? 。 FO 5 5

【考点】圆的综合题,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理,矩形的判定和性 质。 【分析】(1)根据基本作图作出∠BAC 的角平分线 AD 交⊙O 于点 D;点 D 作 AC 的垂线, 垂足为点 E。 (2)根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90° ,DE⊥AC,则∠AED=90° ,又 由 AD 平分∠CAB 得到∠CAD=∠DAB,根据相似三角形的判定得到 Rt△ADE∽Rt△ABD,根据相似的性质得 到 AD:AB=AE:AD,利用比例的性质即可得到 AD2=AE?AB。 (3)连接 OD、BC,它们交于点 G,由 5AC=3AB,则不妨设 AC=3x,AB=5x,根据 直径所对

? ? ,根据垂径定理的推论得 的圆周角为直角得到∠ACB=90° ,由∠CAD=∠DAB 得到 DC=DB
到 OD 垂直平分 BC,则有 OD∥AE,OG=

1 3 AC= x,并且得到四边形 ECGD 为矩形,则 2 2

可求出 CE,从而计算出 AE,利用 AE∥OD 可得到△AEF∽△DOF,则 AE:OD=EF:OF, 即 EF:OF=4x:

5 EO x=8:5,然后根据比例的性质即可得到 的值。 2 FO

21. (2012 广西桂林 10 分)如图,等圆⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点,⊙O1 经过⊙O2 的 圆心,顺次连接 A、O1、B、O2. (1)求证:四边形 AO1BO2 是菱形; (2)过直径 AC 的端点 C 作⊙O1 的切线 CE 交 AB 的延长线于 E,连接 CO2 交 AE 于 D, 求证:CE=2O2D; (3)在(2)的条件下,若△AO2D 的面积为 1,求△BO2D 的面积.

- 46 -

【答案】解:(1)证明:∵⊙O1 与⊙O2 是等圆,∴AO1=O1B=BO2=O2A。 ∴四边形 AO1BO2 是菱形。 (2)证明:∵四边形 AO1BO2 是菱形,∴∠O1AB=∠O2AB。 ∵CE 是⊙O1 的切线,AC 是⊙O1 的直径,∴∠ACE=∠AO2C=90° 。 ∴△ACE∽△AO2D。∴

DO2 AO2 1 ? ? ,即 CE=2DO2。 EC AC 2

(3)∵四边形 AO1BO2 是菱形,∴AC∥BO2。∴△ACD∽△BO2D。

DB BO2 1 ? ? 。∴AD=2BD。 AD AC 2 1 ∵ S?AO2D ? 1 S,∴ S?O2DB ? 。 2
∴ 【考点】相交两圆的性质,菱形的判定和性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)根据⊙O1 与⊙O2 是等圆,可得 AO1=O1B=BO2=O2A,利用四条边都相等的四 边形是菱形可判定出结论。

DO2 AO2 1 ? ? ,即可得出结论。 EC AC 2 DB BO2 1 (3)首先证明△ACD∽△BO2D,得出 ,AD=2BD,再利用等高不 ? ? AD AC 2
(2)根据已知得出△ACE∽△AO2D,从而得出 等底的三角形面积关系得出答案即可。 22. (2012 广西北海 10 分)如图,AB 是 O 的直径,AE 交 O 于点 E,且与 O 的切线 CD 互 相垂直,垂足 为 D。 (1)求证:∠EAC=∠CAB; (2)若 CD=4,AD=8: ①求 O 的半径; ②求 tan∠BAE 的值。

- 47 -

【答案】(1)证明:连接 OC。 ∵CD 是⊙O 的切线,∴CD⊥OC。 又∵CD⊥AE,∴OC∥AE。∴∠1=∠3。 ∵OC=OA,∴∠2=∠3。 ∴∠1=∠2,即∠EAC=∠CAB。 (2)解:①连接 BC。 ∵AB 是⊙O 的直径,CD⊥AE 于点 D, ∴∠ACB=∠ADC=90° 。 ∵∠1=∠2,∴△ACD∽△ABC。∴ ∵AC2=AD2+CD2=42+82=80, ∴AB=

AD AC

?

AC AB



AC 2 AD

?

80 =10。 8

∴⊙O 的半径为 10÷ 2=5。 ②连接 CF 与 BF。 ∵四边形 ABCF 是⊙O 的内接四边形, ∴∠ABC+∠AFC=180° 。 ∵∠DFC+∠AFC=180° ,∴∠DFC=∠ABC。 ∵∠2+∠ABC=90° , ∠DFC+∠DCF=90° , ∴∠2=∠DCF。 ∵∠1=∠2,∴∠1=∠DCF。 ∵∠CDF=∠CDF,∴△DCF∽△DAC。 ∴

CD AD

?

DF CD

。∴DF=

CD 2 AD

?

42 =2。 8

∴AF=AD-DF=8-2=6。
- 48 -

∵AB 是⊙O 的直径,∴∠BFA=90° 。 ∴BF= AB ? AF ? 10 ? 6 =8。∴tan∠BAD=
2 2 2 2

BF AF

?

8 4 ? 。 6 3

【考点】切线的性质,平行的判定和性质,等腰三角形的性质,圆周角定理,勾股定理,相 似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。 【分析】 (1) 连接 OC, 由 CD 是⊙O 的切线, CD⊥OC, 又由 CD⊥AE, 即可判定 OC∥AE, 根据平行线的性质与等腰三角形的性质,即可证得∠EAC=∠CAB。 (2)①连接 BC,易证得△ACD∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可 求得 AB 的长, 从而可得⊙O 的半径长。 ②连接 CF 与 BF. 由四边形 ABCF 是⊙O 的内接四边形, 易证得△DCF∽△DAC, 然后根据 相似三角形的对应边成比例,求得 AF 的长,又由 AB 是⊙O 的直径,即可得∠BFA 是直角, 利用勾股定理求得 BF 的长,即可求得 tan∠BAE 的值。 23. (2012 内蒙古呼和浩特 8 分)如图,已知 AB 为⊙O 的直径,PA 与⊙O 相切于点 A,线 段 OP 与弦 AC 垂直并相交于点 D,OP 与弧 AC 相交于点 E,连接 BC. (1)求证:∠PAC=∠B,且 PA?BC=AB?CD; (2)若 PA=10,sinP=

3 ,求 PE 的长. 5

【答案】 (1)证明:∵PA 是⊙O 的切线,AB 是直径,∴∠PAO=90° ,∠C=90° 。 ∴∠PAC+∠BAC=90° ,∠B+∠BAC=90° 。∴∠PAC=∠B。 又∵OP⊥AC,∴∠ADP=∠C=90° 。∴△PAD∽△ABC,∴AP:AB=AD: BC, ∵在⊙O 中, AD⊥OD, ∴AD=CD。 ∴AP: AB=CD: BC。 ∴PA?BC=AB?CD; (2)解:∵sinP=

3 AD 3 ,且 AP=10,∴ ? 。∴AD=6。∴AC=2AD=12。 5 AP 5

- 49 -

在 Rt△ADP 中,根据勾股定理得: PD ? AP2 ? AD2 ? 8 。

15 10 ?12 =15。 ∴AO= 。 2 8 25 在 Rt△APO 中,根据勾股定理得: OP ? AP2 ? OA2 ? 。 2 25 15 ∴PE=OP﹣OE= ﹣ =5。 2 2
又∵△PAD∽△ABC, ∴AP: AB=PD: AC。 ∴AB= 【考点】切线的性质,勾股定理,圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定和性质,锐角 三角函数定义。 【分析】 (1)由 PA 为圆 O 的切线,利用切线的性质得到 AP 垂直于 AB,可得出∠PAO 为 直角,得到∠PAD 与∠DAO 互余,再由 AB 为圆 O 的直径,根据直径所对的圆周角为直角, 可得出∠ACB 为直角,得到∠DAO 与∠B 互余,根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B, 再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△APD 与△ABC 相似,由 相似得比例,再由 OD 垂直于 AC,利用垂径定理得到 AD=CD,等量代换可得证。 (2)在 Rt△APD 中,由 PA 及 sinP 的值求出 AD 的长,再利用勾股定理求出 PD 的 长,从而确定出 AC 的长,由(1)两三角形相似得到的比例式,将各自的值代入求出 AB 的上,求出半径 AO 的长,在 Rt△APO 中,由 AP 及 AO 的长,利用勾股定理求出 OP 的长, 用 OP﹣OE 即可求出 PE 的长。 24. (2012 湖北恩施 12 分)如图,AB 是⊙O 的弦,D 为 OA 半径的中点,过 D 作 CD⊥OA 交弦 AB 于点 E,交⊙O 于点 F,且 CE=CB. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)连接 AF,BF,求∠ABF 的度数; (3)如果 CD=15,BE=10,sinA=

5 ,求⊙O 的半径. 13

【答案】解: (1)证明:连接 OB, ∵OB=OA,CE=CB,
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∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC。 又∵CD⊥OA, ∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90° 。 ∴∠OBA+∠ABC=90° 。∴OB⊥BC。 ∴BC 是⊙O 的切线。 (2)连接 OF,AF,BF, ∵DA=DO,CD⊥OA, ∴△OAF 是等边三角形。 ∴∠AOF=60° 。 ∴∠ABF=

1 ∠AOF=30° 。 2

(3)过点 C 作 CG⊥BE 于点 G,由 CE=CB, ∴EG=

1 BE=5。 2

易证 Rt△ADE∽Rt△CGE,

5 , 13 EG 5 ∴ CE ? = =13 。 sin?ECG 5 13
∴sin∠ECG=sin∠A= ∴ CG ? CE2 ? EG2 ? 132 ? 52 ? 12 。 又∵CD=15,CE=13,∴DE=2, 由 Rt△ADE∽Rt△CGE 得 ∴⊙O 的半径为 2AD=

AD DE AD 2 24 ,即 ? ? ,解得 AD ? 。 CG GE 12 5 5

48 。 5

【考点】等腰(边)三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理, 勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。 【分析】 (1)连接 OB,有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90° 即可证明 BC 是⊙O 的 切线。 (2)连接 OF,AF,BF,首先证明△OAF 是等边三角形,再利用圆周角定理:同 弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF 的度数。

- 51 -

(3)过点 C 作 CG⊥BE 于点 G,由 CE=CB,可求出 EG=

1 BE=5,由 2

Rt△ADE∽Rt△CGE 和勾股定理求出 DE=2,由 Rt△ADE∽Rt△CGE 求出 AD 的长,从而求 出⊙O 的半径。 25. (2012 黑龙江哈尔滨 10 分)已知:在△ABC 中,∠ACB=900,点 P 是线段 AC 上一点, 过点 A 作 AB 的垂线,交 BP 的延长线于点 M,MN⊥AC 于点 N,PQ⊥AB 于点 Q,A0=MN. (1)如图 l,求证:PC=AN; (2) 如图 2,点 E 是 MN 上一点,连接 EP 并延长交 BC 于点 K,点 D 是 AB 上一点,连 接 DK,∠DKE=∠ABC,EF⊥PM 于点 H,交 BC 延长线于点 F,若 NP=2,PC=3,CK: CF=2:3,求 DQ 的长.

【答案】解:(1)证明:∵BA⊥AM,MN⊥AP,∴∠BAM=ANM=90° 。 ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90° ,∴∠PAQ=∠AMN。 ∵PQ⊥AB ∴△AQP≌△MNA(ASA)。 ∴AN=PQ,AM=AP。∴∠AMB=∠APM。 ∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90° ∴∠ABM=∠PBC。 ∵PQ⊥AB,PC⊥BC,∴PQ=PC(角平分线的性质)。∴PC=AN。 (2)∵NP=2 PC=3,∴由(1)知 PC=AN=3。∴AP=NC=5,AC=8。 ∴AM=AP=5。∴ AQ ? MN ? AM2 ? AN2 ? 4 。 ∵∠PAQ=∠AMN,∠ACB=∠ANM=90° ,∴∠ABC=∠MAN。 ∴ tan?ABC ? tan?MAN ? ∵ tan?ABC ? , ∠AMB+∠ABM=90° , MN⊥AC , ∴∠PQA=∠ANM=90° 。 ∴AQ=MN 。

MN 4 ? 。 AN 3

AC ,∴BC=6。 BC
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∵NE∥KC,∴∠PEN=∠PKC。 又∵∠ENP=∠KCP,∴△PNE∽△PCK。∴ ∵CK:CF=2:3,设 CK=2k,则 CF=3k。 ∴

NE NP 。 ? CK PC

4 NE 2 ? , NE ? k 。 3 2k 3
4 3 4 3 5 3

过 N 作 NT∥EF 交 CF 于 T,则四边形 NTFE 是平行四边形。 ∴NE=TF= k ,∴CT=CF-TF=3k- k= k 。 ∵EF⊥PM,∴∠BFH+∠HBF=90° =∠BPC+∠HBF。 ∴∠BPC=∠BFH。 ∵EF∥NT,∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。

BC ? 2。 PC NC 1 5 ∴ tan?NTC ? ? 2 , CT ? NC= 。 CT 2 2 3 5 5 3 ∴CT= k= 。∴ k= 。∴CK=2× =3,BK=BC-CK=3。 2 3 2 2
∴ tan?NTC ? tan?BPC ? ∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK,∠DKE=∠ABC,∴∠BDK=∠PKC。 ∴ tan?PKC ?

PC ? 1 。∴tan∠BDK=1。 KC

过 K 作 KG⊥BD 于 G。

4 ,∴设 GK=4n,则 BG=3n,GD=4n。 3 3 21 ∴BK=5n=3,∴n= 。∴BD=4n+3n=7n= 。 5 5
∵tan∠BDK=1,tan∠ABC= ∵ AB ? AC2 ? BC2 ? 10 ,AQ=4,∴BQ=AB-AQ=6。 ∴DQ=BQ-BD=6-

21 9 = 。 5 5

【考点】相似形综合题,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理,相似三角 形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形。 【分析】(1)确定一对全等三角形△AQP≌△MNA,得到 AN=PQ;然后推出 BP 为角平分 线,利用角平分线的性质得到 PC=PQ;从而得到 PC=AN。 (2)由已知条件,求出线段 KC 的长度,从而确定△PKC 是等腰直角三角形;然后 在△BDK 中,解直角三角形即可求得 BD、DQ 的长度。 26. (2012 湖北十堰 10 分)如图 1,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是直径,OD∥AC,且
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∠CBD=∠BAC,OD 交⊙O 于点 E. (1)求证:BD 是⊙O 的切线; (2)若点 E 为线段 OD 的中点,证明:以 O、A、C、E 为顶点的四边形是菱形; (3)作 CF⊥AB 于点 F,连接 AD 交 CF 于点 G(如图 2),求

FG 的值. FC

【答案】解:(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠BCA=90° 。∴∠ABC+∠BAC=90° 。 又∵∠CBD=∠BAC, ∴∠ABC+∠CBD=90° 。 ∴∠ABD=90° 。 ∴OB⊥BD。 ∴BD 为⊙O 的切线。 (2)证明:如图,连接 CE、OC,BE, ∵OE=ED,∠OBD=90° ,∴BE=OE=ED。 ∴△OBE 为等边三角形。∴∠BOE=60° 。 又∵OD∥AC,∴∠OAC=60° 。 又∵OA=OC,∴AC=OA=OE。∴AC∥OE 且 AC=OE。 ∴四边形 OACE 是平行四边形。 而 OA=OE,∴四边形 OACE 是菱形。 (3)∵CF⊥AB,∴∠AFC=∠OBD=90° 。 又∵OD∥AC,∴∠CAF=∠DOB。∴Rt△AFC∽Rt△OBD。 ∴

FC AF BD ? AF ,即 FC ? 。 ? BD OB OB

又∵FG∥BD,∴△AFG∽△ABD。

FG AF BD ? AF ,即 FG ? 。 ? BD AB AB FG OB 1 ∴ ? ? 。 FC AB 2
∴ 【考点】圆的综合题,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,直角三角形斜 边上的中线性质,等边三角形的判定和性质,平行的判定和性质,菱形的判定,相似三角形 的判定和性质。
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【分析】(1)由 AB 是⊙O 的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90° ,则 ∠ABC+∠BAC=90° , 而∠CBD=∠BA,得到∠ABC+∠CBD=90° ,即 OB⊥BD,根据切线的判定定理即可得到 BD 为⊙O 的切 线。 ( 2 )连接 CE 、 OC , BE ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 BE=OE=ED,则△OBE 为等边三角形,于是∠BOE=60° ,又因为 AC∥OD,则∠OAC=60° , AC=OA=OE,即有 AC∥OE 且 AC=OE,可得到四边形 OACE 是平行四边形,加上 OA=OE, 即可得到四边形 OACE 是菱形。 (3)由 CF⊥AB 得到∠AFC=∠OBD=90° ,而 OD∥AC,则∠CAF=∠DOB,根据相 似三角形的

FC AF BD ? AF ,即 FC ? ,再由 FG∥BD 易证得 ? BD OB OB FG AF BD ? AF △AFG∽△ABD,则 ,即 FG ? ,然后求 FG 与 FC 的比即可。 ? BD AB AB
判定易得 Rt△AFC∽Rt△OBD,则有 27. (2012 江苏镇江 11 分)等边△ABC 的边长为 2,P 是 BC 边上的任一点(与 B、C 不重 合),连接 AP,以 AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE,分别与边 AB、AC 交于点 M、N(如图 1)。 (1)求证:AM=AN; (2)设 BP=x。 ①若,BM= ,求 x 的值; ②记四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为 S, 求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小 值; ③连接 DE,分别与边 AB、AC 交于点 G、H(如图 2),当 x 取何值时,∠BAD=150?并判 断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。

3 8

【答案】解:(1)证明:∵△ABC、△APD 和△APE 都是等边三角形,
- 55 -

∴AD=AP , ∠DAP=∠BAC=600 , ∠ADM=∠APN=600 。 ∴∠DAM=∠PAN。 ∴△ADM≌△APN(ASA),∴AM=AN。 (2)①易证△BPM∽△CAP,∴

BM BP , ? CP CA 3 x 3 ∵BN= ,AC=2,CP=2-x,∴ 8 ? ,即 4x 2 ? 8x+3=0 。 2?x 2 8
解得 x=

1 3 或 x= 。 2 2

②四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面 积。 ∵△ADM≌△APN,∴ S?ADM ? S?APN 。 ∴ S四边形AMPN ? S?APM ? S?ANP ? S?APM ? S?ADM ? S?ADP 。 如图,过点 P 作 PS⊥AB 于点 S,过点 D 作 DT⊥AP 于点 T,则点 T 是 AP 的中点。 在 Rt△BPS 中,∵∠P=600,BP=x,

3 1 x,BS=BPcos600= x。 2 2 1 ∵AB=2,∴AS=AB-BC=2- x。 2
∴PS=BPsin600=

? 1 ? ∴ AP ? AS +PS ? ? 2 ? x ? ? 2 ?
2 2 2

2

? 3 ? 2 +? ? 2 x? ? =x ? 2x+4 ? ?

2

。 ∴ S?ADP ? ∴

1 1 3 3 ? AP ? DT ? ? AP ? AP= AP 2 。 2 2 2 4

S ? S四边形AMPN ? S?ADP ?

3 2 3 2 3 3 3 AP ? x ? 2x+4 ? ? x ? 1?2 + ? 0 < x < 2 ? 。 4 4 4 4 3 3 ∴当 x=1 时,S 的最小值为 。 4
③连接 PG,设 DE 交 AP 于点 O。 若∠BAD=150, ∵∠DAP =600,∴∠PAG =450。

?

?

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∵△APD 和△APE 都是等边三角形, ∴AD=DP=AP=PE=EA。 ∴四边形 ADPE 是菱形。 ∴DO 垂直平分 AP。 ∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。 ∴∠PGA =900。 设 BG=t, 在 Rt△BPG 中,∠B=600,∴BP=2t,PG= 3t 。∴AG=PG= 3t 。 ∴ 3t+t=2 ,解得 t= 3 -1。∴BP=2t=2 3 -2。 ∴当 BP=2 3 -2 时,∠BAD=150。 猜想:以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角 形。 ∵四边形 ADPE 是菱形,∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=300


∵∠BAD=150,∴易得∠AGO=450,∠HAO=150,∠EAH=450。 设 AO=a,则 AD=AE=2 a,OD= 3 a。∴DG=DO-GO=( 3 -1) a。 又∵∠BAD=150, ∠BAC=600, ∠ADO=300, ∴∠DHA=∠DAH=750。 ∵DH=AD=2a, ∴GH=DH-DG=2a-( 3 -1)a=(3- 3 )a, HE=2DO-DH=2 3 a-2a=2( 3 -1)a。 ∵ DG2 ? GH2 ? ? ?

?

3 ? 1 a ? + ? 3 ? 3 a ? = 16 ? 8 3 a 2 , ? ? ?

?

2

?

?

2

?

?

HE2 ? ?2 ?

?

3 ? 1 a ? = 16 ? 8 3 a 2 , ?

?

2

?

?

∴ DG 2 ? GH 2 ? HE 2 。 ∴以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元 二次方程, 锐角三角函数定义, 特殊角的三角函数值, 二次函数的最值, 菱形的判定和性质, 勾股定理和逆定理。
- 57 -

【分析】 (1) 由△ABC、 △APD 和△APE 都是等边三角形可得边角的相等关系, 从而用 ASA 证明。 (2)①由△BPM∽△CAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。 ②应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得

S四边形AMPN ? S?ADP ,
用 x 的代数式表示 S,用二次函数的最值原理求出 S 的最小值。 ③由∠BAD=150 得到四边形 ADPE 是菱形,应用相关知识求解。 求出 DG、GH、HE 的表达式,用勾股定理逆定理证明。 28. (2012 福建三明 14 分)在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,点 P 在线段 BC 上(不含点 B),∠BPE= 交 AC 于点 G. (1) 当点 P 与点 C 重合时(如图①).求证:△BOG≌△POE;(4 分) (2)通过观察、测量、猜想:

1 ∠ACB,PE 交 BO 于点 E,过点 B 作 BF⊥PE,垂足为 F, 2

BF = ▲ ,并结合图②证明你的猜想;(5 分) PE

(3)把正方形 ABCD 改为菱形,其他条件不变(如图③),若∠ACB=α, 求

BF 的值.(用含 α 的式子表示)(5 分) PE

【答案】解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,P 与 C 重合, ∴OB=OP , ∠BOC=∠BOG=90° 。 ∵PF⊥BG ∠EPO=90° —∠BGO。 ∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE(AAS)。 (2) , ∠PFB=90° , ∴∠GBO=90° —∠BGO ,

BF 1 ? 。证明如下: PE 2
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如图,过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M,交 BO 于 N, ∴ ∠PNE=∠BOC=900, ∠BPN=∠OCB。 ∵∠OBC=∠OCB =450, ∴ ∠NBP=∠NPB。 ∴ NB=NP。 ∵∠MBN=900—∠BMN, ∠NPE=900—∠BMN,∴ ∠MBN=∠NPE。 ∴ △BMN≌△PEN(ASA)。∴ BM=PE。 ∵∠BPE=

1 ∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴ ∠BPF=∠MPF。 2 1 BM。 2

∵PF⊥BM,∴ ∠BFP=∠MFP=900。 又∵PF=PF, ∴ △BPF≌△MPF (ASA) 。 ∴ BF=MF , 即 BF= ∴ BF=

1 BF 1 PE, 即 ? 。 2 PE 2

(3)如图,过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N, ∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=900。 由(2)同理可得 BF=

1 BM, ∠MBN=∠EPN。 2

∵∠BNM=∠PNE=900,∴△BMN∽△PEN。 ∴

BM BN 。 ? PE PN BN BM 2BF , ∴ = tan ? ,即 =tan ? 。 PN PE PE

在 Rt△BNP 中, tan ? = ∴

BF 1 = tan ? 。 PE 2

【考点】几何综合题, 正方形和菱形的性质,平行的性质, 全等、相似三角形的判定和性质, 锐角三角函数定义。 【分析】(1)由正方形的性质可由 AAS 证得△BOG≌△POE。 (2)过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M,交 BO 于 N,通过 ASA 证明△BMN≌△PEN 得

BF 1 ? 的结论。 PE 2 1 (3)过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N,同(2)证得 BF= BM, 2 BM BN BN ∠MBN=∠EPN,从而可证得△BMN∽△PEN,由 和 Rt△BNP 中 tan ? = 即可 ? PE PN PN BF 1 求得 = tan ? 。 PE 2
到 BM=PE,通过 ASA 证明△BPF≌△MPF 得到 BF=MF,即可得出 29. (2012 辽宁沈阳 12 分)已知,如图①,∠MON=60° ,点 A,B 为射线 OM,ON 上的动
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点(点 A,B 不与点 O 重合),且 AB= 4 3 ,在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点 P, 且 AP=BP,∠APB=120° . (1)求 AP 的长; (2)求证:点 P 在∠MON 的平分线上; (3) 如图②,点 C,D,E,F 分别是四边形 AOBP 的边 AO,OB,BP,PA 的中点, 连接 CD,DE,EF,FC,OP. ①当 AB⊥OP 时,请直接 写出四边形 CDEF 的周长的值; .. ②若四边形 CDEF 的周长用 t 表示,请直接 写出 t 的取值范围. ..

【答案】 解: (1) 过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q ∵PA=PB,∠APB=120° ,AB=4 3 ,

1 1 1 1 AB= × 4 3 =2 3 ,∠APQ= ∠APB= × 120° =60° 。 2 2 2 2 AQ 在 Rt△APQ 中, sin∠APQ= AP
∴AQ= ∴AP=

AQ 2 3 2 3 ? ? =4。 sin ?APQ sin 60? 3 2

(2) 证明: 过点 P 分别作 PS⊥OM 于点 S, PT⊥ON 于点 T, ∴∠OSP=∠OTP=90° 。 在四边形 OSPT 中,∠SPT=360° -∠OSP-∠SOT-∠OTP=360° -90°

-60° -90° =120° ,
∴∠APB=∠SPT=120° 。 ∴∠APS=∠BPT。 又∵∠ASP=∠BTP=90° , AP=BP, ∴△APS≌△BPT (AAS) 。 ∴PS=PT。 ∴点 P 在∠MON 的平分线上。 (3) ①8+4 3 ②4+4 3 <t≤8+4 3 。 【考点】等腰三角形的,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,多边形内角和定理,全
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等三角形的判定和性质,点在角平分线上的判定,三角形中位线定理 【分析】( 1 )过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q .根据等腰三角形的 “ 三线合一 ” 的性质推知 AQ=BQ=

1 AB,然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得 AP 的长度。 2
(2)作辅助线 PS、PT(过点 P 分别作 PS⊥OM 于点 S,PT⊥ON 于点 T)构建全

等三角形△APS≌△BPT;然后根据全等三角形的性质推知 PS=OT;最后由角平分线的性质 推知点 P 在∠MON 的平分线上。 (3)利用三角形中位线定理知四边形 CDEF 的周长的值是 OP+AB。 ①当 AB⊥OP 时,根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得 OP 的长度; ②当 AB⊥OP 时,OP 取最大值,即四边形 CDEF 的周长取最大值;当点 A 或 B 与 点 O 重合时,四边形 CDEF 的周长取最小值,据此写出 t 的取值范围。 30. (2012 辽宁大连 12 分)如图 1,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,点 E 在 AD 上,点 F 在 DC 上,且∠BEF=∠A. (1)∠BEF=_____(用含 α 的代数式表示); (2)当 AB=AD 时,猜想线段 ED、EF 的数量关系,并证明你的猜想; (3) 当 AB≠AD 时, 将“点 E 在 AD 上”改为“点 E 在 AD 的延长线上, 且 AE>AB, AB=mDE, AD=nDE”,其他条件不变(如图 2),求

EB 的值(用含 m、n 的代数式表示)。 EF

【答案】解:(1)180° -2α。 (2)EB=EF。证明如下: 连接 BD 交 EF 于点 O,连接 BF。 ∵AD∥BC,∴∠A=180° -∠ABC=180° -2α, ∠ADC=180° -∠C=180° -α。 ∵AB=AD,∴∠ADB=

1 (180° -∠A)=α。 2

∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180° -2α。 由(1)得:∠BEF=180° -2α=∠BDC。

- 61 -

又∵∠EOB=∠DOF,∴△EOB∽△DOF。∴

OE OB O E O D ,即 。 = = OD OF O B O F

∵∠EOD=∠BOF,∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。 ∴∠EBF=180° -∠BEF-∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。 (3) 延长 AB 至 G,使 AG=AE,连接 BE,GE, 则∠G=∠AEG= ∵AD∥BC, ∴∠EDF=∠C=α,∠GBC=∠A,∠DEB=∠EBC。 ∴∠EDF=∠G。 ∵∠BEF=∠A,∴∠BEF=∠GBC。 ∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF,即∠EBG=∠FED。 ∴△DEF∽△GBE。∴

180? ? ?A 180? ? ?180? ? 2? ? = =? 。 2 2

EB BG 。 = EF DE

∵AB=mDE,AD=nDE,∴AG=AE=(n+1)DE。 ∴BG=AG-AB=(n+1)DE-mDE=(n+1-m)DE。 ∴

EB (n ? 1 ? m)DE = =n ? 1 ? m 。 EF DE

【考点】梯形的性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质。 【分析】(1)由梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,根据平行线的性质,易求 得∠A 的度数,又由∠BEF=∠A,即可求得∠BEF 的度数: ∵梯形 ABCD 中,AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180° 。∴∠A=180° -∠ABC=180° -2α。 又∵∠BEF=∠A,∴∠BEF=∠A=180° -2α。 (2)连接 BD 交 EF 于点 O,连接 BF,由 AB=AD,易证得△EOB∽△DOF,根据 相似三角形的对应边成比例,可得

OE OB ,从而可证得△EOD∽△BOF,又由相似三角 = OD OF

形的对应角相等,易得∠EBF=∠EFB=α,即可得 EB=EF。 (3)延长 AB 至 G,使 AG=AE,连接 BE,GE,易证得△DEF∽△GBE,然后由相 似三角形的对应边成比例,即可求得

EB 的值。 EF

31. (2012 辽宁鞍山 12 分)如图,正方形 ABCO 的边 OA、OC 在坐标轴上,点 B 坐标(3, 3),将正方形 ABCO 绕点 A 顺时针旋转角度 α(0° <α<90° ),得到正方形 ADEF,ED 交 线段 OC 于点 G,ED 的
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延长线交线段 BC 于点 P,连 AP、AG. (1)求证:△AOG≌△ADG; (2)求∠PAG 的度数;并判断线段 OG、PG、BP 之间的数量关系,说明理由; (3)当∠1=∠2 时,求直线 PE 的解析式.

【答案】解: (1)证明:∵∠AOG=∠ADG=90° , ∴在 Rt△AOG 和 Rt△ADG 中,AO=AD,AG=AG, ∴△AOG≌△ADG(HL) 。 (2)∠PAG =45° ,PG=OG+BP。理由如下: 由(1)同理可证△ADP≌△ABP,则∠DAP=∠BAP。 ∵由(1)△AOG≌△ADG,∴∠1=∠DAG。 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90° , ∴2∠DAG+2∠DAP=90° ,即∠DAG+∠DAP=45° 。 ∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45° 。 ∵△AOG≌△ADG,△ADP≌△ABP,∴DG=OG,DP=BP。 ∴PG=DG+DP=OG+BP。 (3)∵△AOG≌△ADG,∴∠AGO=∠AGD。 又∵∠1+∠AGO=90° ,∠2+∠PGC=90° ,∠1=∠2, ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。 又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180° ,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60° 。 ∴∠1=∠2=30° 。 在 Rt△AOG 中,AO=3,OG=AOtan30° = 3, ∴G 点坐标为: ( 3 ,0) ,CG=3﹣ 3 。

- 63 -

在 Rt△PCG 中, PC=

CG tan 30
0

=

3? 3 3 3

= 3 ?1 , ∴P 点坐标为: (3, 3 ? 1 ) 。

设直线 PE 的解析式为 y=kx+b,

? 3 ? ?k= ? 3k+b=0 则? ,解得 ? 3 。 ? ?b= ? 1 ?3k+b= 3 ? 1 ?
∴直线 PE 的解析式为 y=

3 x﹣1。 3

【考点】一次函数综合题,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,锐角三角函数定 义, 特殊角的三角函数值, 待定系数法, 直线上点的坐标与方程的关系, 解二元一次方程组。 【分析】 (1)由 AO=AD,AG=AG,利用“HL”可证△AOG≌△ADG。 (2) 利用 (1) 的方法, 同理可证△ADP≌△ABP, 得出∠1=∠DAG, ∠DAP=∠BAP, 而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90° ,由此可求∠PAG 的度数;根据两对全等三角形的性质, 可得出线段 OG、PG、BP 之间的数量关系。 ( 3 ) 由 △AOG≌△ADG 可 知 , ∠AGO=∠AGD , 而 ∠1+∠AGO=90°, ∠2+∠PGC=90° , 当 ∠1=∠2 时 , 可 证 ∠AGO=∠AGD=∠PGC , 而

∠AGO+∠AGD+∠PGC=180° ,得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60° ,即∠1=∠2=30° ,解直角 三角形求 OG,PC,确定 P、G 两点坐标,得出直线 PE 的解析式。 32. (2012 山东威海 11 分) 探索发现:已知:在梯形 ABCD 中,CD∥AB,AD、BC 的延长线相交于点 E,AC、BD 相交于点 O,连接 EO 并延长交 AB 于点 M,交 CD 于点 N。 (1)如图①,如果 AD=BC,求证:直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线;

(2)如图②,如果 AD≠BC,那么线段 AM 与 BM 是否相等?请说明理由。

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学以致用:仅用直尺(没有刻度) ,试作出图③中的矩形 ABCD 的一条对称轴。 (写出 作图步骤,保留作图痕迹)

【答案】解:(1)证明:∵AD=BC,CD∥AB,∴AC=BD,∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。 ∴点 E 在线段 AB 的垂直平分线上。 在△ABD 和△BAC 中,∵AB=BA,AD=BC,AC=BD, ∴△ABD≌△BAC(SSS)。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。 ∴点 O 在线段 AB 的垂直平分线上。 ∴直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线。 (2)相等。理由如下: ∵CD∥AB,∴△EDN∽△EAM,△ENC∽△EMB,△EDC∽△EAB。 ∴

DN DE CN CE DE CE BM CN DN CN 。∴ 。∴ 。 ? , ? , ? ? ? AM AE BM BE AE BE AM DN AM BM

∵CD∥AB,∴△OND∽△OMB,△ONC∽△OMA,△OCD∽△OAB。

DN OD CN OC OD OC AM CN DN CN 。∴ 。∴ 。 ? , ? , ? ? ? BM OB AM OA OB OA BM DN BM AM BM AM ∴ 。∴AM2=BM2。∴AM=BM。 ? AM BM
∴ (3)作图如下:

- 65 -

作法:① 连接 AC,BD,两线相交于点 O1; ② 在梯形 ABCD 外 DC 上方任取一点 E,连接 EA,EB,分别交 DC 于点 G,H; ③ 连接 BG,AH,两线相交于点 O2; ④ 作直线 EO2,交 AB 于点 M; ⑤ 作直线 MO1。 则直线 MO1。就是矩形 ABCD 的一条对称轴。 【考点】平行的性质,全等、相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定,线段垂直平分 线的判定,复杂作图。 【分析】 (1)一方面由已知可得点 E 在线段 AB 的垂直平分线上;另一方面可由 SSS 证明 △ABD≌△BAC,从而得∠DBA=∠CAB,因此 OA=OB,得出点 O 在线段 AB 的垂直平分线 上。从而直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线。 (2)一方面由 CD∥AB,得△EDN∽△EAM,△ENC∽△EMB,△EDC∽△EAB,

BM CN ; 另 一 方 面 由 CD∥AB , 得 △OND∽△OMB , ? AM DN AM CN △ONC∽△OMA , △OCD∽△OAB , 利 用 对 应 边 成 比 例 可 得 。从而得到 ? BM DN BM AM ,即可得到 AM=BM 的结论。 ? AM BM
利用对应边成比例可得 (3)按(2)的结论作图即可。 33. (2012 四川泸州 9 分)如图,△ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,C 是的弧 AD 中 点,弦 CE⊥AB 于点 H,连结 AD,分别交 CE、BC 于点 P、Q,连结 BD。 (1)求证:P 是线段 AQ 的中点;

- 66 -

(2)若⊙O 的半径为 5,AQ=

15 ,求弦 CE 的长。 2

? ? AE ? 。 【答案】解:(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,弦 CE⊥AB,∴ AC ? ? CD ? 。∴ AE ? ? CD ? 。∴∠ACP=∠CAP。 ? 的中点,∴ AC 又∵C 是弧 AD
∴PA=PC。 ∵AB 是直径.∴∠ACB=90° 。 ∴∠PCQ=90°- ∠ACP , ∠CQP=90°- ∠CAP 。 ∴∠PCQ=∠CQP 。 ∴PC=PQ。 ∴PA=PQ,即 P 是 AQ 的中点。

? ? CD ? ,∴∠CAQ=∠ABC。 (2)∵ AC
又∵∠ACQ=∠BCQ,∴△CAQ∽△CBA。∴

AC AQ 。 ? BC BA

15 AC 2 3 15 ? ? 。 又∵AQ= ,BA=10,∴ BC 10 4 2
设 AC=3k, BC=4k,则由勾股定理得, ? 3k ? ? ? 4k ? ? 102 ,解得 k=2。
2 2

∴AC=6,BC=8。 根 据 直 角 三 角 形 的 面 积 公 式 , 得 : AC?BC=AB?CH , ∴6× 8=10CH 。 ∴CH=

24 。 5
又∵CH=HE,∴CE=2CH=

48 。 5

【考点】圆的综合题,圆周角定理。垂径定理,相似三角形的判定和性质,勾股定理。 【分析】(1)首先利用等角对等边证明:∠ACP=∠CAP 得到:PA=PC,然再证明 PC=PQ, 即可得到 P 是 AQ 的中点。 (2)首先证明:△CAQ∽△CBA,依据相似三角形的对应边的比相等求得 AC、BC
- 67 -

的长度,然后根据直角三角形的面积公式即可求得 CH 的长,则可以求得 CE 的长。 34. (2012 四川成都 10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于 H,过 CD 延长线上一 点 E 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 F.切点为 G,连接 AG 交 CD 于 K. (1)求证:KE=GE; (2)若 KG 2 =KD· GE,试判断 AC 与 EF 的位置关系,并说明理由; (3) 在(2)的条件下,若 sinE=

3 ,AK= 2 5 ,求 FG 的长. 5

【答案】解: (1)证明:如答图 1,连接 OG。 ∵EG 为切线,∴∠KGE+∠OGA=90° 。 ∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90° 。 又 OA=OG,∴∠OGA=∠OAG。 ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。 (2)AC∥EF,理由如下: 连接 GD,如答图 2 所示。 ∵KG2=KD?GE,∴

KG KD 。 ? GE KG

又∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK。 ∴∠E=∠AGD。 又∵∠C=∠AGD,∴∠E=∠C。∴AC∥EF。 (3)连接 OG,OC,如答图 3 所示。 由(2)∠E=∠ACH,∴sinE=sin∠ACH= ∴可设 AH=3t,则 AC=5t,CH=4t。 ∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。 在 Rt△AHK 中,根据勾股定理得 AH2+HK2=AK2,即(3t)
2

3 。 5

+t2=( 2 5 )2,解得 t= 2 。

- 68 -

设⊙O 半径为 r,在 Rt△OCH 中,OC=r,OH=r﹣3t,CH=4t,
2 2 2 由勾股定理得: OH2+CH2=OC2, 即 (r﹣3t) + (4t) =r , 解得 r=

25 25 t= 2。 6 6

∵EF 为切线,∴△OGF 为直角三角形。 在 Rt△OGF 中,OG=r=

CH 4 25 2 ,tan∠OFG=tan∠CAH= ? , AH 3 6

25 2 OG 25 ? 6 ? 2。 ∴FG= 4 tan?OFG 8 3
【考点】切线的性质,勾股定理,垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,相似 三角形的判定和性质,平行的判定,锐角三角函数定义。 【 分 析 】 ( 1 ) 如 答 图 1 , 连 接 OG . 根 据 切 线 性 质 及 CD⊥AB , 可 以 推 出 连 接 ∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到 KE=GE。 (2)AC 与 EF 平行,理由为:如答图 2 所示,连接 GD,由∠KGE=∠GKE,及 KG2=KD?GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD 与△EKG 相 似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到 AC∥EF。 (3)如答图 3 所示,连接 OG,OC.首先求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定 理可以求解;然后在 Rt△OGF 中,解直角三角形即可求得 FG 的长度。 35. (2012 广西钦州 10 分)如图, AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,直线 EF 经过点 C, AD⊥EF 于点 D,∠DAC=∠BAC. (1)求证:EF 是⊙O 的切线; (2)求证:AC2=AD?AB; (3)若⊙O 的半径为 2,∠ACD=30° ,求图中阴影部分的面积.

【答案】解: (1)证明:连接 OC, ∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA。 ∵∠DAC=∠BAC,∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。 ∵AD⊥EF,∴OC⊥EF。

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∵OC 为半径,∴EF 是⊙O 的切线。 (2)证明:∵AB 为⊙O 直径,AD⊥EF, ∴∠BCA=∠ADC=90° 。 ∵∠DAC=∠BAC,∴△ACB∽△ADC。 ∴

AD AC 。∴AC2=AD?AB。 ? AC AB

(3)∵∠ACD=30° ,∠OCD=90° ,∴∠OCA=60° . ∵OC=OA,∴△OAC 是等边三角形。∴AC=OA=OC=2,∠AOC=60° 。 ∵在 Rt△ACD 中,AD=

1 AC=1。 2

由勾股定理得:DC= 3 , ∴阴影部分的面积是 S=S 梯形 OCDA﹣S 扇形 OCA=

1 × (2+1)× 3 ﹣ 2

60 ? ? ? 22 3 3 2 ? ? ?。 360 2 3
【考点】圆的综合题,等腰(边)三角形的判定和性质,平行的判定和性质,切线的判定, 圆周角定理,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,扇形面积。 【分析】 (1)连接 OC,根据 OA=OC 推出∠BAC=∠OCA=∠DAC,推出 OC∥AD,得出 OC⊥EF,根据切线的判定推出即可。 (2)证△ADC∽△ACB,得出比例式,即可推出答案。 (3)求出等边三角形 OAC,求出 AC、∠AOC,在 Rt△ACD 中,求出 AD、CD,求 出梯形 OCDA 和扇形 OCA 的面积,相减即可得出答案。 36. (2012 广西贵港 11 分)如图,Rt△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切于点 D、 E、F,且 ∠ACB=90° ,AB=5,BC=3。点 P 在射线 AC 上运动,过点 P 作 PH⊥AB,垂足为 H。 (1)直接写出线段 AC、AD 以及⊙O 半径的长; (2)设 PH=x,PC=y,求 y 关于 x 的函数关系式; (3)当 PH 与⊙O 相切时,求相应的 y 值。

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【答案】解:(1)AC=4;AD=3,⊙O 半径的长为 1。 (2)在 Rt△ABC 中,AB=5,AC=4,则 BC=3。 ∵∠C=90° ,PH⊥AB,∴∠C=∠PHA=90° 。

PH AP AC ? PC x 4?y ,即 ? 。 ? ? BC AB AB 3 5 5 5 ∴ y ? ? x+4 ,即 y 与 x 的函数关系式是 y ? ? x+4 。 3 3
∵∠A=∠A, ∴△AHP∽△ACB。∴ (3)如图,P′H′与⊙O 相切于点 M,连接 OD,OE,OF,OM。 ∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90° ,OM=OD, ∴四边形 OMH′D 是正方形。∴MH′=OM=1。 ∵CE、CF 是⊙O 的切线,∠ACB=90° , ∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90° ,CF=CE。 ∴四边形 CEOF 是正方形,CF=OF=1。 ∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即 x=y。 又由(2)知, y ? ? x+4 ,∴ y ? ? y+4 ,解得 y ?

5 3

5 3

3 。 2

【考点】圆的综合题,圆的切线性质,勾股定理,正方形的判定和性质,相似三角形的判定 和性质。 【分析】(1)连接 AO、DO,EO,FO,设⊙O 的半径为 r, 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AC= AB2 ? BC2 ? 4 , ∴⊙O 的半径 r=

1 1 (AC+BC-AB)= (4+3-5)=1。 2 2

∵CE、CF 是⊙O 的切线,∠ACB=90° , ∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°, CF=CE 。 ∴ 四 边 形 CEOF 是 正 方 形 。 ∴CF=OF=1。 又∵AD、AF 是⊙O 的切线,∴AF=AD。∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3,即 AD=3。
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(2)通过相似三角形△AHP∽△ACB 的对应边成比例知, 将“PH=x,PC=y”代入求出即可求得 y 关于 x 的函数关系式。

PH AP AC ? PC , ? ? BC AB AB

(3)根据圆的切线定理证得四边形 OMH′D、四边形 CFOE 为正方形;然后利用正 方形的性质、圆的切线定理推知 P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即 x=y;最后将其代入(2) 中的函数关系式即可求得 y 值。 37. (2012 贵州安顺 12 分)如图,在⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 相交于点 P,∠CAB=40° , ∠APD=65° . (1)求∠B 的大小; (2)已知 AD=6,求圆心 O 到 BD 的距离.

【答案】解: (1)∵∠APD=∠C+∠CAB,∠CAB=40° ,∠APD=65° , ∴∠C=65° ﹣40° =25° 。 ∴∠B=∠C=25° 。 (2)过点 O 作 OE⊥BD 于 E,则 DE=BE, 又∵AO=BO,∴OE=

1 1 AD= × 6=3。 2 2

∴圆心 O 到 BD 的距离为 3。 【考点】圆周角定理,三角形外角性质,垂径定理,三角形中位线定理。 【分析】(1)根据圆周定理以及三角形外角求出即可。 (2)利用三角形中位线定理得出 OE=

1 AD,即可得出答案。 2

38. 2012 云南省 7 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于 点 M,与 BD 相交于点 N,连接 BM,DN. (1)求证:四边形 BMDN 是菱形; (2)若 AB=4,AD=8,求 MD 的长.

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【答案】解:( 1 )证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC 。∴∠BNO=∠DMO , ∠NBO=∠MDO。 ∵MN 是 BD 的中垂线,∴OB=OD,BD⊥MN。 ∴△BNO≌△DMO(AAS)。∴ON=OM。 ∴四边形 BMDN 的对角线互相平分。∴四边形 BMDN 是平行四边形。 ∵BD⊥MN,∴平行四边形 BMDN 是菱形。 (2)∵四边形 BMDN 是菱形,∴MB=MD。 设 MD 长为 x,则 MB=DM=x,AM=8-x。 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=900。 在 Rt△AMB 中,BM2=AM2+AB2,即 x2=(8-x)2+42,解得:x=5。 答:MD 长为 5。 【考点】矩形的性质,线段垂直平分线的性质,平行四边形的性质,菱形的判定和性质,全 等三角形的判定和性质,勾股定理。 【分析】 (1) 根据矩形性质求出 AD∥BC, 根据 OB=OD 和 AD∥BC 推出△BNO≌△DMO , OM=ON,得出平行四边形 BMDN,推出菱形 BMDN。 (2) 根据菱形性质求出 DM=BM, 在 Rt△AMB 中, 根据勾股定理得出 BM2=AM2+AB2, 推出 x2=x2-16x+64+16,求出即可。 39. (2012 山东淄博 9 分)在矩形 ABCD 中,BC=4,BG 与对角线 AC 垂直且分别交 AC, AD 及射线 CD 于点 E,F,G,AB=x. (1)当点 G 与点 D 重合时,求 x 的值; (2)当点 F 为 AD 中点时,求 x 的值及∠ECF 的正弦值.

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【答案】解:(1)当点 G 与点 D 重合时,点 F 也与点 D 重合。 ∵矩形 ABCD 中,AC⊥BD,∴四边形 ABCD 是正方形。 ∵BC=4,∴x= AB= BC=4。 (2)∵点 F 为 AD 中点,BC=4,∴AF=2。 ∵ ∴ 矩 形 ABCD 中 , AD∥BC , ∴△AEF∽△BEB 。

AE FE AF 2 1 ? ? ? ? 。 CE BD CB 4 2
∴ CE=2AE,BD=2FE 。∴ AC=3AE,BF=3FE 。 ∵矩形 ABCD 中,∠ABC=∠BAF=900, ∴ 在 Rt△ABC 和 Rt△BAF 中 由 勾 股 定 理 得

AC2 =AB2 +BC2,BF2 =AF2 +AB2 ,
即 ? 3AE ? =x 2 +42,? 3FE ? =22 +x 2 。
2 2

两式相加,得 9 AE 2 +FE 2 =2x 2 +20 。 又∵AC⊥BG,∴在 Rt△ABE 中, AE 2 +FE 2 =AB 2 =x 2 。 ∴ 9x 2 =2x 2 +20 ,解得 x=

?

?

2 35 (已舍去负值)。 7

1 ? 20 1 ? 20 ? 48 132 528 ? 132 ,FE 2 = ? ? 4+ ? = ,CE 2 =4AE 2 =4 ? = ∴ AE 2 = ? ? +16 ? = 。 9 ? 7 9 ? 7 ? 63 63 63 ? 63
∴在 Rt△CEF 中由勾股定理得 CF2 =FE2 +CE2 =

48 528 576 。 + ? 63 63 63

48 CF2 63 1 3 = 。∴ sin ?ECF= ∴ ? sin ?ECF ? = 2 = 。 576 12 6 EF 48
2

【考点】矩形的性质,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三
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角函数定义。 【分析】(1)由点 G 与点 D 重合得出四边形 ABCD 是正方形即可求得 x 的值。 ( 2 ) 由 点 F 为 AD 中 点 和 矩 形 的 性 质 , 得 △AEF∽△BEB , 从 而 得

AC=3AE,BF=3FE 。在 Rt△ABC、 Rt△BAF 和 Rt△ABE 应用勾股定理即可求得 x 的值。
在 Rt△CEF 中应用勾股定理求得 CF,根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF 的正弦值。

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2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)专题09_几何综合问题2(学生版)
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2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题2 函数问题
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2012年全国中考数学(100套)压轴题分类解析汇编专题2:函数问题
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