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甘肃省高台县第一中学2014届高三2月月考数学(理)试题


高台县第一中学 2014 届高三 2 月月考 数学(理)试题
1.设集合 A ? ? x |

? ?

1 ? ? x ? 2? , B ? ?x | x 2 ? 1? ,则 A ? B ? ( 2 ?
B. ?x | ?1 ? x ? 2? C. ? x |



A. ?x

|1 ? x ? 2?

? ?

1 ? ? x ? 1? D. ?x | ?1 ? x ? 1? 2 ?


2.复数 z ? (a ? i)(3 ? 4i) ? R ,则实数 a 的值是( A. ?

3 4

B.

3 4

C.

4 3

D.-

3.将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图象向左平移 于( A.4 ) B.6 C.8

? 个单位,若所得图象与原图象重合,则 ? 的值不可能等 2
D.12

4 3

4.已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? A.

4 3

B.

3 4

3 ,则 tan(? ? ? ) 的值是( ) 5 4 3 C. ? D. ? 3 4
)

5.已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则(

1 2 1 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2
A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?
?

6.如图,菱形 ABCD 的边长为 2 ,?A ? 60 , M 为 DC 的

???? ? ???? N AM ? AN 的最 中点,若 为菱形内任意一点(含边界) ,则
大值为( A. 3 ) B. 2 3 C. 9 D.6 )

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点在圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 上,则双曲线的渐近线方程为( 7.已知双曲线 9 m
A. y ? ?

3 x 4

B. y ? ?

4 x 3

C. y ? ?

2 2 x 3

D. y ? ?

3 2 x 4

8 . 2010 年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱,某地区大面积植树造林,如图,在区域

{( x, y) | x ? 0, y ? 0} 内植树,第一棵树在 A1 (0, 1) 点,第二棵树在 B1 (1, 1) 点,第三棵树在 C1 (1, 0) 点,第四棵树在 C2 (2, 0) 点,接着
按图中箭头方向,每隔一个单位种一颗树,那么,第 2014 棵树所在的 点的坐标是( A.(9,44) ) B.(10,44) C.(10.43) D.(11,43)

9 . 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 A , 若 存 在 非 零 实 数

t , 使 得 对 于 任 意 x ? C (C ? A) 有 x ? t ? A, 且

f ( x ? t ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 C 上的 t 度低调函数.已知定义域为 ?0, +? ? 的函数 f ( x)= ? mx ? 3 ,且 f ( x) 为 ?0, +? ? 上的 6 度低调函数,那么实数 m 的取值范围是(
A. ?0,1? B. ?1, +? ? C. ? ??,0? D. ? ??,0? ? ?1, ??? )

10.执行右面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于 ( ) A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] )

11.设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 ( A. [-x] = -[x] C.[x+y]≤[x]+[y] B.[2x] = 2[x] D.[x-y]≤[x]-[y]

12.如图,在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点,EF⊥DE,且 BC=1,则正三棱锥 A-BCD 的体积是( )

A.

2 24

B.

3 12

C.

2 12

D.

3 24

第Ⅱ卷(90 分) 二、填空题 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 a ? (1, 2) ,向量 b( x, ?2) ,且 a ? (a ? b) ,则实数 x 等于______________.

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 14.设实数 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, ,若目标函数 z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 8,则 ? x ? 0, y ? 0 ?
a+b 的最小值为_____________.

15.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ( n ? N ) ,则 a8 的值是__________.
*

16 . 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 两 条 渐 近 线 与 抛 物 线 a 2 b2

y2 ? 2 px ? p ? 0? 的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点.若双曲线的离心率
为 2, ?AOB 的面积为 3 ,则 p ? _________. 三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ( 本 题 满 分 12 分 ) 设 三 角 形 ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 为

a, b, c , m ? (cos A, cosC), n ? ( 3c ? 2b, 3a) ,且 m ? n .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 AC=BC,且 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积.

18. (本题满分 12 分)某市职教中心组织厨师技能大赛,大赛依次设基本功(初赛) 、面点制作(复赛) 、 热菜烹制(决赛)三个轮次的比赛,已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 次通过与否相互独立. (I)设该选手参赛的轮次为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)对于(I)中的 ? ,设“函数 f ( x) ? 3sin 率.

3 2 1 , , 且各轮 4 3 4

x ?? ? ( x ? R) 是偶函数”为事件 D,求事件 D 发生的概 2

19. (本题满分 12 分) 如图, 在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , BD 交 AC 于点 E , F 是 PC 中点, G 为 AC 上一动点. (1)求证: BD ? FG ; (1)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG //平面 PBD ,并说明理由. (3)如果 PA=AB=2,求三棱锥 B-CDF 的体积

20. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x . 2

(Ⅰ)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x ) 的极值,并指出是极大值还是极小值; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求证:在区间 [1, ??) 上,函数 f ( x ) 的图像在函数 g ( x) ?

2 3 x 的图像的下方. 3

21. (本题满分 12 分)已知 F 1 、 F2 分别是椭圆 上顶点的距离为 2,若 a ? 6c .
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,右焦点 F2 (c,0) 到 a 2 b2

(Ⅰ)求此椭圆的方程; (Ⅱ)点 A 是椭圆的右顶点,直线 y ? x 与椭圆交于 M 、 N 两点( N 在第一象限内) ,又 P 、 Q 是此椭

??? ? ???? ? ? ??? ? ???? ? NP NQ ? ???? ? ? ???? ? ? F1 F2 ? 0 ,求证:向量 PQ 与 AM 共线. 圆上两点,并且满足 ? ??? ? | NP | | NQ | ?

四、选做题: 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ACBD 内接于圆O,对角线 AC 与 BD 相交于 M, AC⊥BD,E 是 DC 中点连结 EM 交 AB 于 F,作 OH⊥AB 于 H, 求证: (1)EF⊥AB (2)OH=ME

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 ? y ? 5 ? 5sin t

坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 。 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=6, 2a ? 2b ? 1 ? 2c ? 3 ? x ? 2 ? x ? m 对任意 x∈R 恒成立,求 m 的 取值范围.

参考答案

当 a=-1 时,f′(x)=x-

2分

令 f′(x)=0 得 x=1 或 x=-1(舍去), 3分 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0, 因此函数 f(x)在(0,1)上是单调递减的, 4分 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,因此函数 f(x)在(1,+∞)上是单调递增的, 5 分 则 x=1 是 f(x)极小值点, 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值为 f(1)= (Ⅱ)证明

1 2

6分

设 F(x)=f(x)-g(x)=

1 2 2 3 x +ln x- x , 2 3

则 F′(x)=x+

-2x = 9分

2



8分

当 x>1 时,F′(x)<0,

kPQ ? k AM ; 所
以向量 PQ 与 AM 共线. 22.解析(1)? AC ? BD, CE ? DE

??? ?

???? ?

? ME ? CE


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