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2012高考数学热点集锦:三角化简和求值


三角化简和求值 【两年真题重温】
【2011 ? 新课标全国理】已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线
y ? 2 x 上,则 cos 2? ? (
? 4 5 ? 3

).
3 4

A.

B. 5

C. 5

r />D. 5



s in ? ?

y r

?

2 5

5

, ? c o s 2 ? ? 1 ? 2 s in ? ? ?
2

. 5 故选 B.

3

【2010 ? 新课标全国理】 如图, 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 P( 2 , 0 - 2) ,角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

【解析】通过分析可知当 t ? 0 时,点 P 到 x 轴距离 d 为 2 ,于是可以排除答案 A,D,再根据
4 时,可知点 P 在 x 轴上此时点 P 到 x 轴距离 d 为 0,排除答案 B,应选 C. 当 命题意图: 本题的求解可以利用排除法, 根据某具体时刻点 P 的位置到到 x 轴距离来确定答案. t ?

?

d ? 2 s in ( t ?

?
4

)

本题也可以借助解析式

来处理.

1 ? ta n
cos ? ? ? 4 5 , ? 是第三象限的角,则

? ?
2 ?

【2010 ? 新课标全国理】若
? 1 2 1

1 ? ta n

2

(A)

(B) 2

(C) 2 (D) -2

【答案】A
s in a ? ? 4 5 , a 是第三象限的角,故

【解析】因
cos a ? ? 3 5

, s in ( a ?

?
4

) ? s in ? ?

2 2

? cos ? ?

2 2

? (?

4 5

?

3 5

)?

2 2

? ?

7

2

.

10

【命题意图猜想】
1. 三角函数的化简、求值及最值问题,主要考查同角三角函数的基本关系式,三角函数的 诱导公式,和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用,考查利用三角公式进 行恒等变形的技能,以及基本运算的能力,特别突出算理方法的考查. 2.2011 年的试题主要考查三角函数的概念、二倍角的余弦公式.2010 年试题主要考查三角恒 等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.通过这两 年试题来看,二倍角公式是必考的内容,是一个核心. 3.从近几年的高考试题来看,利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称,利用诱导公式、 和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点,常与三角函数式的求值、三角函 数的图象与性质、向量等知识综合考查,既有选择题、填空题,又有解答题,属中低档题.

【最新考纲解读】
1.任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念. (2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2.和与差的三角函数公式 (1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. (3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式,了解它们的内在联系. 3.简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组 公式不要求记忆).

? ? (3)主化锐:当已知角是 9 0 到 360 内的角时,可利用 180 ? ? , 270 ? ? , 360 ? ? 的诱导公

?

?

?

式把这个角的三角函数值化为 0 到 9 0 内的角.

?

?

二. 两角和与差的三角函数公式
1. 两角和与差的正弦公式: 变形式:
sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ?
sin ? ? ? ?

??

sin ? cos ? ? cos ? sin ? .

??

2 sin ? cos ? ; sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ?

??

2 cos ? sin ? ;

2.两角和与差的余弦公式: 变形式:

cos ? ? ? ?

?? ??

cos ? cos ? ? sin ? sin ? 2 co s ? co s ? ;

cos ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ?

cos ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ?

??

2 sin ? sin ? ;
ta n ? ? ta n ?

3. 两角和与差的正切公式:

tan ? ? ? ?

??

1 ? ta n ? ta n ?

( ? 、 ? 、 ? ? ? ? k? ?

?
2

( k ? Z ))

.

tan ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? 变形式: tan ? ? tan ? ? . 注意:运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的 是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆 公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题 设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的 切入点.

【方法技巧提炼】
1. 正、余弦三兄妹“ sin x ? cos x 、 sin x ? cos x ”的应用
sin x ? cos x
s in x c o s x ?
2 与 sin x ? cos x 通过平方关系联系到一起,即 (sin x ? cos x ) ? 1 ? 2 sin x cos x ,

(s in x ? c o s x ) ? 1
2

, s in x c o s x ?

1 ? (s in x ? c o s x ) 2

2

.

2

因此在解题中若发现题设条件

有三者之一,就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.
cos 例 1 已知关于 x 的方程 2 x ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? 、 ? ,其中 ? ? (0, 2 ? ) . (1)求 m 的值;
2

s in ?

(2)求 1 ? c o t ?

?

cos ? 1 ? ta n ? 的值.

? ? s in ? ? c o s ? ? ? ? ? s in ? c o s ? ? m ? 2 解: (1)由根与系数的关系知, ?
2 2 2

3 ?1 2


3 ? 2 ?m ?1

又 sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos ? ) ? 2 sin ? cos ? ? 1 ,知
s in ?

2
2

,求得
2

m ?

3 2 .

(2)由 1 ? c o t ?
s in ?

?

cos ? 1 ? ta n ?

?

s in ?
2

s in ? ? c o s ?
3 ?1 2

?

cos ?
2

c o s ? ? s in ?

?

s in ? ? c o s ? s in ? ? c o s ?

? s in ? ? c o s ?

故 1 ? cot ?

?

cos ? 1 ? ta n ? 的值为



(1 ? 2 tan ? ) ? 5 sec ? ? 5(1 ? tan ? ), ? tan 2 ? ? 4 tan ? ? 4 ? 0 ,解得 tan ? ? 2. 【点评】此法就是采用了把弦化成了切的形式,原因是化简的目标是得到 tan ? .注意为了把 sec ? 转化,采用了平方技巧.
2 2 2

s in ?

解析二: 采用“切化弦”.要求 tan ? ,即求 c o s ? .
? c o s ? ? 2 s in ? ? ? 5 ? 2 ? s in ? ? ( ? ? 2 2 ? s in ? ? c o s ? ? 1 ? 5 ? 2 s in ? ) ? 1
2

? 5 sin ? ? 4 5 sin ? ? 4 ? 0 ,解得
2

s in ? ? ?
2

2 5

5

, cos ? ? ?

5 5

,

则 tan ? ? 2.

【 点评】 此法巧 妙利用已 知的结 论 sin ? ? cos ? ? 1 ,与 已知组成 方程组 ,从而 解出
2

此题解关于 sin ? 的二次方程时, 正好是一个完全平方式, 显得就比较简单了. 但是一般情况下,采用此法要得到两个解,需要根据题设条件舍掉一个.所以此法慎用. 解析三:利用齐次方程.
5

s in ? ? ?

2

5

,

cos ? ? 2 sin ? ? ? 5 , 两边平方可得,
c o s ? ? 4 s in ? ? 4 c o s a s in a ? 5
2 2

? c o s ? ? 4 s in ? ? 4 c o s a s in a ? ( s in ? ? c o s ? ) 5
2 2 2 2

? s in ? ? 4 c o s ? ? 4 c o s a s in a ? 0
2 2

2 2 两边除以 co s ? ,可得 tan ? ? 4 tan ? ? 4 ? 0 ,解得 tan ? ? 2.

ta n ? ?

b a 确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角 ? 为特殊角的情况即

可. 如
s in x ? c o s x ? 2 s in ( x ?

?
4

), s in x ?

3 c o s x ? 2 s in ( x ?

?
3
2

),

3 s in x ? c o s x ? 2 s in ( x ?

?
6

)

等.
3 17 7 sin 2 x ? 2 cos ?? ? cos ? ? x ? ? , ? ? x ? ? ,求 5 12 4 1 ? tan x ? 4 ? 例3若 x 的值

.

? ?? ? ? 7 ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? 而 sin 2 x ? sin ? 2 ? ? x ? ? ? ? ? c o s 2 ? ? x ? ? ? ? 2 c o s ? ? x ? ? 1 ? ? ? 2? ? 4 ? ? 4 ? ? ? 4 ? ? 25

【考场经验分享】
1. 在利用三角函数定义时, P 可取终边上任一点, 点 如有可能则取终边与单位圆的交点. OP| | =r 一定是正值. 2.同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系 在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围判断符号,正确取舍. 3.使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特别是在具体题目中出现类似 k π ±α (k∈Z)的形式时,需要对 k 的取值进行分类讨论,从而确定三角函数值的正负. 4.重视三角函数的“三变”“三变”是指“变角、变名、变式” : ;变角为:对角的拆分要尽可 能化为同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能 有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、 所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形. 5.本热点一般难度不大,属于得全分的题目,一般放在选择题的中间位置.但是因题目解法的

灵活性造成在紧张的考试氛围里面,容易一时的思路堵塞,需冷静处理.如果一时想不到化简 的方向,可暂且放一放,不要钻牛角尖,否则可能造成心理负担,情绪受到影响.因新课标高 考对这个热点考查难度已经降低,同学们应有必胜的信心.

【新题预测演练】
1.【福州市 2012 届第一学期期末高三质检】
cos ? ? 3 5 ”是 “ c o s 2? ? ? 7 2 5 ”的



A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2. 【2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】
sin 150 =
1 1
?

3

3

A. 2

B.- 2

C. 2

D.- 2

【答案】A
s in 1 5 0 = s in (1 8 0 ? 3 0 ) ? s in 3 0 ?
? ? ? ?

1

【解析】

, 2 故答案为 A.

3.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】
(sin 22.5 ? ? cos 22.5 ? ) 的值为
2


1? 2 2



1?

2 2

A.

B. D.2

C. 2 ? 1 【答案】 B
? ? 2 ?

【解析】 B. 4.【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末检测】
tan( ? ? ? ) ? ? 1

(s in 2 2 .5 ? c o s 2 2 .5 ) ? 1 ? 2 s in 2 2 .5 c o s 2 2 .5 ? 1 ? s in 4 5 ? 1 ?

?

?

2 2

.

故答案为

cos 2 ?
2



3 ,则 2 sin ? cos ? ? cos

? 的值为(



8

8

8

?

8 7

A. 3

B. 5

C. 15

D.

6.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】 若 ? ? ? ? 30 ? , 则 sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? ?
2 2

( D. sin ?
2



1

3

A. 4 【答案】B

B. 4
?

C. co s ?
2 2 2

【解析】将 ? ? a ? 3 0 代入 sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? 整理为:
s in ? ? c o s ( a ? 3 0 ) ? s in ? c o s ( a ? 3 0 )
2 2 ? ?

? s in ? ? (c o s a c o s 3 0 ? s in a s in 3 0 ) ? s in ? (c o s a c o s 3 0 ? s in a s in 3 0 )
2 ? ? 2 ? ?

? s in ? ? (
2

3 2

cos a ?

1 2

s in a )(

3 2

cos a ?

1 2

s in a ? s in ? )

? s in ? ? (
2

3 2

cos a ?

1 2

s in a )( 1 2

3 2

cos a ?

1 2

s in a )

? s in ? ? (
2

3 2

cos a ) ? (
2 2

s in a ) 3 4

2

? s in ? ?
2

3 4

cos a ?

1 4

s in a ?
2

(s in ? ? c o s a ) ?
2 2

3 4

.

故答案为 B.
0 ?? ?

?
2 ,

7. [2011 浙江卷] 若

?

?
2

? ? ? 0



cos(

?
4

??) ?

1 3,

cos(

?
4

?

?
2

)?

3 3 ,



c o s (? ?

?
2

) ?

3

?

3 3

5

3

?

6 9

A. 3

B.

C. 9

D.

【解析】由
c o s (? ? 5?

s in ? ? ?

3 5

,? ? (?

?
2

, 0) 5?



cos ? ?

4 5 ,

4 4 4 所以 = 2 9. 【河北省普通高中 2012 届高三教学质量检测试题】

) ? cos

5?

c o s ? ? s in

s in ?

?

2

(

4 5

?

3 5

)? ?

7

2

10

.

ta n (

?
4

? ? ) c o s 2?
2

计算 A.—2

2 cos (

?
4

??)

的值为 B. 2

C. -1

( ) D. 1

11.【2011 ? 江西卷】已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 中边上的一点,且 【答案】 ? 8 【解析】先计算 r ?
s in ? ? y r ? y 16 ? y
2

P ? 4, y ?

是角 ?

s in ? ? ?

2 5

5

,则 y=



x ? y
2

2

?

16 ? y

2

s in ? ? ?

2 5

5

,且

,所以

5 ,∴ ? 为第四象限角,则 y ? ? 8 . = 12. 【北京顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示】

?

2

5

已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P ( ? 3, 3 ) .则
sin 2? ? tan ? =
? 3 6
s in ? ? 1 2 ,

.

【答案】

【解析】因为角 ? 终边经过点 P ( ? 3, 3 ) ,所以
? s in 2 ? ? ta n ? ? 2 s in ? c o s ? ? ta n ? ? ? 3 2

cos ? ? ? 3 6 .

3 2 ,

ta n ? ? ?

3 3 ,

?

3 3

? ?

13.【2012 届江西省重点中学协作体高三第一次联考】
cos 2?
sin ? ? cos ? ? 1

已知

? ? ? ? ? ? 0, ? 2 ? ? 2 ,且

? ? ? s in ? ? ? ? 4 ? ? ,则

的值为

.

f ( x ) ? 2 cos

2

x 2

?

3 s in x

15.【2012 年丰台区高三期末考试】已知函数 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 ? 为第二象限角,且
f (? ?



?
3

) ?

1

c o s 2?

3 ,求 1 ? c o s 2 ? ? s in 2 ? 的值.
? 1 ? 2 cos( x ?

?
3

解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 1 ? co s x ?
?
3 1

3 sin x ,

)


1 3 .

所以函数 f ( x ) 的周期为 2 ? ,值域为 [ ? 1, 3] .
f (? ? ) ? 1 ? 2 cos ? =
2

1 3 ,即

cos ? ? ?

(Ⅱ)因为

3 ,所以

c o s 2?

因为 1 ? c o s 2 ? ? s in 2 ?
?

?

c o s ? ? s in ?
2

2 c o s ? ? 2 s in ? c o s ?
2

(c o s ? ? s in ? )(c o s ? ? s in ? ) 2 c o s ? (c o s ? ? s in ? )

?

c o s ? ? s in ? 2 cos ?



又因为 ? 为第二象限角, 所以

s in ? ?

2 3

2



?

c o s ? ? s in ? 2 cos ?

? ?

1 3

? ?

2 3 2 3

2 ? 1? 2 2 2

所以原式




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