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辽宁省鞍山市2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题(A卷)


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辽宁省鞍山市 2013-2014 学年高一下学期期末考试数学试题(A 卷) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480° 等于 1 A

.- 2 1 B. 2 3 2 3 2

C.-

D.

2 .某大学数学系共有本科生 1 000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4∶3∶2∶1,要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样 本,则应抽取三年级的学生人数为 A.80 B.40 C.60 D.20 ).

3.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( A.e1=(0,0),e2=(1,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10)

B.e1=(-1,2),e2=(5,7) 1 3? D.e1=(2,-3),e2=? ?2,-4?

4.计算机执行下面的程序段后,输出的结果是

a ? 1 ; b ? 3 ; a ? a ? b ; b ? a ? b ;print(%io(2),a,b)
A.4,-2 B.4,1 C.1,4 D.-2,4

5.一次选拔运动员,测得 7 名选手的身高(单位:cm)分布茎叶图为 ?18?0 1

? ? ?17?0 3 x 8 9
C.7

记录的平均身高为 177 cm,有一名选手的身高记录不清楚,其末位数记为 x,那么 x 的值为 A.5 6.要得到 y ? 3 sin(2 x ? A.向左平移 C.向左平移

?

B.6

D.8

?

4

) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象

?

4

个单位 个单位

B.向右平移 D.向右平移

?
4

个单位

8

? 个单位 8

7.最小二乘法的原理是

8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A. ? 3 B. ?
3 2

C. 3
1

D.

3 2

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9.若|a|=2sin 15° ,|b|=4cos 15° ,a 与 b 的夹角为 30° ,则 a· b 的值是 A. 3 2 B. 3 C.2 3 1 D. 2

10.在△ABC 中,a=4,b=4 3,角 A=30° ,则角 B 等于 A.30° B.30° 或 150° C.60° D.60° 或 120°

1 11.设 cosα=- ,α∈(0,π),则 α 的值可表示为 6 1 A.arccos 6 1 B.-arccos 6 1 C.π-arccos 6 1 D.π+arccos 6

π? 3 5 ? π ? 12.已知 cos(α-β)= ,sinβ=- ,且 α∈? ?0,2?,β∈?-2,0?,则 sin α= 5 13 33 A. 65 63 B. 65 33 C.- 65 63 D.- 65

2

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第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

共 90 分)

13.执行如图所示的程序框图,若输入 x=10,则输出 y 的值为_____. 14.在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的距离至少有 一个小于 1 的概率是________. 15.sin 1,sin 2, sin 3,sin 4 的大小顺序是________. 16.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c)=0, 则|c|的最大值是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 10 分) 为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽 样调查,测得身高情况的统计图如下: (Ⅰ)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (Ⅱ) 从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高 在 185~190 cm 之间的概率. 18. (本小题满分 12 分) 下表数据是水温度 x(℃)对黄酮延长性 y(%)效应的试验结果,y 是以延长度计算的,且对于给定的 x,y 为变量. x(℃) y(%) (Ⅰ)求 y 关于 x 的回归方程; (Ⅱ)估计水温度是 1 000 ℃时,黄酮延长性的情况. 300 40 400 50 500 55 600 60 700 67 800 70

?? (可能用到的公式: b

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

? 是对回归直线方程 y ? ,其中 a ? 、b ? ? y ? bx ? ? a ? bx 中 ,a

2 i

? nx

2

系数 a 、 b 按最小二乘法求得的估计值) 19. (本小题满分 12 分)

— 3 — 在△ABC 中,中线长 AM=2. → → → → → (Ⅰ)若OA=-2OM,求证:OA+OB+OC=0; → → → (Ⅱ)若 P 为中线 AM 上的一个动点,求PA· (PB+PC)的最小值.

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20. (本小题满分 12 分) 如图△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,且 AD ? AC ? 0 , sin ?BAC ?
AB ? 3 2 , BD ? 3 .

2 2 , 3
A

(Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cosC.
C D
(第 20 题图)

B

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=-2 3sin2x+sin 2x+ 3. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间;

(Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象.

22. (本小题满分 12 分) π? 函数 y=2cos(ωx+θ)? ?x∈R,ω>0,0≤θ≤2?的图象与 y 轴交于点(0, 3),且该函数的最小正周期为 π. (Ⅰ)求 θ 和 ω 的值; π ? 3 ?π ? (Ⅱ)已知点 A? ?2,0?,点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当 y0= 2 ,x0∈?2,π? 时,求 x0 的值.

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高一数学 A 参考答案及评分标准

18 解 (1) 列出下表并用科学计算器进行有关计算. i xi yi xiyi x2 i 1 300 40 12 000 90 000 2 400 50 20 000 160 000 3 500 55 27 500 250 000 4 600 60 36 000 360 000 5 700 67 46 900 490 000 6 800 70 56 000 640 000

x =550; y =57;

于是可得

^

b=
^ ^



198 400-6×550×57 ≈0.058 86, 1 990 000-6×5502

………6 分

a= y -b x =57-0.05 886×550=24.627.
^

因此所求的回归直线的方程为:y=0.058 86x+24.627. (2 将 x=1 000 代入回归方程得

………8 分

y=0.058 86×1 000+24.627=83.487,即水温度是 1 000 ℃时,黄酮延长性大约是 83.487% ………12 分
5

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21 解:(1)f(x)= 3(1-2sin2x)+sin 2x π =sin 2x+ 3 cos 2x=2sin(2x+ ), 3 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π π 5π π π 由 2kπ- <2x+ <2kπ+ 得 kπ- <2x+ <kπ+ 2 3 2 12 3 12 5π π 所以 f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 12 12 (2)列表: π π x 0 12 3 π π π π 2x+ 3 3 2 f(x) 2 0 3 描点连线得图象,如图所示.

………3 分 ………5 分

………8 分 7π 12 3π 2 -2 5π 6 2π 0

π 7π 3 3

6

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………12 分

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