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第2章---第6节


2012 ·优 化 探 究 ·高 考 总 复 习·数 学
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一、对数的概念与运算

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二、对数函数

1.对数函数的定义
函数y=log a x (a>0且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的 定义域是(0,+∞). 2.对数函数的图象与性质 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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1. lg25+lg 4lg 5+lg22=( A.1 C.1+lg 5
答案:A

) B.2 D.1+lg 2
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2.(2010年高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x)=|l g x|,若a ≠b,且f (a)= f (b),则a+b的取值范围是( A.(1,+∞) C.(2,+∞) ) B.[1,+∞) D.[2,+∞)

解析:由已知得|lg a|=|lg b|,又 a≠b, ∴lg a=-lg b,∴lg ab=0, ∴ab=1, 1 ∴a+b=a+a>2.

答案:C
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答案:C

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3 4.若 loga <1(a>0,且 a≠1),则实数 a 的取值范围是________. 4

3 答案:0<a< 或 a>1 4

5.函数y=log3(9-x2)的定义域为A,值域为B,则A∩B=________. 山 东 金 太 答案:(-3,2] 阳 书 业 有 限 公 司
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【自主解答】 (1)原式

= lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2
课时知 能评估

=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2

=3(lg 2+lg 5)-2=1.

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(2)原式 1-2log6 3+?log6 3?2+?log6 = log6 4 6 ?· log6?6×3? 3

1-2log6 3+?log6 3?2+?1-log6 3??1+log6 3? = log6 4 1-2log6 3+?log6 3?2+1-?log6 3?2 = log6 4 2?1-log6 3? log6 6-log6 3 = = 2log6 2 log6 2 log6 2 = =1. log6 2
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(3)解法一

1 原式= log2( 2+ 3- 2- 3)2 2

1 = log2(4-2 ?2+ 3?×?2- 3?) 2 1 = log2(4-2) 2 1 1 = log2 2= . 2 2 解法二 4+2 3 4- 2 3 原式=log2( - ) 2 2

? 3+1?2 ? 3-1?2 =log2( - ) 2 2 ? 3+1?-? 3-1? =log2 2 2 1 =log2 =log2 2= . 2 2
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1.(2010年高考四川卷)2log510+log50.25=(
A. 0 C. 2 B.1 D. 4

)

解析:2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2. 答案:C

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【自主解答】

【答案】 A

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b 解析:函数 y=ax2+bx 的两个零点是 0,-a. b b 对于 A、B,由抛物线的图象知,-a∈(0,1),∴|a|∈(0,1). ∴函数 y= 不是增函数,错误; b 对于 C,由抛物线的图象知 a<0 且-a<-1, b b ∴b<0 且a>1,∴|a|>1, ∴函数 y= 应为增函数,错误; b 对于 D,由抛物线的图象知 a>0,-a∈(-1,0), b ∴|a|∈(0,1),满足 y= 为减函数.

答案:D
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已知函数f (x)=lg (ax-bx) (a>1>b>0),
(1)求y=f (x)的定义域; (2)在函数y=f (x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两 点的直线平行于x轴?
【自主解答】 ax (1)由 a -b >0 得(b) >1,
x x

a 且 a>1>b>0,得b>1,所以 x>0, 即 f(x)的定义域为(0,+∞).

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假设函数y=f (x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2), 使直线平行于x轴,则x1≠x2,y1=y2,这与f (x)是增函数矛盾.

故函数y=f (x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于 山 东 x轴. 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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3.已知函数f (x)=log a( ax-1)(a>0且a≠1), (1)证明:函数f (x)的图象在y轴的一侧;

(2)求函数y=f(2x)与y=f-1(x)的图象的交点坐标.
解析:由于a>0,且a≠1,所以从a>1,0<a<1两种情况来考虑. (1)证明:由ax-1>0,得ax>1. 当a>1时,得x>0;当0<a<1时,有x<0; 所以当a>1时,f (x)的图象在y轴的右侧; 当0<a<1时,f (x)的图象在y轴的左侧. 所以函数f (x)的图象始终在y轴的一侧.
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(2)由f (x)=log a (ax-1)有f-1(x)=log a (ax+1), 令loga(a2x-1)=log a (ax+1),

即a2x-1=ax+1且a2x-1>0,
由此解得ax=2,即x=loga2,

并代入f-1(x)=log a (ax+1),
得f-1(loga2)=loga3,

所以函数y=f(2x)与y=f-1(x)的图象的交点坐标为(loga2,loga3).

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(12 分)设函数 f(x)=2x-1 的反函数为 f 1(x),g(x)=log4(3x+1).


(1)若 f-1(x)≤g(x),求 x 的取值范围 D; 1- (2)设 H(x)=g(x)- f 1(x),当 x∈D(D 为(1)中所求)时函数 H(x)的 2 图象与直线 y=a 有公共点,求实数 a 的取值范围.

【思路分析】

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【规范解答】

(1)设 y=2x-1,∴y>-1,∴x=log2(y+1),

∴f-1(x)=log2(x+1)(x>-1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 x+1>0, ? ? ∴log2(x+1)≤log4(3x+1)等价于?3x+1>0, · · · · ·4 分 ? ??x+1?2≤3x+1, ∴0≤x≤1, ∴x 的取值范围 D 为[0,1]. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分

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1 (2)由(1)可得 H(x)=log4(3x+1)- log2(x+1) 2 =log4(3x+1)-log4(x+1) 3 x+ 1 =log4 ,x∈[0,1], · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 x+1 3x+1 2 =3- ,x∈[0,1], x+1 x+1

设 U(x)=

2 ∴U′(x)= >0,∴U(x)在[0,1]上为增函数. ?x+1?2

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又 y=log4U 为增函数, 3x+1 ∴H(x)=log4 为增函数, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 x+ 1 1 H(x)min=H(0)=0,H(x)max=H(1)=log42= , 2 1 ∴直线 y=a 与 H(x)图象有公共点,0≤a≤ . · · · · · · ·12 分 2

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4.设函数f(x)=loga(x-3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x) 图象上的点时,点Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)的图象上的点. (1)写出函数y=g(x)的解析式; (2)若当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定a的取值范 围.
解析:(1)设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 x′=x-2a,y′=-y,即 x=x′+2a,y=-y′. ∵点 P(x,y)在函数 y=loga(x-3a)的图象上, ∴-y′=loga(x′+2a-3a), 1 1 即 y′=loga ,所以有 g(x)=loga . x′-a x-a
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(2)由题意,x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0. 1 1 = >0,又 a>0 且 a≠1,∴0<a<1. x-a ?a+3?-a 1 ∵|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga | x-a =|loga(x2-4ax+3a2)|≤1. ∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1. ∵0<a<1,∴a+2>2a. 故 r(x)=x2-4ax+3a2 在区间[a+2,a+3]上为增函数.

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∴函数 u(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上为减函数,从 而[u(x)]max=u(a+2)=loga(4-4a),[u(x)]min=u(a+3)=loga(9-6a). 于是,所求问题转化为解不等式组 0<a<1 ? ? ?loga?9-6a?≥-1, ? ?loga?4-4a?≤1 9- 57 . 12

所以 a 的取值范围是 0<a≤

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近两年高考对对数和对数函数的考查题基本稳定,主要考查对数函 数的性质,利用性质比较大小和解不等式,难度不大,试题以选择

题、填空题为主,试题巧而易,解答题常与导数融汇,要求能力较
高. 2012年这部分知识考查还是以对数和对数函数的基础知识为主,不 要加深难度.特别关注解答题与导数的综合.

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解析:

答案:C

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2.已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 ________.
解析:令 t=3x,则 x=log3t, ∴f(t)=4log3tlog23+233 log2t =4 ×log23+233 log23 =4log2t+233. ∴f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28) =4×(1+2+3+…+8)+8×233 =144+1 864=2 008.

答案:2 008
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a 3.设函数 f(x)=loga(1-x),其中 0<a<1. (1)证明:f(x)是(a,+∞)上是减函数; (2)解不等式 f(x)>1.

a 解析:(1)证明:设 0<a<x1<x2,g(x)=1-x, a a a?x1-x2? 则 g(x1)-g(x2)=1- -1+ = <0, x1 x2 x1x2 ∴g(x1)<g(x2). 又∵0<a<1,∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(a,+∞)上是减函数.
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a (2)∵loga(1-x)>1,

x>a, ? ? a a ∴0<1-x<a,解得:? x < , ? ? 1-a

a ∴不等式的解集为:{x|a<x< }. 1-a

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