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2013-2014高中数学 2.3幂函数学案 新人教A版必修1


§2.3

幂函数

学 习目标 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和 性质; 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P77~ P79,找出疑惑之处) 复习 1:求证 y ? x3 在 R 上为奇函数且为增函数.

复习 2:1992 年底世界人口达到 54

.8 亿,若人口年平均增长率为 x%,2008 年底世界人口 数为 y(亿),写出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底世界人口数; (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式.

二、新课导学 ※学习探究 探究任务一:幂函数的概念 问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 , S 是 a 的函数; (2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a 3 , V 是 a 的函数; (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均速度 v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数.
1

新知:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 试试:判断下列函数哪些是幂函数. 1 ① y ? ;② y ? 2 x 2 ;③ y ? x3 ? x ;④ y ? 1 . x 探究任务二:幂函数的图象与性质

-1-

问题:作出下列函数的图象:(1) y ? x ;(2) y ? x 2 ;(3) y ? x 2 ;(4)
y ? x ?1 ;(5) y ? x3 . 从图象分析出幂函数所具有的性质.

1

观察图象,总结填写下表:
y?x

y ? x2

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 小结: 幂函数的的性质及图象变化规律: (1)所有的幂函数在 (0, ??) 都 有定义,并且图象都过点(1, 1); 过 原点,并且在区 间 [0, ??) 上是 (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通 增函数.特别地,当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1 时,幂函数的图象上凸; 象在区间 (0, ??) 上是减函数.在 (3) ? ? 0 时,幂函数的图 第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ?? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. ※ 典型例题 例 1 讨论 f ( x) ? x 在 [0, ??) 的单调性.

变式:讨论 f ( x) ? 3 x 的单调性.

-2-

例 2 比较大小: (1 ) (a ? 1)1.5 与 a1.5 (a ? 0) ; (3) 1.1 2 与 0.9 2 .
? 1 ? 1

(2) (2 ? a 2 )

?

2 3

与2 3 ;

?

2

小结:利用单调性比大小. ※ 动手试试
2

练 1. 讨论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单 调性.[来

练 2. 比大小:
3 3 6 6

(1) 2.3 4 与 2.4 4 ;
? 3 ? 3

(2) 0.315 与 0.35 5 ;

(3) ( 2) 2 与 ( 3) 2 .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 幂函数的的性质及图象变化规律; 2. 利用幂函数的单调性来比较大小. ※ 知识拓展 幂函数 y ? x? 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上,指数 ? 由小到 大. y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 由小到大.

-3-

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若幂函数 f ( x) ? x? 在 (0, ??) 上是增函数,则( A. ? >0 B. ? <0 C. ? =0 D.不能确定
4

).

2. 函数 y ? x 3 的图象是(

).

A.
1 2

B.
1 ? 2

C.

D. ).

3. 若 a ? 1.1 , b ? 0.9 ,那么下列不等式成立的是( A. a <l< b B.1< a < b C. b <l< a D.1< b < a 4. 比大小: (1) 1.3 2 _____1.5 2 ; (2) 5.1?2 ______ 5.09?2 .
1 1

5. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则它的解析式为 课后作业

.

2 1. 已知幂函数 f(x)= x 2 (p∈Z)在 (0, ??) 上是增函数,且在其定义域内是偶函 数,求 p 的值,并写出相应的函数 f(x).

1 3 ? p2 ? p ?

2. 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方成正比. (1)写出函数解析式 ; 3 (2)若气体在半径 为 3cm 的管道中,流量速率为 400cm /s,求该气体通过半径为 r 的管 道时,其流量速率 R 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm,计算该气体的流量速率.

-4-


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