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新课程高考专题复习——立体几何


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20 0 4年第 3 期 

中学数学 月 刊 

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新 课 程 高 考 董 题 复 习 —— 立 傩 几 何 
单文 海  ( 江省 绍兴县柯桥 中学 浙 323) 1 0 0 

立体 几何 是 高 中数

学 的 重要 内容 , 是考  查 空 间想 象 能 力 和 逻 辑 思 维 能 力 的 良好 载  体, 也是 学 生普遍 感 到难 学 的内容 之一 . 近年  来 高考 要求 已明显 降 低 , 考查 内容 基本 稳定 ,   并 在 题 型结 构 、 识 联 系上 进行 了一 些有 益  知 的尝试 . 虑到 大 多数 学 校都 在 使 用 A 种本  考 教材 , 面就 高考 中立 体 几何 ( 下 A)的专 题 复  习作具体 分 析.  
1 高考 分析   

( )异 面 直 线 间 的 距 离 ( 限 于给 出公  4 仅
垂 线的 情况 ) 平 行 的线面 距离 、 面距离 、 , 面 两  点 间的球 面距 离 的概 念与 计算 .   ( )棱 柱 、 棱 锥 、 的概 念 和性 质 , 5 正 球 直 

棱 柱 、 棱 锥 、 的 面积 和 体 积 , 面体 的 欧  正 球 多 拉公 式 .   ( )反证 法 , 6 割补 及转 化思 想.   1 4 重 点 问题  .  ( )线 、 1 面位 置关 系 中有 关概 念 及判 定 ,  
特别是 平行 与垂 直关 系 的性 质和判 定.   ( )异 面 直 线所 成 角 、 线 与平 面 所 成  2 直 角 、 面角 的计 算. 二  

1 1 题型 结构 , .  分值 比例 , 难度设 置  立体 几 何 这块 内容 在 高 考 卷 中, 般 安  一 排 2道 或 3道小 题 、 大 题. 1道 小题 为 选择题  或 填 空题 , 大题 为解 答题 , 小题 较 容 易 , 大题  为 中等难 度 的题 目, 采用先 证后 算 , 多 分步设  问 的形式 , 值 约 占全 卷 的 1 % ~ 1 % , 分 5 7 约 

( )点 到平 面 的距 离 、 的 表 面积 与 体  3 球 积的计 算.  
( )在函数、 4  

2 5分左 右 , 原 高 考 要 求 相 比, 占分值 会  与 所 略 有减 少 , 主要 是新 课 程 中立 体几 何 的 教学  课 时数有 所调整 .   1 2 命 题方 向  . 主要 考查 空 间 想 象 能 力 、 辑 思维 能力  逻 及转化 的思 想方 法  线面 位置 关 系的判定 , 以  及 角、 距离 、 面积 、 体积 的计 算仍 是 立体 几 何  考 查 的重 点 , 特别 是 二面 角 的求 法 , 由于它具  有 较 好 的综 合 性 , 面角 的求作 过 程 常常 需  二 要 涉及 到 一 些线 面 位置 关 系 的判 定 , 因此 它 


2 专题分 析   

2 1 试题继续保持稳定 , . 难度适 中, 重点 内容  重点考 , 突出对基础知识和基本方法的考查.   例 1 已知 口,   b为两 条不 同 的直线 , , 口  为两 个不 同的平 面 , 口_ 口 b_  , 下列  且 l , l 则 _ _ 命题 中 的假 命 题是 (   ) .  

( A)若 口∥ b 则 口∥  , ( B)若 口_  , 口_ b l 则 _ l   _ ( C)若 口 b相交 , 口  相 交  , 则 ,
( D)若 口 相 交 , 口 b 交  , 则 ,相 分析  本题 主要 考查 线 、 面位置关 系及 

直是 立 体几 何 考 查 中的 一个 重 点 和 热点 .   以 多面 体 为载 体 , 多 面 体 中考查 线 面 的位  在

置关 系及有 关角 和距 离 的计 算等 问题 . 另外 ,   把 立 体几 何 与 函数 、 程 、 等式 结合 起 来 , 方 不   在 知 识 网络 的交 汇点 上 命题 , 体现 知 识 的综  合 性 和 系统 性 , 是 立 体几 何命 题 改 革和 探  这 索 中的 一个新 特 点.  
13 考试 内容  .  ( )平面 的基 本性 质 . 1   ( )空 间两 条直线 、 2 直线 与平 面 、 面与  平

反 证法 的思想 , 查空 间 想象 能 力和 逻 辑推  考 理 能力.  

解A确 }—}∥    正? 三  >  口I I :口 ;口 . I 士    =
B正确 . 口n 一 z在 口内作 f lz 设   , _ . _ 
’ .

’口_  ,’ _  , b_  ,。 l .f l 又 l .b∥  _ . _ _ .

’ . L口  口_  , 而 n_ . -a_ , Lc 从 Lb  

C正 确. 口 不 相交 , 口∥  ,. l 若 , 则 。口_  ’ _
a ,.. 。

平 面的位 置 关 系 , 以及 它们 平行 与垂 直 的性  质 和判定 , 垂线 定理 及 其逆定 理 . 三   ( )异 面直 线 所 成 角 、 线 和平 面 所 成  3 直
的角 、 二面角 及其 平 面角 的概 念与计 算.  

口_  , b_  ,. b这 与 口 b l 又 L .口∥ , _ ’ , 相交 

矛 盾.  

D 是假 命 题 . , 以 是异 面 直线 , 口 b可 易找  出反 例验证 ( , 应选 D. 略) 故  

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例 2   如 图 1  在 正 方 体  , A D— B。 。 BC A。 C D。中 , AD。 B 所 成 角 为  与 D
a , 。与 B。 。AC D。所 成 角 为  , C 与 平 面  B A 。 所 成角 为 a , BC D。 。则有 (  
( )口 <   2 口  A l < 3 ( C)口 2> 口 > 口  l 3 (   D)

? .

? ADz— DO,.DE ’?2 — DE =  . R .


一 

) .  
> 口 3> 口  l
C 

故S 球一 4r 。 3 , 题应选 A. 1 一 7本 R r   例 4 如 图 4 / AB 是 正 三 角形 ,   ,X C AD 
和C E都垂 直 于平面 AB 且 AD= AB一 1  C, ,
CE 一   1
. 

( B)口 > 口 l 2> 口  3

简析  本 题 主 要 考 D   查 异 面直 线 所 成 角 、 线 . 直   与 平 面 所 成 角 的 概 念 与 一  ‘

( )求证 : 面 A 1 平 DB _ 平 面 B l - DE;   ( )求平 面 B 2 DE 和平 面 ADE C所成 角  的正 弦值 .   简析  本 题 主 要 考 查线 面 位 置关 系及  二面 角 的计算 .  
证  ( ) 延 长  1 —  
F 

计 算 , 考 查 三 垂 线 定  及
理.  
图 1  
C 

D 

例 3 () 1 在棱 长为 口的正方 体 中, 连结  相 邻 面 的 中心 , 以这些 线 段 为棱 的八 面 体 的  体 积为 (   ) .  
( )a   (   a ( 百  ( Z A   a B)a  c)a a D)a
1  2

DE, 交 于 点 F, AC 连  结  BF.. E  ‘   C
l AD ’ . .


c 为 AF 中 

点 ,又 B — AC = C  

()—个 四面体的所有棱长都为  2, 2 四个 
顶点在同—球面 匕 则此球的表面积为( ,  
’ A) u ( 4   ( 3 ( 3   B) u C)  

C .BF _ F,‘ . l -AB. 由   AD _ 平 面 ABC, l - 得 

图 4  

) .  

A _ B .BF_ 平 面 A D l F,。 - . l - BD, B 而 Fc 平 面 

37 ( 6    c D) u  

B DE, 故平 面 B DE _ 平 面 ADE  l - . 解  ( ) B作 B _ AC于 H , M _  2过 H l - B l -
DE 于 M , 连结 MH.. 。AD _ 平 面 A ‘ l - BC, . . 。   平面 AB l 平 面 A C_ - DEC, 而 B _ 平 面  从 H l - ADE .由三 垂 线定 理 的 逆 定 理 , MH _  C 知 l -

简析  ( )本题 主要 考 查空 间想 象能力  1 及正 多面 体 的体积 计 算 . 图 2 八面 体 为正  如 , 多面体且 BD = C 一 2 E AO 一 口  .
V 一 2 .脱 VA耳 一 

1 BD

?

一 ?O 号? A=   C? =   EA 号 O 丢 口 詈 譬故 ?? = , 2  
?

DF,‘ BMH 即为二 面角 的平面 角 . . .    
D 

在 △DBF 中 , BF一  3, D =  ̄ 2, B /  
’  

D 一 F   5,.M  ^詈 ,易 知 B = .B ‘ / H  


应 选 C  .

故 S LB i n MH 一  

一 

.  

( )本 题 主 要 考  2

图 2  

查 球 的 表 面 积 公 式 及  空 间想 象能力 . 图 3  如 ,
。 .

2 2 把 立 体几 何 与 函 数 、 等 式 、 角 、 .  不 三 解  析 几 何 等知 识 联 系起 来 , 知识 网络 的交 汇  在 点上命 题 , 现知 识 的整 体性 和系统性 , 体 从不  同的思 维层 次上 考查 能力 .   例 5   如 图 5  在 正 方 体  ,
A B C D 一 C 的侧 面 AB 内有一 点 P到         AB D  

’ A  O 

一 

D 

孚  B一 孚 ,  
-O    . D .


一 

/ D————A2 — 2 O,   A— - —

-  



A  

直 线 AB 的距 离是 到 直线 B。 。 C 距离 的 2倍 ,  
则 P点 的轨迹 是 (   ( A)线段  ) .   ( )一段椭 圆弧  B


.. .....

C3
..

...

... . .

.—



3  

’  

£ 

在 R △A t DE 中 ,  

图 3  

( 双 曲线 的一 部分  C) ( D)抛物 线 的一部 分 

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简析  本 题 主 要 考 查 点 到直 线 距 离 的  概 念 , 查 线面 的垂 直关 系及 椭 圆第二 定义 . 考   立意新 , 度好 , 较好 地反 映 思维 品质. 角 能   解  ‘B。 - 平 面 . C 上 . D   C  
A1 B ,  c B1 A PB1


. 

≤ 

n.  
厶 

= v_ 。等号  /   ,

成立 的条 件为 Y— z— a  .

故 当 长 、 、 分 别 为 Y = = a  一  宽 高   ,
时 , 积有 最大 值 v a . 体 厂 。  

平 面 A  

Bl A , . l Bl l B .PB 上   C,  

2 3 不 断 探 索 命 题 改 革 和 创 新 的途 径 , .  反 
映思维 品质 , 体现 研究 性 学 习特 点 , 出对 动  突 手 能力 和空 间想 象能 力 的考查 .   图5     B 例 7 如 图 7 AB D 是边 长为 a的正方    , C

由于 P点到 直线 AB的距  离 d是 l 。 的 2倍 , PB I 即  2, 动点 P 的  故 I  1 I P   B
— 一



 

轨 迹 为侧 面  。 B 上 以 B。 焦点 , B 为  B。A 为 A
相应 准线 的一 段椭 圆 弧 , 选 B  应 .

体 , , 分 别 在 边 DA, C 上 滑 动 ,且  M Ⅳ B MN ∥ AB, AC与 MN 交 于 点 0, 现把 平 面  MNC 沿 MN折 成 1 0 的二 面角 , D 2。 使它 到面 
MNE 的位 置. F   ( ) 求 证 :不 论  1

例 6 已知 长方 体 AB D— B。 。 的    C A。 C D。 个顶点 B。 到它 的对 角线 B 的距离 为 a D。 .   ( )若 长 方 体 的  1 高 为 X, 角线 长 为 z 对 ,   试求  于  的 函数关 一 关   系式  = 厂 )   ;  


MN 怎 样 平 行 移 动 ,  
AO 的大 小不 变 ; E   ( )当 A, 两 点  2 E 间 的距 离最 小 时 , 证 
明 : 面 A E 上 平 面  平 O
AB E.  

F  

E  

( )求 Z=  ’   2 = ( =  )

的最小 值 ;   A  y  B  ( )在 最 小 的情  3 况下 , 长方 体 的 长 、 问   图 6   宽、 各为何值 时, 高 长  方体 的体 积最 大 ? 大值 是 多少 ? 最   简析  本 题 主要 考查 长方 体 的性质 、 体  积 计 算及 基 本 不等 式 , 托 长方 体 , 函数 、 依 把   不 等式 联 系起 来 , 考 查 基 础 知 识 、 本 方  既 基 法, 同时反 映逻 辑推 理 等一些 理性 思维 能力 .   解  ( ) 长 方 体 的 长 、 分 别 为 Y  1设 宽 ,

简析  本 题 主要 

图7  

考查 二面 角的 概念 与求 法 , 查线 、 考 面垂 直关  系 的性 质 与判定 , 动 态 的角 度把 它 与最 值  从 问题 联 系 起 来 , 化 区 分 功 能 , 映 思维 品  强 反
质 , 出对空 间想 象能 力 的考查 . 突  
证 明  ( )设 B =  , EN = a—  , 1 N 则  

则【=  ̄- +三?’ .l   一  l W       ̄ 2 a:   2 a  .
) ,   '  , =, )     即z一南一 0故z ( 一 。 ‘  。 0    
> 

易 知 MN 上 平 面 B EN,’ B . . NE 一 1 0,   2。  
’ . .

BE 一 

+ ( 一  ) 口  + x( —  )=  a

一 

a X+ n. AB ∥ MN , AB上 平面 BE   。又   N,


. .

A 上 B 易得 AE 一 B E.     一 口 + 2  而    a, 2 , O 一   ̄ 2( 一  ) 故    E / 口 ,

0 = 
:  

z c AE 一 + 。 O   s X
—— ——— ■五  = 


嵩  
—— —一  

一  

2 + 2 n —  )   (  一 ( 一 a + 2         a)

n + ≯   

= z n +    — z

+ 2z n ≥ 

4  . ≥ 2 , a ,.     a 当且 仅 当  一 a = a ,     即  =   /  时 , 厂 ) 最小 值 2 . , _  =   有 n  

÷,   A E的大小不变. 即 O  
( ) 。 AE =  2 .   一 a + 2 0一 ( 一  s a  

注  本小 题 也可 采用 判别 式法 求解 .  
( )在 = 厂  ) 小 的情况 下 , Y +  3 ( 最 有  

号   , 号时A 有 小 ,  ) + 当  = , 最 值此 E
时 , , 分别 为 AD, C 中点.. N — B   Ⅳ B ’E ’ N 

=  一 2  .长 方 体 体 积 V = x z=  a y

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的情况 都填上 )  

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C , . E - E, AB - N .C l ’ _B 又 l 面 BE   _平 N,





AB j E 从 而 C j 平 面 AB 而 C    _ C, E _ E, Ec 

平 面 AO 故 平 面 AO - 平 面 ABE  E, E l - .
3 专 项 训 练   


囫  囫 团 
①  ②  ③  ④ 
图 9  

( )已知直 线 - 平 面 口 直线 r  平面  1 l _ ,  ̄c 1 有 下面 4个命 题 :   a/   l m; ② a 母 z / /母       /  ⑧ / /  口-  ; ④ l l _ -  口/  . _ /   其中, 真命 题 的个 数 为 (   ) .   ( 1 A) 个  ( 2 B) 个  ( ) 个  ( 4 C3 D) 个  ( )正 四 面 体 AB D 中 , F 分 别 在  2 C E,
h AE一 g丽
..

( )在 三 棱 锥 P ABC 中,   - 7 — P l 面  _底
AB B 上AC, C, A- _ 已知 C= n AB= 2 ,   , a PA

= 3, a 当过 A 的截 面 面积 最小 时 , 此时截  B 求 面与底 面 AB 所成 二面 角 的余 弦值 . C  
( )如图 1 , 8 O 已知 在 多面体 AB DE中 , C   AB垂 直 平 面 AC DE 垂 直 平 面 A D,   D, C AC


AB, CD


CF





 



记 厂  ()一  + 

其 中  表示 EF和 A C所 成 的角 , 表示    EF与 B 所成 的角 , ( D 则   ) .   ( 厂0 ) [ ,+ o )上是增 函数  A) 1 在 0 o ( ) O 在 [ , o )上是 减 函数  Bf D 0 + o ( 厂  C) ( )在 [ , )上 是 增 函 数 , [ , 01 在 1  + o )上是 减 函数  o ( 厂()在 [ ,+ o ) 为 常数  D)   0 o上 ( )若正 方 体 的全 面积 是 n , 的顶 点  3  它 都 在一个 球 面上 , 则这 个球 的体 积 是 (   ) .  
(   A) (   B) 。  

AD = C = DE一 2 AB= 1 F为 C D , , E的  (I )求 证 : 上  BF

中点.  

平面 c DE;  

( I)求 多 面 体 
AB DE 的体积 ; C   ( Ⅲ)求平 面 B E C   与平 面 C D所 成 的二  面角 ( 角 )的大小 . 锐  

D  
图 1  O

() c 

。 (), n   D   丌  _ 3

( ) 直线 和平 面 a 成 的角是  , 4若 所 直 

线 r c , z r 所 成 的角 的取 值 范 围是   ̄ a则 与  ̄ 1   1
( )已 知球 半 径 为 R, B 是球 面 上 两  5 A,

专项训 练 答案 与提 示 
( )   ( )   () . ( 1 B. 2 D. 3A  4
?
一  



鲁. ]  

)   ) ,  ) ,. ① /  - 6 点R , 球 距 为 根则 心 过 ( 孚 尺 ( ,④ ( 1  ,A 的 面 离 号 ,球 到   5 . 6 ⑧ . 73i  B
A, 的 所 有 平 面 的 距 离 中 , 大 的 距 离 为  B 最 ( ) 图 8 正 方体  6如 ,


( ) )提 示 : 长 DA, B 交 于 点 G, 8 (I 延 E 连 

C 由条件 可 得 AB /  DE, AC = A   G, / 由 G


A , C - C , C - DE,. G -  D 得 G l D 又 G l _ _ -C l . _

B l ~ C l Dl c AB D  中 ,  

E, 分 别 为 AAlCl   ? F , Dl  

平面 C DE, B l 故 F- _平面 C DE( 小题证 法  本

很 多 , 证 法 最 简 便 ) I) 鲫 E=  此 .(  
+  枷

c  D

的 中点, 是 正 方 形 E G  
B C B 的 中心 , C    则空 间 

=   3. Ⅲ)利用 (I ( )知 , EC   D 

四边形 AG E在该 正 方  F 体 的面上 的射影 可 能是 
( 可 能  把


即为所求 二面 角 的平 面角 ,. E D = 4 。 . . C   5.   或 由 cs : 丁 ACD o  S A


图8  

:  

, 得  : 4 。 5.  


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