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2013高考数学二轮复习精品资料专题03 数列名校组合测试题(教师版)


专题测试
1.下列可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,?的通项公式的是( A.an=1 C.an=2-|sin ? -1? +1 B.an= 2
n

)


2

|

? -1? D.an=

n-1

+3

/>
2

2.设数列{(-1) }的前 n 项和为 Sn,则对任意正整数 n,Sn=( A. C. ?

n

)

n[? -1?
2
n

n

-1]

B. D. ?

?

-1? 2

n-1

+1

-1? +1 2

-1? -1 2

n

【试题出处】2012·岳阳一中模拟 【解析】数列{(-1) }是首项与公比均为-1 的等比数列,故 Sn= ? -1? -1 . 2 【答案】D 【考点定位】数列求和 3.设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( A.18 C.22 B.20 D.24 )
n n

-[1-? -1? 1-? -1?

n

]



4.已知等比数列{an}中,a1=2,且 a4a6=4a7,则 a3=( A. 1 2 B.1 C.2 1 D. 4

2

)

【试题出处】2012·荆州中学模拟 【解析】设等比数列{an}的公比为 q ,由等比数列的性质并结合已知条件可得 a 5 =
2

1

1 1 2 4 4 2 4·a5·q ,∴q = ,q = . 4 2 1 2 ∴a3=a1q =2× =1. 2 【答案】B 【考点定位】等差数列和等比数列的基本运算 5.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项 和,n∈N ,则 S10 的值为( A.-110
*

) C.90 D.110

B.-90

6.在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,则公比 q 等于( A. 1 2 B.2 1 C. 或 2 2 D.-2

)

7.在等比数列{an}中,已知 an>0,那么“a2>a4”是“a6>a8”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【试题出处】2012·平遥中学模拟 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

2

【解析】由 a2>a4 得 a2>a2q ,所以 0<q <1.由 a6>a8 得 a6>a6q ,所以 0<q <1.因此“a2> a4” 是“a6>a8”的充要条件. 【答案】C 【考点定位】数列 8.等差数列{an}的首项为 a,公差为 d;等差数列{bn}的首项为 b,公差为 e,如果 cn =an+bn(n≥1),且 c1=4,c2=8,数列{cn}的通项公式为 cn=( A.2n+1 C.4n B.3n+2 D.4n+3 )

2

2

2

2

9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=q -1(q>0,且 q 为常数),某同学得出如下三个结论: ①{an}的通项是 an=(q-1)·q 结论的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3
n-1

n

;②{an}是等比数列;③当 q≠1 时,SnSn+2<Sn+1.其中正确

2

10.某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一都有 A,B 两种菜可供选择.调查资料 表明,凡是在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20%的人改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星 期一会有 30%的人改选 A 种菜.用 an,bn 分别表示在第 n 个星期一选 A 种菜的人数和选 B 种 菜的人数,如果 a1=300,则 a10 为( A.300 C.400 B.350 D.450 )

3

【试题出处】201 2·西安市第一中学模拟

?an+1=4an+ 3 bn, ? 5 10 【解析】依题意得? ?an+bn=500, ?
=300,从而得 a10=300. 【答案】A

1 消去 bn 得:an+1= an+150.由 a1=300 得 a2 2

【考点定位】等差数列和等比数列的基本运算 11. 在等差数列{an}中,首项 a1 =0,公差 d≠0,若 ak = a1 + a2+ a3 +?+a7 ,则 k = .

12.已知等差数列{an}满足 a2=3,a5=9,若数列{bn}满足 b1=3,bn+1=abn,则{bn}的通项 公式为 bn=( )

【试题出处】2012·成都实验外国语学校模拟 【解析】 据已知易得 an=2n-1, 故由 bn+1=abn 可得 bn+1=2bn-1, 变形为 bn+1-1=2(bn -1),即数列{bn-1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 bn-1=2 ,解得 bn=2 +1. 【答案】2 +1 【考点定位】数列与函数、不等式 13.数列{an}满足:log2an+1=1+log2an,若 a3=10,则 a8=________.
n n n

14.设关于 x 的不等式 x -x<2nx(n∈N )的解集中整数的个数为 an,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 【试题出处】2012·延边二中模拟 【解析】由 x -x<2nx(n∈N )得 0<x<2n+1,则 an=2n,所以 Sn=n +n. 【答案】n +n 【考点定位】数列求和 15.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n +n,数列{bn}满足 bn=
2 2 2 * 2

2

*

1

anan+1

(n∈N ),Tn
4

*

是数列{bn}的前 n 项和,则 T9 等于________. 【试题出处】2012·长春外国语学校模拟 【解析】∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n +n, ∴n=1 时,a1=2;n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n, ∴an=2n(n∈N ), bn= ∴
* 2

1

anan+1 2n? 2n+2?



1

1 1 1 1 1 1 1 = ( - ), 9= [(1- )+( - )+? T 4 n n+1 4 2 2 3

1 1 1 1 9 +( - )]= ×(1- )= . 9 10 4 10 40 9 【答案】 40 【考点定位】数列的基本运算 16. 已知在公比为实数的等比数列{an}中,a3=4,且 a4,a5+4,a6 成等差数列.则求 数列{a n}的通项公式为

17.等差数列{an}的首项 为 a1,公差 为 d,前 n 项和为 Sn,给出下列四个命题:①数列 1 n? n-1? {( )an}为等比数列;②若 a2+a12=2,则 S13=1 3;③Sn=nan- d;④若 d>0,则 2 2

Sn 一定有最大值.其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号).

18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 n∈N 有 an+Sn=n.

*

5

(1)设 bn=an-1,求证:数列{bn}是等比数列; (2)设 c1=a1 且 cn=an-an-1(n≥2),求{cn}的通项公式. 【试题出处】2012·济南一中模拟 1 【解析】解:(1)证明:由 a1+S1=1 及 a1=S 1 得 a1= . 2 又由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1=n+1, 得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1. ∴2(an+1-1)=an-1,即 2bn+1=bn. 1 1 ∴数列{bn}是以 b1=a1-1=- 为首项, 为公比的等比数列. 2 2

1 1 n-1 1 n 法二:由(1)bn=- ·( ) =-( ) , 2 2 2 1 n ∴an=-( ) +1. 2 1 n 1 n-1 ∴cn=-( ) +1-[-( ) +1] 2 2 1 n-1 1 n 1 n-1 1 1 n =( ) -( ) =( ) (1- )=( ) (n≥2). 2 2 2 2 2 1 1 n 又 c1=a1= 也适合上式,∴cn=( ) . 2 2 【考点定位】数列与函数、不等式 19.已知正项数列{an}中,a1=6,且 an+1=an+1;数列{bn}中,点 Bn(n,bn)在过点(0,1) 且以(1,2)为方向向量的直线 l 上. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;

6

(2)若 f(n)=?

? ?an,n为奇数, ? ?bn,n为偶数,

问是否存在 k∈N ,使 f(k+27)=4f(k)成立,若存在,

*

求出 k 值;若不存在,请说明理由. 【试题出处】2012· 杭州学军中学模拟 【解析】解:(1)∵an+1=an+1,∴an+1-an=1. ∴数列{an}是首项为 6,公差为 1 的等差数列. ∴an=a1+(n-1)·1=n+5. 又直线 l 的方程为 y=2x+ 1, ∴bn=2n+1.

20.设同时满足条件①

bn+bn+2
2

≤bn+1(n∈N );②bn≤M(n∈N ,M 是与 n 无关的常数)的

*

*

无穷数列{bn}叫“特界”数列. (1)若数列{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,a3=4,S3=18,求 Sn; (2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列,并说明理由.

7

1 1 21. 已知二次函数 y=f(x)的图像经过坐标原点, 且当 x= 时, 函数 f(x)有最小值- . 4 8 数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,S n)(n∈N )均在函数 y=f(x)的图像上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 整数 m. ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所有 n∈N 都成立的最小正 anan+1 20 2
*

m

*

8

(2)由(1)得 bn=

2

anan+1 ? 4n-3? [4? n+1? -3]



2

1 1 1 = ( - ), 2 4n-3 4n+1

T n= [(1- )+( - )+?+(
1 1 = (1- ). 2 4n+1

1 2

1 5

1 1 5 9

1 1 - )] 4n-3 4n+1

1 1 m 1 m * 因此,要使 (1- )< (n∈N )成立,m 必须且只需满足 ≤ ,即 m≥10,故满足 2 4n+1 20 2 20 要求的最小正整数 m 为 10. 【考点定位】数列与函数、不等式 1 2 3 * 22.已知函数 f(x)= x + x,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N )均在函数 y 2 2 =f(x)的图像上. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn= n-1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; 2 (3)令 cn=

an

an an+1 1 + ,证明:2n<c1+c2+?+cn<2n+ . an+1 an 2

9

(3) 证明:由 cn= >2

an an+1 n+1 n+2 + = + an+1 an n+2 n+1

n+1 n+2 · =2, n+2 n+1

∴c1+c2+?+cn>2n. 又 cn=

n+1 n+2 1 1 + =2+ - , n+2 n+1 n+1 n+2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴c1+c2+?+cn=2n+[( - )+( - )+?+( - )]=2n+ - <2n+ . 2 3 3 4 n+1 n+2 2 n+2 2 1 ∴2n<c1+c2+?+cn<2n+ 成立. 2 【考点定位】数列与函数、不等式

10

11


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