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1998年全国高中数学联合竞赛试卷一试


一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷
(10 月 11 日上午 8∶ 00—10∶ 00) 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 若 a>1,b>1 且 lg(a+b)=lga+lgb,则 lg(a?1)+lg(b?1)的值 (A) 等于 lg2 (B)等于 1 (C)等于 0 (D)不是与 a,b 无关的常数 2. 若非空集合 A={x | 2a+1

≤x≤3a?5},B={x|3≤x≤22}, 则能使 A?A ? B 成立的所有 a 的集 合是( ) (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D) ? 3. 各项均为实数的等比数列{an}前 n 项和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40 等于( ) (A) 150 (B) ?200 (C) 150 或?200 (D)400 或?50 2 2 4. 设命题 P:关于 x 的不等式 a1x +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 的解集相同;命题 Q:

a1 b1 c1 ? ? 。则命题 Q a2 b2 c2
(A)是命题 P 的充分必要条件 (B)是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (C)是命题 P 的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件 5. 设 E ,F,G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点, 则二面角 C?FG?E 的大小是( (A) arcsin

)

6 3

(B)

?
2

? arccos

3 3
B

A E D F C G

(C)

?
2

? arctg 2

(D) ? ? arcct g

2 2

6. 在正方体的 8 个顶点,12 条棱的中点,6 个面的中心及 正方体的中心共 27 个点中,共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37 二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

1. 若 f ( x)(x ? R) 是 以 2 为 周 期 的 偶 函 数 , 当 x ? [0,1] 时 , f ( x) ? x1998 , 则

1

98 101 104 f ( ) , f ( ) , f ( ) 由小到大的排列是_________________. 19 17 15
2. 设复数 z= cos ? ? i sin ? ( 0? ≤ ? ≤18 0? ),复数 z,(1+i)z,2 z 在复平面上对应的三个 点分别是 P,Q,R,当 P,Q,R 不共线时,以线段 PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点 为 S,则点 S 到原点距离的最大值是_______. 3. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数中取出 3 个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有________种. 4. 各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样的

数列至多有___________项. 5. 若 椭 圆 x 2 ? 4( y ? a) 2 ? 4 与 抛 物 线 x 2 ? 2 y 有 公 共 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _____________. 6. △ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两点间的 距离为 2 2 ,此时三棱锥 A?BCM 的体积等于 ________. 三、 (本题满分 20 分) 已知复数 z=1?sin ? +icos ? (

A

C

M

B

?
2

? ? ? ? ),求 z 的共轭复数 z 的辐角主值。

四、 (本题满分 20 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? 8x ? 3 (a<0),对于给定的负数 a,有一个最大的正数 l(a),使 得在整个区间[0,l(a)]上,不等式|f (x)|≤5 都成立。 问:a 为何值时 l(a)最大?求出这个最大的 l(a),证明你的结论。 五、 (本题满分 20 分) 已知抛物线 y ? 2 px 及定点 A(a, b) ,B(?a,0), (ab ? 0, b ? 2 pa) ,M 是抛物线上的
2 2

点,设直线 AM,BM 与抛物线的另一交点分别为 M1,M2. 求证:当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1,M2 存在且 M1≠M2) ,直线 M1M2 恒过一个定点, 并求出这个定点的坐标。


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