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专题-高中函数值域的求法集锦


专题一:求函数值域的常用方法及值域的应用
1.重难点归纳 (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、 换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合

分析能力以及较强的运算能力 在 今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题, 从而利用所学知识去解决此类题要求考生 具有较强的分析能力和数学建模能力 2.值域的概念和常见函数的值域 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定 义域. 常见函数的值域: 一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0? 的值域为 R.

? 4ac ? b 2 ? , ?? ? ,当 a ? 0 时 a ? 0 二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? ,当 时的值域为 ? ? 4a ?
2

的值域为 ? ??,

? ?

4ac ? b 2 ? ? ., 4a ?
k ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . x

反比例函数 y ? 指数函数 y ? a
x

? a ? 0且a ? 1? 的值域为 ? y

y ? 0? .

对数函数 y ? loga x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 R. 正,余弦函数的值域为 ??1,1? ,正,余切函数的值域为 R. 3.求函数值域(最值)的常用方法 3.1.基本函数法 对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解. 3.2 配方法
2 对于形如 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 或 F ? x ? ? a ? ? f ? x ?? ? ? bf ? x ? ? c ? a ? 0 ? 类的函
2

数的值域问题,均可用配方法求解. 例:求函数的值域: y ? ? x 2 ? 6 x ? 5

-1-

解:设 ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ? ? ? 0? ,则原函数可化为: y ?
2

? .又因为

? ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ? ? ? x ? 3? ? 4 ? 4 ,所以 0 ? ? ? 4 ,故, ? ? ?0, 2? ,所以,
y ? ? x2 ? 6 x ? 5 的值域为 ?0, 2? .
3.3 换元法 利用代数或三角换元,将所给函数转换成易求值域的函数,形如 y ?

1 的函数,令 f ? x?

形如 y ? ax ? b ? cx ? d (a, b, c, d均为常数, ac ? 0) 的函数, 令 cx ? d ? t ; f ? x? ? t ; 形如含 a 2 ? x2 的结构的函数,可利用三角代换,令 x ? a cos? ,? ??0, ? ? ,或令

? ? ?? x ? a sin ? ,? ? ? ? , ? . ? 2 2?
例:求函数的值域: y ? x ? 4 1 ? x . 解:设 t ? 1 ? x ? 0, 则 x ? 1 ? t .所以原函数可化为
2

y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ? ? t ? 2 ? ? 5 ? t ? 0 ? ,所以 y ? 5 .所以原函数的值域为 ? ??,5? .
2

3.4 不等式法 利用基本不等式 a ? b ? 2 ab ,用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三 相等”.如利用 a ? b ? 2 ab 求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件① a ? 0, b ? 0 ; ② a ? b ?或ab ? 为定值;③取等号成立的条件 a ? b .三个条件缺一不可. 例:求函数的值域: y ?

2 x2 ? x ? 1 ? 1? ? x ? ?. 2x ?1 ? 2?

1 2 x 2 ? x ? 1 x ? 2 x ? 1? ? 1 1 1 1 解: y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? 2x ?1 2x ?1 2 x ?1 2 x?1 2 2 1 1 ? x ? ,? x ? ? 0 2 2
1 1 1 1 ? ? ?x ? ? 2 ? 2 ? x ? ? 2 ? 2 1? 2 x? 1 2?? ? ?x? ? 2 2? ?
-2-

1 1? 2 1 当且仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立, 2 2 x?1 2
?y ? 2? 1 ?1 ? ,所以元函数的值域为 ? ? 2, ?? ? . 2 ?2 ?

3.5 函数的单调性法 确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域,例如,

f ? x ? ? ax ?
解题.

b ? a ? 0, b ? 0 ? .当利用不等式法等号不能成立时,可考虑利用函数的单调性 x

3.6 数形结合法 如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,如由 想到两点 ? x1 , y1 ? 与 ? x2 , y2 ? 连线的斜率. 例:求函数的值域: y ? x ?1 ? x ? 4

y1 ? y2 可联 x2 ? x1

??2 x ? 3 ? x ? ?4 ? ? 解: y ? x ? 1 ? x ? 4 ? ? 5 ? ?4 ? x ? 1? ? 2 x ? 3 ? x ? 1? ?
? y ? 5 ? 函数的值域为: ?5, ?? ? .
3.7 函数的有界性法 形如 y ?

sin x ,可用 y 表示出 sin x ,再根据 ?1 ? sin x ? 1 ,解关于 y 的不等式, 1 ? sin x

可求 y 的取值范围. 3.8 导数法 设 y ? f ? x ? 的导数为 f ? ? x ? , 由 f ? ? x ? ? 0 可求得极值点坐标, 若函数定义域为 ? a, b? , 则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值. 3.9 判别式法 例:求函数的值域 y ?
2

2 x2 ? x ? 2 x2 ? x ? 1

解:? x ? x ? 1 ? 0 恒成立,? 函数的定义域为 R.

-3-

由y?

2 x2 ? x ? 2 得 ? y ? 2? x2 ? ? y ?1? x ? y ? 2 ? 0 2 x ? x ?1



① 当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时, 3x ? 0 ? 0,? x ? 0 ? R ; ② 当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,? x ? R 时,方程 ? y ? 2? x2 ? ? y ?1? x ? y ? 2 ? 0 恒有 实根. ?? ? ? y ? 1? ? 4 ? ? y ? 2 ? ? 0
2 2

?1 ? y ? 5 且 y ? 2 .

? 原函数的值域为 ?1,5? .
4.典型题例示范讲解 例 1 设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为λ (λ <1),画面的 上、下各留 8 cm 的空白,左右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画 所用纸张面积最小? 如果要求λ ∈[ ,

2 3 ],那么λ 为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小? 3 4

命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题, 同时考查运用所学知识 解决实际问题的能力 知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识 错解分析 证明 S(λ )在区间[ ,

2 3 ]上的单调性容易出错,其次不易把应用问题转化 3 4

为函数的最值问题来解决 技巧与方法 本题属于应用问题, 关键是建立数学模型, 并把问题转化为函数的最值问 题来解决 解 设画面高为 x cm,宽为λ x cm,则λ x2=4840,设纸张面积为 S cm2, 则 S=(x+16)(λ x+10)=λ x2+(16λ +10)x+160,
[来源:学科网]

将 x=

22 10

?
5

代入上式得 S=5000+44 10 (8 ? + ,即λ = ( <1)时 S 取得最小值

5

?

),
8cm

当8 ? =

?

5 5 8 8

此时高 x=

4840

?

5 =88 cm, 宽 λ x= ×88=55 cm 8

5cm
[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

5cm

2 3 2 3 如果λ ∈[ , ],可设 ≤λ 1<λ 2≤ , 3 4 3 4
则由 S 的表达式得
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

8cm

S ( ?1 ) ? S ( ?2 ) ? 44 10 (8 ?1 ? ? 44 10 ( ?1 ? ?2 )(8 ? 5

5

?1
)

? 8 ?2 ?

5

?2

)

?1?2

-4-

又 ?1?2 ≥

5 2 5 >0, ? ,故 8- 3 8 ?1?2

∴S(λ 1)-S(λ 2)<0,∴S(λ )在区间[ , 从而对于λ ∈[ , 答 =

2 3 ]内单调递增 ? 3 4

2 3 2 ],当λ = 时,S(λ )取得最小值 3 3 4 2 3 ],当λ 3 4

画面高为 88 cm,宽为 55 cm 时,所用纸张面积最小 如果要求λ ∈[ ,

2 时,所用纸张面积最小 3 x2 ? 2x ? a 例 2 已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞ ) x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围

命题意图 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题, 着重于学生的综合分析能力以 及运算能力 知识依托 本题主要通过求 f(x)的最 值问题来求 a 的取值范围, 体现了转化的思想与分 类讨论的思想 错解分析 考生不易考虑把求 a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决 技巧与方法 解法一运用转化思想把 f(x)>0 转化为关于 x 的二次不等式; 解法二运用分 类讨论思想解得

1 1 时,f(x)=x+ +2 2 2x ∵f(x)在区间[1,+∞ ) 上为增函数,
(1)解 当 a=
[来源:学科网]

∴f(x)在 区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= (2)解法一 在区间[1,+∞ ) 上, f(x)=

7 2

x2 ? 2x ? a >0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立 x
[来源:学科网 ZXXK]

设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞ ) ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 递增, ∴当 x=1 时,ymin=3+a,当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立, 故 a>-3 ?
[来源:学,科,网]

解法二 f(x)=x+

a +2,x∈[1,+∞ ) x

当 a≥0 时,函数 f(x)的值恒为正; 当 a<0 时,函数 f(x)递增,故当 x=1 时,f(x)min=3+a, 当且仅当 f(x)min=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故 a>-3 例 3 设 m 是实数,记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

[来源:Z#xx#k.Com]

1 ) m ?1

(1)证明 当 m∈M 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意义,
-5-

则 m∈M (2)当 m∈M 时,求函数 f(x)的最小值 (3)求证 对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1 (1)证明 先将 f(x)变形 f(x)=log3[(x-2m)2+m+ 当 m∈M 时,m>1,∴(x-m)2+m+ 故 f(x)的定义域为 R 反之, 若 f(x)对所有实数 x 都有意义, 则只须 x2-4mx+4m2+m+ -4(4m2+m+

1 ], m ?1

1 >0 恒成立, m ?1 1 >0,令Δ <0,即 16m2 m ?1

1 )<0,解得 m>1,故 m∈M m ?1 1 (2)解析 设 u=x2-4mx+4m2+m+ , m ?1
∵y=log3u 是增函数,∴当 u 最小时,f(x)最小 ? 而 u=(x-2m)2+m+

1 , m ?1 1 , m ?1

显然,当 x=m 时,u 取最小值为 m+ 此时 f(2m)=log3(m+

1 )为最小值 m ?1 1 1 (3)证明 当 m∈M 时,m+ =(m-1)+ +1≥3, m ?1 m ?1
当且仅当 m=2 时等号成立 ∴log3(m+ 学生巩固练习

1 )≥log33=1 m ?1

1 1 (x≤- )的值域是( ) 2 x 33 2 7 7 A(-∞,- ] B[- ,+∞ ) C[ ,+∞ ) 2 4 4
1 函数 y=x2+ 2 A 3 函数 y=x+ 1 ? 2 x 的值域是( (-∞,1 ] B (-∞,-1 ] )
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

D(-∞,-

33 2] 2

C R

D [1,+∞ )

一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市,已知两地铁路线长 400

千米,为了安全,两列货车间距离不得小于(

V 2 ) 千米 ,那么这批物资全部运到 B 市,最 20

快需要_________小时(不计货车的车身长) 4 设 x1、x2 为方程 4x2-4mx+m+2=0 的两个实根,当 m=_________时,x12+x22 有最小 值_________ 5 某企业生产一种产品时, 固定成本为 5000 元, 而每生产 100 台产品时直接消耗成本 要增加 2500 元, 市场对此商品年需求量为 500 台, 销售的收入函数为 R(x)=5x- ≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位 百台)
-6-

1 2 x (万元)(0 2

(1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本? 6 已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1] (1)若 f(x)的定义域 为(-∞,+∞),求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数 a 的取值范围 7 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 120 个工 时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台 已知生产家电产品每台 所需工时和每台产值如下表
[来源:学科网]

家电名称 工时 产值(千元)

空调器

彩电

冰箱

1 2

1 3

1 4

4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以 千元为单位) 8 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以斜边 AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆 锥,设这两个圆锥的侧面积之积为 S1,△ABC 的内切圆面积为 S2,记 (1)求函数 f(x)=

BC ? CA =x AB

S1 的解析式并求 f(x)的定义域 S2

(2)求函数 f(x)的最小值 参考答案 1 y=x2+ 解析 ∵m1=x2 在(-∞,-

1 1 1 )上是减函数,m2= 在(-∞,- )上是减函数,∴ 2 2 x

1 1 在 x∈(-∞,- )上为减函数, 2 x 1 1 7 ∴y=x2+ (x≤- )的值域为[- ,+∞ ) 2 4 x
答案 B 2 解析 令 1 ? 2 x =t(t≥0),则 x=

1? t2 2

1? t2 1 +t=- (t-1)2+1≤1 2 2 ∴值域为(-∞,1 ]
∵y= 答案 A 3 解析 t=

400 V 2 400 16V +16×( ) /V= + ≥2 16 =8 V V 20 400

答案 8

m?2 , 4 m?2 1 17 ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2- =(m- )2- , 2 4 16
4 解析 由韦达定理知 x1+x2=m,x1x2=
[来源:Zxxk.Com]

-7-

又 x1,x2 为实根,∴Δ ≥0 ∴m≤-1 或 m≥2,

1 2 17 )- 在区间(-∞,1)上是减函数,在[2,+∞ ) 上是增函数,又抛物线 y 4 16 1 开口向上且以 m= 为对称轴 故 m=1 时, 4 1 ymin= 2 1 答案 -1 2
y=(m- 5 解 (1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本 C(x)?之差, 由题意,当 x≤5 时,产品能全部售出,当 x>5 时,只能销售 500 台,所以

1 2 ? 1 2 ? ?5x ? 2 x ? (0.5 ? 0.25x )( 0 ? x ? 5) ? ?4.75x ? x ? 0.5(0 ? x ? 5) y= ? ?? 2 ?(5 ? 5 ? 1 ? 52 ) ? (0.5 ? 0.25x )( x ? 5) ? ( x ? 1) ?12 ? 0.25x ? 2 ?
(2 )在 0 ≤x ≤5 时, y=-

1 2 b x +4 75x- 0 5,当 x=- =4 75(百台)时, ymax=10 2 2a

78125(万元),当 x>5(百台)时,y<12-0 25×5=10 7 5(万元),? 所以当生产 475 台时,利润最大 ?

?0 ? x ? 5 ?x ? 5 ? 或? (3)要使企业不亏本,即要求 ? 1 2 x ? 4.75x ? 0.5 ? 0 ?12 ? 0.25x ? 0 ? ?2
解得 5≥x≥4 75- 21.5625 ≈0 1(百台)或 5<x<48(百台)时,即企业年产量在 10 台到 4800 台之间时,企业不亏本 6 解 (1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立,当 a2-1≠0 时,其充

?a ? 1或a ? ?1 2 ? ?a ? 1 ? 0 ? , 即 要条件是 ? , ? 5 2 2 a ? 或 a ? ? 1 ? ? ? ( a ? 1 ) ? 4 ( a ? 1 ) ? 0 ? ? 3 ?
∴a<-1 或 a>

5 3 5 所求 3

又 a=-1 时,f(x)=0 满足题意,a=1 时不合题意 故 a≤-1 或 a>为

(2)依题意只要 t=(a2-1)x2+(a+1)x+1 能取到(0,+∞)上的任何值,则 f(x)的值域为 R,

?a 2 ? 1 ? 0 5 故有 ? ,解得 1<a≤ ,又当 a2-1=0 即 a=1 时, t=2x+1 符合题意而 a=-1 时不 合题 3 ?? ? 0
意,∴1≤a≤

5 为所求 3

7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台,由题意得 x+y+z=360 ? ①
-8-

1 1 1 x ? y ? z ? 120 2 3 4



x>0,y>0,z≥60 ③? 假定每周总产值为 S 千元,则 S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下,为求目标函数 S 的 最大值,由①②消去 z,得 y=360-3x ④ 将④代入①得 x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ⑤ ∵z≥60,∴x≥30 ⑥ 再将④⑤代入 S 中,得 S=4x+3(360-3x)+2·2x,即 S=-x+1080 由条件⑥及上式知,当 x=30 时,产值 S 最大,最大值为 S=-30+1080=1050(千元) 得 x=30 分别代入④和⑤得 y=360-90= 270,z=2×30=60 ∴每周应生产空调器 30 台,彩电 270 台,冰箱 60 台,才能使产值最大,最大产值为 1050 千元
[来源:学§科§网]

8

解 (1)如图所示 设 BC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的高 h=

ab , c

∴S1=π ah+π bh= ∴f(x)=

?ab
c

(a ? b), S2 ? ? (

a?b?c 2 ) ,, 2

b C

S1 4ab( a ? b) ? S 2 c( a ? b ? c ) 2

?a ? b ?a ? b ? cx ?x ? ? ?? 又? c c2 2 ab ? ( x ? 1) ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? ?
代入①消 c,得 f(x)=

a

A

c

B

2( x 2 ? x ) x ?1

在 Rt△ABC 中,有 a=csinA,b=ccosA(0<A< x=

?
2

) ,则

a?b ? =sinA+cosA= 2 sin(A+ ) ∴1<x≤ 2 c 4 2 2( x ? x ) 2 ? 2[( x ? 1) ? ] +6, (2)f(x)= x ?1 x ?1 2 设 t=x-1,则 t∈(0, 2 -1),y=2(t+ )+6 t
在(0, 2 -1 ] 上是减函数, ∴当 x=( 2 -1)+1= 2 时,f(x)的最小值为 6 2 +8

-9-


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