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河南省商丘市2015届高三第二次模拟考试数学理试题 扫描版含答案


商丘市 2015 年 高三第二次模拟考试 数学(理科)参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) DAAC DDBB CDAB 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13) ; (14) ; (15) ; (16) . 三、解答题(共 70 分) (17)解:(Ⅰ)法一:设正项等差数列 的首项为 ,公差为 , , 则 ……

………………………………………………2 分 得 ……………………………………………………………………4 分 . ………………………………………………6 分 法二: 是等差数列且 , , 又 ……………………………………………2 分 , , …………………………3 分 , ………………………………………………4 分 . ……………………………………………………………6 分 (Ⅱ) ,且 , . 当 时, ,……8 分 当 时, 满足上式, . ……………………9 分 . ………………………………10 分 .………12 分 (18)解: (Ⅰ)记“小球落入 件为事件 而小球落入 . 袋中”为事件 , “小球落入 袋中”为事件 ,则事件 的对立事 ??????????????1 分 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下, 故 , ?????????3 分 从而 .?????????????4 分 (Ⅱ)显然,随机变量 的所有可能取值为 .????????5 分 且 .???????????????6 分 故 , , , , . 则 的分布列为 0 ????????????10 分 故 的数学期望为 . ????????12 分 (19)解: (Ⅰ)证明:取 的中点 ,连接 . ∵ ,∴ .……………………1 分 又四边形 是菱形,且 , ∴ 是等边三角形,∴ .………………2 分 又 ,∴ , 又 ,∴ .……………………………………4 分 (Ⅱ)由 , ,易求得 , , ∴ , .……………………………5 分 以 则 , 为坐标原点, 以 , , , , 分别为 轴, 轴, 轴建立空间直坐标系 , , ∴ , , .………………6 分 设平面 的一个法向量为 ,则 , , ∴ ,∴ , ,∴ .………8 分 设平面 的一个法向量为 ,则 , , ∴ ,∴ , ,∴ . ……10 分 ∴ , ∵ 二面角 为钝角,∴二面角 的余弦值为 .12 分 (20)解:(Ⅰ)由题意,以椭圆 , 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为 ∴圆心到直线 的距离 (*)………………1 分 ∵椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴ , , 代入(*)式得 , ∴ , 故所求椭圆方程为 ………………………4 分 (Ⅱ)由题意知直线 的斜率存在,设直线 方程为 ,设 , 将直线方程代入椭圆方程得: , ∴ ,∴ . 设 , ,则 , …………6 分 由 , 当 ,直线 为 轴, 点在椭圆上适合题意; …………7 分 当 ,得 ∴ . ……………………8 分 将上式代入椭圆方程得: , 整理得: ,由 知, ,…10 分 所以 , …

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