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广东省佛山一中2014届高三10月月考数学文试题 Word版含答案 2


2013 年 10 月段考数学(文)试题
1.已知集合 M ? x ? Z x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 , N ? ?1, 2,3, 4? , 则 M ? N ? A. ?1, 2, 3? B. ?2,3, 4? C. ?2,3? D. ?1, 2, 4?

?

?

(

)

2.函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ( )

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数图象对应的解析式为 4
2

A. y ? sin(2 x ?

?
4

) ?1

B. y ? 2 sin x

C. y ? ? cos 2 x

D. y ? 2 cos x
2

3.已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? A. 70 B. 28

?3n ? 1 (n奇数)
C. 20

?2n ? 2 (n为偶数)

,则 a2 a3 = D. 8

(

)

4. 已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式中总成立的是 A. a ?





1 1 ?b? b a

B. a ?

1 1 ?b? a b

C.

b b ?1 ? a a ?1

D. b ?

1 1 ?a? b a

5. 在平面直角坐标系中, 为原点, O 已知两点 A(3,1), B(?1,3) , C 满足 OC ? ? OA ? ? OB 其中 ? , ? ? R 且 若

? ? ? ? 1 ,则点 C 的轨迹方程是
A. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 0 B. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

(

)

D. 3x ? 2 y ? 11 ? 0 ( D. 13
2

6.已知向量 p ? ? 2, ?3? , q ? ? x, 6 ? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为 A. 5 B.

)

13
x

C. 5

7.已知两命题 p : ?x ? ? 0,1? , a ? e ,命题 q : ?x ? R, x ? 4 x ? a ? 0 ,均是真命题,则 实数 a 的取值范围是 A. [4, ??) B. [1, 4] C. [e, 4] D. (??,1] ( )

?1 , ( x ? 0) ? 2 8.已知函数 f ( x) ? ?0 , ( x ? 0) ,设 F ( x) ? x ? f ( x) ,则 F ( x) 是 ? ?1, ( x ? 0) ?
A. 奇函数,在 (??, ??) 上单调递减 B. 奇函数,在 (??, ??) 上单调递增





C. 偶函数,在 (??,0) 上递减,在 (0, ??) 上递增 D. 偶函数,在 (??,0) 上递增,在 (0, ??) 上递减 9.曲线 y= A.1

1 2 x ? x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 2 4 2 B.2 C. D. 3 3





10.已知函数 f ( x) ? ?

? 1? | x ? 1|, x ? [?2, 0] ,若方程 f ( x) ? x ? a 在区间 [?2, 4] 内有 3 个 ?2 f ( x ? 2), x ? (0, ??)
( B. {a | ?2 ? a ? 0} D. a ? 2 ? a ? 0 或 a ? 1} )

不等实根,则实数 a 的取值范围是 A . {a | ?2 ? a ? 0} C . {a | ?2 ? a ? 0 或 1 ? a ? 2} 11.方程 x cos x ? 0 在区间 ? ?3, 6? 上解的个数为 12.已知锐角三角形的边长分别为 2,4,x,则 x 的取值范围为 13. 已知 α,β∈ (
? ?

?

.

3 12 3? ? ? , ? ) ,sn(α+β)=-5,sin ( ? ? ) =13,则 cos (? ? ) =________. 4 4 4
? ? ?

14.设 a, b 为不共线的两个向量,且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直, a ? b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角的余弦值为 ____________. 15.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x sin ? ? 1 , x ? [?
2

3 1 , ] , 2 2

(1)当 ? ?

?
6

时,求 f ( x) 的最大值和最小值;

(2)若 f ( x) 在 x ? [?

3 1 , ] 上是单调增函数,且 ? ? [0, 2? ) ,求 ? 的取值范围. 2 2

16.(12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 2 ,且 ?ABC 的面积为 S ? 2 3 ,求

a 的值.
?

17.(14 分)已知向量 a = (cos? , sin? ) , ? ? [0, ? ] ,向量 b =( 3 ,-1) (1)若 a ? b ,求 ? 的值?; (2)若

?

?

?

? ? 2a ? b ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。
4 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; , an ?1 ? 3Sn , n? N*, 3
1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 U n ,试求最 Tn

18.(14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ?

(2)设 bn ? log 2 an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ; (3)令 cn ? 小的集合 ?a, b ? ,使 U n ? ?a, b ? 。

19.(14 分)函数 f ( x) ? x ? x ,当 x ? [n, n ? 1](n ? N ) 时, f ( x) 的所有整数值的个数为 g (n)
2

?

(1)求 g (n) 的表达式

2n3 ? 3n 2 (n ? N ? ), Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? (?1) n ?1 an ,求 S n (2)设 an ? g ( n)
(3)设 bn ?

g ( n) , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,若 Tn ? l (l ? z ) ,求 l 的最小值 2n
3 2 2

20.(14 分)设函数 f ( x) ? x ? 2ax ? bx ? a, g ( x) ? x ? 3x ? 2 ,其中 x? R, a, b 为常数, 已知曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l 。 (1)求 a, b 的值,并写出切线 l 的方程; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) ? mx 有三个不同的实数根 0、 x1 、 x2 ,其中 x1 ? x2 ,且

?x ? ? x1 , x2 ? , f ( x) ? g ( x) ? m( x ?1) 恒成立,求实数 m 的取值范围。

2013 年 10 月段考数学文参考答案及评分标准
选择题答案 11. 4 .

C B C A A
12. (2 3 ,2 5 )

B C B D D
56 13.-65.
2

14.

10 5

15. 解: (1)当 ? ? ∴ f ( x) 在 [ ? ∴ 当x ? ?

?
6

时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2

1 2

5 ………………………2 分 4
……………………4 分

3 1 1 1 ,? ] 上单调递减,在 [? , ] 上单调递增 2 2 2 2

1 5 时,函数 f (x) 有最小值 ? 2 4 1 1 当 x ? 时,函数 f (x) 有最大值 ? 2 4

…………………………………………6 分

(2)要使 f ( x) 在 x ? [?

3 1 3 , ] 上是单调增函数, 则 -sin ? ≤- 2 2 2
解得:

……9 分

即 sin ? ≥

3 2

又?? ? [0,2? )

?
3

?? ?

2? 3

…………………11 分

∴ ? 的取值范围为 ?

? ? 2? ? , ?3 3 ? ?


…………………………………………12 分

16.解: (1)∵ b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc. 即 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

…………………2 分

1 2

……………………………………………………………4 分 ……………………………………………………………5 分 ……………………………………………………………6 分

又? 0 ? A ? ? ,

??A ?

?
3

(2)∵ S?ABC ?

1 1 3 bc sin A ? bc sin 60 0 ? bc 2 2 4
∴ c = 4
2

………………………………7 分

又 S?ABC ? 2 3, b ? 2
2 2

………………………………………………9 分
2 2

由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos A ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4cos ∴a ? 2 3 。

?
3

? 12 , ……11 分

……………………………………………………………12 分

17. 【答案】(1)∵ a ? b , ∴ 3 cos? ? sin ? ? 0 , ………………………………2 分 得 tan? ? 3 , 又 ? ? [0, ? ] , 所以 ? ? (2) ∵ ……………………………………………………………4 分 ……………………………………………………………5 分

?

?

π . ……………………………………………………………6 分 3 ? ? 2a ? b = (2 cos? ? 3,2 sin ? ? 1) , ……………………………………7 分
2 2

∴ 2a ? b ? (2 cos θ ? 3 ) ? (2 sin θ ? 1) ? 8 ? 8? sin θ ? 又?∵ ? ? [0, ? ] ,∴ ? ? ∴ sin ? ? ?

? ?2

?1 ?2 ?

? 3 ? π? cos θ ? ? 8 ? 8 sin? θ ? ? …9 分 ? 2 ? 3? ?

π π 2π ? [? , ] , 3 3 3

? ?

π? 3 ,1] , ……………………………………………………………10 分 ? ? [? 3? 2
? ?
……………………………12 分

∴ 2a ? b 的最大值为 16,∴ 2a ? b 的最大值为 4,

? ?2
? ?

又 2a ? b ? m 恒成立,所以 m ? 4 。 …………………………………………………13 分 ∴ 实数 m 的取值范围为 ?4, ? ? ? 18.解:∵ …………………………………………………14 分 ……………………2 分

an?1 ? 3Sn ,∴当 n ? 2 时, an ? 3Sn?1 ,

∴ an ?1 ? an ? 3( Sn ? Sn ?1 ) , …………………………………………………………3 分 ∴ an ?1 ? 4an ,∴数列 ?an ? 从第二项起成等比数列,而 a2 ? 3S1 ? 4 , ∴ an ? a2 q
n?2

? 4 ? 4n ?2 ? 4n ?1

(n ? 2)

………………………4 分

?4 ? ∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 3 ? 4n ?1 ?
(2) bn ? log 2 an ?1 ? log 2 4 ? log 2 2
n 2n

(n ? 1)

? n ? 2?
? 2n ,

………………………5 分

………………………………7 分 ……………………………9 分

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ? n(n ? 1) ;

(3) cn ?

1 1 1 1 ? ? ? , Tn n(n ? 1) n n ? 1

……………………………………10 分

∴ U n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? ? ?

1 ? 1 ?1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ?1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 1? n ?1 ?1 2 ? ? 2 3 ? ? n n ?1 ?
………………13 分

又 cn ?

1 1 1 ? ? 0 ,∴ U n 递增,∴ U n ? U1 ? , Tn n(n ? 1) 2

综上,

1 ?1 ? ? U n ? 1 ,∴ ?a, b ? = ? ,1? 。 2 ?2 ?
?

……………………………14 分

19. 【答案】 (1)当 x ? [n, n ? 1](n ? N ) 时,函数 f ( x) 单调递增,则 f ( x) 的值域为

[n2 ? n, n2 ? 3n ? 2](n ? N ? ) ? g (n) ? 2n ? 3
(2)由(1)得 an ? n 当 n 为偶数时
2

……………………………4 分

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an ?1 ? an ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ? ? ? [(n ? 1) 2 ? n 2 ]
= ?(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? 当 n 为奇数时

n(n ? 1) 2

………………………………………6 分

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? (an?2 ? an?1 ) ? an ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ? ? ? [(n ? 2) 2 ? (n ? 1) 2 ] ? n 2
= ?(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) ? n 2 ?

? Sn ? (?1)n ?1
(3) 由 bn ?

n(n ? 1) 2

n(n ? 1) 2

………………………………………8 分

……………………………………………………9 分

g ( n) 5 7 9 2n ? 3 ,得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2n 2

………………………10 分

1 5 7 9 2n ? 3 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 两式相减得 2 2 2 2 2

………………………………11 分

1 5 2n ? 3 2 2 2 7 2n ? 7 2n ? 7 Tn ? ( ? n?1 ) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? n ?1 ? Tn ? 7 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2n
则由 Tn ? 7 ?

…12 分

2n ? 7 ? l , l ? z ,可得 l 的最小值为 7 2n

………………………14 分

2 20.解: (1) f ?( x) ? 3x ? 4ax ? b, g ?( x) ? 2 x ? 3 , …………………………1 分

由于曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l , 故有 ?

? f (2) ? g (2) ? 0 ? f ?(2) ? g ?(2) ? 1

……………………………………………………………2 分

即?

? 8 ? 8a ? 2b ? a ? 0 ?12 ? 8a ? b ? 1

解得 ?

? a ? ?2 ……………………………………………4 分 ?b ? 5
………………………………5 分
2 3 2

切线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0
3

(2)由(1)知, f ( x) ? x ? 4 x ? 5x ? 2, ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 3x ? 2 x 依题意,方程 x( x ? 3x ? 2 ? m) ? 0 有三个不同的实数根 0、 x1 、 x2 ,
2

故 x1 、 x2 是方程 x ? 3x ? 2 ? m ? 0 的两相异实根,………………………………6 分
2

∴ ? ? 9 ? 4(2 ? m) ? 0,

1 ? m ? ? ………………………………………………8 分 4

又 ?x ? ? x1 , x2 ? , f ( x) ? g ( x) ? m( x ?1) 恒成立, 特别地,取 x ? x1 ,有 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? ?m 成立, ∵ f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? 0 ,得 m ? 0 ,………………………………………………10 分 由韦达定理,可得 x1 ? x2 ? 3 ? 0, x1 ? x2 ? 2 ? m ? 0 ,故 0 ? x1 ? x2 ,

?x ? ? x1 , x2 ? , 有 x ? x2 ? 0, x ? x1 ? 0, x ? 0
则 f ( x) ? g ( x) ? mx ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ,又 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? 0 ∴ f ( x) ? g ( x) ? mx在x ? ? x1 , x2 ? 上的最大值为 0,………………………………12 分 于是,当 m ? 0 时, ?x ? ? x1 , x2 ? , f ( x) ? g ( x) ? mx ? ?m , 即 f ( x) ? g ( x) ? m( x ?1) 恒成立, 综上,实数 m 的取值范围为 ( ? ………………………………………13 分

1 , 0) 4

………………………………………14 分


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