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2015高考模拟三角分类答案


三角分类答案

2015 年北京高考模拟三角分类汇编答案 (2015 海淀一模) (15) (共 13 分)

? 1 ? cos 2( x ? ) 4 解: (Ⅰ )因为 f ( x) ? 2 1 ? sin 2 x ? . 2 2π ? π. 所以 T ? 2 π kπ π ? ( k ? Z) . 令 2 x ? kπ ? ( k ?

Z) ,得: x ? 2 2 4
所以 f ( x ) 的最小正周期为 π ,对称轴的方程为 x ?

………………2 分

………………4 分 ………………6 分

kπ π ? ( k ? Z) . 2 4

? sin 2( ? x) ? 1 ? 3 (Ⅱ ) f ( ? x) ? 3 2 1 2π 1 ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 3 2 π 2π π ? 2kπ ? (k ? Z) , 令 2kπ ? ? 2 x ? 2 3 2 π 7π ? x ? kπ ? (k ? Z) . 得: kπ ? 12 12 π π 7π ](k ? Z) . 所以 f ( ? x ) 的单调递减区间为 [kπ ? , kπ ? 3 12 12
(2015 西城一模) 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:因为 f ( x) ? 4 cos x( sin x ?

………………9 分

………………13 分

1 2

3 cos x) ? 3 2

……………… 1 分

? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2x ? 3 cos2x
= 2sin(2 x ? ) , ……………… 3 分 ……………… 5 分

π 3

π , 2 π π 2π 所以 ? ≤2 x ? ≤ , 3 3 3
因为 0≤x≤ 所以 ?

……………… 6 分

3 π ≤ sin(2 x ? )≤1 , 2 3
1

三角分类答案

即 ? 3≤f ( x)≤2 , 其中当 x ?

5π 时, f ( x) 取到最大值 2;当 x ? 0 时, f ( x) 取到最小值 ? 3 , 12
……………… 9 分 ……………… 10 分 ……………… 12 分

所以函数 f ( x) 的值域为 [? 3,2] . (Ⅱ)依题意,得 2 sin(2 x ?

π π 1 ) ? 1, sin(2 x ? ) ? , 3 3 2 π 5π π π ? 2kπ , 所以 2 x ? ? ? 2kπ 或 2 x ? ? 3 6 3 6 π 7π ? kπ (k ? Z) , 所以 x ? ? kπ 或 x ? 4 12

所以函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 1 的两个相邻交点间的最短距离为

π . … 13 分 3

(2015 东城一模)

(2015 朝阳一模) 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知,函数 f ( x) ? cos2 x ? 3sin x cos x
3 1 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) + 2 2 π 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? π .

当 2kπ ?

π π 3π π 2π 时( k ? Z ) ,即 kπ+ ? x ? kπ+ 时,函数 f ( x) 为减函数.即函数 f ( x) 的单调 ? 2x ? ? 2kπ ? 2 6 2 6 3

2

三角分类答案

π 2π ? ? 减区间为 ? kπ + , kπ + ? , k ? Z . 6 3? ?

………………….9 分

(Ⅱ)由 x ? m 是函数 y ? f ( x) 图象的对称轴,则 2m ?

π π 1 ? ,即 m ? k ? ? , k ? Z . 则 =kπ ? ( k ? Z ) 6 2 2 6

4m ? 2k ? ?

3 ?? .则 sin 4 m ? . 2 3

………………….13 分

(2015 丰台一模) 15.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos 2

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x 1
2 ? 2

?

1 ? cos ?x 3 1 ? sin ?x ? 2 2 2 3 1 ? sin ?x ? cos ?x ? sin(?x ? ) . 2 2 6
2?

?

因为 T ?

?

? ? , ? ? 0 ,所以 ? ? 2 .

因为 f ( x) ? sin( 2 x ? 所以 ? 1 ? sin( 2 x ?

?
6

), x?R ,

?
6

) ? 1.
……………………8 分

所以函数 f ( x ) 的最大值为 1,最小值为-1. (Ⅱ)令 2k? ?

(k ? Z ) , 2 6 2 2? ? 得 2k? ? ? 2 x ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 3
所以 k? ?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

?

3

? x ? k? ?

?

6

(k ? Z ) .

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ?

?
3

, k? ?

?
6

] (k ? Z ) .……………………13 分

(2015 石景山一模) 15. (本小题共 13 分) (Ⅰ )由题意,得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ?

?
2

) ? cos ? ,

………………3 分

所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ? ) , 4

?

………………5 分

3

三角分类答案

因为 ? ? (0,

?
2

) ,所以 ? ?

?

? 3? ? ( , ) ,故 f (? ) ? (1, 2] . 4 4 4

………7 分

(Ⅱ )因为 f (C ) ?

2 sin( ? C ) ? 2 , 4

?

C ? (0, ) ,所以 C ? , 4 2
在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,
2 2 2

?

?

………………9 分

即1 ? 2 ? b ? 2 2 ?
2

2 b ,解得 b ? 1 . 2

……………13 分

(2015 房山一模) 15. (本小题共 13 分)
? 3 1 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x
6 2 2

………………2 分 ………………3 分

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) 2 2 6

由?

?
2

? 2k? ? 2x ?

?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z)得, ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z) 5 分
………………7 分

∴ f ( x) 的单调递增区间是 [? (Ⅱ)∵ f ( A) ? sin(2 A ? 于是 2 A ? ∴ A?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z)

?
6

)?

1 ? ? ? , 0 ? A ? ? , ? 2 A ? ? 2? ? 2 6 6 6

?
6

?

5? 6
………………10 分

?
3

∵ ?ABC 外接圆的半径为 3 由正弦定理

a ? 2 R ,得 sin A

a ? 2 R sin A ? 2 3 ?

3 ? 3, 2

………………13 分

4

三角分类答案

(2015 顺义一模) 15.解 解:(I)在 ?ABC 中,因为 B ? A ? 所以 B ? A ?

?
2

, …….............................................................2 分

?
2

,即

?
2

? B ?? ,

所以 sin A ? sin ? B ?

? ?

??

?? ? ? ? ? sin ? ? B ? ? ? cos B 2? ?2 ?
2

..........................................4 分

? 6? 3 ? ? ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ?
a b b sin A ? ? 得a ? sin A sin B sin B

?

?

2

...........................................5 分

3 2? 6 3

由正弦定理,

3 3 ? 3.

...........................7 分

(II)因为 B ? A ?

?
2

,即 B ? A ?

?
2

,

所以 B 为钝角, A 为锐角. 由(I)可知, sin A ?

3 , 3
2 2

? 3? 6 所以 cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? . ? ? ? 3 ? 3 ? ?
又 sin B ?

...........................................9 分

6 3 ,cos B ? ? , 3 3

...........................................10 分 ...........................................11 分 .....................12 分

所以 cos C ? cos ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? cos ? A ? B ?

? ? cos A cos B ? sin A sin B ?? ? 6 ? 3? 3 6 ?? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3

2 2 . 3

...................13 分

5

三角分类答案

(2015 通州一模) 解: (Ⅰ)因为 ?ABC 的面积是

2? 15 3 ,c ? 5, B ? , 3 4

所以

1 15 3 1 3 15 3 ac sin B ? . 即 a ?5? . ? 2 4 4 2 2
…………………… 4 分
2 2 2

所以 a ? 3. 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 得 b ? 25 ? 9 ? 2 ? 5 ? 3 ? cos
2

2? ? 49. 3
…………………… 7 分

所以 b ? 7. (Ⅱ)由正弦定理

a b ? . sin A sin B
…………………… 10 分
2

所以 sin A ?

3 3 3 3 ? ? . 7 2 14
2

?3 3? 71 所以 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ? 1 ? 2 ? ? ? 14 ? ? ? 98 . ? ?
(2015 延庆一模) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)? cos

…………………… 13 分

?
2

?

2 5 , 5
…………………2 分

? cos ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 2 ? ( 2 5 ) 2 ? 1 ? 3 2 5 5 ? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?
? 25 ? 4 ? 2 ? 5 ? 2 ?
? 17

3 5
……………………5 分 ……………………6 分

? AC ? 17
(Ⅱ)? ?BAC ?

?

6 AB BC 2 ? ? ? ?4 5? ? 1 sin( ? ? ) sin 6 6 2

, ?ABC ? ? , ??BCA ?

5? ? ? ………………7 分 6
……………………9 分

6

三角分类答案

? AB ? 4sin(

5? ?? ) , 6 5? 5? ? f (? ) ? 4sin( ? ? ) , ? ? (0, ) 6 6 5? 5? ? ? ? (0, ) , 6 6 ? 5? ? ?当 ? ? ? 时,即 ? ? 时 3 6 2
f (? ) 的最大值为 4

……………………10 分

…………………………13 分

(2015 海淀二模) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 a ?

3 6 cos A , 2
………………3 分

所以 a ?

3 6 b2 ? c 2 ? a 2 ? . 2 2bc

因为 c ? 5 , b ? 2 6 , 所以 3a ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 .
2

解得: a ? 3 ,或 a ? ?

49 (舍). 3

………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得: cos A ?
2

2 6 . ?3 ? 3 3 6
1 . 3
………………9 分

所以 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ?

因为 a ? 3 , c ? 5 , b ? 2 6 , 所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 2ac 3

………………11 分 ………………12 分

所以 cos 2 A ? cos B . 因为 c ? b ? a , 所以 A ? (0, ) . 因为 B ? (0, ?) , 所以 ?B ? 2?A .

? 3

………………13 分

7

三角分类答案

另解:因为 A ? (0, ?) ,

所以 sin A ? 1 ? cos A ?
2

3 . 3

由正弦定理得:

2 6 3 ? . sin B 3 3

所以 sin B ?

2 2 . 3 3 6 2 2 ? ? ? sin B . 3 3 3
? 2
………………12 分

所以 sin 2 A ? 2 ? 因为 c ? b ? a ,

? 3 所以 ?B ? 2?A .
(2015 东城二模) (15) (共 13 分)

所以 A ? (0, ) , B ? (0, ) . ………………13 分

解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 ,得 x ? k ?? k ? Z ? . 所以 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k ?? k ? Z} . …………………2 分 因为 f ( x) ?

sin 2 x ? 2sin 2 x , sin x

? 2 cos x ? 2sin x

? ? 2 2 cos( x ? ) , 4
所以 f ( x ) 的最大值为 2 2 .

…………………6 分 …………………7 分

(Ⅱ)函数 y ? cos x 的单调递增区间为 [2k ? ? ?? 2k ? ? ??? ( k ? Z ) 由 2k ? ? ? ? x ?

? ? 2k ? ? ?? , x ? k ?? k ? Z ? ,且 x ? (0, ?? , 4
3? , ?? . 4
……13 分

所以 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间为 [

(2015 西城二模)

8

三角分类答案

(2015 丰台二模) 15.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 S ?BCD ?

1 BC ? CD ? sin ?BCD ? 4 , 2

所以 sin ?BCD ?

2 5 . 5

因为 ?BCD 为锐角, 所以 cos ?BCD ? 1 ? (

2 5 2 5 . ) ? 5 5
2 2

……………………6 分

(Ⅱ)在 ?BCD 中,因为 DB ? CD ? BC ? 2CD ? BC ? cos?BCD ,
2

所以 DB ? 4 . 因为 DB ? CD ? BC ,
2 2 2

所以 ?CDB ? 90? . 所以 ?ACD 为直角三角形.
? 因为 A ? 30 ,所以 AC ? 2CD ? 4 ,即 AC ? 4 .

……………………13 分

(2015 朝阳二模) 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) 在 中, 因为 , 所以 . 由正弦定理得: ,





(Ⅱ)在 中,由余弦定理得: 整理得 ,解得 (舍负) . 过点 作 于 ,则 为梯形 的高. 因为 , ,所以 . 在直角 即梯形 中, 的高为 . .



(2015 昌平二模) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)由题意可知, A ? 2 ,

9

三角分类答案

3T 9 ? 2? ? ? ? ,解得 ? ? 2 . ,得 T ? ? , T ? 4 12 ? ? ? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ? ) ? 2 , 3 3 2? ? ? ? ? ? ? 2k ?? k ? Z , | ? |? , 即 2 3 2 ? ? 所以 ? ? ? ,故 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 6 6
(II) g ( x) ? 2sin(2( x +

……………7 分

π π π π ) - ) - 2sin(2( x + ) - ) 12 6 3 6

π ? 2sin2 x - 2sin(2 x + ) 2 = 2sin2 x - 2cos2 x ? = 2 2 sin(2 x ? ) 4


?

? ? ? ? 2k ? ,? k Z, 2 4 2 ? ?? ? ? k? ? x ? ? k ?, k ? Z. 8 8 ? 2k ? ? 2 x?

?

故 g ( x)的单调递增区间是

[?

? ?? ? k ?, ? k ?], k ? Z. 8 8 .

……………13 分

(2015 海淀期末) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ ) ? 的值是

π . 6 5 x0 的值是 . 3

………………2 分 ………………5 分

(Ⅱ )由题意可得: f ( x ? ) ? cos( π(x ? ) ?

1 3

1 3

π π ) ? cos( πx ? ) ? ? sin πx . 6 2
………………7 分

所以 f ( x) ? f ( x ? ) ? cos( πx ?

π ) ? sin πx 6 π π ? cos πx cos ? sin πx sin ? sin πx 6 6 1 3

………………8 分

?

3 1 cos πx ? sin πx ? sin πx 2 2

10

三角分类答案

?
因为 x ? [?

3 3 π cos πx ? sin πx ? 3 cos( πx ? ) . 2 2 3

………………10 分

1 1 , ], 2 3 π π 2π 所以 ? ? πx ? ? . 6 3 3 π 1 所以 当 πx ? ? 0 ,即 x ? ? 时, g ( x) 取得最大值 3 ; 3 3
当 πx ?

π 2π 1 3 ? ,即 x ? 时, g ( x) 取得最小值 ? . 3 3 3 2

………………13 分

(2015 东城期末) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 , 所以 ? ? 2 . 当x ?

T 2? ?? ? ? ? ? ,T ? ? . 4 3 12 4

…………2 分

2? 2? ? ? ) ? ?1 , 时, f ( x) ? ?1 ,可得 sin(2 ? 3 3 ? ? ,所以 ? ? . 2 6
…………5 分

因为 | ? |?

所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin(2 x ? ) , 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

? ). 6

………………6 分

? 6

? 个单位长度得到 6

? ? ? y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) 的图象, 6 6 6
所以 g ( x) ? sin(2 x ? ) . 因为 0 ? x ? 当 2x ? 当 2x ?

? 6

………………10 分

? ? ? 5? ,所以 ? ? 2 x ? ? . 2 6 6 6

? ? ? ? ,即 x ? 时, g ( x) 有最大值,最大值为1; 3 6 2 1 ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值,最小值为 ? .…13 分 2 6 6

11

三角分类答案

(2015 西城期末) 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? 2 3 sin

x x x cos ? cos 4 4 2 x x ? 3 sin ? cos 2 2 x π = 2 sin( ? ) , 2 6

……………… 2 分 ……………… 4 分

所以 T ?

2π ? 4π . 1 2
……………… 6 分

故函数 f ( x) 的最小正周期为 4 π .

π x π π ≤ ? ≤ 2kπ ? , 2 2 6 2 4π 2π 解得 4kπ ? , ≤ x ≤ 4kπ+ 3 3 4π 2π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [4kπ ? , 4kπ+ ], (k ? Z) . 3 3
由题意,得 2kπ ?

……………… 9 分

y
B (Ⅱ)解:如图过点 B 作线段 BC 垂直于 x 轴于点 C . O C A

3T 由题意,得 AC ? ? 3π , BC ? 2 , 4 BC 2 所以 tan ?BAO ? . ? AC 3π
………… 13 分

x

(2015 朝阳期末)

(2015 丰台期末) 15. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 3 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) ? 2 cos 2 ( x ?

?
4

) ?1

? 3 sin( 2 x ?

?
2

) ? cos( 2 x ?

?

2

)

? 3 cos2 x ? sin 2 x

12

三角分类答案

? 2 sin( 2 x ? T ?

?
3

)
…………………7 分

2? ?? . 2

(Ⅱ)因为 0 ? x ? 所以

?

?
3

2



? 2x ?

?
3 ?

?

时, ymax ? 2 ; 12 3 2 ? ? 4? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, ymin ? ? 3 . 2 3 3 所以 当 2 x ? ,即 x ? 所以当 x ?

?

?

4? . 3

?

…………………13 分 时,函数有最小值是 ? 3 .

?

12

时,函数有最大值是 2 ;当 x ?

?

2

(2015 大兴期末) (15) (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? 2sin 2 x ? 3sin 2x

?1? 2?

1 ? cos2 x ? 3sin 2 x 2

? 3sin 2x ? cos2 x ? 2
? 2?( 3 1 sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 2 π ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6

………..4 分

所以, f (x) 的最小正周期T ? 由 2kπ ? 化简得

2 π ?π 2

………..6 分 ………..7 分

π π 3π ? 2x ? ? 2kπ ? , k ? Z 2 6 2

kπ ?

π 5π ? x ? kπ ? 3 6 π 5π , kπ ? ], k ? Z 3 6
………..9 分

所以,函数 f ( x) 的单调递减区间为 [kπ ? (Ⅱ)因为

f ( x0 ) ? 2 , 所以 2sin(2 x0 ? ) ? 2 ? 2
π 6
………..2 分

π 6

即 sin(2x0 ? ) ? 0
? π? 又因为 x0 ? ?0, ? ? 2?

所以 2 x0 ?

π π 5π ?[ ? , ] 6 6 6

………..3 分

13

三角分类答案



2 x0 ?

π ?0 , 6

即 x0 ?

π 12

………..4 分

(2015 昌平期末) 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? sin 2 x ? 2 ?

1 ? cos 2 x 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4

………… 5 分 ………… 7 分 …………9 分 …………11 分 …………13 分

2? ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期为 ? . 2 ? ? ? ?? (Ⅱ)因为 0 ? x ? , 所以 ? 2 x ? ? . 2 4 4 4 ? ? ? 当 2 x ? ? 时,即 x ? 时, 8 4 2
所以 T ? 所以 f ( x) 有最大值 2 ? 1 .

(2015 通州期末) 15. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? ? 4cos x ? 4sin x cos x ?3 ,
2

所以 f ? x ? ? 2 ? cos 2x ? 1? ? 2sin 2x ? 3 ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1

?? ? ? 2 2 sin ? 2 x ? ? ? 1. 4? ?
所以 f ? ?

…………………… 3 分

? ?? ? ? ?? ? ? 2 2 sin ? ? ? ? ? 1 ? ?3. ? 4? ? 2 4?

…………………… 5 分

对称轴方程是 2 x ? (Ⅱ)因为 ? 所以 0 ? 2 x ? 所以 2 x ?

?
4

?

?
2

? k? , k ? Z ,即 x ?


?
8

?

?

?

8 4

?x? ?

?
2

k? , k ? Z. 2

…………………… 7 分

?
4

?

?
2

5? . 4

…………………… 9 分

,即 x ?

?
8

时,

…………………… 11 分 …………………… 13 分
14

f ? x ? 有最大值是 2 2 ?1 ,


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