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高一数学教案:第三章第二节二倍角的正弦、余弦、正切(1).doc


第三章 第二节二倍角的正弦、余弦、正切 (1) 一、课题:二倍角的正弦、余弦、正切(1) 二、教学目标:1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式,了解它们的内在联 系; 2.会利用倍角公式进行求值运算,培养运算和逻辑推理能力; 3.领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学 数学的兴趣。 三、教学重、难点:倍角公式的形成,及公式的变形形式的运用。 四、教学过程: (一)复习: 1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式; 2.提出问题:若 ? ? ? ,则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。 (二)新课讲解: 1.二倍角公式的推导:

sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

说明: (1) “倍角”的意义是相对的,如:

? ? 是 的二倍角; 4 8

(2)观察公式特征: “倍角”与“二次”的关系; (3)利用三角函数关系式 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 可将余弦的倍角公式变形为: cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ,

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? , cos 2? ? 2cos2 ? ?1 , cos 2? ?? 1 ? 2sin 2 ? 统称为升
幂公式。 类似地也有公式(降幂公式) :

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? 这两个形式今后常用; 2 2

(4)注意公式成立的条件,特别是二倍角的正切公式成立的条件:

? ? k? ? ? ? k? ,? ? ? (k ? Z ) . 2 4 2

【练习 1】求值: (1) sin 22 30? ? cos 22 30? ?

1 2 . sin 45? ? 2 4
? ? ? 2 ? cos 2 ? ? cos ? ? . 8 8 4 2


(2) 2 cos 2 (
8sin

? ? 2 ? 1 ? cos ? . 8 4 2

(3) sin 2 4

?
48

cos

?
48

cos

?
24

cos

?
12

? 4sin

?
24

cos

?
24

cos

?
12

? 2sin

?
12

cos

?
12

? sin

?

1 ? . 6 2

2.例题分析:

5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值。 13 2 5 ? 12 解:∵ sin ? ? , ? ? ( , ?) , ∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? . 13 2 13 120 119 120 cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? tan 2? ? ? ∴ sin 2? ? 2sin ? ? cos ? ? ? ; ; . 169 169 119
例 1:已知 sin ? ?

? 3 ? 3 【练习 2】①已知: tan x ? 2 ,则 tan 2( x ? ) ? ; tan 2( x ? ) ? . 4 4 4 4
②已知: sin x ?

? 5 ?1 ,则 sin 2( x ? ) ? 2 ? 5 . 4 2

例 2: 化简 (1) 1 ? sin 40 ; (2) 1 ? cos 20 ; (3) 1 ? sin 40 ; (4) 1 ? cos 20 . 解: (1) 1 ? sin 40 ? 1 ? 2sin 20 cos 20 ? (sin 20 ? cos 20 ) 2

?| sin 20 ? cos 20 | ? cos 20 ? sin 20 ;
(2) 1 ? cos 20 ? 1 ? 2cos2 10 ?1 ? 2 cos10 ; ( 3 )

1 ? sin 40 ? 1 ? 2sin 20 cos 20 ? (sin 20 ? cos 20 ) 2 ? sin 20 ? cos 20 ;
(4) 1 ? cos 20 ? 1 ? (1 ? 2sin 2 10 ) ? 2sin 2 10 ? 2 sin10 . 说明:形如 1 ? sin ? 与 1 ? cos ? 的化简方法及基本形式。 五、小结:1.二倍角公式是和角公式的特例,体现了一般化归为特殊的基本的 数学思想方法; 2.二倍角公式与和角、差角公式一样,反映的都是如何用单角 ? 的三角函 数值复角(和、差、倍)的三角函数值没,结合前面学习到的同角三角函数关系式

和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。 六、作业: 补充:1.化简 2 ? sin2 2 ? cos4 ; 2.已知 ? 为第三象限角,且 sin 4 ? ? cos 4 ? ?

5 ,求 sin 2? 的值。 9



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