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高中数学复习学(教)案(第74讲)数列的极限


题目 (选修Ⅱ)第二章极限 数列的极限 高考要求 1 理解数列极限的概念,掌握数列极限的运算法则 2 会通过恒等变形,依据数列极限的运算法则,依据极限为 0 的几种形 式,求数列的极根 3 会求公比绝对值小于 1 的无穷等比数列各项的和 知识点归纳 1 数列极限的定义:
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一般地,如果当项数 n 无限增大时,无穷数列 {an } 的项 an 无限趋近于 ..... 某个常数 a (即|an-a|无限地接近于 0) ,那么就说数列 {an } 以 a 为极限 记作 lim an ? a .
n ??
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注:a 不一定是{an}中的项 2 几个重要极限:
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(1) lim
n ??
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1 n ? 0 (2) lim C ? C (C 是常数) (3) lim q ? 0( q ? 1) n?? n ?? n

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3 极限问题的基本类型: 分式型,主要看分子和分母的首项系数;
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指数型(

0 ? 和 型) ,通过变形使得各式有极限; 0 ?

根式型(∞─∞型),通过有理化变形使得各式有极限; 4 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果 lim a n ? A, lim bn ? B, 那么
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n ??

n ??

lim(a n ? bn ) ? A ? B
n ??

l i (a n ? bn ) ? A ? B m
n ??

lim(a n .bn ) ? A.B
n ??

a A l i mn ? ( B ? 0) n ?? b B n

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5.无穷等比数列的各项和 ⑴公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和当 n 无限增大时的极 限,叫做这个无穷等比数列各项的和,记做 S ? lim S n
n ??
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⑵ S ? lim Sn ?
n ??

a1 , (0 ?| q |? 1) 1? q

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题型讲解 例 1 求三个基本类型的极限:
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① lim
n ??

(?1) n n

; ② lim

n??

2n ? 1 3n 2 ? 2n ? 1 ; ③ lim 2 2 n?? n ? 1 n ?1

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分析:①

(?1)n 的分子有界,分可以无限增大,因此极限为 0; n

3n 2 ? 2n ? 1 ② 的分子次数等于分母次数, 极限为两首项(最高项) n2 ? 1
系数之比; ③ lim
n??

2n ? 1 的分子次数小于于分母次数,极限为 0 n2 ? 1

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解:① lim

(?1)n ? 0; n ?? n

2 1 3? ? 2 3n2 ? 2n ? 1 n n ? 3; ② lim ? lim 2 n ?? n ?? 1 n ?1 1? 2 n 2 1 ? 2 2n ? 1 ③ lim lim 2 ? lim n n ? 0 n ? ? n ?? n ? 1 n ?? 1 1? 2 n
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点评:分子次数高于分母次数,极限不存在; 例 2 求下列极限: (1) lim

2n 2 ? n ? 7 5n 2 ? 7

n??

;

(2) lim ( n 2 ? n -n);
n??

(3) lim (
n??

2 2n 4 + 2 +?+ 2 ) 2 n n n

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分析: 1) ( 因为分子分母都无极限, 故不能直接运用商的极限运算法则, 可通过变形分子分母同除以 n2 后再求极限; (2)因 n 2 ? n 与 n 都没有极 限,可先分子有理化再求极限; (3)因为极限的运算法则只适用于有限个数 列,需先求和再求极限
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解:(1) lim

n??

2n ? n ? 7 = lim n?? 5n 2 ? 7
2

2?

1 7 ? n n2 = 2 7 5 5? 2 n
n

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(2) lim ( n 2 ? n -n)= lim
n??

n??

n ?n ?n
2

= lim

1 1 1? ?1 n

n??

=

1 2

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(3)原式= lim

n??

n(n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 = lim = lim (1+ )=1 2 2 n?? n?? n n n
n ??

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lim(2n 2 ? n ? 7) ? 点评: (1) 对于 要避免下面两种错误: ①原式= = =1, ? lim(5n 2 ? 7)
n ??

②∵ lim (2n 2+n+7), lim (5n2+7)不存在,∴原式无极限
n?? n??

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对 于 ( 2 ) 要 避 免 出 现 下 面 两 种 错 误 : ① lim (
n??

n2 ? n - n ) =

n??

lim
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n 2 ? n - lim n=∞-∞=0;②原式= lim
n??

n??

n 2 ? n - lim n=∞-∞不存
n??



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对于 (3) 要避免出现原式= lim 这样的错误 例 3
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n??

2 4 2n + lim 2 +?+ lim 2 =0+0+?+0=0 2 n?? n n?? n n

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数 列 {an} 和 {bn} 都 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , 且 lim
n ??

an =3, 求 bn

lim

a1 ? a2 ? ? ? a n 的值为 n ?? nb2 n
解:由 lim

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an =3?d1=3d2 , n ?? b n

n(n ? 1) na1 ? d1 d a1 ? a2 ? ? ? a n 3 2 ? 1 = ∴ lim = lim n ? ? n[b ? ( 2 n ? 1) d ] n ?? 4d 2 4 nb2 n 1 2
点评:化归思想
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例4

求 lim

a n ? a ?n n ?? a n ? a ? n

(a>0);

解: lim

a n ? a ?n n ?? a n ? a ? n

1 ? ? 1 ? a 2n ?1 ?lim n ?? 1 ? 1? ? a 2n ? = ?0 ? 2n ?lim a ? 1 ? ?1 ?n ?? a 2 n ? 1 ? ? ?
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(a ? 1), (a ? 1), (0 ? a ? 1).

点评:注意分类讨论 例 5 已知 lim(
n ??

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n2 ?1 ? an ? b) ? 1 ,求实数 a,b 的值; n ?1

解: lim

(1 ? a)n 2 ? (a ? b)n ? b ? 1 =1, n ?? n ?1

∴ ?

?1 ? a ? 0 ?a=1,b=─1 ?? (a ? b) ? 1
? ?

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例 6 将无限循环小数 0.1 2 化为分数
? ?
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解: 0.1 2 =0 12+0 0012+0 000012+?是一个无穷等比数列的各项和,
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? ?

∴ 0.1 2 =0 12/(1─0 01)=12/99=4/33
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点评:将无限循环小数化分数的方法
? ? ? ? ? ?

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例 7 求数列 0.18 , 0.00 18 , 0.0000 18 ,?的前 n 项和及各项和
? ?

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解:此数列是一个首项为 a1= 0.18 =18/99=2/11,公比为 q=1/100 的等比 数列, ∴Sn=

200 1 200 (1 ? ) , S= n 1089 1089 100

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点评:注意前 n 项和与各项和的区别

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例 8 在 边 长 为 a 的 正 方 形 ABCD 中 内 依 次 作 内 接 正 方 形 AiBiCiDi(i=1,2,3,?),使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为?,求所 有正方形的面积之和 分析:从递推式入手 解:令第 k 个正方形的边长为 ak,则 ak+1(sin?+cos?)=ak (0<?<π/2),
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2 a k ?1 ? ak ?1 1 1 ? ? 2 ?? ? ? , ak ak sin ? ? cos? ? sin ? ? cos ? ?

2

2 即{ ak }为等比数列,且公比小于 1,

∴ 所有正方形面积之和

2a 2 sin 2 (? ? ) 4 S= sin 2?
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?

?
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点评:从通项出发,找出递推关系是关键 例 9 已知数列{an}是由正数构成的数列,a1=3,且满足 lgan=lgan -1+lgc,其中 n 是大于 1 的整数,c 是正数. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 和 Sn; (2)求 lim

2 n?1 ? a n 2 n ? a n?1

n??

的值.

解:(1)由已知得 an=c·an-1, - ∴{an}是以 a1=3,公比为 c 的等比数列,则 an=3·cn 1

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?3n ? ∴Sn= ? 3(1 ? c n ) ? ? 1? c
(2) lim

(c ? 1) (c ? 0且c ? 1).
2 n ?1 ? 3c n ?1 2 n ? 3c n

2 n?1 ? a n 2 ? a n?1
n

n??

= lim

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n??

①当 c=2 时,原式=-

1 ; 4

2 ( ) n ?1 ? 3 1 c ②当c>2 时,原式= lim =- ; 2 n?? c 2 ? ( ) n ?1 ? 3c c

c 1 ? 3( ) n ?1 1 2 ③当 0<c<2 时,原式= lim = c n?? 2 2 ? 3c ? ( ) n ?1 2
点评:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 例 10
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已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,且有 lim (
n??

a1 -qn) 1? q

=

1 ,求首项 a1 的取值范围 2
解: lim (
n??

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a1 1 -qn)= , 1? q 2
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∴ lim qn 一定存在 ∴0<|q|<1 或 q=1
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n??

当 q=1 时,

a1 1 -1= ,∴a1=3 2 2
n??

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当 0<|q|<1 时,由 lim (

a1 a 1 1 -qn)= 得 1 = ,∴2a1-1=q 1? q 2 1? q 2

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∴0<|2a1-1|<1 ∴0<a1<1 且 a1≠
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1 2

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综上,得 0<a1<1 且 a1≠

1 或 a1=3 2

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小结: 1 运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点: (1)各数列的极限必须存在; (2)四则运算只限于有限个数列极限的运算 2 熟练掌握如下几个常用极限:
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(1) lim C=C(C 为常数);
n??

(2) lim (
n??

1 p ) =0(p>0); n

(3) lim

n??

an k ? b a = (k∈N *,a、b、c、d∈R 且 c≠0); cn k ? d c
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(4) lim qn=0(|q|<1)
n??

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3 数列极限的几种类型:∞-∞,
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0 ? ,0-0, 等形式,必须先化简成可求 0 ?

极限的类型再用四则运算求极限,另外还有先求和,约分后再求极限,对含 参数的题目一定要注意分别讨论 4 重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用 学生练习 1 下列极限正确的个数是 1 ① lim ? =0(α >0) ② lim qn=0 n?? n n??
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③ lim
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2 n ? 3n 2 n ? 3n

n??

=-1
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④ lim C=C(C 为常数)
n??

A2 B3 解析:①③④正确 答案:B
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C4
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D 都不正确
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2 lim [n(1-
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n??

1 1 1 1 ) (1- ) (1- )?(1- ) ]等于 3 4 5 n?2
C2
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A0
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B1
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D3
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解析: lim [n(1-
n??

1 1 1 1 ) (1- ) (1- )?(1- ) ] 3 4 5 n?2 2 3 4 n ?1 = lim [n× × × ×?× ] n?? 3 4 5 n?2 2n = lim =2 n?? n ? 2
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答案:C 3 下列四个命题中正确的是
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A 若 lim an2=A2,则 lim an=A
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n??

n??

B 若 an>0, lim an=A,则 A>0
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n??

C 若 lim an=A,则 lim an2=A2
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n??

n??

D 若 lim (an-b)=0,则 lim an= lim bn
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n??

n??

n??

解析:排除法,取 an=(-1) ,排除 A; 取 an=

n

1 ,排除B;取 an=bn=n,排除 D. n
bn 2 ? c an ? c =2, lim =3, 则 n ? ? cn 2 ? b bn ? c

答案:C 4 已知 a、b、c 是实常数,且 lim
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n??

n??

lim

an 2 ? c 的值是 cn 2 ? a
A2
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B3
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C
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1 2

D6
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解析:由 lim

n??

an ? c =2,得 a=2b bn ? c

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由 lim

n??

bn 2 ? c 1 =3,得 b=3c,∴c= b 2 3 cn ? b

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a =6 c

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c an ? c n 2 = a =6 ∴ lim = lim n ? ? cn 2 ? a n?? a c? 2 c n 答案:D
2

a?

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5 若数列{an}的通项公式是 an=
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3 ? n ? 2 ? n ? (?1) n (3 ? n ? 2 ? n ) ,n=1,2,?, 2

则 lim (a1+a2+?+an)等于
n??

A

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11 24

B

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17 24

C

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19 24

D

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25 24

? 3?n ? 2 ?n ? ? 解析:an= ? ? n ?n ?3 ? 2 ? ?
即 an= ?

? (3 ? n ? 2 ? n ) ( n为奇数), 2 ? 3 ?n ? 2 ?n (n为偶数), 2

?2 ? n ? ?3 ?n ?


(n为奇数),
(

n为偶数).
- - - - -
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∴a1+a2+?+an=(2 1+2 3+2 5+?)+(3 2+3 4+3 6+?)

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1 1 2 ?1 3 ?2 19 ? ? 2 + 9 = . ∴ lim (a1+a2+?+an)= ?2 ?2 1 1 24 n?? 1? 2 1? 3 1? 1? 4 9
答案:C

6 数列{an}中,a1=
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A

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2 5

6 1 ,an+an+1= n ?1 ,n∈N*,则 lim (a1+a2+?+an)等于 n?? 5 5 2 1 4 B C D 7 4 25
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解析:2(a1+a2+?+an)=a1+[ 1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+?+(an (a 6 6 6 1 ]+an= +[ 2 + 3 +?+ n ]+an -1+an) 5 5 5 5
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6 1 1 1 1 3 ∴原式= [ + 25 + lim an]= ( + + lim an) 2 5 1 ? 1 n?? 2 5 10 n ? ? 5
∵an+an+1=
n??

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6 5
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n ?1

,∴ lim an+ lim an+1=0
n?? n??

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∴ lim an=0 答案:C

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n ?2 =__________ n?? 1 ? 2 ? ? ? n 1 2 ? n n2 n?2 解析:原式= lim = lim =0 n ? ? n( n ? 1) n?? 1 n ? 2 2 2 答案:0
7 lim
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8 lim
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n??

n 2 ? 2n =____________ 2n 2 ? 3

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2 n =1 解析:原式= lim n?? 3 2 2? 2 n 1?
答案:
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1 2

9 在数列{an}中,a1=3,且对任意大于 1 的正整数 n,点( an , an ? 1 )
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在直线 x-y- 3 =0 上,则 lim

an (n ? 1)
2

n??

=______________

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解析:由题意得 an - an?1 = 3 (n≥2)

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∴{ an }是公差为 3 的等差数列, a1 = 3 ∴ an = 3 +(n-1) 3 = 3 n · ∴an=3n2 ∴ lim
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an (n ? 1) 2

n??

= lim

n??

3n 2 n 2 ? 2n ? 1

= lim

n??

3 =3 2 1 1? ? 2 n n

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答案:3 10 设等比数列{an}(n∈N)的公比 q=-
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1 ,且 lim (a1+a3+a5+?+a2n-1) n?? 2

=

8 ,则 a1=_____________ 3 a 1 8 解析:∵q=- ,∴ lim (a1+a3+a5+?+a2n-1)= 1 = ∴a1=2 n?? 1 3 2 1? 4
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答案:2 11 已知数列{an}满足(n-1)an+1=(n+1) n-1)且 a2=6,设 bn=an+n (a (n∈N*) (1)求{bn}的通项公式;
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(2)求 lim (
n??

1 1 1 1 + + +?+ )的值 b2 ? 2 b3 ? 2 b4 ? 2 bn ? 2

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解:(1)n=1 时,由(n-1)an+1=(n+1) n-1),得 a1=1 (a n=2 时 , a2=6 代 入 得 a3=15 同 理 a4=28, 再 代 入 bn=an+n, 有 b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想 bn=2n2 要证 bn=2n2,只需证 an=2n2-n ①当 n=1 时,a1=2×12-1=1 成立 ②假设当 n=k 时,ak=2k2-k 成立
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那么当 n=k+1 时,由(k-1)ak+1=(k+1) k-1),得 a (a -1)

k+1=

k ?1 (ak k ?1

=
2

k ?1 k ?1 (2k2-k-1)= (2k+1) (k-1)=(k+1) (2k+1)=2(k+1) k ?1 k ?1
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-(k+1) ∴当 n=k+1 时,an=2n2-n 正确,从而 bn=2n2
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(2)lim(
n??

1 1 1 1 1 1 + +?+ ) lim( + = +?+ 2 ) n?? b2 ? 2 b3 ? 2 bn ? 2 2n ? 2 6 16

=

1 1 1 1 + +?+ ] lim [ (n ? 1)( n ? 1) 2 n?? 1? 3 2 ? 4

1 1 1 1 1 1 - ] lim [1- + - +?+ n?? 4 3 2 4 n ?1 n ?1 1 1 1 1 3 = lim [1+ - - ]= 4 n?? 2 n n ?1 8
=
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12 已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中 a1=3,b1=2,b2 是 a2 与 a3 的等差中项,且
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n??

lim

an 1 1 1 1 = ,求极限 lim ( + +?+ )的值 n?? bn 2 a1b1 a 2 b2 a n bn
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解:{an}、{bn}的公差分别为 d1、d2 ∵2b2=a2+a3,即 2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1), ∴2d2-3d1=2
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又 lim

n??

an 3 ? ( n ? 1) d 1 d 1 1 = lim = = ,即 d2=2d1, b n n ? ? 2 ? ( n ? 1) d 2 d 2 2
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∴d1=2,d2=4 ∴an=a1+(n-1)d1=2n+1,bn=b1+(n-1)d2=4n-2
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1 1 1 1 1 = = ( - ) a n bn (2n ? 1) ? (4n ? 2) 4 2n ? 1 2n ? 1

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∴原式= lim
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n??

1 1 1 (1- )= 4 4 2n ? 1

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13 已知数列{an} n}都是由正数组成的等比数列,公比分别为 p、q, 、{b
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其中 p>q 且 p≠1,q≠1,设 cn=an+bn,Sn 为数列{cn}的前 n 项和,求 lim

n??

Sn S n ?1

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解:Sn=

a1 (1 ? p n ) b1 (1 ? q n ) + , 1? p 1? q

Sn S n ?1

a1 (1 ? p n ) b1 (1 ? q n ) ? 1? p 1? q ? . n ?1 a1 (1 ? p ) b1 (1 ? q n ?1 ) ? 1? p 1? q
q - <1,上式分子、分母同除以 pn 1,得 p

当 p>1 时,p>q>0,得 0<

Sn S n ?1

p n ?1 p n ?1 ? 1? p 1? q ? . q n ?1 1 1 a1 ( n ?1 ? 1) b1 [ n ?1 ? ( ) ] p p p ? 1? p 1? q
Sn =p S n ?1

a1 (

1

? p)

b1 (

1

?

qn ) p n ?1

∴ lim

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n??

a1 b ? 1 S 1? p 1? q 当 p<1 时,0<q<p<1, lim n = =1 n?? S a1 b1 n ?1 ? 1? p 1? q a ? a n?2 14 已知数列{an}满足 a1=0,a2=1,an= n ?1 ,求 lim an n?? 2 a ? a n?2 解:由 an= n ?1 ,得 2 2an+an-1=2an-1+an-2,∴{2an+an-1}是常数列 ∵2a2+a1=2,∴2an+an-1=2 2 1 2 ∴an- =- (an-1- ) 3 2 3 2 1 2 ∴{an- }是公比为- ,首项为- 的等比数列 3 2 3 2 2 1 - ∴an- =- ×(- )n 1 3 3 2
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2 2 1 - - ×(- )n 1 3 3 2 2 ∴ lim an= n?? 3
∴an=
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课前后备注 2 2 1 已知直线 l:x-ny=0 (n∈N *) M: x+1)+ ,圆 ( (y+1)=1,抛物线 ? :y=
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(x-1)2,又 l 与 M 交于点 A、B,l 与 ? 交于点 C、D,求 lim

n??

| AB | 2 | CD | 2

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分析:要求 lim

n??

| AB | 2 的值,必须先求它与 n 的关系 | CD | 2

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解:设圆心 M(-1,-1)到直线 l 的距离为 d,则 d2=

(n ? 1) 2 n2 ? 1

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又 r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=

8n 1 ? n2

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设点 C(x1,y1), D(x2,y2) ,

? x ? ny ? 0 由? ? nx2-(2n+1)x+n=0, 2 ? y ? ( x ? 1)
∴x1+x2=

2n ? 1 , x1·x2=1 n

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2 2 ∵ 1-x2)= 1+x2)-4x1x2= (x (x

x x 2 4n ? 1 4n ? 1 2 (y1-y2)= 1 - 2 )= , ( , 2 n4 n n n

∴|CD|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 1 = 4 (4n+1) 2+1) (n n
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| AB | 2 8n 5 8 = lim = lim =2 n ? ? | CD | 2 n ? ? ( 4n ? 1)( n 2 ? 1) 2 n?? 1 1 2 (4 ? )(1 ? ) n n 点评:本题属于解析几何与数列极限的综合题 要求极限,需先求
∴ lim
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| AB | 2 ,这就要求掌握求弦长的方法 | CD | 2

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2

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若数列{an}的首项为 a1=1,且对任意 n∈N*,an 与 an+1 恰为方程 x2-
n??

bnx+cn=0 的两根,其中 0<|c|<1,当 lim (b1+b2+?+bn)≤3,求 c 的取值范围
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解:首先,由题意对任意 n∈N*,an·an+1=cn 恒成立 ∴

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a n ?1 ? a n ? 2 a n ? 2 c n ?1 = = n =c 又 a1·a2=a2=c a n ? a n ?1 an c
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∴a1,a3,a5,?,a2n-1,?是首项为 1,公比为 c 的等比数列,a2,a4,a6,?,a2n,?是 首项为 c,公比为 c 的等比数列 其次,由于对任意 n∈N*,an+an+1=bn 恒成立
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bn ? 2 a n ? 2 ? a n ?3 = =c 又 b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, a n ? a n ?1 bn
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∴b1,b3,b5,?,b2n-1,?是首项为 1+c,公比为 c 的等比数列,b2,b4,b6,?,b2n,? 是首项为 2c,公比为 c 的等比数列, ∴ lim (b1+b2+b3+?+bn)= lim (b1+b3+b5+?)+ lim (b2+b4+?)
n?? n?? n??

=

1 ? c 2c + ≤3 1? c 1? c 1 1 解得 c≤ 或 c>1 ∵0<|c|<1,∴0<c≤ 或-1<c<0 3 3 1 故 c 的取值范围是(-1,0)∪(0, ] 3
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点评:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于 c 的不等式, 即将{bn}的各项和表示为关于 c 的解析式,显然 “桥梁” 应是一元二次方程根 与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口
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