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函数单调性的研究的几种基本方法


函数单调性的研究的几种基本方法
摘要:高中数学阶段函数对于单调性的研究有很多,本文主要以函 数图像来研究函数的单调性于高中数学学习和考试有很大帮助。 关键词:定义 图像 求导 对于这几年高考数学试卷,对函数知识的考查所占比例是很大的, 而所考查的函数知识中,尤以对函数单调性的考查为重中之重。有直 接考查函数单调性的,例如: “研究函数的单调性”“求函数的单调区 、 间”等;也有间接考查函数单调性的,例如: “求函数的值域、最值” 等。而函数中的压轴题型——方程有解求参数范围、不等式有解或恒 成立求参数范围,往往可以转化为函数的值域或最值问题,然后进一 步可利用函数单调性求其值域或最值。甚至某些特殊的方程或不等式 也可利用函数单调性来解。所以我们要想赢得高考,就得首先赢得函 数,而许多函数相关问题都可转化为函数的单调性问题来解决,这就 要求我们必须熟练掌握函数单调性的研究方法。 研究高中函数单调性的方法有下面以下几种方法: 一、利用函数单调性定义研究函数单调性 (一)定义 高中数学教材中函数的单调性是这样定义的:一般地,设函数
y ? f (x) 的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两

个自变量 x1 , x2 当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ,那么就说
f (x) 在区间 D 上是增函数(减函数)。 如果函数 f (x) 在某个区间 D 上是增

函数或是减函数,那么就说函数 f (x) 在这一区间具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做 f (x) 的单调区间。 (二)步骤 利用函数单调性定义研究函数单调性可分为三步: 1.在划分的单调区间上设 x1 ? x2 ; 2.比较 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小; 3.根据函数单调性定义下结论,并注明单调区间。

二、利用函数图象研究函数单调性 由函数单调性定义知:若函数图象在某一段从左向右看表现为上升 趋势, y 随 x 的增大而增大, 即 则函数在该段图象相应区间内为增函数; 若函数图象在某一段从左向右看表现为下降趋势, y 随 x 的增大而减 小,则函数在该段图象相应区间内为减函数。由此,我们可以借助函 数图象来研究函数的单调性。 (一)直接利用函数的图象研究函数的单调性这就要求我们熟练掌 握各种基本函数的图象,以及学会利用图象变换做一些复杂函数的图 象,从函数图象上直接观察函数的单调性即可。 (二)利用函数图象的对称性研究函数的单调性 1.函数自身图象的对称性 (1)奇函数图象关于原点中心对称,所以奇函数表现出来在对称区 间上单调性一致。 例如: f (x) 是奇函数且在区间(a,b)上递增, f (x) 若 则 在区间(-b,-a)上递增。 (2)偶函数图象关于 Y 轴轴对称,所以偶函数表现出来在对称区间 上单调性相反。 例如: f (x) 是偶函数且在区间(a,b)上递增, f (x) 在 若 则 区间(-b,-a)上递减。 2.两个函数图象的对称性 (1)函数 f (x) 与函数 f (? x) 的图象关于 Y 轴轴对称,所以函数 f (x) 与 函数 f (? x) 在对称区间上的单调性相反。 例如: 若函数 f (x) 在区间(a,b) 上递增,则函数 f (? x) 在区间(-b,-a)上递减。 (2)函数 f (x) 与函数- f (x) 的图象关于 X 轴轴对称,所以函数 f (x) 与 函数- f (x) 在同一区间上的单调性相反。 例如: 若函数 f (x) 在区间(a,b) 上递增,则函数- f (x) 在区间(a,b)上递减。 (3)函数 f (x) 与函数- f (? x) 的图象关于原点中心对称, 所以函数 f (x) 与函数- f (? x) 在对称区间上的单调性一致。例如:若函数 f (x) 在区间 (a,b)上递增,则函数- f (? x) 在区间(-b,-a)上递增。三、利用复合函 数知识研究函数单调性 函数 y ? f [ g ( x)] 是由函数 y ? f (t ) 及 t ? g (x) 复合而来的。我们把函数

y ? f [ g ( x)] 称为复合函数,函数 y ? f (t ) 称为复合函数的外函数,函数 t ? g (x) 称为复合函数的内函数。复合函数单调性的复合法则为:若内、

外函数单调性一致,则复合后为增函数;若内、外函数单调性相反, 则复合后为减函数。可简记为“同增异减” 。知道了复合函数单调性的 复合法则,我们研究复合函数的单调性时,只需将复合函数分解为内、 外两个常见的基本函数,分别研究其单调性,最后按法则复合即得复 合函数的单调性。 四、利用函数求导研究函数单调性 首先对函数 y ? f (x) 求导, 得出 y' ? f ' ( x) 。 f ' ( x) ? 0 所得解集即为单 令 调增区间,反之令 f ' ( x) ? 0 所得解集即为单调减区间。 或者可以通过列表法求单调区间判断单调性。 令 f ' ( x) ? 0 求出方程根:G1,G2。 (以两根为例)然后列出如下表格: (函数定义域为[A,B])
x
f ' ( x)

A

(A, G1) * 判断单调性

G1 0

(G1,G2) * 判断单调性

G2 0

(G2,B) * 判断单调性

B

f (x)

*处为正则该区间为单调递增,*处为负则该区间为单调递减。 以上是高中数学研究函数单调性常用的几种方法,碰到函数单词性 问题时到底用哪种方法好,这应因题而异。遇到函数单调性问题时, 首选的并不是利用函数单调性定义研究,因为定义研究过程比较繁琐, 很费时间,另外,对于一些复杂的函数,我们也无法做到函数单调性 定义研究。一般地,在填空题中可以考虑用图像法和复合函数知识求 单调性;在解答题中则较多用导数求函数的单调性。 参考文献: [1]饶汉昌,方明一.全日制普通高中数学教材第一册(上)[M].北京: 人民教育出版社,2007. [2]薛彬.全日制普通高中数学教材第三册(选修Ⅱ)EM].北京:人民 教育出版社,2007.


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