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高一数学解三角形期末复习


第 1 课时

解三角形 三角形中的有关问题

1.正弦定理: 利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: ⑴ 已知两角和一边,求其他两边和一角; ⑵ 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角. 2.余弦定理: 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题. ⑴ 已知三边,求三角; ⑵ 已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角. 3.三角形的面积公式: 典型例题 例 1. 在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求角 A、C 及边 c. 解 A1=60° C1=75° c1=
6? 2 2

A2=120° C2=15° c2=

6? 2 2

变式训练 1: (1) ?ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 a、 b、 c 成等比数列, 且 c ? 2a , 则c o s B? ( ) A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

解:B 提示:利用余弦定理 (2)在△ABC 中,由已知条件解三角形,其中有两解的是 ( A. b ? 20, A ? 45 , C ? 80
0 0



B. a ? 30, c ? 28, B ? 60

0

C. a ? 14, b ? 16, A ? 45

0

D. a ? 12, c ? 15, A ? 120

0

解:C 提示:在斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角, 则只有一解

5 3 , sin B ? ,则 cos C 的值为( ) 13 5 16 56 16 56 16 A B C 或 D ? 65 65 65 65 65 解:A 提示:在△ABC 中,由 sin A ? sin B ? A ? B 知角 B 为锐角 (4)若钝角三角形三边长为 a ? 1 、 a ? 2 、 a ? 3 ,则 a 的取值范围是
(3)在△ABC 中,已知 cos A ? 解: 0 ? a ? 2 提示:由 ?



?(a ? 1) ? (a ? 2) ? a ? 3
2 2 2 ?(a ? 1) ? (a ? 2) ? (a ? 3)

可得

(5)在△ABC 中, ?A ? 60 , b ? 1, S? ABC ? 3, 则
0

a?b?c = sin A ? sin B ? sin C



解:

2 39 提示:由面积公式可求得 c ? 4 ,由余弦定理可求得 a ? 13 3

例 2. 在△ABC 中,若 sinA=2sinB cos C, sin A=sin B+sin C,试判断△ABC 的形状. 解:sinA=2sinBcosC ? sin(B+C)=2sinBcosC ? sin(B-C)=0 ? B=C 2 2 2 2 2 2 sin A=sin B+sin C ? a =b +c ? ∠A=90° ∴ △ABC 是等腰直角三角形。
sin B ? sin C ,判断这个三角形的形状. cos B ? cos C 解:应用正弦定理、余弦定理,可得 b?c 2 2 2 2 2 3 3 a= 2 , 所以 b (a -b ) +c (a -c ) =bc (b+c) .所以 (b+c) a= (b +c ) +bc (b+c) . 2 2 2 2 2 c ?a ?b a ?b ?c ? 2ca 2ab 2 2 2 2 2 2 所以 a =b -bc+c +bc.所以 a =b +c .所以△ABC 是直角三角形.

2

2

2

变式训练 2:在△ABC 中,sinA=

例 3. 已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C. 解:由 sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得 sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0, 所以 sinB(sinA-cosA)=0 ∵B∈(0, π ), ∴sinB≠0,
3 4

∴cosA=sinA,由 A∈(0, π ),知 A=

? 3 从而 B+C= ? ,由 sinB+cos2C 4 4

=0 得 sinB+cos2( ? -B)=0 cos=(
3? 2

-2B)=cos[2π -(

? ? +2B)]=cos( +2B)=-sin2B 2 2
1 2 5? ? ,C= 12 3

得 sinB-sin2B=0,亦即 sinB-2sinBcosB=0,由此各 cosB= ,B= ∴A=
? 4

B=

? 3

C=

5 ? 12
2 2

变式训练 3:已知△ABC 中,2 2 (sin A-sin C)=(a-b)sinB,△ABC 外接圆半径为 2 . (1)求∠C; (2)求△ABC 面积的最大值. 解: (1)由 2 2 (sin A-sin C)=(a-b)·sinB 得 2 2(
a2 4R
2
2 2



c2 4R
2

2

)=(a-b)
2 2

b . 2R
2 2 2

又∵R= 2 ,∴a -c =ab-b .∴a +b -c =ab.∴cosC= 又∵0°<C<180°,∴C=60°. (2)S=

a2 ? b2 ? c2 1 = . 2ab 2

3 1 1 absinC= × ab=2 3 sinAsinB=2 3 sinAsin(120°-A) 2 2 2
2

=2 3 sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)=3sinAcosA+ 3 sin A =
3 3 3 3 sin2A- cos2A+ = 3 sin(2A-30°)+ . 2 2 2 2

3 3 . 2 例 4. 如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,M、N 分别是边 AB、AC 上的点,线段 MN 经过△ABC 的中

∴当 2A=120°,即 A=60°时,Smax=

心 G.设∠MGA= ? (

?
3

?? ?

2? ). 3

(1)试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表示为 ? 的函数; (2)求 y=
1 1 ? 2 的最大值与最小值. S12 S 2
3 ? ,∠ MAG ? 3 6
3 6 sin(? ?

解 (1) AG=

由正弦定理得 GM ?

?
6

, GN ?
)

3 6 sin(? ?

?
6

)

S 1?

sin ? 12 sin(? ?

?
6

, S 2?
)

sin ? 12 sin(? ?

?
6

)

A N G C

(2) y ? ∵
?
3

1 1 ? 2 ? 72 (3 ? cot 2 ? ) 2 S1 S 2
2? ? 2 ∴当 ? ? 或? ? ? 时 y max ? 240 3 3 3 y min ? 216

? (

M B

?? ?

D

当? ? 时
2

?

变式训练 4:在在△ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a, b, c , ,且 cos A ? (1)求 sin ?
2

1 3

? B?C ? ? ? cos2 A 的值; ? 2 ?

(2)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值; 解: (1)因为 cos A ?

1 1 2 ? B?C ? ,故 sin ? ? ? cos2 A ? [1 ? cos( B ? C)] ?(2cos 3 2 ? 2 ?

2

A? 1)

1 1 1 2 1 ? (1 ? cos A) ? (2cos 2 A ? 1) ? (1 ? ) ? ( ? 1) ? ? 2 2 3 9 9
(2)?

b2 ? c 2 ? a 2 1 2 ? cos A ? ? bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 2bc 3 3

又 a ? 3,? bc ?

9 3 9 9 ,当且仅当 b ? c ? 时, bc ? ,故 bc 的最大值是 4 4 4 2
第 2 课时 应用性问题

1.三角形中的有关公式(正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等) ; 2.正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等;

3.实际问题中有关术语、名称. (1)仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角;在水平视 线下方的角叫俯角 (2)方位角:指正北方向顺时针转到目标方向线水平角. 典例分析

例 1.(1)某人朝正东方走 x km 后,向左转 150 ,然后朝新方向走 3km,结果它离出发点恰好 3 km,那么 x 等 于 (A) 3 ( ) (B) 2 3 (C) 3 或 2 3 (D)3

0

解:C 提示:利用余弦定理 (2)甲、乙两楼相距 20m ,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30 ,则甲、 乙两楼的高分别是 A ( B )
0 0

20 3m,

40 3 m 3
D

10 3m, 20 3m

C

10( 3 ? 2)m, 20 3m

15 3 20 3 m, m 2 3

解:A (3)一只汽球在 2250m 的高空飞行,汽球上的工件人员测得前方一座山顶上 A 点处的俯角为 18 ,汽球 向前飞行了 2000m 后,又测得 A 点处的俯角为 82 ,则山的高度为( A 1988m 解: B B
0 0



2096m

C

3125m

D

2451m
0 0

(4)已知轮船 A 和轮船 B 同时离开 C 岛,A 向北偏东 25 方向,B 向西偏北 20 方向,若 A 的航行速度为 25 nmi/h,B 的速度是 A 的

3 ,过三小时后,A、B 的距离是 5



解:90.8 nmi (5) 货轮在海上以 40km/h 的速度由 B 到 C 航行, 航向为方位角 ?NBC ? 140 ,A 处有灯塔,
0

其方位角 ?NBA ? 110 ,在 C 处观测灯塔 A 的
0

方位角 ?MCA ? 35 ,由 B 到 C 需航行半小时,
0

则 C 到灯塔 A 的距离是
0 解: 10( 6 ? 2) km 提示:由题意知 ?BCA ? 75 ,利用余弦定理或解直角三角形可得

变式训练 1: 如图, 当甲船位于 A 处时获悉, 在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救. 甲 船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ,相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多
?

少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1 ? )? 解:连接 BC,由余弦定理得 BC =20 +10 -2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=10 7 .
2 2 2



sin ?ACB sin120? ∵ , ? 20 10 7

3 ∴sin∠ACB= , 7

A 10 ?C

20

B

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援.

例 2. 在某海滨城市附近海面有一台风, 据检测, 当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南 ? (cos ? ?
?

2 ) 10

方向 300 km 的海面 P 处,并以 20 km / h 的速度向西偏北 45 的方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域, 当前半径为 60 km ,并以 10 km / h 的速度不断增加,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?持续多长 时间? 解:设在时刻 t(h)台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t+60(km) 若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭,则 OQ ? 10t ? 60 由余弦定理知 OQ ? PQ ? PO ? 2 PQ ? PO cos ?OPQ
2 2 2

由于 PO=300,PQ=20t

cos ?OPQ ? cos ? ? 45 ? ?

?

?

4 5
2

2 2 2 2 故 OQ ? 20 t ? 300 ? 9600t ? ?10t ? 60 ?

即 t ? 36t ? 288 ? 0
2

解得 12 ? t ? 24

答:12 小时后该城市受到台风的侵袭,侵袭的时间将持续 12 小时. 变式训练 2:如图所示,海岛 A 周围 38 海里内有暗礁,一艘船向正南方向航行,在 B 处测得岛 A 在船的南 偏东 30 方向上,船航行 30 海里后,在 C 处测得岛 A 在船的南偏东 45 方向上,如果此船不改变航向,继 续向南航行,有无触礁危险? 解:由题意得,在△ABC 中,BC=30, B ? 30 , ?ACB ? 135
0 0 0 0

所以 A ? 15 ,由正弦定理可知:
0

BC AC ? sin A sin B

?

30 AC 0 所以 AC ? 60cos15 , ? 0 0 sin15 sin 30

于是 A 到 BC 所在直线的距离为

AC sin 450 ? 60cos150 sin 450 ? 40.98 ? 38
所以船继续向南航行无触礁危险。 例 3. 如图所示,公园内有一块边长 2a 的等边△ABC 形状的三角地, 现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,

E 在 AC 上. (1)设 AD ? x( x ? a) ,ED ? y ,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本希望它最短,DE 的位置 应该在哪里?如果 DE 是参观线路,则希望它最长,DE 的 位置又在哪里?请给予证明. 解: (1)在△ABC 中,D 在 AB 上,? a ? x ? 2a

1 1 1 ?S△ADE= S△ABC ? x ? AE sin 600 ? AB 2 ? sin 600 2 2 4 2 2a ,在△ADE 中,由余弦定理得: ? AE ? x 4a 4 4a 4 2 2 2 2 y ? x ? 2 ? 2a ? y ? x ? 2 ? 2 a 2 ( a ? x ? 2 a ) x x
4a 4 ? 2a 2 (2)令 x ? t ,则 a ? t ? 4a 则 y ? t ? t 4 4a ? 2a 2 , t ? [ a 2 , 4a 2 ] , 令 f (t ) ? t ? t 4a 4 t 2 ? 4a 4 (t ? 2a 2 )(t ? 2a 2 ) ? 则 f ?(t ) ? 1 ? 2 ? t t2 t2 ?当t ? (a 2 , 2a 2 ) 时,f ?(t ) ? 0 ; 当t ? (2a 2 , 4a 2 ) 时,f ?(t ) ? 0
2 2 2

又 f (a 2 ) ? 3a 2 , f (2a 2 ) ? 2a 2 , f (4a 2 ) ? 3a 2
?当 t ? 2a 2 ,即 x ? 2a 时, y 有最小值 2a ,此时 DE∥BC,且 AD ? 2a

当 t ? a 2 或 4a 2 , 即 x ? a 或 2a 时,y 有最大值 3a ,此时 DE 为△ABC
的边 AB 或 AC 的中线上. 变式训练 3:水渠道断面为等腰梯形,如图所示,渠道深为 h ,梯形面积为 S,为了使渠道的渗水量达到 最小,应使梯形两腰及下底之和达到最小,此时下底角 ? 应该是多少?

h 2h , , AB ? a ? sin ? tan ? 1 2h S h 所以 S ? (a ? a ? ) ? h?a ? ? 2 tan ? h tan ? 设两腰与下底之和为 l , S h 2h S 2 ? cos ? 则 l ? a ? 2CB ? ? ? ? ? ?h h tan ? sin ? h sin ? ? ? ? ?? ? ? 1 ? 2sin 2 3sin 2 ? cos 2 ? ? ? S ? S 2 ?h ? ? 2 2 ?h ? ?? ? ? ? ? ? ? ? h ? 2sin cos ? h ? 2sin cos ? ? 2 2? ? 2 2 ? ? ? ? ? S ?3 ? 1 ? S ? 3 ? 1 ? S ? ? ? tan ? ? h ? ? ? 2 tan ? ??h ? ? 3 ?h ? h ?2 2 2 tan ? ? h ? 2 2 2 tan ? ? h ? ? ? 2? 2 ? ?
解:设 CD ? a ,则 CD ? a, 则CB ? 当且仅当

?

?
2

? 3 3 ? 1 时,上式取等号,即当 tan ? 时,上式取等号 tan ? 2 3 2 2 2 tan ? 2

? 300 ,即? ? 600 ,所以下角 ? ? 600 时,梯形两腰及下底之和达到最小.

例 4. 如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作 等边三角形 ABC。问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大? 解:设 ?AOB ? ? ,在△AOB 中,由余弦定理得:

AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2 ? OA ? OB cos ?AOB ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos ? ? 5 ? 4cos ?
于是,四边形 OACB 的面积为 S=S△AOB+ S△ABC ?

1 3 OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4

1 3 ? ? 2 ?1? sin ? ? (5 ? 4 cos ? ) 2 4

? sin ? ? 3 cos ? ?

5 3 ? 5 3 ? 2sin(? ? ) ? 4 3 4

因为 0 ? ? ? ? ,所以当 ? ? 四边形 OACB 面积最大.

?
3

?

?
2

,? ?

5? 5? ,即 ?AOB ? 时, 6 6
0

变式训练 4:如图所示,某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 60 的 C 处,12 时 20 分 测得船在海岛北偏西 60 的 B 处,12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5 km 的 E 港口,如果轮船 始终匀速直线前进,问船速多少? 解:轮船从 C 到 B 用时 80 分钟,从 B 到 E 用时 20 分钟, 而船始终匀速前进,由此可见:BC=4EB,设 EB= x ,则 则 BC=4 x ,由已知得 ?BAE ? 30 , ?EAC ? 150
0 0

0

在△AEC 中,由正弦定理得:

1 EC AE AE ? sin ?EAC 5sin1500 ? ? ? ? sin C ? 5x 2x sin ?EAC sin C EC

在△ABC 中,由正弦定理得:

BC AB BC ? sin C ? ? AB ? ? 0 sin120 sin C sin1200
2 2 2 0

4x ?

1 2x ? 4 3 3 3 2

在△ABE 中,由余弦定理得: BE ? AB ? AE ? 2 AB ? AE ? cos30

? 25 ?

16 4 3 3 31 31 ? 2? 5? ? ? , 故BE ? 3 3 2 3 3

31 BE 所以船速 v ? ? 3 ? 93 1 t 3

答:该船的速度为 93 km/h

解三角形章节测试题 一、选择题 1.在 ?ABC 中, a ? 6 , B ? 30 , C ? 120 ,则 ?ABC 的面积是(
? ?



A. 9

B. 18

C. 9 3

D. 18 3 ) D. 90
?

2.在 ?ABC 中,若 A. 30
?

sin A cos B ,则 B 的值为( ? a b
?

B. 45

C. 60

?

3.在 ?ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则这个三角形中角 A 的值是( A. 30 或 60
? ?



B. 45 或 60

?

?

C. 60 或 120

?

?

D. 30 ? 或 150 ? )
?

4.在 ?ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( A. b ? 10 , A ? 45 , C ? 70
? ?

B. a ? 60 , c ? 48 , B ? 60 D. a ? 14 , b ? 16 , A ? 45
2

C. a ? 7 , b ? 5 , A ? 80

?

?

5.已知三角形的两边长分别为 4,5,它们夹角的余弦是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的根,则第三边长是( A. 20 B. 21 C. 22 D. 61 )



6.在 ?ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,那么角 A 等于( A. 30
?

B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

? 7.在 ?ABC 中,若 A ? 60 , b ? 16 ,此三角形面积 S ? 220 3 ,则 a 的值是(



A. 20 6

B. 75

C. 51

D. 49 )

8.在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为(

A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

9.在 ?ABC 中,若 b ? c ? A. b ? 1, c ? C. b ?

2 ? 1, C ? 45 ? , B ? 30 ? ,则(
B. b ?



2

2, c ? 1
D. b ? 1 ?

2 2 ,c ? 1? 2 2
?

2 2 ,c ? 2 2


10.如果满足 ?ABC ? 60 , AC ? 12 , BC ? k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是( A. k ? 8 3 B. 0 ? k ? 12 C. k ? 12 D. 0 ? k ? 12 或 k ? 8 3

二、填空题 11.在 ?ABC 中,若 a : b : c ? 1 : 2 : 6 ,则最大角的余弦值等于_________________. 12.在 ?ABC 中, a ? 5 , B ? 105 , C ? 15 ,则此三角形的最大边的长为____________________.
? ?

? 13.在 ?ABC 中,已知 b ? 3 , c ? 3 3 , B ? 30 ,则 a ? __________________.

14.在 ?ABC 中, a ? b ? 12 , A ? 60 , B ? 45 ,则 a ? _______________, b ? _______________.
? ?

三、解答题 o o 15.△ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60 ,∠ADC=150 ,求 AC 的长及△ABC 的面积.

16.在△ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosB+ccosC=acosA,试判断△ABC 的形状.

17. 如图,海中有一小岛,周围 3.8 海里内有暗礁。一军舰从 A 地出发由西向东航行,望见小岛 B 在北偏 东 75°,航行 8 海里到达 C 处,望见小岛 B 在北端东 60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进,问此舰 有没有角礁的危险?

18.如图,货轮在海上以 35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 152 o 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122 .半小时后,货轮到达 C 点处,观测 o 到灯塔 A 的方位角为 32 .求此时货轮与灯塔之间的距离. 北 B
152o 122o

o


32 o

A

C

19. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 10000m,速度为 180km(千 0 0 米)/h(小时)飞机先看到山顶的俯角为 15 ,经过 420s(秒)后又看到山顶的俯角为 45 ,求山顶的海拔 高度(取 2 =1.4, 3 =1.7) .

15

45

A

B

D

C
图1 图2

20.如图所示,a 是海面上一条南北方向的海防警戒线,在 a 上点 A 处有一个水声监测点,另两个监测点 B,C 分别在 A 的正东方 20 km 处和 54 km 处.某时刻,监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波,8s 后 监测点 A,20 s 后监测点 C 相继收到这一信号.在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是 1. 5 km/s. (1)设 A 到 P 的距离为 x km,用 x 表示 B,C 到 P 的距离,并求 x 值; (2)求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离(结果精确到 0.01 km).

1.C 2.B 3.D 4.D 11. ?

5.B

解三角形章节测试参考答案 6.B7.D. 8.B 9 A 10.D 13、6 或 3 14、 b ? 12 6 ? 24
o

1 4

12、

5 6 ? 15 2 6
o o

15.在△ABC 中,∠BAD=150 -60 =90 ,∴AD=2sin60 = 3 . 在△ACD 中,AD =( 3 ) +1 -2× 3 ×1×cos150 =7,∴AC= 7 .
2 2 2 o

o

A

B 2 D 1 C 1 3 o ∴AB=2cos60 =1.S△ABC= ×1×3×sin60 = 3. 2 4 16.∵ bcosB+ccosC=acosA,由正弦定理得:sinBcosB+sinCcosC=sinAcosA, 即 sin2B+sin2C=2sinAcosA,∴2sin(B+C)cos(B-C)=2sinAcosA.∵A+B+C=π , ∴sin(B+C)=sinA.而 sinA≠0,∴cos(B-C)=cosA,即 cos(B-C)+cos(B+C)=0, ? ? ∴2cosBcosC=0.∵ 0<B<π ,0<C<π ,∴B= 或 C= ,即△ABC 是直角三角形. 2 2 17、解:过点 B 作 BD⊥AE 交 AE 于 D 由已知,AC=8,∠ABD=75°,∠CBD=60° 在 Rt△ABD 中, AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75° 在 Rt△CBD 中, CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60° ∴AD-CD=BD(tan75°-tan60°)=AC=8,…9 分
o

∴ BD ?

8 ? 4 ? 3.8 tan 75 ? tan 60 0
0
o o o o o o o o o o o

∴该军舰没有触礁的危险。 18.在△ABC 中,∠B=152 -122 =30 ,∠C=180 -152 +32 =60 ,∠A=180 -30 -60 =90 ,BC= ∴AC=

35 , 2

35 35 o sin30 = . 2 4

35 n mile. 4 0 0 19. 解:如图 ∵ ?A ? 15 ?DBC ? 45 0 ∴ ?ACB ? 30 , AB= 180km(千米)/h(小时) ? 420s(秒) = 21000(m ) ∴在 ?ABC 中
答:船与灯塔间的距离为

A

B

D

C

BC AB ? sin A sin ?ACB 21000 ∴ BC ? ? sin15 0 ? 10500 ( 6 ? 2 ) 1 2 ∵ CD ? AD ,
∴ ∴ CD ? BC sin ?CBD ? BC ? sin 45
0

= 10500 ( 6 ? 2 ) ?

2 2

= 10500 ( 3 ? 1) = 10500 (1.7 ? 1) =7350 山顶的海拔高度=10000-7350=2650(米) 20.解:(1)依题意,PA-PB=1. 5 × 8=12 (km),PC-PB=1.5×20=30(km ) . 因此 PB=(x 一 12)km,PC=(18+x)km. 在△PAB 中,AB= 20 km,

PA2 ? AB 2 ? PB 2 x 2 ? 202 ? ( x ? 12)2 3x ? 32 cos ?PAB ? ? ? 2 PA ? AB 2 x ? 20 5x
同理,在△PAC 中, cos ?PAC ? 由于 cos ?PAB ? cos ?PAC 即

72 ? x 3x

3x ? 32 72 ? x 132 解得 x ? (km) . ? 7 5x 3x (2)作 PD ? a,垂足为 D. 在 Rt△PDA 中,

3x ? 32 PD =PAcos∠APD=PAcos∠PAB = x ? ? 5x

3?

132 ? 32 7 5

? 17.71

(km) .

答:静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17. 71 km.


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