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abaqus动力学分析



第一章



ABAQUS 动力学问题概述 ………………………………………………………………1
动 力 学 问 题 . . . . . .. .. . .. . .. .. . . .. .. . .. . .. .. . . .. .. . .. . .. .. . . .. .. . .. . .. .. .

. .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .1 结构动力学研究的内容 ........................................................................................3 振动的分类 ......................................................................................................4 结构动力学的研究方法 ....................................................................................5 动力学问题的基本方程 .......................................................................................5 小结 ..............................................................................................................6

§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6

第 2 章 结构特征值的提取 …………………………………………………………………………7
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7 §2-8 问题的产生 ..................................................................................................7 特征值的求解方法 ...........................................................................................7 特征值求解器的比较 ...........................................................................................8 重复的特征频率 ...........................................................................................9 征值频率的提取 ...........................................................................................9 频率输出 .............................................................................................12 有预载结构的频率 ...........................................................................................16 复特征频率和刹车的啸声分析 ..............................................................................17

第 3 章 模态 叠加法 ………………………………………………………………………………22
§3-1 §3-2 模态叠加法的基本概念 ......................................................................................22 模态叠加法的应用 ............................................................................................24

第 4 章 阻尼 ……………………………………………………………………………………… 26
§4-1 §4-2 §4-3 引言 ............................................................................................................26 阻尼 ............................................................................................................26 在 ABAQUS 中定义阻尼 .....................................................................................27 1

§4-4

阻尼选择 .....................................................................................................31

第 5 章 稳 态 动 力 学分析 ………………… …………… …………… …………… …………… … 33
§5-1 §5-2 §5-3 §5-4 稳态动力学简介 ..............................................................................................33 分析方法 ..................................................................................................35 激励和输出 ....................................................................................................36 算例 — 轮胎的谐波激励稳态响应 ...........................................................................42

第 6 章 瞬 态 动 力 学分析 ………………… …………… …………… …………… …………… … 49
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 引言 ......................................................................................................49 模态瞬态动力学简介 .........................................................................................49 分析方法 ....................................................................................................54 载荷和输出 .................................................................................................55 算例—货物吊车 ..............................................................................................58

第 7 章 基础运动 …………………………………………………………………………………64
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 基础运动形式 .................................................................................................64 初级基础运动 .................................................................................................65 次级基础运动 .................................................................................................66 在 ABAQUS 中定义基础运动 ...............................................................................66 算例 ............................................................................................................70

第 8 章 加 速 度 运 动 的 基 线 校 准 …… … … … …… … … … …… … … … …… … … … …… … … … 7 3
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 加速度基线调整和校准简介 ................................................................................73 基线校准方法 .................................................................................................74 加速度基线校准步骤 .....................................................................................76 考虑基线校准的悬臂梁算例分析 ..........................................................................77

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第1章
ABAQUS 动力学问题概述

§1-1

动力学问题的产生

在现代结构和机械设计中,通常需要考虑两类荷载的作用——静力荷载(static loading)和动力荷载 (dynamic loading),因此结构的设计也经常分为静力设计和动力设计两部分。对于静力设计和静力强度 计算已不存在什么问题,通过传统的经验设计和类比设计方法,根据相关规范,使用一般的通用程序即可 进行。但在工程中动力荷载作用事实上是普遍存在的,很多情况下仅仅进行静力计算将不能满足工程使用 要求,必须作动力分析和动态设计。 动力这个词可以简单地被定义为大小、方向或作用点随时间而改变的任何荷载,而在动力作用下结构 的反应亦即所产生的位移、内力、应力和应变也是随时间而改变的。可以认为静力荷载仅仅是动力荷载的 一种特殊形式。由于荷载和响应随时间而变化,显然动力问题不像静力问题那样具有单一的解,而必须建 立相应于时程中感兴趣的全部时间的一系列解答,因此动力分析显然要比静力分析更为复杂、且更消耗时 间。 但是,静力问题与动力问题还有更重要的区别。如图 1.1.1(a)所示,如果简支梁承受一静荷载 P,则 它的弯矩、剪力及挠曲线形状直接依赖于给定的荷载,而且可以根据力的平衡原理用 P 求出。而如果荷载 P(t)是动力的,如图 1.1.1(b)所示,则所产生的梁的位移与加速度有联系,这些加速度又产生与其反向的 惯性力, 于是梁的弯矩和剪力不仅要平衡外加荷载, 而且还要平衡由于梁的加速度所引起的惯性力(inertial forces)。
P P(t)

(a) 静荷载

惯性力 (b) 动荷载 图 1.1.1 静动力荷载作用下的简支梁

结构或构件上的动力作用其实就是惯性力作用,动力作用的大小(或者说显著与否)直接与惯性力大 小和惯性力随时间变化情况有关。 根据牛顿第二定律可知, 惯性力大小与结构或构件的质量(mass)和加速 度(acceleration)分别成正比。 结构加速度所引起的惯性力, 是结构动力学问题的一个更重要的区别特征。 一般来说,如果惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载中的一个重要部分,则在求解时必须考虑 问题的动力特征。如果运动非常缓慢,以致惯性力小到可以忽略不计的程度,则即使荷载和位移可能随时 间变化而变化,但对任何瞬时的分析,仍可用近似静力(quasi-static)结构分析的方法来解决。对于有些 情况下,虽然也存在着较大的惯性力,也仍然可以使用静力分析方法求解,例如离心荷载(centrifugal loading)。有时也可以通过在频域(frequency domain)内的频谱分析来研究一些工程振动问题,而没有 必要进行考虑惯性力的全过程分析。 通过以下的例子进一步研究静力分析和动力分析的必要性,以及在动力分析中存在的困难。首先我们 看如图 1.1.2 所示的浅拱(或扁壳) (shallow arch) ,在图示荷载的作用下它的响应是不是动力问题呢?
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回答时肯定的,因为在荷载增加到一定程度时,浅拱将发生跳跃(snap through)失稳,从一个平衡状态 跳跃到另一个平衡状态,但其过程是一个不稳定的状态,结构中要释放一定的应变能,显然这部分应变能 将转化为动能,使浅拱在一个平衡位置附近产生振动,这是一个动力问题,需要使用动力分析。但如果我 们主要关心的不是跳跃失稳的振动过程,而仅仅关心振动停止后平衡状态下的位移,那么也可以简单的使 用弧长法(arc-length method)对其进行静力求解(Risks) ,可以求得在不稳定阶段的静态平衡解。在 ABAQUS 中的输入命令为: *static, riks ABAQUS 计算结果如图 1.1.3 所示,将得到一个由稳定平衡状态到不稳定状态,再到新的稳定平衡 状态的荷载-位移曲线。

F ?0 v

REACTION FORCE -RF2

DISPLACEMENT -U2

图 1.1.2 浅拱及作用荷载

图 1.1.3 浅拱的荷载-位移曲线

再来研究一下弹性碰锁(latch)的拔出过程,在 ABAQUS 中可以建立如图 1.1.4 所示的分析模型。当 碰锁锁柄在逐渐增大的外力作用下被拔出的瞬间,碰锁之间将失去接触,积累的应变能量将被释放并转化 为动能,显而易见存在动力问题。但是如果我们关心的重点仅仅是拔出力和位移的关系或在在最大拔出力 作用下的应力状态,那么在 ABAQUS 中我们也可以使用粘滞性阻尼来平衡在碰锁分离过程中的响应,从 而进行静力求解,得到图 1.1.5 所示的荷载位移曲线。输入命令为: *static, stabilize

REACTION FORCE

DISPLACEMENT –U1

图 1.1.4 碰锁的分析模型 5

图 1.1.5 拔出力-位移曲线

由上述分析可见动力问题在工程中是普遍存在的,应该根据我们要研究问题的特征,确定是采用动力 分析,还是采用静力分析。有时复杂的动力问题不是我们关心的重点,那么就可以使用一些特殊的方法将 动力问题转化为静力问题来进行求解, 在这方面 ABAQUS 程序具有十分强大的功能。 当然 ABAQUS 程序 也提供了强大的动力分析方法和手段,本书的以后章节将重点介绍有关线性和非线性动力分析的内容。

§1-2

结构动力学研究的内容

如果假设由惯性力引起的运动与其它弹性内外力引起的运动相比小到可以忽略的程度,那么就可以使 用静力分析。在静力问题中,没有惯性力的存在,内外力之间的平衡的:

&& = 0 P ? I = mu (1.2.1) && 为位移的二阶导数(即加速度) 式中 P 代表外力, I 代表内力, m 为质量, u 。当然对于特定问题,应由
使用者来判断是否可以忽略惯性力的影响。 当不能忽略惯性力的影响时,就应该使用动力分析方法来解决问题。此时由于加速度的存在,使结构 的内外力之间不再保持平衡,而不平衡力在数值上应该等于惯性力的大小,即: (1.2.2) 我们还是回顾一下上节中浅拱的例子,如果考虑动力作用,将得到如图 1.2.1 所示的曲线。可见如果 不考虑阻尼的影响,将得到一个荷载随位移往复振动的结果;而如果存在一定的阻尼,结构振动的衰减幅 度将明显加快。但是对于非稳定状态的跳跃过程中荷载位移的详细信息只有通过 Riks 静力方法才能得到。

&& ≠ 0 P ? I = mu

REACTION FORCE -RF2

DISPLACEMENT -U2

图 1.2.1 浅拱的荷载-位移对比曲线

图 1.2.2 质量弹簧的荷载-位移对比曲线

现在来研究某单自由度质量弹簧系统。外荷载分别在基本周期的 10%、100%和 500%的范围内全 部施加。从 ABAQUS 程序动力分析的结果中可以看出在速率最快荷载的作用下,弹簧系统产生的响应是 静态分析的 2 倍左右,如图 1.2.2 所示;在速率较慢荷载的作用下,将产生准静态响应。 接下来继续研究一个更为复杂的系统——离心转子,如图 1.2.3 所示。转子的速度在 10 秒内从 0 到 650rad/sec(大约 100 转/秒)。 此时的瞬态动力响应如何呢?此问题能被当作稳态问题用静力方法来分析 吗? 我们可以通过对以下几项内容的研究来回答上述问题:(1)在 10s 之内恒定的旋转加速度 (65rad/sec2)引起的应力;(2)10s 之后恒定的旋转速度(650rad/sec)引起的向心力;(3)上述两项引起 应力效应的迭加;(4)转子加速时间(10s)与结构振动的基本周期( T = 2π

ω = 1 f )的比较。上述前 3 项

可以通过静态分析的方法得到,第 4 项可以通过自然频率分析的方法得到。
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对于静态分析,可以分别按照如下步骤进行操作: 步骤一:施加一个旋转加速度荷载,研究在这个荷载作用下的应力。 *DLOAD rotor, ROTA, 65, 可以得到最大的 Mises 应力为 0.17MPa。 步骤二:施加一个离心荷载,研究此荷载作用下的应力。 *DLOAD, op=new rotor, CENTRIF, 650, 可以得到此时的最大 Mises 应力为 34.4MPa。 图 1.2.3 离心转子 步骤三:同时施加旋转加速度荷载和离心荷载,相当于在 t=10s 时存在 的荷载,可以得到此时的最大 Mises 应力为 34.6MPa。 由此可见由最大旋转速度而产生的离心荷载下的应力(34.4MPa)远比由旋转加速度荷载而引起的应 力(0.17MPa)显著。因此如果某结构的应力是由稳定的旋转状态起控制作用,那么通过使用离心荷载进行 静力分析就足够了。 荷载作用速度快慢将直接影响结构的瞬态动力响应,影响的大小取决于加速度荷载作用时间与结构基 本周期的关系。 通过对转子自然频率的提取分析可以得到结构的基本周期, 它对应于结构的最低振动模态。 *FREQUENCY 2 可以得到结构基频(最低频率)为 840 圈/s, 结构基本周期(最大的振动周期)为 0.0012s。 可见荷载的 施加周期 10s 与转子的基本振动周期 0.0012s 相比是一个漫长的过程,瞬态动力响应是十分微小的。 其实在很多实际工程问题都存在动力问题,但并不一定都需要瞬态动力分析,有时仅仅使用等效静力 的稳态分析就足够了。 因此在研究带有动力性质的问题是时必须适当考虑以下问题, 采用适合的分析方法, 才能得到满意的结果: 1、能量守恒,即有多少应变能量转化为了动能; 2、阻尼和动能,即在真实结构中能量是如何耗散的,如何控制和使用阻尼才能使结构的振动更加接 近实际情况; 3、荷载,以何种速度施加荷载将直接影响计算结果。

§1-3

振动的分类

随着科学技术的飞速发展,各种工程结构和工业产品向大型、高速、大功率、高性能、高精度和轻结 构方向发展,使得动力学问题越来越突出和严重。例如飞机由于强度破坏而引起的事故中,90%是由振动 疲劳所至;高速喷气飞机的出现,促进了随机振动的研究;高层建筑的出现,必须事先对它进行结构响应 计算和地震评估;大功率的气轮发电机组出现频繁的事故,促进了转子动力学发展;高速公路和高速汽车 的发展,人们不得不研究侵彻问题和汽车碰撞动力学仿真;大型火箭导航陀螺的位置安排,必须考虑火箭 的模态形状,在设计过程中必须做振动模态计算和试验分析;大型空间站及太阳能电池帆板的结构尺寸可 以达到公里级,在微重力条件下的动力学行为无法在地面试验和观察,必须作精确的动力学仿真,因而促 进了柔性结构动力学及展开动力学的发展。动力荷载的作用是随时间变化的,结构动力学就是研究结构在 动荷载作用下产生响应的规律,或者说是研究结构、动荷载和响应三者的关系。 结构的动力响应可以是随时间变化的变形,如弹性变形和塑性变形等。但多数情况下的响应表现为振 动,即结构在平衡位置附近往复运动。结构振动分类方法很多,如单自由度系统的振动、多自由度系统的 振动和连续体的振动;线性振动和非线性振动等等。但从运动学的观点来看,可分为以下四种振动:
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1. 周期振动——振动量是时间的周期函数,可写为 x (t ) = x (t + T ) ,其中 T 为周期。周期振动中的 一种典型振动为简谐振动,或称谐振动,可写为 x (t ) = A sin(ωt + ? ) = A cos(ωt + α ) 。周期振动可以用谐 波分析的方法展开为一系列谐振动的叠加,其频谱为离散谱,而且都是基频的倍频关系; 2. 非周期振动——振动量是时间的非周期函数,其频谱一般为连续谱。也可为离散谱,但不是倍频 关系,而是无理数关系。如衰减振动是一种具有连续谱的非周期振动; 3. 瞬态振动——由冲击引起结构系统的振动,一般发生在较短的时间内; 4. 随机振动——受偶然因素影响的一种不确定性的振动。

§1-4

结构动力学的研究方法

结构动力学的研究方法可分为分析方法(结构动力分析)和试验方法(结构动力试验)两大类。结构动力 试验是产品设计和生产过程中不可缺少的环节,可直接检验产品的动力学性能,也为分析方法建立可靠的 数学模型提供了必要的数据。 分析方法的首要任务是建模(modeling),建模的过程是对问题去粗取精、去伪存真的过程。模型是抽 象的,但能反应问题的本质。在结构动力学中,着重研究力学模型(物理模型)和数学模型。力学模型可分 为连续模型和离散模型两大类,连续模型对应的数学模型是偏微分方程,离散模型对应的数学模型是常微 分方程组或代数方程组。建模方法很多,一般可分为正问题建模方法与反问题建模方法。正问题建模方法 所建立的模型称为分析模型(或机理模型)。因为在正问题中,对所研究的结构(系统)有足够的了解,这种 系统称为白箱系统。我们可以把一个实际系统分解为若干个元素或元件(element),对每个元素或元件直 接应用力学原理建立方程(如平衡方程、本构方程、汉密尔顿原理等),再考虑几何约束条件综合建立系统 的数学模型。如果所取的元素是一无限小的单元,则建立的是连续模型;如果是有限的单元或元件,则建 立的是离散模型。这是传统的建模方法,也称为理论建模方法。反问题建模方法适用于对系统了解(称黑箱 系统——black box system)或不完全了解(称灰箱系统——gray box system)的情况,它必须对系统进 行动力学试验,利用系统的输入(荷载)和输出(响应——response)数据,然后根据一定的准则建立系统的 数学模型,这种方法称为系统辨识(system identification)或参数辨识(parameter identification),它 也称为试验建模方法,所建立的模型称为统计模型。 也可将上述正反两种问题建模方法相结合建立系统的数学模型,如对一些大型复杂结构,可以先利用 有限元法建立系统的数学模型,然后再利用试验数据修改数学模型,使得修改后模型的输出与试验数据一 致。一般来说,数学模型的规模越大,自由度越多,则模型的精度越高,但同时也带来了计算上的耗费越 大,因此模型规模的选择要根据实际问题的需要来确定。例如美国土星 5 号运载火箭曾用有限元法离散为 4 种力学模型分别进行计算。

§1-5

动力学问题的基本方程
&& + I ? P = 0 Mu

在动力平衡方程中,为了方便起见一般将惯性力一项隔离出来,单独列出,因此通常表达为: (1.5.1) 其中 M 为质量矩阵,通常是一个不随时间改变的常量; I 和 P 是与位移和速度有关的向量,而与对时间 的更高阶导数无关。因此系统是一个关于时间二级导数的平衡系统,而阻尼和耗能的影响将在 I 和 P 中体 现。可以定义:

& I = Ku + Cu
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(1.5.2)

如果其中刚度矩阵 K 和阻尼矩阵 C 为常数, 系统的求解将是一个线性的问题; 否则将需要求解非线性系统。 可见线性动力问题的前提是假设 I 是与节点位移和速度是线性相关的。 如果把公式(1.5.2)代入公式(1.5.1)中,则有 (1.5.3) 上述平衡方程是动力学中最一般的通用表达形式,它适合于描述任何力学系统的特征,并且包含了所 有可能的非线性影响。如果方程中的第一项——惯性力——足够小时,可以令其为 0,则方程简化为静力 平衡方程的形式。 求解上述动力问题需要对运动方程在时域内积分, ABAQUS 中提供了很多有效的积分方法, 我们将在 以后的各章节中详细介绍。空间有限单元的离散化可以把空间和时间上的偏微分基本控制方程组在某一时 间上转化为一组耦合的、非线性的、普通微分方程组。 线性动力问题是建立在结构内各节点的运动和变形足够小的假设基础之上的, 能够满足线性叠加原理, 且系统的各阶频率都为常数。因此结构系统的响应可以由每个特征向量的线性叠加而得到,通常所说的模 态叠加法就是由此而来的。 在 ABAQUS 中根据线性分析的基本思想,总结归纳后得出了线性摄动分析的概念。概括来说,线性 响应就是基于在某预加荷载状态下的小扰动分析,可参考图 1.5.1。这个概念在某些情况下(如旋转电机 分析中)是十分重要的,因为此时系统恒定的旋转将产生应力硬化现象,这将显著改变此系统的切相刚度。 因此在 ABAQUS 中将允许对所研究的、整体上呈非线性的系统,在局部进行线性化处理。而且这种摄动 分析过程可以在非线性响应分析过程中的不同时间点上反复进行操作。

&& + Cu & + Ku = P Mu

P(u)实际的

P
线性扰动响应

非线性响应

u

u0
图 1.5.1 关于初始状态 u0 的线性摄动分析

§1-6

小结

在静力分析中, 结构响应与施加在结构上的荷载和边界条件有关, 使用有限元方法可以求解得到应力、 应变和位移在空间上的分布规律;在动力分析中,结构响应不但与荷载和边界条件有关,还和结构的初始 状态有关,在时域的任何一点上都可以使用有限元法求解空间上的应力、应变和位移,然后可以使用一些 数值积分技术来求解得到时域中各个点上的响应。 某特定系统动力分析方法的选择在很大程度上依赖于是否需要详细考虑非线性的影响。如果系统是非 线性的,应该选择使用在时域上的直接积分法,甚至对于稳定的荷载作用也因该使用直接积分法才能得到 时域内的全部结果。其优点是可以得到分析模型在所有时间点上详细全面的计算结果,但缺点是计算分析 的代价可能比较昂贵。对于动力问题,如果系统能够被合理地线性化,最好选择使用模态分析的方法,因 为程序对线性问题分析的效率是较高的,而且同时在频域和时域范围内求解将更加有助于洞察系统的动力 特性。
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第2章
结构特征值的提取

§2-1

问题的产生

对于自由振动方程在数学上讲就是固有(特征)值方程(eigen-equations)。特征值方程的解不仅给 出了特征值(eigenvalues),即结构的自振频率和特征矢量——振型或模态(eigenmodes),而且还能使 结构在动力荷载作用下的运动方程解耦,即所谓振型分解法或叫振型叠加法(modal summation methods)。因此,特征值问题的求解技术,对于解决结构振动问题来说,是非常重要的。 特征值或特征频率的提取是建立在一个无阻尼自由振动系统上的,即振动方程中没有阻尼项的影响

&& + Ku = 0 Mu

(2.1.1)

特征值和结构振动模态描述了结构在自由振动下的振动特点和频率特征。 通过使用振型分解法解得振型和频率,就能够很容易地求得任何线性结构的响应。而且通常在实际问 题中,只需要考虑前面几个振型就能获得相当精度的解。结构动力学的实际问题涉及面很广,对于只有几 个自由度的力学模型,只需要考虑一个或两个自由度就能求得动力响应的近似解,而对于具有几百个甚至 上千个自由度的高度复杂有限元模型,就需要考虑数十个甚至上百个振型对响应的影响。为了适应不同问 题的需要,逐渐产生了各种求解特征值问题的技术。据此,ABAQUS/Standard 提供了大量的求解方法 可供使用。 通常所说的特征值就是指结构的各阶固有频率(ω ),特征向量就是对应某个振动频率的振动模态(φ )。 公式(2.1.2)给出了对特征方程的表达形式,通过对其求解即可得到各阶频率和模态。

(K
其中 K
MN

MN

? ω 2 M MN φ N = 0

)

(2.1.2)

为刚度矩阵, 如果基本状态下包括了几何非线性的影响, 则刚度矩阵中也包括了初始刚度的贡献;

M MN 为质量矩阵。
可见如果结构系统共有 Ndof 个自由度, 那么就可通过上述方程解得 Ndof 个特征值和特征向量。 当然结 构系统是可以被约束的,也可以是不被约束的。对于受约束的系统,在 ABAQUS/Standard 中预加荷载 的影响是可以被考虑的。 由结构动力学可知,绝大多数情况下,刚度矩阵 K 和质量矩阵 M 都是对称的和正半定的,其固有振 型相对于质量和刚度矩阵具有正交性,可用模态坐标使方程简化,而且频率 和特征向量 都是实数。而 对于非对称的情况,可以通过复模态理论来使方程解耦,计算其特征值问题,这一点在本章 2-8 节中还要 介绍。 对于某些工程问题,例如在稳态响应或者是长期响应占主导的动力问题中,我们经常可以遇到只需要 考虑系统的最低频率和模态的情况,此时求解过程简单,将节省大量的计算费用。

§2-2

特征值的求解方法
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在求解特征值问题时,大致有两种情况,一种是求解结构系统特征方程的全部特征值问题,即所有的 特征值和对应的特征向量;另一种是求解部分特征值问题,即部分(通常是最小或最大的一些)特征值和 对应的特征向量。这是因为,在结构动力学中,往往矩阵的阶数都很高,有时不可能,而且也没有必要求 解全部特征值和特征向量。在求解方法上,也分为两大类,一类是直接求解法(Direct methods),另一 类是向量迭代求解法(Iterative methods)。 直接求解法包括 Householder QR 和 Givens 两种求解技术。这种方法可以用来研究需要求解所有 特征值和特征向量的自由度较少的系统,计算工作量是较大。计算过程中结构的特征矩阵可以被转化为一 个对称的对角阵形式,可以很容易地同时求解出所有特征值。对于较大的系统可以通过缩减技术来提高计 算效率,例如 Guyan 缩减法在求解时就可以有效地减少结构的自由度数目。 向量迭代方法包括反向迭代法(inverse iteration)、子空间迭代法(subspace iteration)和兰佐斯迭 代法(Lanczos technique)等。使用迭代法可以求解较大结构系统的少数特征值问题,计算时间依据结构 自由度的大小和需要提取的特征值个数而定。在 ABAQUS 中提供了两种提取特征值的求解器:Lanczos 特征值求解器和子空间迭代求解器。 使用文件输入时,可以使用如下命令: *FREQUENCY, EIGENSOLVER=SUBSPACE *FREQUENCY, EIGENSOLVER=LANCZOS 使用主菜单输入时选择 Step Create: Frequency: Basic: Eigensolver: Lanczos or Subspace

§2-3

特征值求解器的比较

1. 效率的比较 对于需要求解多自由度系统的大量特征模态时,Lanczos 特征值求解器在整体上速度更快。例如对于 某噪声控制问题,处于临界状态时在某个需要研究的范围内可能有几百个特征值,而严格的设计恰恰要求 对此范围内的频率特性进行分析,此时就比较适合使用 Lanczos 特征值求解器。 对于需要求解不超过 20 个特征值的问题,使用子空间迭代法可能更快,反之效率可能不高。 2. 终止原则和精确性的比较 Lanczos 特征值求解器允许计算到特征值真正的误差限制点时才终止,可以满足正常的终止原则。对 于多数问题,相对误差为 1.E-12 量级,因此 Lanczos 求解器的计算结果精度一般要比子空间迭代法高。 Lanczos 求解器的计算时间线性依赖于需要提取的特征值的数量。 而子空间迭代法的终止与否是通过判断从一次迭代到下一次迭代过程中特征值的相对变化来实现的, 如果相对变化小于 1.E-5 则认为问题已经收敛,结束计算。 3. 重启动分析 Lanczos 求解器允许在特征值提取过程中使用重启动分析(restart analysis)。在需要求解更多模态的下 一步分析中,允许使用先前已经得到的特征模态结果。而且在重新进行的 Lanczos 求解过程中,特征值的 数量、频率范围和终止收敛点都相对独立于上一步的求解过程。如果新的求解过程中需要上一次计算已经 得到的结果时,程序此时会自动调用,而不是进行不必要的重新计算。 而应用子空间迭代法求解器计算特征值问题时是不允许进行重启动的。 应指出,在使用重启动时,应该事先或者以模型数据的形式,或者计算一个通用分析步来设置好边界 条件。如果在上一步特征值提取的历程数据中设置了边界条件,重启动的新一步中不会读取和使用任何上 一步的原始边界条件数据。也应该注意对于某特定模型,任何边界条件的变化都可能影响其特征值的计算 结果,因为这些变化可能导致模型刚度或质量矩阵的变化,因此使用重启动时一定要注意边界条件的一致 性。
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4. Lanczos 特征值求解器的限制条件 Lanczos 特征值求解器不能用于结构屈曲分析工程中,因为在屈曲临界点处刚度矩阵是非正定的。类 似的情况还有: 含有杂交单元的模型; 含有分布耦合单元的模型; 含有接触对或接触单元的模型; 模型的预加荷载超过分支屈曲荷载的情况。

§2-4

重复的特征频率

我们知道不同的特征向量之间对于质量矩阵和刚度矩阵都是正交的,即主振型之间没有惯性耦合和弹 性耦合,可以表达成公式(2.4.1)和公式(2.4.2)的形式。
T φα Mφ β = 0 T φα Kφ β = 0

(2.4.1) (2.4.2)

其中 φα 和 φ β 为不同的特征向量,即 α ≠ β 。可以证明任何两个特征向量之间的线性组合仍然是特征向量。 如果某结构的特征频率是不同的,那么相应的特征向量也是独立的。但如果特征频率是重复的,即在 某个值上存在对应很多不同振型的相同频率, 则这时的特征向量就不再是单一的了。 ABAQUS 可以很好区 分和处理这种重复的模态,但当想要得到一个自由结构的刚体模态时,也必须谨慎的加以区分。刚体结构 在整体坐标系下有平动和转动之分, 分析后得到的特征向量通常是这些理想模态的混合体。 例如平面内 (二 维)一个独立单元的 0 频率(w1, 2, 3 =0)对应的模态表现为如图 2.4.1 所示的形式。

2 1
图 2.4.1 平面问题中 0 频率的模态

图 2.5.1 发动机组的模型和网格划分 12

§2-5

特征频率的提取

下面通过一个发动机组的例子来说明特征频率的计算和提取过程。模型及网格划分情况如图 2.5.1 所 示,划分网格时使用 10 节点的四面体单元(C3D10)。材料为钢材,使用线弹性模型。结构未被约束。 对于动力分析,必须定义材料的弹性性质和密度等,方法如下: *MATERIAL,NAME=Steel *ELASTIC 101354.,0.25 *DENSITY 7.20E-9 材料密度为 7.20E-9T/mm3,菜单中的定义方法如图 2.5.2 所示。

图 2.5.2 材料密度的定义方法

进行的特征值提取的数据输入过程可以通过下面菜单交互式输入来完成,如图 2.5.3 所示。

激活 Lanczos 求解器

自然频率的 提取过程

提取前 100 阶频率

频移值 S

定义频移值 S 用来克服在提取未被约 束结构自然频率时数值计算上的奇异 图 2.5.3 特征值提取问题的数据输入方法

上述定义过程也可以通过如下关键字的输入来完成。
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*STEP *FREQUENCY,EIGENSOLVER=LANCZOS 100, , ,-810000. : : *END STEP 如果需要使用子空间迭代求解器,则需要把 LANCZOS 改为 SUBSPACE。第三行后面的两个空格用 来定义感兴趣的频率范围,-180000 为频移值。 如果选择使用了 Lanczos 特征值求解器, 用户可以根据需要指定最小的和 (或) 最大的频率, ABAQUS 将在指定的范围内按照指定的个数提取出特征值,如果在指定范围内特征值的实际个数少于所指定的特征 值的个数,则 ABAQUS 将把指定频率范围内的所有特征值全部提取出来。如果选择使用了 Lanczos 特征 值求解器, 用户也可以定义频率的最大值, ABAQUS 将在最大值以下的范围内按照指定的个数提取特征值。

图 2.5.4 特征值分析中的其它参数

在*FREQUENCY 中还可以选择以下参数,选择方法如图 2.5.4 所示。 NORMALIZATION:用来控制特征向量是如何正交化的,对于每个特征向量来说,或者是最大位移 为 1、或者广义质量为 1。 PROPERTY EVALUATION:指定在频率提取过程中如何考虑如粘弹性、弹簧和阻尼器等依频率特性 变化而变化的材料特性。 由于所分析问题的复杂程度不同,必须对问题的大小、内存和硬盘的使用进行正确估计,如下表所示。 节点个数 单元个数 结构自由度个数 需要求解的特征值个数 最大的波前个数 每次迭代时的浮点运算精度 使用的最小内存 最小输入/输出使用的内存 因子文件大小 Lanczos 矢量文件大小 其它临时文件大小 640285 402441 1920855 100 7626 2.82e+12 1.66 GB 3 GB 9.187 GB 7.013 GB 16.042 GB

使用 IBM B80 计算机进行计算,系统时钟为 375MHz。内存为 4GB,交换缓冲区为 4GB,硬盘空 间为 180GB。因此在定义内存的使用时可以把预处理器使用内存设置为 750MB,Standard 求解器使用
14

内存设置为 2000MB,如图 2.5.5 所示。

图 2.5.5 内存的设置

经过计算得到,发动机组结构的前 10 阶非刚体特征模态如图 2.5.6 所示。

模态 1

模态 2

模态 3

模态 4

模态 5

模态 6

模态 7

模态 8

模态 9

模态 10

图 2.5.6 发动机组的前 10 阶模态图示

§2-6

频率输出

我们以一个悬臂梁的例子来说明与频率输出有关的一些问题。悬臂梁如图 2.6.1 所示,梁的长度 L= 36in,弹性模量 E=10Msi,截面高度 h=2in,截面宽度 b=1in,材料密度 ρ =0.0003。通过理论分析 (参见 Blevins, “Formulas for Natural Frequency and Mode Shape,” Krieger Publishing Co., 1995.)可知梁的自振频率为
15

ω=

(1.875...) 2 L2

EI ρA

(2.6.1)

图 2.6.1 悬臂梁

模态 2:45.5Hz

模态 4:285.2Hz 图 2.6.2 悬臂梁的振动模态

在 ABAQUS/CAE 中,为了计算此悬臂梁的特征模态,选择梁单元来进行特征值分析。参数的定义和 输入方法参见上节,最后可以得到悬臂梁的各阶模态,其中的第 2 阶和第 4 阶模态形式如图 2.6.2 所示, 而第 1 阶和第 3 阶模态产生在垂直于纸面的平面内。 模型质量表如下:
TOTAL MASS OF MODEL 2.1600000E-02 LOCATION OF THE CENTER OF MASS OF THE MODEL 18.00000 0.0000000 0.0000000

MOMENTS OF INERTIA ABOUT THE ORIGIN I(XX) 9.0000000E-03 I(YY) 9.331200 I(ZZ) 9.331200

PRODUCTS OF INERTIA ABOUT THE ORIGIN I(XY) 0.000000 I(XZ) 0.000000 I(YZ) 0.000000

MOMENTS OF INERTIA ABOUT THE CENTER OF MASS I(XX) 9.0000000E-03 I(YY) 2.332800 I(ZZ) 2.332800

PRODUCTS OF INERTIA ABOUT THE CENTER OF MASS I(XY) 0.000000 I(XZ) 0.000000 I(YZ) 0.000000

各阶频率的计算结果如下:

16

(RAD/TIME) (CYCLES/TIME) MODE NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 EIGENVALUE 20445. 81780. 8.02960E+05 3.21184E+06 6.29535E+06 1.72843E+07 2.41746E+07 2.51814E+07 6.34620E+07 6.60620E+07 FREQUENCY 142.99 285.97 896.08 1792.2 2509.1 4157.4 4916.8 5018.1 7966.3 8127.9 GENERALIZED 22.757 45.514 142.62 285.23 399.33 661.68 782.53 798.66 1267.9 1293.6 COMPOSITE MASS 5.40000E-03 5.40000E-03 5.40000E-03 5.40000E-03 5.39997E-03 4.49857E-03 5.39987E-03 5.39997E-03 1.08000E-02 5.39965E-03 MODAL DAMPING 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

序号 i

特征值ω 2

频率ω

广义质量 mi

阻尼,以后 讨论

将结构振动方程按正交化原理可以简化成若干个假想的与模态 α 有关的单自由度体系,方程如下:

&&α + cα q &α + kqα = Pα mα q
其中广义质量是一个数学上的中间量,没有明确的物理意义。

(2.6.2)

mi = φiT Mφi
有关广义质量矩阵的计算方法、相关理论知识和其它参量的意义可参见附录 1 的内容。 公式(2.6.4)给出了振型参与系数的表达形式

(2.6.3)

Γij =

1 T φi MT j mi

(2.6.4)

其中 T j 代表整体结构的刚体模态向量。振型参与系数代表了某个振型在某个自由度方向上振动的参与程 度,它可以帮助使用者选择在某种给定荷载作用下最能代表某响应的模态。当设定基底运动来计算具有惯 性荷载的模型时,也常常使用振型参与系数,有关内容将在第 7 章讨论。 在本例中计算得到的各个振型参与系数 Γij 如下,其中沿列的方向为 i,沿行的方向为 j。其中由于计算 舍去误差,产生了许多近似为 0 的无穷小数值,可以视为 0。
MODE NO 1 2 3 4 5 6 7 X-COMPONENT 1.16098E-16 -5.87938E-18 -1.00136E-15 -4.25759E-15 -7.82337E-15 -7.63261E-15 7.04653E-14 Y-COMPONENT -5.31945E-17 1.5660 1.43326E-16 -0.86787 -9.72395E-15 -2.22581E-14 6.70174E-13 Z-COMPONENT 1.5660 -6.79618E-16 -0.86787 -6.22473E-15 0.50885 -2.13728E-14 -0.36380 X-ROTATION -1.16204E-16 8.88258E-20 -8.64429E-16 -4.51600E-15 -9.12654E-15 1.2734 -7.75658E-14 Y-ROTATION -40.955 1.57866E-14 6.5352 2.65510E-14 -2.3340 Z-ROTATION 4.36320E-16 40.955 1.41999E-15 -6.5352 -6.45957E-14

6.62988E-14 1.1911

-1.00812E-13 3.12708E-12

17

8 9 10

-4.03433E-14 1.2732 -1.80870E-12

0.50885 -5.56129E-12 6.41429E-12

4.76181E-13 -1.27299E-12 0.28295

1.68286E-14 -1.71292E-11 1.86502E-11

-1.58293E-12 1.70052E-12 -0.72053

2.3340 -9.53263E-12 1.01045E-11

有效模态质量给出了整体模型质量在某模态代表的不同自由度方向上是如何分布的。它的计算表达式 为
eff mij =m i (Γij ) 2

(2.6.5)

对于平动模态,所有有效模态质量之和应该近似等于结构整体质量,即:

∑m
i

eff ij

≈ 结构整体质量

(2.6.6)

如果上式不能成立,说明所求得的模态还不够多,尚需要继续进行模态分析。 在本例中计算得到的各个有效模态质量 mij 如下,其中沿列的方向为 i,沿行的方向为 j。
eff

MODE NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X-COMPONENT 7.27851E-35 1.86663E-37 5.41465E-33 9.78863E-32 3.30506E-31 2.62072E-31 2.68123E-29 8.78889E-30 1.75083E-02 1.76644E-26

Y-COMPONENT 1.52802E-35 1.32424E-02 1.10929E-34 4.06729E-03 5.10595E-31 2.22869E-30 2.42526E-27 1.39822E-03 3.34021E-25 2.22158E-25

Z-COMPONENT 1.32424E-02 2.49416E-33 4.06729E-03 2.09235E-31 1.39822E-03 2.05492E-30 7.14677E-04 1.22443E-27 1.75013E-26 4.32302E-04

X-ROTATION

Y-ROTATION 9.0577 1.34577E-30 0.23063 3.80677E-30 2.94163E-02 1.97736E-29 7.66042E-03 1.35305E-26 3.12312E-26 2.80330E-03

Z-ROTATION

7.29178E-35 4.26061E-41 4.03508E-33 1.10129E-31 4.49783E-31 7.29512E-03 3.24881E-29 1.52927E-30 3.16883E-24 1.87816E-24

1.02803E-33 9.0577 1.08884E-32 0.23063 2.25319E-29 4.57194E-29 5.28034E-26 2.94163E-02 9.81407E-25 5.51312E-25

通过计算可知结构的总质量为 2.16E-02。Y 方向弯曲模态 2 和 4 的贡献为(1.32424E-02)+ (4.06729E-03)=1.73097E-02,为总质量的 80%。 最后结构的特征值、特征频率、广义质量和振型发生方向的计算结果如下所示。
MODE NO EIGENVALUE FREQUENCY (RAD/TIME) (CYCLES/TIME) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20445. 81780. 8.02960E+05 3.21184E+06 6.29535E+06 1.72843E+07 2.41746E+07 2.51814E+07 6.34620E+07 6.60620E+07 142.99 285.97 896.08 1792.2 2509.1 4157.4 4916.8 5018.1 7966.3 8127.9 22.757 45.514 142.62 285.23 399.33 661.68 782.53 798.66 1267.9 1293.6 5.40000E-03 5.40000E-03 5.40000E-03 5.40000E-03 5.39997E-03 4.49857E-03 5.39987E-03 5.39997E-03 1.08000E-02 5.39965E-03 Z bend 1 Y bend 1 Z bend 2 Y bend 2 Z bend 3 Torsion 1 Z bend 4 Y bend 3 Axial 1 Z bend 5 GENERALIZED MASS

18

通过上述振型参与系数和有效模态质量,可以识别哪个振型(模态)对所要研究的荷载作用方向是有 用的。本例题中,如荷载是沿着 Y 方向作用的,则第 2 和第 4 阶振型的贡献是较大的,第 8 振型也有一定 贡献,必要时可以考虑,而其它振型是没有任何贡献的。

§2-7

有预载结构的频率

对于某个结构来说,如果被预先施加外荷载,其自振频率通常是会发生变化的。比如结构在拉力作用 下刚度会增加;而在压力作用下刚度会降低。因此频率会依据先前荷载作用历史状态的变化而变化。在 ABAQUS 中可以使用线性摄动的方法,计算在任何荷载步时、或在任何荷载作用状态下结构的自然频率。 摄动法是以先前状态为基准的线性求解步,它的计算并不会对原来的计算过程产生任何影响,即摄动 步在时程上占用的时间为 0,这样通过摄动法求解得到某一荷载作用状态下的特征频率和特征向量后,对 非线性分析的时间历程不会产生影响。当前进行的摄动法模态分析中使用的是与先前时程步骤中相同的边 界条件。非 0 的边界条件和荷载都是关于基本状态的扰动,换句话说,它们是与基本状态是有关的。有关 更详细的内容,读者可参考 ABAQUS 分析用户手册的 6.1.2 节。 下面介绍一个跳跃失稳的浅拱例子,如图 2.7.1 所示。步骤如下: 步骤 1:对未加荷载结构频率的计算; 步骤 2:在浅拱结构中心施加 32 lbf 的荷载; F ?0 步骤 3:在 32 lbf 荷载的作用下、跳跃失稳发生之前的时 刻进行频率计算; 步骤 4:使用位移控制加载,使结构发生跳跃失稳,直到 中点竖向位移达到 14 in; v 步骤 5:转回到荷载控制,在浅拱中心施加荷载为 50 lbf; 步骤 6:在 50 lbf 荷载的作用下、发生跳跃失稳之后,再 图 2.7.1 浅拱和作用荷载 次进行频率计算。 经过计算可以得到浅拱的荷载位移曲线如图 2.7.2 所示,图中的 A、B、C 点为如上步骤中所说的频 率计算点,图中还给出了各点的基本频率为:52.7Hz、12.4Hz 和 31.7Hz,由此可以看出结构上所加荷 载对其基频的影响。图 2.7.3 给出了不同荷载作用时刻浅拱的第一模态和原始形状的对比,从图中可以看 出不同时刻的模态(振型)是不同的,也正说明了结构预加荷载的影响。
C

Mode 1: 31.7 Hz Mode 1: 12.4 Hz
B

A

Mode 1: 52.7 Hz

图 2.7.2 浅拱的荷载位移曲线 19

模态 1 的形状 0 lbf 时的原始形状

模态 1 的形状 模态 1 的形状

32 lbf 时的原始形状 (a)A 点的模态 1 (b)B 点的模态 1 图 2.7.3 不同荷载作用时刻浅拱的第一模态

50 lbf 时的原始形状 (c)C 点的模态 1

§2-8

复特征频率和刹车的啸声分析

在前面各节讲述的多自由度响应的问题中,认为质量矩阵和刚度矩阵都是正定对称的;而且认为系统 阻尼是比例阻尼,是一种可解耦阻尼;同时结构固有模态(振型)相对于质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵 都具有正交性。因此可用模态坐标使方程简化,这种理论称为实模态理论。但是如果刚度矩阵和阻尼矩阵 是非对称的, 则不能用常规方法将方程解耦, 这时必须用复模态解耦, 称这种方法为复模态理论(complex modal theory)。 复特征值理论使用投影法(projection method)来提取系统的复特征值(complex eigenvalues)。 有限元模型的特征值问题可以用以下公式来表达:

( μ 2 M MN + μC MN + K MN )φ N = 0
其中 M
MN

(2.8.1)
MN

是质量矩阵,通常是对称的和半正定的; C

是阻尼矩阵; K
N

MN

是刚度矩阵,可以包括预载荷

和阻尼的影响,因此有可能是非对称的; μ 是复特征值;φ 是复特征向量,即振动模态;上标 M 和 N 代 表自由度。 在 ABAQUS/Standard 中,复特征值的提取过程使用子空间投影法,而且在复特征值提取过程之前, 一般先进行具有对称刚度矩阵的无阻尼系统的特征值和特征模态的计算。全部的子空间都被缺省地作为基 本矢量,ABAQUS/Standard 在考虑用户对子空间的各种规定之后,通常计算出投影空间内所有的有效 复模态。用户指定的需要求解的特征模态数不能超过投影子空间的维数。在复特征值提取过程中,为了能 够计入刚度矩阵或阻尼矩阵非对称的影响,程序能够自动使用非对称矩阵求解和存储方法。如果用户强行 指定了对称矩阵的求解技术和存储方法,矩阵非对称性的影响将被忽略。 输入文件如下: *COMPLEX FREQUENCY 在菜单中的输入方法如下: Create Step: Linear perturbation: Complex frequency: Number of eigenvalues requested: All or Value 下面以一个刹车啸声分析(Brake Squeal Analysis)的例子说明复特征值求解器的应用过程。采用 TRW 汽车刹车的实物和模型,如图 2.8.1 所示。计算得到的复特征频率和复模态的动画可以说明刹车啸 声噪音的产生时某频率下结构的变形状态。

20

图 2.8.1 TRW 汽车刹车的实物及 ABAQUS 模型

使用 ABAQUS 计算在预加荷载作用下的复特征模态,其中可以包括几何和材料非线性的影响。同时 ABAQUS 可以在不需要用户的任何外部干预的情况下, 内部自动计算并计入摩擦对刚度和阻尼矩阵的贡献 (或影响) ,即摩擦导致的阻尼可以被考虑在内。 考虑阻尼项以后,结构振动方程的形式仍然不变,为

&& + Cu & + Ku = 0 Mu (2.8.1) 其中质量 M 质量矩阵; C 为阻尼矩阵,可以包括摩擦导致的阻尼(正和负)的影响; K 为刚度矩阵,由 于摩擦作用,亦可能是非对称的;未知向量 u 的表达形式为

u = Ae μt

(2.8.2) (2.8.3)

μ = α ± ωi
因此有

u = eαt ( A1 cos ωt + A2 sin ωt )

(2.8.4)

根据复模态理论,如果 α > 0 ,则表明是一个不稳定的模态。 刹车啸声分析的过程如下: (1) 使用通常的静力荷载步施加预载。使用面面接触,并且考虑几何非线性的影响。不约束轮盘各节 点的切向自由度。 (2) 确定系统在运动中的稳态平衡。例如定义摩擦垫是静止的,轮盘是转动的。可以使用如下命令: *MOTION, ROTATION (3) 进行复特征频率的提取。首先需要进行自然频率的提取;然后依据先前定义的运动,程序会自动 检查不同速度的节点处的滑动条件;最后进行模态分析。 与轮盘弯曲振动相关联的摩擦应力(变形如图 2.8.2a) ,将影响刚度矩阵,使其变成非对称的矩阵; 摩擦垫切向振动相关联的摩擦应力(变形如图 2.8.2b) ,将导致阻尼矩阵具有非对称性,程序能够自行考 虑,是正是负依据滑动的速率。 在 ABAQUS 中建立如图 2.8.2 所示的简化模型, 具体过程不做详细叙述, 最后得到的模型具有 26000 个单元、37000 个节点和 440000 个自由度数。通过 ABAQUS/CAE 的菜单输入,还需要完成以下如图 2.8.3 和图 2.8.4 所示的过程。

21

(a) 图 2.8.2 弯曲变形与切向变形

(b)

图 2.8.3 步骤管理菜单

图 2.8.4 编辑步骤菜单 22

也可以通过关键字文件的输入来完成此过程: *Step, name=preloading *Static, nlgeom : *End Step ** *Step, name=steady-state rotation *Static, nlgeom : *Motion, type=VELOCITY, rotation : *End Step ** *Step, name=extract natural frequencies *Frequency : *End Step *Step, name=extract complex eigenvalues *Complex Frequency, friction damping = [NO|YES] : *Select Eigenmodes : *End Step ** *Step, name=change friction *Static, nlgeom : *Change Friction *Friction : *Motion, type=VELOCITY, rotation : *End Step ** *Step, name=extract complex eigenvalues 2 *Complex Frequency, friction damping = [NO|YES] *End Step ABAQUS 计算之后可输出的变量包括: EIGREAL, EIGIMAG—特征值的实部和虚部,即前面公式中的 α 和 ω ; U—复特征向量; GU—广义特征位移,即投影系统的复特征模态; E, S—复应变和复应力; DAMPRATIO—由 ? 2 ? α

ω 定义的阻尼比;

SENER—弹性应变能密度:

E I = (σ r : ε r + σ i : ε i ) + [(σ r : ε r ? σ i : ε i ) 2 + (σ r : ε i + σ i : ε r ) 2 ]1 2
23

其中 σ r 和 σ i 为应力张量的实部和虚部; ε r 和 ε i 为应变张量的实部和虚部。 在各计算过程中 CPU 所需时间为:静力分析为 23 分钟;自然频率的提取(100 阶模态)为 17 分钟; 复特征值的求解为 5 分钟。 计算得到的模态耦合结果如图 2.8.5 所示。可以看到当两个自然频率相接近时就会出现啸声现象,频 率为 2KHz 时的结构响应如图 2.8.6 所示。图 2.8.7 给出了当摩擦系数为 0.3 和 0.5 时,阻尼比和频率 的关系曲线。可见在频率为 2KHz 的位置发生了啸声现象;当摩擦系数增大到 0.5 时,又产生了三个附加 啸声模态,但是它们的影响要小得多。

稳定的区域, 没有啸声
1960

非稳定的区域, 发生啸声

Frequency (Hz)

1950

1940 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Friction Coefficient

图 2.8.5 频率与摩擦系数的关系

图 2.8.6 频率为 2KHz 时的变形响应

啸声模态

3 个附加啸声模态

μ = 0.3
图 2.8.7 啸声模态与频率的关系

μ = 0.5

24

第3章
模态叠加法
§3-1 模态叠加法的基本概念
&& + Cu & + Ku = f (t ) Mu
(3.1.1)

对于多自由度系统,如果考虑粘性阻尼,则其受迫振动的微分方程为

解此运动方程一般有两类方法,一类是直接积分法,就是按时间历程对上述微分方程直接进行数值积 分,即数值解法。常用的数值解法有中心差分法、纽马克法和威尔逊- θ 法,这将在以后介绍。另一类解法 就是模态(振型)叠加法,在叙述模态叠加法之前,首先介绍一下展开定理。 若已解出系统的各阶固有频率 ω1 、 ω 2 ,…, ω n 和各阶主振型(模态) φ1 , φ 2 ,…, φ n ,并有

φi = {a1i , a2i ,L, ani }T
因为主振型的正交性,可知主振型是线性无关的,设有常数 ξ1 、 ξ 2 ,…, ξ n 使

(3.1.2)

∑ξ φ
i =1

n

i i

=0

(3.1.3)

上式两端左乘 φ j M 有
T

∑ξ φ
i =1 i

n

T j

Mφi = 0
T

(3.1.4)

注意到主振型关于质量阵的正交性: φ j Mφi = 0 ,并代入上式,可推出 ξ1 = ξ 2 = L = ξ n = 0 ,这就 证明了 φ1 , φ 2 ,…, φ n 线性无关。 于是,由线性代数理论知向量 φ1 , φ 2 ,…, φ n 构成了 n 维空间的一组向量基,因此对于 n 个自由度 系统的任何振动形式(相当于任意一个 n 维矢量) ,都可以表示为这 n 个正交的主振型的线性组合,即

u = ∑ ξ iφ i
j =1

n

(3.1.5)

写成矩阵的形式为

u = φξ

(3.1.6)

上式就是展开定理,在线性代数中称为坐标变换。用模态(振型)叠加法求系统动力响应就是建立在
25

展开定理的基础上。但在实际问题应用中,应注意的是系统的自由度太多,而高阶模态对响应的影响通常 又很小,所以应用时在满足工程精度的前提下,只取低阶模态(N<<n)作为向量基,而将高阶模态截断。 模态截断是一种近似,取多少阶模态合适,这要遵循模态截断准则,要深入了解这方面的知识,可参阅有 关资料。 根据展开定理,对方程(3.1.1)实行坐标变换,再以模态矩阵的转置 φ 前乘方程的两边,得
T

&& + φ T Cφξ & + φ T Kφξ = φ T f (t ) φ T Mφξ
若系统为比例阻尼,则可利用正交条件使上述方程变为一系列相互独立的方程组

(3.1.7)

&& + C ξ & + Kξ = f Mξ
其中 M 、 C 和 K 都是对角矩阵,它们的对角线元素分别为

(3.1.8)

mi = φiT Mφi ci = φiT Cφ = 2ξ iωi M i k i = φiT Kφi = ωi2 M i

ωi2 = k i / mi
其广义力为

i = 1,2,L, n

(3.1.9)

f i = φiT f (t )
这样方程组(3.1.8)可写为

(3.1.10)

&& + c ξ & miξ i i i + k iξ i = f i

i = 1,2,L, n

(3.1.11)

这是 n 个相互独立的单自由度系统的运动方程, 每一个方程都可以按单自由度系统的振动理论去求解。 如果 f i 为任意激振力,对于零初始条件的系统可以借助于杜哈梅积分公式求出响应,即

ξ i = ∫ hi (τ ) f i (t ? τ )dτ
0

t

(3.1.12)

其中 hi (t ) 为单位脉冲响应函数。 如果 f i 为简谐激励,即

f i = f i 0 e jωt
则系统的稳态响应为

(3.1.13)

ξ i = ξ i 0 e jωt
将上式代入方程(3.1.11),可解得
26

(3.1.14)

ξi =


k i ? miω 2 + jωci

fi

(3.1.15)

ξi =

fi fi = 2 k i (1 ? λ + j 2ξ i λi ) miωi (1 ? λi2 + j 2ξ i λi )
2 i

(3.1.16)

其中, λi = ω / ωi ,在主坐标 ξ i 解出后,还应返回到原广义坐标 ui 上,利用公式(3.1.5)和公式(3.1.6)得

u=∑
i =1

n

φiT f? i k i ? miω 2 + jωci

(3.1.17)

从中可以看出激振响应除了与激振力 f 上式表示了多自由度系统在简谐激振力 f 作用下的稳态响应。 有关外,还与系统各阶主模态及表征系统动态特性的各个参数有关。 如果系统仅在第 r 个坐标处进行单点激振,其激振力为 f r = f r 0 e 以从公式(3.1.17)得到
jωt

,那么在第 s 个坐标处的响应可

xsr = ∑
i =1

n

φriφ si ? f r k i ? miω 2 + jωci
n φ riφ si f r φriφ si f r = ∑ 2 2 k i (1 ? λi + j 2ξ i λi ) i =1 miωi (1 ? λi2 + j 2ξ i λi )



xsr = ∑
i =1

n

(3.1.18)

以上就是模态叠加法的一些基本原理,更加详细的介绍,读者可参考有关文献。通过以上的讲述内容 可见在以模态理论为基础的各种分析过程中,必须首先进行模态分析,提取结构的自然频率。

§3-2

模态叠加法的应用

模态叠加法的应用十分广泛,本节给出的以下结构分析中都可以使用到模态叠加法。本节仅仅进行简 单介绍,详细的应用方法参见以后各章节。

3.2.1

稳态的谐波响应分析

通常使用基于系统自然模态的稳态动力分析,计算系统在谐波激励下的线性响应,这种基于模态的计 算方法比直接积分的方法的计算速度更快。以频率的函数形式表达的结果变量(位移和应力等)是以同相 (实部)和异相(虚部)两个部分给出的。对于需要以模态叠加计算响应的时候,必须事先进行频率提取 的计算。 使用这种方法,可以在用户指定的频率范围内计算结构在谐波激励下的响应幅值和相位。典型的工程 应用包括:在不同发动机运行速度的范围内发动机架的响应;建筑物内旋转的机械设备;飞机发动机的组 成部件等等。
27

3.2.2

瞬态模态动力学分析

在模态动力分析过程中,对线性问题使用模态叠加法可以计算得到结构的动力时程响应,因此必须事 先进行频率和模态的提取和计算。 线性问题在时域内的瞬态模态动力学分析过程与非线性问题十分相似,但速度却提高很多。系统的响 应首先被“投射”到模态上,随后模态响应在时域内持续向前进行积分。方程组解耦后,每一个模态对应的 方程都是非耦合的,所以不需要进行方程组的求解。在模态动力分析中,应根据经验使用一定技巧以确保 选取的模态的子集是足够的,这样才能使计算结果准确地代表结构在荷载作用下的真实响应。

3.2.3

响应谱分析

当结构承受某些固定点的动力作用时,这种方法可以计算出结构的峰值响应,如应力和位移等。也就 是说,对于用户提供和输入的反应谱(例如地震作用等) ,通常使用线性响应谱分析可以得到系统响应的近 似上限值。这种方法计算费用较低,但能提供系统性能的有用信息。可以把这些固定点的运动称为基底运 动,例如地震作用就是通过基底运动的形式输入的。

3.2.4

随机响应分析

当结构所受振动是连续的,并且可以使用功率谱密度(PSD)函数来表达作用荷载时,该结构在随机振 动作用下的线性响应可以通过模态叠加原理的方法计算得到。 系统的响应是以统计量值的形式计算得到的, 例如节点和单元变量的平均值和标准差等。 随机响应分析在工程上的应用有:飞机对湍流的响应、结构对喷气发动机产生噪声的响应等。 随机响应分析在本书中不做更加深入的介绍, 读者可以参考 ABAQUS 分析用户手册获得更多的资料。

28

第4章
阻 尼

系统结构特征值和模态的求解是在无阻尼情况下得到的,而在动力学问题中,任意结构都应存在或大 或小的阻尼,阻尼的大小将会对系统动力学响应产生一定的影响。本章主要讨论在动力学分析中怎样应用 ABAQUS 定义系统的阻尼特性。

§4-1 引言
当系统作无阻尼自由振动时,由于没有能量输入与输出,系统机械能守恒,系统的振幅为常数。然而 在实际结构中,这种无阻尼自由振动并不存在。结构运动时能量耗散,振幅将逐渐减小直至停止振动,这 种能量耗散被称为阻尼(damping)。 通常假定阻尼为粘性的,其大小正比于速度,方向与速度相反。有阻尼结构系统的动力学方程可以写 为:

&& + I ? P = 0 Mu & I = Ku + Cu & 为结构的速度。 其中, C 为结构的阻尼矩阵, u

(4.1.1) (4.1.2)

能量耗散来源于几个因素,其中包括结构连接处的摩擦和局部材料的迟滞效应。阻尼对于表征结构吸 收能量是一个很方便的方法,它包含了重要的能量吸收过程,而不需要模拟耗能的具体机制。

§4-2 阻尼
在 ABAQUS/Standard 中,特征模态的计算是从无阻尼系统中提取出的。然而,大多数工程问题都 包含某种阻尼,尽管阻尼可能很小。 对于每一模态,有阻尼固有频率和无阻尼固有频率之间的关系是:

ωd = ω 1 ? ξ 2
其中 ωd 是有阻尼的固有频率; ξ =

(4.2.1)

c 为临界阻尼; c 是该模态的阻尼, c 0 是该模态的临界阻尼。 cc

当临界阻尼 ξ 取较小值( ξ < 0.1 )时,有阻尼系统的特征频率和特征向量与无阻尼系统非常接近;随着

ξ 的增加,采用无阻尼系统求得的特征频率就会开始变得不准确,当 ξ 接近 1 时,无阻尼特征频率和特征
向量就失效了。但是,大多数用线性动力学分析的结构问题只有很小的阻尼,因而可以采用无阻尼特征频 率。
29

当结构处于临界阻尼即 ξ = 1 时,施加一个扰动后,结构不会振荡,而是尽可能迅速地恢复到它的初 始静止构形,如图 4.2.1 所示。

图 4.2.1 阻尼

§4-3 在 ABAQUS 中定义阻尼
在 ABAQUS 中阻尼可以应用在下面的动力学分析中: z z z 非线性问题直接积分求解(显式分析或者隐式分析); 直接法或子空间法稳态动力学分析; 模态动力学分析(线性)。

针对模态动力学分析,在 ABAQUS/Standard 中可定义几种不同类型的阻尼:直接模态阻尼(Direct Modal Damping),瑞利阻尼(Rayleigh Damping),复合模态阻尼(Composite Modal Damping)和 结构阻尼(Structure Damping)。 ABAQUS 模态动力学分析中用*MODAL DAMPING 选项来定义阻尼。 阻尼是包含在分析步内定义 的一部分,每阶模态可以定义不同量值的阻尼。

4.3.1 直接模态阻尼
采用直接模态阻尼可以定义对应于每阶模态的阻尼比 ξ 。其典型的取值范围是在临界阻尼的 1%~ 10%之间。直接模态阻尼允许用户精确定义系统的每阶模态的阻尼。 在分析步骤内定义直接模态阻尼。如图 4.3.1 所示,激活直接模态阻尼选项(Direct modal),并在数 据行内输入数据。

30

m1

m2

ξα

图 4.3.1 直接模态阻尼定义

对应的 ABAQUS 输入文件为: *MODAL DAMPING, MODAL=DIRECT m1, m2,    其中,*MODAL DAMPING 选项中的 MODAL=DIRECT 参数表示被指定的直接模态阻尼,数 据行输入的数据m1 为起始模态序号,m2 为截止模态序号,  为模态阻尼比。例如,对于前 10 阶振型 的阻尼定义为 4%的临界模态阻尼,11~20 阶振型的阻尼为 5%的临界阻尼,在分析步骤中的定义如下: *MODAL DAMPING, MODAL=DIRECT 1,10,0.04 11,20,0.05

4.3.2 瑞利阻尼
在瑞利阻尼中,假设阻尼矩阵可表示为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合,即

C =αM + βK

(4.3.1)

其中,α 和 β 是用户根据材料特性定义的常数。尽管假设阻尼正比于质量和刚度没有严格的物理基础,但 是实际上我们对于阻尼分布的真实情况知之甚少,也就不能保证其它更为复杂的模型是正确的。通常,瑞 利阻尼模型对于大阻尼系统,即阻尼值超过 10%临界阻尼时是不可靠的。 使用瑞利阻尼有许多方便,例如系统的特征频率与对应的无阻尼系统特征值一致;相对于其它形式的 阻尼,可以精确地定义系统每阶模态的瑞利阻尼;各阶模态的瑞利阻尼可转换为直接模态阻尼,在 ABAQUS/Standard 中将瑞利阻尼转换为直接模态阻尼进行动力学计算。 对于一个给定模态 i,临界阻尼值为 ξi ,而瑞利阻尼系数 α 和 β 的关系为:

ξi =

αi + 2β iωi 2ωi

(4.3.2)

其中 ωi 表示第 i 阶模态的固有频率。 (4.3.2)式表明, 瑞利阻尼的质量比例阻尼部分在系统响应的低频段起
31

主导作用,刚度比例阻尼部分在高频段起主导作用。 ABAQUS 在模态动力学分析步骤内定义瑞利阻尼。如图 4.3.2 所示,激活瑞利阻尼选项(Reyleigh), 并输入数据。如果需要定义多阶模态的阻尼值,则可在菜单内点击鼠标右键,通过 insert row before 或 者 insert row after 来增加数据行。

m1

m2

α

β

图 4.3.2 瑞利阻尼定义

对应的 ABAQUS 文件输入为: *MODAL DAMPING, RAYLEIGH m1, m2,   ,   参数 RAYLEIGH 指定阻尼形式为瑞利阻尼, m1、 m2 的含义与直接模态阻尼定义相同。α 、 β  分别为模态质量、刚度比例系数。例如,对前 10 阶模态定义 α = 0.2525 和 β = 2.9 × 10 ,对于 11~20
?3

阶振型定义 α = 0.2727 和 β = 3.03 × 10 ,则可以在分析步骤中定义:
?3

*MODAL DAMPING, RAYLEIGH 1,10,0.2525,2.9E-3 11,20,0.2727,3.03E-3

4.3.3 复合阻尼
在复合阻尼中,对应于每种材料的阻尼定义一个临界阻尼比,这样就得到了对应于整体结构的复合阻 尼值。如果结构由多种材料组成,那么采用复合阻尼来描述系统的阻尼特性是非常简便有效的。 ABAQUS 将材料的复合阻尼加权平均得到模态阻尼比,转换关系为:

ξα =

1 M MN φα ∑ (ξ m M m φαN ) ma m

(4.3.3)

mα = φαM M MN φαN
其中, ξ a 为模态 α 的模态阻尼比, ξ m 材料 m 的阻尼比, M m
MN

(4.3.4) 为与材料 m 相关的质量矩阵, φα 为模态
M

32

α 的振型, ma 为模态的 α 模态质量。
在 ABAQUS 中分两步定义复合阻尼。 第一步,在材料属性中定义与该材料对应的复合阻尼,如图 4.3.3 所示。

图 4.3.3 在材料属性中定义复合阻尼

图 4.3.4 选定复合阻尼

对应的 ABAQUS 输入文件为: *MATERIAL, NAME=STEEL *DAMPING, COMPOSITE= M 其中 ξ M 为材料“STEEL”的临界阻尼比。 然后在分析步骤中引用复合阻尼,如图 4.3.4 所示。 对应的 ABAQUS 文件输入为: *STEP : *MODAL DAMPING, MODAL=COMPOSITE

33

4.3.4 结构阻尼
系统的结构阻尼特性与结构或者材料的内摩擦机理有关。其他形式的阻尼属于粘性阻尼,即阻尼力的 大小与运动速度成正比,而结构阻尼力与位移成正比。同时结构阻尼力不会随着激振频率变化而变化。 结构阻尼力可用下式来表示:

FDN = isI N
其中, FD 阻尼力, s 结构阻尼因子, I 是结构的变形力, i 虚数单位, i =

(4.3.5)

?1 。

结构阻尼力的方向与速度方向相反,与其位移相比滞后 90°。只有当位移和速度的相位差为 90°时, 结构阻尼假设才能成立,因此激励必须是正弦函数。使用结构阻尼假设的动力学分析包括稳态响应分析和 随机响应分析,其他如瞬态动力学分析则不能直接应用结构阻尼;对于某些问题如果只能得到结构阻尼, 那么必须依据一定的准则将结构阻尼转换为等效的粘性阻尼。

m1

m2

s

图 4.3.5 结构阻尼定义

图 4.3.5 为结构阻尼定义菜单。对应 ABAQUS 输入文件为: *MODAL DAMPING, STRUCTURAL m1, m2, s 参数 STRUCTURAL 指定模态阻尼形式为结构阻尼。m1、 m2 的含义与定义直接模态阻尼相同,s 为结构阻尼因子。

§4-4 阻尼选择
在大多数的线性动力学问题中,为了获得精确的结果,恰当地选择阻尼类型和规定阻尼系数值是十分 重要的。但是在某种意义上,由于阻尼只是在结构吸收能量特性意义上的近似,而不是模拟造成这种效果 的物理机制,所以确定模型中需要的阻尼数据是很困难的。在某些问题中有时不得不根据工程经验来选取 适合的阻尼,偶尔也可以从动态试验中获得这些数据。但通常情况下必须通过查阅参考资料或者凭借经验 获得这些数据,在这种情况下,必须十分谨慎地解释模拟结果,并通过参数分析来评估模拟对于阻尼值的 敏感性。
34

在定义阻尼类型和选取阻尼值时需要注意以下问题: 1. 在许多实际应用中,材料阻尼是主要的。一些材料中,阻尼力在本质上是粘性的,并且与材料 的刚度成正比。这种形式的阻尼可以通过瑞利阻尼选项来得到,其中 α = 0 和 β ≠0,β 值可以 通过试验数据来确定; 2. 3. 4. 如果材料阻尼应力在本质上是摩擦力, 同时需要研究系统的稳态响应, 这种情况下可以应用结 构阻尼。结构阻尼系数 s 根据摩擦应力占应力总和的百分比来确定; 有些情况下,可以在不同的频率下测量阻尼。如果这些数据是可靠,则可以将结构特征频率下 的阻尼值作为模态阻尼来直接应用到模态动力学分析中; 在少数情况下,可以从动力学试验中获得阻尼的数据。但是在多数情况下,不得不通过经验或 参考资料获得数据。这时,解释结果要十分小心,应该通过参数分析来评价阻尼系数对结果的 敏感性; 5. ABAQUS 中可以同时定义不同类型的阻尼,如果在分析中同时定义了多种阻尼,那么分析结 果是包含了各种阻尼的综合效果。

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