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第一章 综合检测题


第一章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的) 1.sin2cos3tan4 的值( A.小于 0 C.等于 0 [答案] A π π 3π [解析] ∵ <2

<π, ∴sin2>0, ∵ <3<π, ∴cos3<0, ∵π<4< , ∴tan4>0, ∴sin2cos3tan4<0. 2 2 2 2.若角 600° 的终边上有一点(-4,a),则 a 的值是( A.4 3 C .± 4 3 [答案] B [解析] 由条件知,tan600° = a , -4 B.-4 3 D. 3 ) )

B.大于 0 D.不存在

∴a=-4tan600° =-4tan60° =-4 3. 3.(08· 全国Ⅰ文)y=(sinx-cosx)2-1 是( A.最小正周期为 2π 的偶函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 [答案] D [解析] ∵y=(sinx-cosx)2-1=sin2x-2sinxcosx+cos2x-1=-sin2x, ∴函数 y=(sinx-cosx)2-1 的最小正周期为 π,且是奇函数. π? ? π ? 4.函数 y=sin? ?2x-3?在区间?-2,π?的简图是( ) )

[答案] A [解析] x=0 时,y<0,排除 B、D, π x= 时,y=0,排除 C,故选 A. 6 π? 5.为了得到函数 y=cos? ?2x+3?的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( 5π A.向左平移 个长度单位 12 5π B.向右平移 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6 [答案] A π π π [解析] y=cos(2x+ )=sin(2x+ + ) 3 2 3 5π 5π =sin(2x+ )=sin2(x+ ), 6 12 π 由 y=sin2x 的图象得到 y=cos(2x+ )的图象. 3 5π 只需向左平移 个长度单位就可以. 12 6.函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( π π? A.? ?-4,4? 3π? C.? ?π, 2 ? [答案] C [解析] 画出函数 y=|sinx|的图象,如图所示. π 3π? B.? ?4, 4 ? 3π ? D.? ? 2 ,2π? ) )

π? 由函数图象知它的单调增区间为? ?kπ,kπ+2?(k∈Z),所以当 k=1 时,得到 y=|sinx|的一

3π? 个单调增区间为? ?π, 2 ?,故选 C. 7.(08· 四川)设 0≤α≤2π,若 sinα> 3cosα,则 α 的取值范围是( π π? A.? ?3,2? π 4π? C.? ?3, 3 ? [答案] C [解析] ∵sinα> 3cosα,
? ? ? ?cosα=0 ?cosα>0 ?cosα<0 ∴? 或? 或? , ?tanα> 3 ?tanα< 3 ? ? ? ?sinα=1

)

π ? B.? ?3,π? π 3π? D.? ?3, 2 ?

π 4π ∴ <α< . 3 3 π π π [点评] ①可取特值检验, α= 时, 1=sin > 3cos =0, 排除 A; α=π 时, 0=sinπ> 3cosπ 2 2 2 4π 4π 3 4π 3 4π 4π =- 3,排除 B;α= 时,sin =- , 3cos =- ,∴sin = 3cos ,排除 D,故 3 3 2 3 2 3 3 π α- ?>0, 选 C.②学过两角和与差的三角函数后,可化一角一函解决, sinα- 3cosα=2sin? ? 3? π π 4π α- ?>0,∵0≤α≤2π,∴ <α< . ∴sin? ? 3? 3 3 1 8.方程 sinπx= x 的解的个数是( 4 A.5 C .7 [答案] C 1 [解析] 在同一坐标系中分别作出函数 y1=sinπx,y2= x 的图象,左边三个交点,右边三 4 个交点,再加上原点,共计 7 个. B.6 D.8 )

9.已知△ABC 是锐角三角形,P=sinA+sinB,Q=cosA+cosB,则( A.P<Q C.P=Q [答案] B B.P>Q D.P 与 Q 的大小不能确定

)

π π π π π [解析] ∵△ABC 是锐角三角形,∴0<A< ,0<B< ,A+B> ,∴A> -B,B> -A, 2 2 2 2 2 π? ∵y=sinx 在? ?0,2?上是增函数, ∴sinA>cosB,sinB>cosA, ∴sinA+sinB>cosA+cosB,∴P>Q. π ? ?π ? ?π? 10.若函数 f(x)=3cos(ωx+φ)对任意的 x 都满足 f? ?3+x?=f?3-x?,则 f?3?的值是( A.3 或 0 C .0 [答案] D π? π [解析] f(x)的图象关于直线 x= 对称,故 f? ?3?为最大值或最小值. 3 11.下列函数中,图象的一部分符合下图的是( ) B.-3 或 0 D.-3 或 3 )

π A.y=sin(x+ ) 6 π B.y=sin(2x- ) 6 π C.y=cos(4x- ) 3 π D.y=cos(2x- ) 6 [答案] D [解析] 用三角函数图象所反映的周期确定 ω,再由最高点确定函数类型.从而求得解析 式. π π 由图象知 T=4( + )=π,故 ω=2,排除 A、C. 12 6 π 又当 x= 时,y=1,而 B 中的 y=0,故选 D. 12 π ? ? π? 12.函数 y=2sin? ?3-x?-cos?x+6?(x∈R)的最小值为( A.-3 C.-1 [答案] C π ? ? π? [解析] ∵y=2sin? ?3-x?-cos?x+6? B.-2 D.- 5 )

π π ?? ? π? ? π? =2cos?2-? ?3-x? -cos?x+6?=cos?x+6?,

?

?

∴ymin=-1.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.若 1+sin2θ=3sinθcosθ 则 tanθ=________. 1 [答案] 1 或 2 [解析] 由 1+sin2θ=3sinθcosθ 变形得 2sin2θ+cos2θ-3sinθcosθ=0?(2sinθ-cosθ)(sinθ- cosθ)=0, 1 ∴tanθ= 或 1. 2 14.函数 y= 16-x2+ sinx的定义域为________. [答案] [-4,-π]∪[0,π]
?16-x2≥0 ? [解析] 要使函数有意义,则? , ? ?sinx≥0 ? ?-4≤x≤4 ∴? , ?2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z) ?

∴-4≤x≤-π 或 0≤x≤π. 15. 已知集合 A={α|30° +k· 180° <α<90° +k· 180° , k∈Z}, 集合 B={β|-45° +k· 360° <β<45° +k· 360° ,k∈Z},则 A∩B=________. [答案] {α|30° +k· 360° <α<45° +k· 360° ,k∈Z} [解析] 如图可知,

A∩B={α|30° +k· 360° <α<45° +k· 360° ,k∈Z}. 16.若 a=sin(sin2009° ),b=sin(cos2009° ),c=cos(sin2009° ),d=cos(cos2009° ),则 a、b、 c、d 从小到大的顺序是________. [答案] b<a<d<c [解析] ∵2009° =5×360° +180° +29° ,

∴a=sin(-sin29° )=-sin(sin29° )<0, b=sin(-cos29° )=-sin(cos29° )<0, c=cos(-sin29° )=cos(sin29° )>0, d=cos(-cos29° )=cos(cos29° )>0, π 又 0<sin29° <cos29° <1< ,∴b<a<d<c. 2 [点评] 本题“麻雀虽小,五脏俱全”,考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的 单调性等,应加强这种难度不大,对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)已知 sinθ= 1-a 3a-1 ,cosθ= ,若 θ 为第二象限角,求实数 a 的值. 1+a 1+a

[解析] ∵θ 为第二象限角,∴sinθ>0,cosθ<0. ∴ 1-a 3a-1 1 >0, <0,解之得,-1<a< . 3 1+a 1+a

又∵sin2θ+cos2θ=1,∴?

?1-a?2+?3a-1?2=1, ? ? ? ?1+a? ? 1+a ?

1 解之,得 a= 或 a=1(舍去). 9 1 故实数 a 的值为 . 9
? ? ? ? ? 1 1 ? ? ? 18.(本题满分 12 分)若集合 M=?θ? ?sinθ≥2,0≤θ≤π ,N= θ?cosθ≤2,0≤θ≤π , ? ? ? ?

求 M∩N. [解析] 解法一:可根据正弦函数图象和余弦函数图象,找出集合 N 和集合 M 对应的部 分,然后求 M∩N. 1 首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线 y= .如图. 2

结合图象得集合 M、N 分别为
? π ? π ? 5π ? ?,N=?θ? ≤θ≤π ?. ≤θ≤ M=?θ? 6 6 3 ? ? ? ? ? ? ? π 5π ? ? 得 M∩N=?θ? ?3≤θ≤ 6 . ? ?

解法二:利用单位圆中的三角函数线确定集合 M、N. 作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示.

由单位圆中的三角函数线知
? π 5π ? ? M=?θ? ?6≤θ≤ 6 , ? ? ? π ? ≤θ≤π ?. N=?θ? ?3 ? ? ? π 5π ? ? 由此可得 M∩N=?θ? ?3≤θ≤ 6 . ? ?

1 19.(本题满分 12 分)已知 cosx+siny= ,求 siny-cos2x 的最值. 2 1 1 [解析] ∵cosx+siny= ,∴siny= -cosx, 2 2 1 ∴siny-cos2x= -cosx-cos2x 2 1 3 cosx+ ?2+ , =-? 2? 4 ? 1 ∵-1≤siny≤1,∴-1≤ -cosx≤1, 2 1 解得- ≤cosx≤1, 2 1 3 所以当 cosx=- 时,(siny-cos2x)max= , 2 4 3 当 cosx=1 时,(siny-cos2x)min=- . 2 1 [点评] 本题由-1≤siny≤1 求出- ≤cosx≤1 是解题的关键环节, 是易漏掉出错的地方. 2 3 1 20.(本题满分 12 分)已知 y=a-bcos3x(b>0)的最大值为 ,最小值为- . 2 2 (1)求函数 y=-4asin(3bx)的周期、最值,并求取得最值时的 x; (2)判断其奇偶性.

[解析] (1)∵y=a-bcos3x,b>0,

?y ∴? ?y

max=a+b=

3 2 1 2

min=a-b=-

1 ? ?a=2 ,解得? , ? ?b=1

∴函数 y=-4asin(3bx)=-2sin3x. 2π ∴此函数的周期 T= , 3 2kπ π 当 x= + (k∈Z)时,函数取得最小值-2; 3 6 2kπ π 当 x= - (k∈Z)时,函数取得最大值 2. 3 6 (2)∵函数解析式 f(x)=-2sin3x,x∈R, ∴f(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x), ∴y=-2sin3x 为奇函数. 21.(本题满分 12 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.试依图推出:

(1)f(x)的最小正周期; (2)f(x)的单调递增区间; (3)使 f(x)取最小值的 x 的取值集合. T 7 π 3 [解析] (1)由图象可知, = π- = π, 2 4 4 2 ∴T=3π. 7 5 (2)由(1)可知当 x= π-3π=- π 时,函数 f(x)取最小值, 4 4 5 π ? ∴f(x)的单调递增区间是? ?-4π+3kπ,4+3kπ?(k∈Z). 7 (3)由图知 x= π 时,f(x)取最小值, 4 7 又∵T=3π,∴当 x= π+3kπ 时,f(x)取最小值, 4 所以 f(x)取最小值时 x 的集合为
? ? ? 7 ?x x= π+3kπ,k∈Z ?. 4 ? ? ?

22.(本题满分 14 分)函数 f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x 的最小值为 g(a)(a∈R). (1)求 g(a); 1 (2)若 g(a)= ,求 a 及此时 f(x)的最大值. 2

[解析] (1)由 f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x =1-2a-2acosx-2(1-cos2x) =2cos2x-2acosx-(2a+1) a a2 cosx- ?2- -2a-1.这里-1≤cosx≤1. =2? 2? 2 ? a a a2 ①若-1≤ ≤1,则当 cosx= 时,f(x)min=- -2a-1; 2 2 2 a ②若 >1,则当 cosx=1 时,f(x)min=1-4a; 2 a ③若 <-1,则当 cosx=-1 时,f(x)min=1. 2 1 ? ? a 因此 g(a)=?- 2 -2a-1 ? ?1-4a (a>2)
2

(a<-2) (-2≤a≤2) .

1 (2)∵g(a)= . 2 1 1 ∴①若 a>2,则有 1-4a= ,得 a= ,矛盾; 2 8 a2 1 ②若-2≤a≤2,则有- -2a-1= , 2 2 即 a2+4a+3=0,∴a=-1 或 a=-3(舍). 1 ∴g(a)= 时,a=-1. 2 1?2 1 此时 f(x)=2? ?cosx+2? +2, 当 cosx=1 时,f(x)取得最大值为 5.


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