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⑧竞赛中的立体几何问题


Y.P.M 数学竞赛讲座

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竞赛中的立体几何问题
高中联赛中的立体几何问题主要以客观题的形式出现,并重点考察度量及球的问题.

Ⅰ.体的认识
1.正方体 [例 1]:(2008 年全国高中数学联赛试题)若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564cm2,则这三个正方

体的体积之和为( (A)764cm 或 586cm
3 3

) (B)764cm
3

(C)586cm 或 564cm

3

3

(D)586cm

3

[解析]: [类题]:
1.①(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E、F分别在AB1、BC1上(不在线段的端点上),且AE=BF,那么,下面4个结论: ①AA1⊥EF;②A1C1∥EF;③EF∥平面A1B1C1D1;④EF与A1C1异面. 正确的是( (A)②④ ) (B)①④ (C)②③ (D)①③ A1 A E D1 B1 D B F C1 C

②(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,给出下列四个命题:①点 P 在直线 BC1 上运动 时,三棱锥 A-D1PC 的体积不变;②点 P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角大小不变;③点 P 在直线 BC1 上运动 时,二面角 P-AD1-C 的大小不变;④点 M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则点 M 的轨迹是过 D1 点的直线.其中正 确的编号是( (A)①② ) (B)②③ (C)①③ . (D)①③④

2.(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平行光线照射到一个棱长为 1 的正方体上,在正方体后面的平面上留 下的影子的面积为 S,则 S 的最大值为 长最大等于 . 3.(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体,则该正方体的棱

4.(2008 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行,每 走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁的爬行路线是 AA1→A1D1→?,黑蚂蚁的爬行路线是 AB→BB1→?,它们都依照如下规 则:所爬行的第 n+2 段与第 n 段所在直线必须是异面直线,设黑白两个蚂蚁都走完 2008 段后各停止在正方体的某个顶点处, 这时黑白两个蚂蚁的距离是 是异面直线,则 k 的最大值是_____. 6.(2006 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体,则上底面 ABCD 的内切圆上的点 P 与 过顶点 A,B,C1,D1 的圆上的点 Q 之间的最小距离是 . . 5.(1992 年全国高中数学联赛试题)从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的直线都

2.长方体 [例 2]:(2001 年全国高中数学联赛试题)命题 1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;命题 2:长方体中,必存在到各
棱距离相等的点;命题 3:长方体中,必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有( (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 )

[解析]: [类题]:
1.(2009 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)有一个长方体的箱子,它的十二条棱长之和是 140,并且从箱子的一角到最远 的一角的距离是 21,那么这个箱子的总表面积是 .
0 0

2.①(2007 年全国高中数学联赛四川初赛试题)在长方体 ABCD-EFGH 中,∠BEF=60 ,∠DEH=45 ,则 sin∠BED 的值为
0

.

②(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)长方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 与面 AB1 成 25 角,BD1 与面 A1C1 成 45 角,则 BD1 与这个长方体各棱所成角中最大的角等于
0

.

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.

3.①(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围为 为 1,且 a≠b,则 c 的取值范围是 . .

②(2009 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,且 a+b-c=1,已知长方体的对角线长 4.①(1992 年第 3 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)长方体的棱长的和是 l,则该长方体的体积的最大值是 为 8,则这个长方体体积的最大值为 之比和体积之比都等于 k,则 k 的取值范围是
3

②(2010 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)一个长方体的体对角线长为 10,这条对角线在长方体一个表面上投影的长 . . 5.(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)若对任意的长方体 A,都存在一个与 A 等高的长方体 B,使得 B 与 A 的侧面积 6.①(2009 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)右图是某种净水水箱结构的设计草图, 其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、 宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的 存水,则净水水箱中最少可以存水 时,p 为 . cm .
3

②(2012 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AC=1,B1C= 2 ,AB1=p,则长方体的体积最大

3.四面体 [例 3]:(1992 年全国高中数学联赛试题)设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记λ = i ?1
一定满足( (A)2<λ ≤4 ) (B)3<λ <4 (C)2.5<λ ≤4.5 (D)3.5<λ <5.5

? Si
S

4

,则λ

[解析]: [类题]:
1.①(2007 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)长度分别为 1,a,a,a,a,a 的线段能成为同一个四面体的 6 条棱的充要条件 是( ) (B)0<a<2 (C)a>
3 3

(A)0<a< 3

(D)

3 <a< 3 3

②(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若四面体ABCD中,有AB=CD=5,AC=BD=4,AD=BC=x,则x的取值范围是( (A)1<x<9 2,OC=3,则Δ ABC 是( (A)等边三角形 ) (B)不等边的等腰三角形 ) (C)垂心 (D)旁心 (C)直角三角形 (B)1<x< 41 (C)3<x<9 (D)3<x< 41

).

2.①(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)线段 OA、OB、OC 不共面,∠AOB=∠BOC=∠COA=60?,OA=1,OB= (D)钝角三角形

②(2008 年第 19 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若三棱锥的三个侧面的斜高相等,棱锥的顶点在底面所在的平面内 的射影在底面三角形的内部,则该射影是底面三角形的( (A)外心 (B)内心

3.(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)四面体 ABCD 的六条棱长分别为 7,13,18,27,36,41,且知 AB=41,则 CD= 4.(2007 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)以 1,1,1, 2 , 2 , 2 为六条棱长的四面体个数为 角形.那么,这个三棱锥的体积大小( (A)有惟一确定的值 ) (C)有3个不同值 (D)有3个以上不同值 .

.

5.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为1的正三 (B)有2个不同值

6.(1987 年全国高中数学联赛试题)现有边长为 3,4,5 的三角形两个,边长分别为 4,5, 41 的三角形四个,边长分别为
5 6

2 ,4,5 的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成___________个四面体.

4.正方体模型

Y.P.M 数学竞赛讲座 3 [例 4]:(2000 年全国高中数学联赛试题)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积
是 .

[解析]: [类题]:
1.(1994 年第 5 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)以正方体 ABCD–A1B1C1D1 的四个顶点 A,B1,C,D1 为顶点构成四面体,此四 面体的表面积与正方体的表面积之比为 . . 2.(2007 年第 18 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正四面体的棱长为 a,则它的外接球的表面积等于 体的棱长为 .

3.①(2006 年第 17 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)一个球与正四面体的各个棱都相切,且球的表面积为 8π ,则正四面 ②(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差 不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为 R1,能包容此框架的最小球的半径为 R2,则
R1 等于 R2

4.(2002 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)棱长为 1 的正四面体,在平面上投影面积的最大值是_____. 5.(2004 年第 15 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)设正三棱锥底面的边长为 a,侧面组成直二面角,则该棱锥的体积等于 . 6.(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正四面体 ABCD 的体积为 1,O 为其中心.正四面体 A1B1C1D1 与正四面体 ABCD 关 于点 O 对称,则这两个正四面体的公共部分的体积为 .

5.长方体模型 [例 5]:(1986 年全国高中数学联赛试题)如果四面体的每一个面都不是等腰三角形,那么其长度不等的棱的条数最少为
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

[解析]: [类题]:
1.①(1989年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在四面体ABCD中,AB=CD=4,AC=AD=BC=BD=3,则此四面体的体积为_____. ②(2012 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在四面体 ABCD 中,AB=AC=AD=BD=5,BC=3,CD=4,该四面体的体积为______. ③(1990 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)己知四面体各面都是棱长分别为 5, 34 , 41 的三角形,则此四面体的 体积是_____. 2.①(2009 年全国高中数学联赛河南初赛试题)四面体 A-BCD 中,AB=CD=5,AC=BD= 34 ,AD=BC= 41 ,则四面体 A-BCD 的外 接球半径为 外接球的表面积是 3.(1997 年全国高中数学联赛试题)如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有( (A)0 条 (B)1 条 (C)多于 1 的有限条 (D)无穷多条 4.(1999 年全国高中数学联赛试题)给定下列两个关于异面直线的命题: 命题Ⅰ:若平面?上的直线 a 与平面?上的直线 b 为异面直线,直线 c 是?与?的交线,那么,c 至多与 a,b 中的一条相交; 命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线. 那么( ) (B)命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确 (D)两个命题都不正确
0

.

②(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)将边长为 2 的正△ABC 沿高 AD 折成直二面角 B-AD-C,则三棱锥 B-ADC 的 )

(A)命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确 (C)两个命题都正确

5.(2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 a,b 是夹角为 30 的异面直线,则满足条件“a ? α ,b ? β ,且α ⊥β ”的 平面α ,β ( (A)不存在 ) (B)有且只有一对 (C)有且只有两对 (D)有无数对

6.(2007 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 S-ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥,O 为底面 ABC 内一点,若∠OSA= α ,∠OSB=β ,∠OSC=γ ,那么 tanα tanβ tanγ 的取值范围是 .

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6.旋转体 [例 6]:(2004 年全国高中数学联赛试题)顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆
内的点,O 为底面圆的圆心,AB⊥OB,垂足为 B,OH⊥PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最大 时,OB 的长是 .

[解析]: [类题]:
1.①(1987 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)圆锥的侧面展开图是半径为 1,圆心角为 270°的扇形,则它过顶点的截 面三角形的面积的最大值是 角为 . . . ②(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)若一个圆锥中有三条母线两两垂直,则此圆锥侧面展开图扇形的圆心

2.①(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)母线长为 6 的圆锥中,体积最大的那一个的底面圆的半径为

②(2000 年第 11 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)从一个半径是 1 分米的圆形铁片中剪去圆心角为 x 弧度的一个扇 形,将余下的部分卷成一个圆锥(不考虑连接处用料),当圆锥的容积达到最大时,x 的值是 的价格比为 3:2,则当圆桶造价最低时,桶底半径 R= . . . 3.①(1994 年第 5 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)已知无盖的圆柱形桶的容积是 V,用来做桶底和侧面的材料每平方米 ②(1986 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在轴截面顶角为直角的圆锥内,作一内接圆柱.若这圆柱的全面积等于 这圆锥的侧面积,则这圆锥顶点至圆柱上底面的距离等于圆锥母线长的 成体积相等的两部分,则截面面积为 . 4.(1991 年第 2 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知台体上、下底的面积分别为 S1,S2,若与底面平行的平面把台体截 5.①(1993年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)分别以直角三角形的两直角边为轴,将该三角形旋转一周所得的两个旋 转体的体积分别是15和20.则以该直角三角形斜边为轴旋转一周所得的旋转体的体积是_____. ②(2010 年全国高中数学联赛广东初赛试题)分别以直角三角形的两条直角边 a,b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周, 所得旋转体的体积依次为 Va,Vb,Vc,则 Va +Vb 与(2Vc) 的大小关系是___________. 6.①(1989 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)一直角梯形的两底分别为 5 和 8,高为 4,将它绕斜腰旋转一周所得的旋 转体的表面积是_____. ②(1990年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)梯形的两底分别是a和b,将梯形绕长为a的底旋转一周所得旋转体体积为 V1,绕长为b的底旋转一周所得旋转体体积为V2,则
V1 =_____. V2
2 2 2

Ⅱ.球的问题
1.球的认识 [例 1]:(2011 年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知在半径为 5 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=6,CD=8,则四面体
ABCD 的体积的最大值为 .

[解析]:[类题]:
1.(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为 4 的球的两条弦 AB、 CD 的长度分 别等于 2 7 和 4 3 ,M、N 分别为 AB、CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:①弦 AB、CD 可能相 交于点 M;②弦 AB、CD 可能相交于点 N;③MN 的最大值为 5;④MN 的最小值为 1.其中真命题为( (A)①③④ (B)①②③ (C)①②④ (D)②③④ )

2.(1989年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)点P在直径为1的球面上,过P作两两垂直的三条弦若其中一条弦长是另一条 弦长的2倍,则这三条弦长的和的最大值是_____. 3.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)在120 的二面角α -l-β 内,⊙O1、⊙O2分别在半平面α 、β 内,且与棱l切于同 一点P.则以⊙O1、⊙O2为截面的球( (A)仅有1个 ) (B)仅有2个 (C)有无数个 (D)不存在 .
0

4.(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一半球的体积是 18π ,则此半球的内接正方体的表面积是

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0

5

5.(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)半球形的碗内盛满了水,若将碗口平面倾斜 30 ,则碗内溢出的水的体 积是碗的容积的 可见表面积是_____. . 6.(1988 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)两球相嵌,大球半径 R=4,小球半径 r=2,且两球的连心线长 d=4,该组合体的

2.外接球 [例 2]:(1997 年全国高中数学联赛试题)已知三棱锥 S?ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设 S、
A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 .

[解析]: [类题]:
1.(1987 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体 ABCD 的四个顶点在半径为 1 的球上,则 AB 的长为 . 2.(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都 在同一球面上,且该六棱柱的体积为
9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8

.

3.(1992年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)△ABC的三边AB、BC、CA的长依次是2、3、4,D是以△ABC的外接圆为大圆的 球面上一点,若D到A、B、C的距离相等,则三棱锥D?ABC的体积是_____. 4.(2011 年全国高中数学联赛试题 A)在四面体 ABCD 中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60 ,AD=BD=3,CD=2,则四面体 ABCD 的外 接球的半径为 .
0

5.①(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点都在球 O 的球面上,其中 AA1=1,AB=2 2 ,AD =3 3 ,则经过 B、C 两点的球面距离是 间的球面距离为 .
2 3 3

.

②(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AA1= 2 ,则 A,C 两点

6.①(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体表面上与点 A 距离是 的点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度是 .

②(2007 年全国高中数学联赛试题)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,以顶点 A 为球心, 面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___________.

2 3 为半径作一个球,则球 3

3.内切球 [例 3]:(1983 年全国高中数学联赛试题)一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样
两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数
m ,那么积 mn 是 n

.

[解析]: [类题]:
1.①(2007 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)所有棱长都等于 1 的三棱锥的内切球的体积等于 . ②(1990 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)若正四面体有一个半径为 2 的内切球,则它的棱长为_____. 2.①(2003 年第 14 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设有棱长等于 a 的正四面体 A1,作它的内切球 R1,再作 R1 的内接正 四面体 A2,接着再作 A2 的内切球 R2 和 R2 的内接正四面体 A3,如此继续下去,?,得到无限多个正四面体,它们的体积之和等 于 . ②(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在三棱锥 S–ABC 中,侧棱 SA,SB,SC 两两垂直,SA=SB=4,SC=6,在三 棱锥的内部有一个与三棱锥的四个面都相切的球,则此球的半径为 球半径等于______. ②(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切,若该球的体积为 .

3.①(2011 年第 22 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知四面体 ABCD,AB=AC=AD=BC=BD=1,CD= 2 ,则该四面体的内切

6
32? ,则该三棱柱的体积是_____. 3

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③(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)若正三棱锥的内切球半径为 1,则其体积的最小值为 4.①(2011 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若底边长为 2 的正四棱锥恰内切一半径为 是 .

.

1 的球,则此正四棱锥的体积 2

②(2009 年全国高中数学联赛山东初赛试题)在正三棱锥 P-ABC 中,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,正三棱锥 的三个侧面都和半球相切.如果半球的半径等于 1,则正三棱锥的体积最小时,正三棱锥的高等于 样摇动盒子,小球在盒子中不能达到的空间的体积是_____cm (盒子的厚度不计). ②(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)在一个棱长为5的正方体封闭的盒内,有一个半径等于1的小球,若小球在盒 内任意地运动,则小球达不到的空间的体积的大小等于 动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . .
3

.

5.①(1994年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球,无论怎

6.(2008 年全国高中数学联赛试题)一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运

4.多球相切 [例 4]:(2006 年全国高中数学联赛试题)底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球,四个球两
两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 cm .
3

1 2

[解析]: [类题]:
1.①(2010 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若将半径为 12cm 四个篮球在水平地面上任意堆放,则你能堆放的最大高度 是 cm ②(2002 年第 13 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将 3 个半径为 1 的球和一个半径为 2 -1 的球叠为两层放在桌面 上,上层只放一个较小的球,四个球两两相切,那么上层小球的最高点到桌面的距离是 如果这两个半径为 r 的球也互相外切,则 r 等于 . . 2.①(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)三个半径为 1 的球互相外切,且每个球同时与另外两个半径为 r 的球外切, ②(1991年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知三个半径为6的球在平面α 的同一侧,与平面α 都相切,且每个球与 另外两个球外切,另有一个球和平面α 及这三个球都相切,则它的半径为_____. 3.①(2007 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)两个半径都是 1 的球 O1 和球 O2 相切,且它们均与直二面角的两个半平面都 相切,另有一个半径为 r(r<1)的小球 O 与这个二面角的两个半平面也都相切,同时与球 O1 和球 O2 都外切.则 r 的值是____. ②(2010 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知半径为 r 的球和半径为 R 的两个相切的球都相切,且它们都与大小为 60 的二面角的两个半平面相切,则
°

R = r

.

③(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在边长为1的正方体C内,作一个内切大球O1,再在C内的一个角顶内,作小球 O2,使它与大球外切,同时与正方体的三个面相切.则球O2的面积为 的半径是_____. ②(2011 年第 22 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在半径为 1 的大球内放入 6 个半径相等的小球,当小球的体积最大 时,小球的半径等于____,此时在 6 个小球之间的空隙里还可以放人一小球,该小球的最大半径等于______. 5.①(2004 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)三个半径都是 10cm 的小球放在一个半球形的碗中,小球的顶端恰好与碗 的上沿处于同一平面内,则这个碗的半径是_____. ②(2009 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球 的半径均为 1,且每个小球都与半球的底面和球面相切,则该半球的半径 R= . . 4.①(1996 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)四个半径为 1 的小球两两相切装在一个大球里面且都与大球相切,大球

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于点 D,且与平面 ABC 相切.若 AD=2 3 ,∠BAD=∠CAD=45 ,∠BAC=60 ,则四面体 ABCD 的外接球的半径 r 为
0 0

7
.

6.(2007 年全国高中数学联赛天津初赛试题)过四面体 ABCD 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 ABCD 的外接球相切

5.旋转体与球 [例 5]:(1995 年全国高中数学联赛试题)一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______. [解析]: [类题]:
1.①(2012 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入 半径为 r 的一个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为 锥母线与底面所成角的大小是_____. 2.(2008 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)在半径为 R 的球的所有外切圆锥中,全面积最小的圆锥的全面积是
0

.

②(1993年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知圆锥的内切球的面积是圆锥底面面积和侧面面积的等差中项,则圆 .

3.(1999 年全国高中数学联赛河南初赛试题)一个半径为 a 的半球内切于顶角为 90 的圆锥,半球的底面在圆锥的底内,则 V 半球:V 圆锥等于 . 4.(1999 年全国高中数学联赛河北初赛试题)将边 BC=15cm 的 ABC 绕边 AC 旋转一周,所得旋转体是有公共底面的两个圆锥, 0 边 AB 形成的圆锥的侧面展开图是半径为 20cm,圆心角为 216 的扇形,则此旋转体内切球的半径是 . 5.(2003 年全国高中数学联赛试题)将 8 个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相 切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于______________. 6.(1996 年全国高中数学联赛试题)高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1,球心 O1 在圆台的轴上,球 O1 与圆台的上底面、 侧面都相切,圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点,除球 O2,圆 台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是( (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)4

Ⅲ.度量问题
1.线线成角 [例 1]:(1997 年全国高中数学联赛试题)如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,
F 在棱 CD 上,使得
AE CF ? =λ (0<λ <+∞),记 f(λ )=α EB FD
λ

A E B F C D

+β λ ,其中α λ 表示 EF

与 AC 所成的角,β λ 表示 EF 与 BD 所成的角,则( (A)f(λ )在(0,+∞)单调增加 (C)f(λ )在(0,1)单调增加,而在(1,+∞)单调减少

) (B)f(λ )在(0,+∞)单调减少 (D)f(λ )在(0,+∞)为常数

[解析]: [类题]:
1.①(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三条直线 a,b,c 两两成异面直线,它们互相成等角,且存在一个平面 与它们都平行,则 a,b 所成的角为 等角的直线共有( (A)0 条 为 60 .则这样的直线 l 有( (A)1
0

.

②(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成 ) (B)1 条 )条. (B)2 (C)3 (D)多于 3
? ,l 与 a、l 与 b 所 3

(C)4 条

(D)无数多条

③(2006 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1,过顶点 A1 作直线 l,使 l 与直线 AC 和 BC1 所成的角均

④(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)a,b,l 是两两异面的直线,a 与 b 所成的角是 成的角都是 α ,则 α 的取值范围是 .

2.①(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点G是上底面A1B1C1D1的中心.那么,BG与AD所成角

8
的大小是 . . .

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②(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)四面体 ABCD 中,AB=CD=a,BC=AD=b,CA=BD=c.如果异面直线 AB 与 CD 所成的 角为θ ,那么 cosθ = 所成角的余弦值是 3.①(2004 年第 15 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB、CC1 的中点,直线 EF 与 AC1 ②(2008年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面构成45 的二面角,则异面直 线AC与BF所成角的大小为_______. 4.①(1998 年第 9 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)已知四面体 ABCD 中,AD=BC=1,E、 F 分别是 AB、 CD 上的点,且 BE:EA=CF: FD=1:2,EF=a(a>0),则 AD 和 BC 所成的角 θ = . ②(2008 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)有六根细木棒,其中较长的两根分别为 3 a、 2 a,其余四根均为 a,用它 们搭成三棱锥,则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 点,点 P 在 A1B1 上,则直线 PQ 与直线 AM 所成的角等于 是 . . . . 5.①(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M 是 CC1 的中点,Q 是 BC 的中
0

②(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 CA1 与 C1B 所成的角的大小 6.①(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1,CC1 上的动点 (含端点),D 为 BC 边上的中点,且 PD⊥PE.则直线 AP,PE 的夹角为 BC 所成的角的正切值是 . ②(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在空间四边形 ABCD 中,AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC=CD,则 AD 与

2.线面成角 [例 2]:(1994 年全国高中数学联赛试题)已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于α ,则 sinα =______. [解析]: [类题]:
1.①(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平面外一直线和这个平面所成的角为θ ,则θ 的范围是
0

.

②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)直线 l 与平面α 所成角为 50 ,交点为 P,a 是α 内不过 P 点的任意一 条直线,那么 l 与 a 所成角的取值范围是 的角的大小是 . . 2.①(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设正三棱锥 S-ABC 的底面边长为 3,侧棱长为 2,则侧棱 SA 与底面 ABC 所成 ②(2011 年第 22 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知三点 A、B、E 在平面α 内,点 C、D 在α 外(在α 的同侧),并且

AC、DE 都⊥α ,BD ? AB.若 AB=3,AC=BD=4,CD=5,则 BD 与平面α 所成的角等于 . 3.①(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平面α ?平面β ,直线 a∥α ,a 与β 成 45?角,直线 b∥β ,b 与α 成 45?角,则直线 a 与 b 所成的角的大小为 . 0 ②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)二面角α -l-β 的大小为 60 ,A∈α ,B∈β ,C∈l,且 AC=4,AB⊥β ,B 点到α 的距离为 1,则直线 AC 与平面β 所成的角的大小等于 . 4.①(1999 年第 10 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)二面角 M-l-N 的平面角是 60 ,直线 a∩平面 M,a 与棱 l 所成的角 是 30 ,则 a 与平面 N 所成的角的余弦值是 所成的角等于 .
0 0

.

②(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)空间四边形 ABCD 中,AB=AD=3,BC=CD=2,AC= 5 ,则 AC 与平面 BCD 5.(2006 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为棱 AB 上一点,过点 P 在空间作直线 l,使 l 与 0 平面 ABCD 和平面 ABC1D1 均成 30 角,则这样的直线条数是 6.①(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 C1D1,AB 的中点.A1,M,C,N 四 点在同一个平面内.则 CD 和平面 A1MCN 所成的角的正弦值是 和平面AB1D1所成角的大小是θ ,则sinθ 等于 . . ②(2006 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 为 D1C1 上的点且 D1M:MC1=3:1,则 CM

3.面面成角 [例 3]:(1994 年全国高中数学联赛试题)在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(

)

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(A)(
n?2 π ,π ) n

9
(B)(
n ?1 π ,π ) n

(C)(0,

? ) 2

(D)(

n?2 n ?1 π, π) n n

[解析]: [类题]:
1.①(1988 年全国高中数学联赛试题)已知三个平面α ,β ,γ ,每两个平面之间的夹角都是θ ,且α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c.若有命题甲:θ >
? ;命题乙:a,b,c 相交于一点.则( 3

) (C)甲是乙的充分必要条件 (D)(A)、 (B)、 (C)都不对

(A)甲是乙的充分条件但不必要 的和的取值范围是 .

(B)甲是乙的必要条件但不充分

②(2002 年第 13 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)从空间一点引三条不共面的射线,则以每条射线为棱的三个二面角 ③(2007 年第 18 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)正三棱锥的侧面所成的二面角(的平面角)α 的取值范围是 个二面角的大小关系是( (A)相等 ) (B)互补 (C)相等或互补 (D)不能确定的 . .

2.①(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那么这两

②(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)正四棱锥 S-ABCD 中,侧棱与底面所成的角为α ,侧面与底面所成的角为β , 侧面等腰三角形的底角为γ ,相邻两侧面所成的二面角为θ ,则α 、β 、γ 、θ 的大小关系是 的平面角的余弦值是________,其中λ 的取值范围是________. 3.①(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为 6 :2,则其侧面与底面 的夹角为 . ②(2007 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知△ABC 是正三角形,P 是 ? ABC 所在平面外的一点,且 PA=PB=PC,若 S△PAB:S△ABC=2:3 3 ,则二面角 P-AB-C 的大小为 的值等于 .
0

③(2000 年第 11 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正三棱锥的侧棱长与底面边长之比为λ ,则侧面与底面所成二面角

.

③(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)如果正六棱锥侧面的顶角等于侧棱和锥底平面所成的角,那么这个角 ④(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 A1C 与底面 ABCD 成 30 角,则截面 A1BCD1 与底面 ABCD 所成角的正切等于 . ⑤(1990年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)过边长为4的等边△ABC的三顶点分别作垂直于它所在平面的垂线AA1、 BB1、CC1.若AA1、BB1、CC1的长分别是7、4、1,且在△ABC 所在平面的同侧,则△ABC和A1B1C1所在平面所成的二面角大小为. ⑥(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1-B1 的大小为 为 . ②(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)正三棱锥相邻侧面所成二面角,等于侧面与底面所成二面角的两倍,则侧 棱与底面边长之比为 小是_____. ④(2007 年全国高中数学联赛试题)在正四棱锥 P-ABCD 中,∠APC=60 ,则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为 ⑤(1992年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1,若两面角A?BD1?C的大小是 AA1=_____. 5.①(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AA1 的中点,则二面角 B1-DE-A1 的平面 角的余弦是 . ②(2006 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)一个立方体的任意 4 个不在同一平面上的顶点 A、B、C、D 组成的二面角
0

.

⑦(2009 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)正四面体 ABCD 的外接球球心为 O,E 为 BC 中点,则二面角 A—BO—E 的大小 4.①(2010 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于________. .
0

③(2001 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知正四棱锥的底面与侧面的夹角为 45 ,则相邻两个侧面的所成角的大 .
2? ,则 3

10
A-BC-D 的余弦值中,小于
1 的值的个数是 2

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.
0 0

③(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)O 为空间一点,射线 OA、OB、OC 交于 O,?AOB=?BOC=60 ,?COA=90 , 则二面角 A-OB-C 的平面角的余弦函数值是 .
0

④(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)二面角α -BC-β 的大小为 135 ,且 A∈α ,D∈β ,AB⊥BC,BC⊥CD,且 AB=BC=1,CD= 2 则二面角 A-BD-C 的大小为 . 6.①(2005 年第 16 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)过四面体的一条底边的平面把正四面体的体积自上而下分成 m,n 两部分,则此平面与正四面体的底面夹角的余切值等于_________. ②(2002 年第 13 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在四面体 ABCD 中,面 BAC、CAD、DAB 都是以 A 为顶点的等腰直角 三角形,且腰长为 a.过 D 作截面 DEF 交面 ABC 于 EF,若 EF∥BC,且将四面体的体积二等分,则面 DEF 与面 BCD 的夹角等于. ③(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,且二面角 H-AB-C 的大小为 30 ,则 SA:AB=
0

.

4.点面距离 [例 4]:(2011 年全国高中数学联赛山西初赛试题)单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是棱 AA1,C1D1,D1A1 的中点,则点
B1 到 EFG 所在平面的距离为 .

[解析]: [类题]:
1.(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,高为 3 ,则 A 点到平面 A1C1B 的距离为 . .
0

2.(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 A1B1、B1C1 的中点,则 B1 点到平面 EFCA 的距离等于 的二面角,则点 B 到平面 ACD 的距离为 3.(2009 年全国高中数学联赛江西初赛试题)四面体 ABCD 中,CD⊥BC,AB⊥BC,CD=AC,AB=BC=1,平面 BCD 与平面 ABC 成 45 .

4.(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知四面体 ABCD 中,P,Q,R 分别是棱 BC,CD,AD 上的点,且 BP=2PC,CQ= 2QD,DR=RA,则 A,B 两点到过 P,Q,R 的平面的距离之比是 . 5.①(1990 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)三棱锥 P?ABC 的底是边长为 a 的正三角形,PA⊥面 PBC,则 P 到面 ABC 的 距离的最大值是_____. ②(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)α -l-β 是 60? 的二面角,二面角内一点 P 到 α ,β 的距离分别 是 1,2,则 P 到棱 l 的距离等于 .
2 2

③(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正四面体 ABCD 的棱长为 1,E 是△ABC 内一点,点 E 到边 AB,BC,CA 的距离之 和为 x,点 E 到平面 DAB,DBC,DCA 的距离之和为 y,则 x +y 等于 等于 . . . 6.①(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则 P 点到 BD 的距离 ②(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则 B1C 与平面 A1DC1 的距离为 这个四面体的高为 .

③(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在正四面体 ABCD 中,△ABC 和△ACD 的中心分别为 M 和 N,且 MN=1,

5.线线距离 [例 5]:(2001 年全国高中数学联赛试题)正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是 [解析]: [类题]:

.

1.(1989 年全国高考数学试题)已知圆柱的底面半径是 3,高是 4,A,B 两点分别在两底面的圆周上.且 AB=5,那么直线 AB 与 轴 OO1 之间的距离是 .

2.(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则对角线 A1C1 与 BD1 所在的直线的距 离是 .

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3.(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC 与 B1D 间的距离是 异面直线间的距离是 1,那么这个正方体棱长可能取的值的集合是 方体的体积是 与 MN 的距离是 . . .

11
.

4.(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在正方体的 12 条面对角线所在的直线中存在异面直线,如果其中两条 5.(1991 年第 2 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)正方体表面正方形的对角线所在直线中有两条直线的距离是 1,则此正 6.(2007 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,M、N 分别为 AD、BC 的中点,则异面直线 AB

6.体积问题 [例6]:(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)一个正三棱锥的三条侧棱长均为1,且两两垂直.将这个三棱锥绕着它
的高旋转60 ,则旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分的体积为
0

.

[解析]: [类题]:
1.①(1991年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在四棱锥P?ABCD中,已知底面ABCD为矩形,且面积为1平方米,侧面PAB、 PAD都与底面垂直,侧面PBC、PCD与底面分别成60 角与30 角,则该四锥棱的体积为_____立方米. ②(2006年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在直三棱柱中,已知底面积为s平方米,三个侧面面积分别为m平方米,n平 方米,p平方米,则它的体积为
0 0 0

立方米. .

2.(2001 年第 12 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一个四棱柱的一个对角面面积为 S,与该对角面相对的两侧棱间的距 离为 d,两对角面构成的二面角是 60 ,则四棱柱的体积 V=____ 且垂足分别为 A1,B1,C1,则三棱锥 P-A1B1C1 的体积为
0 0

3.(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)空间中一点 P 到三条两两垂直的射线 OA,OB,OC 的距离分别为 3 ,2, 5 , . . 4.(2006 年全国高中数学联赛山西初赛试题)有一个四棱锥,底面是一个等腰梯形,并且腰长和较短的底长都是 1,有一个 底角是 60 ,又侧棱与底面所成的角都是 45 ,则这个棱锥的体积是 =2,BB1=4,CC1=3,则该几何体的体积为_____. 5.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知 ABCD-A1B1C1D1 是一个棱长为 1 的正方体,O1 是底面 A1B1C1D1 的中心,M 是棱 BB1 上的点,且 S△DBM: S?O1B1M =2:3,则四面体 O1ADM 的体积为 旋转所得旋转体的体积为____________. ②(1997年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)有一个顶点向下且底面呈水平状的圆锥形容器,轴截面是边长为6的正三 角形,容器里装满了水,现有一正四棱锥,底面边长为a(a<6),高为h(h>6),竖直地浸在容器里,为了使容器溢出的水最多,a 的值应取为_____. . 5.(1997年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在几何体ABC?A1B1C1中,已知棱AA1、BB1、CC1都垂直底面ABC,且AB=BC=CA=AA1

6.①(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设平行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=2,BD=2 3 ,则平行四边形 ABCD 绕直线 AC

7.四面体体积 [例 7]:(1999 年全国高中数学联赛试题)已知三棱锥 S?ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂
心,二面角 H?AB?C 的平面角等于 30?,SA=2 3 .那么三棱锥 S?ABC 的体积为__________.

[解析]: [类题]:
1.①(1984 年全国高中数学联赛试题)若四面体的条棱长是 x,其余棱长都是 1,体积是 F(x),则函数 f(x)在其定义域上( ) (A)是增函数但无最大值 (B)是增函数且有最大值 (C)不是增函数且无最大值 (D)不是增函数但有最大值 ②(2000 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在四面体 ABCD 中,AD=DB=AC=CB=1,则它的体积的最大值是________. 2.①(2000 年第 11 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)某水准仪是封闭的正四面体,体内装有水,当正四面体的一个面放置 于水平地面时,体内水面高度为体高的
1 ,现将它倒置,此时水的高度是体高的 2

.

②(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在三棱锥 A-BCD 中,已知∠ACB=∠CBD,∠ACD=∠ADC=∠BCD=∠BDC=θ ,且

12
cosθ =
10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10

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.

3.①(2011 年全国高中数学联赛福建初赛试题)在四面体 D-ABC 中,已知 DA⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 2 的正三角形,则当 二面角 A-BD-C 的正切值为 2 时,四面体 D-ABC 的体积 V= 为定值 l,则此三棱锥的体积的最大值是 .
? ,则四面体 3

.

②(1993 年第 4 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知三棱锥 P–ABC 中,侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,又知六条棱长的和

4.①(2003 年全国高中数学联赛试题)在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD= 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 ABCD 的体积等于 .

②(1994年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在四面体ABCD中,棱AB、CD的长分别为a和b,这两棱中点的距离为d,则四 面体ABCD的体积的最大值是_____. 5.①(1985年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)三棱锥P?ABC顶角的三个面角均为60 ,三个侧面的面积分别为 1,则它的体积为_____. ②(2008 年全国高中数学联赛河北初赛试题)在三棱锥 S-ABC 中,SA=4,SB≥7,SC≥p,AB=5,BC≤6,AC≤8.则三棱锥 S-ABC 体积的最大值为 .
1 AC 0 ,且满足∠ACB=45 ,AD+BC+ =3,则 CD= 6 2
0

3 、2和 2

6.①(2005 年全国高中数学联赛试题)如图,四面体 DABC 的体积为

.

②(2009 年全国高中数学联赛福建初赛试题)一个直径 AB=2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点 S, 使 AS=AB,C 为半圆上一个动点,M、 N 分别为 A 在 SB、 SC 上的射影.当三棱锥 S-AMN 的体积最大时,SC 与平面 ABC 所成角的 正弦值是 体积的最大值为 . . ③(2007 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为 8,则这个正三棱锥的

Ⅳ.特例问题
1.折叠问题 [例 1]:(1998 年全国高中数学联赛试题)△ABC 中,∠C=900,∠B=300,AC=2,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两
点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥 A?BCM 的体积等于________.

[解析]: [类题]:
1.①(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60 的二面角,则 BC 中点与点 A 的距离 为 . ②(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在正方形 ABCD 中,M、N 分别是 AD、BC 的中点,沿 MN 把这个正方形 纸片折成以 MN 为棱的二面角 A-MN-C,使折后的锐角?BMC 的正弦值为 0.6,这时二面角 A-MN-C 的平面角是 分别沿AE、EF、FA向上翻折,使B、C、D三点合为一点P.若正方形的边长为a,则三棱锥P?AEF的体积是_____. ②(1995 年第 6 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)正方形 ABCD 的边长为 4,E 是 AB 的中点,F 是 BC 边上的一动点,将△ ADE 及△DCF 分别沿 DE、DF 折起,使 A、C 重合于 P,则 P 点到平面 DEF 的距离的最大值为 以 EF 为折痕把四边形 EFCD 折起,当∠CEB=90? 时,二面角 C-EF-B 的平面角的余弦值等于 翻折,使 AB⊥DC,则异面直线 AB、CD 的距离为_____. 4.①(1999 年第 10 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)一个锐角为 30?,斜边长为 2 的直角三角形纸片,以斜边上的中线为 折痕折成直二面角,折后斜边两个端点的距离等于 . . . 3.①(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在矩形 ABCD 中,AB=a,AD=2b,a<b,E、F 分别是 AD、BC 的中点, ②(1988 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)设长方形 ABCD 的长 DA 和宽 AB 分别为 a 和 b(a>b),将△ABD 沿对角线 BD . 2.①(1988年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)设点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点,将△ABE、△BCF、△FDA
o

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②(2012 年全国高中数学联赛河南初赛试题)在△ABC 中,∠C= 之间的距离为 2 2 ,则点 M 到面 ABC 的距离为________.

13
? ? ,∠B= ,AC=2,M 为 AB 中点,将△ACM 沿 CM 折起,使 A,B 2 6

③(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)等腰直角三角形 ABC 中,AB=BC=1,M 为 AC 中点,沿 BM 把它折为二面 角,折后 A 与 C 的距离为 1,则二面角 C-BM-A 的大小为 . 5.①(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知Rt△ABC斜边AB上的高为CD,沿CD将△ACD折起,折成一个直二面角 A-CD-B,此时,∠ACB的余弦值为
1 ,则∠ACD的值为 4

.

②(1997年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知Rt△ABC的两直角边AC=2,CB=3,CP为∠ACB的平分线(P在斜边AB上), 沿CP将直角三角形折成二面角A?CP?B,当AB=2 2 时,二面角A?CP?B的大小是_____. 6.①(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将平面直角坐标系以 x 轴为棱折成直二面角,则该坐标系中的直线 x–y=1 折成的角的大小等于 . ②(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)AA’DB 是等腰梯形,AB=A’D,下底 BD=2,上底 AA’=4,S、C 分别是 AA’、BD 的中点,SC=1,沿 SB、SC、SD 折叠,使这梯形成为一个四棱锥 S-ABCD 的各侧面(A、A’重合),则此棱锥底面上的 对角线 AC 的长等于 .

2.展开问题 [例 2]:(2009 年全国高中数学联赛四川初赛试题)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱 AB=6,BC=BB1=
动点,则 AP+PB1 的最小值是 .

2 ,点 P 是线段 BC1 上的一

[解析]: [类题]:
1.(2009 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)正三棱柱的侧面展开图是边长为 2 和 4 的矩形,则它的体积是 截面 A1BD 内一动点,则 AF+FE 的最小值等于 面 ABCD 上一动点,则 C1P+PQ 的最小值为 . . . 2.(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 上一点,且 A1E=1,F 为 3.①(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是面对角线 AB1 上一动点,Q 是底 ②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在长方体 ABCE-A1B1C1D1 中,AB= 2 ,BC=AA1=1,P 是对角线 AC1 上的一 个动点,Q 是底面 ABCD 上的一个动点,则 B1P+PQ 的最小值为 . 4.①(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)长、宽、高分别为 3cm、4cm、12cm 的长方体木块 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3cm,BC=4cm,CC1=12cm,若一只小虫要由 A 点沿木块表面爬到 C1 点,最短路径的长度是 C1 的最短距离为 6,则长方体的体积最大值为______________. 5.(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)如图,圆台的上底半径为 5cm, 下底半径为 10cm,母线 AB 长 20cm(其中 B 点在下底圆周上),从母线 AB 的中点 M 拉一条绳子,围绕圆台的侧面转到 B 点,当所用最短的时候,绳子上的点和圆台的 上底圆周上的点之间的最短距离是 . . .
图2 A M B

.

②(2012 年全国高中数学联赛河南初赛试题)一只蚂蚁由长方体 ABCD-A1B1C1D1 顶点 A 出发,沿着长方体的表面达到顶点

6.①(2011 年全国高中数学联赛江西初赛试题)正三棱锥 D-ABC 的底面边长为 4,侧棱长为 8,过点 A 作与侧棱 DB,DC 都相 交的截面△AEF,那么,△AEF 周长的最小值是 ②(2002 年第 13 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)四面体 ABCD 的各面都是锐角三角形,且 AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c, 平面 π 分别截棱 AB、BC、CD、DA 于点 P、Q、R、S,则四边形 PQRS 的周长的最小值是
0

③(2007年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知α ?l?β 是大小为45 的二面角,C为二面角内一定点,且到半平面α 和β 的距离分别为 2 和6,A,B分别是半平面α ,β 内的动点,则Δ ABC周长的最小值为___.

3.截面问题 [例 3]:(2005 年全国高中数学联赛试题)如图,ABCD- A??B?C?D? 为正方体.任作平面

α 与对角线 A C ? 垂直,使得α 与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边

14
形的面积为 S,周长为 l.则( (A)S 为定值,l 不为定值 (C)S 与 l 均为定值 ) (B)S 不为定值,l 为定值 (D)S 与 l 均不为定值

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[类题]:
1.①(2003 年第 14 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面 图形”.棱长为 1 的正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,E 为 AB 中点,F 为 CC1 中点,过 D1、E、F 三点的截面图形的周长等于 截面的面积为 . 2.①(2005 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)正方体的截平面不可能 是 ... ①钝角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形. ②(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、BC 的中点 E、F 作一个截面,使截 面与底面 ABCD 所成的角为 45 ,则此截面的形状是( (A)三角形或五边形 (B)三角形或六边形
0

.

②(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则到直线 A1D1 及 AB1 的距离相等的 .

) (C)六边形 (D)三角形或四边形 .

③(1999 年全国高中数学联赛河北初赛试题)一个正方体内接于一个圆锥(其中一个底面在圆锥底面上,相对的面的四 个顶点均在圆锥的侧面上),经过圆锥的两条母线作截面,则下列图形中不可能出现的图形个数是

3.①(1983年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)点P在单位正方体的ABCD?A'B'C'D'的棱CD上滑动,过P、A、C'做截面,所 得截面的面积的最小值是_____. ②(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 的截面面积为 S,Smax 和 Smin 分别为 S 的 最大值和最小值,则
S max 的值为 S min

.

③(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)棱长为 1 的正方体和它的外接球与一个平面相交得到的截面是一 个圆及它的内接正三角形,那么球心到该截面的距离等于 截面,则该截面与底面夹角的正弦值等于_____. ②(1991年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)用平面去截一个正四棱柱,使截面为菱形,且有一个内角为30 ,则截面与 底面所成的二面角大小为_____. ③(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正三棱柱 ABC-A1B1C1 底面的边长及高都是 2cm,过 AB 作一个截面,截 0 面与底面 ABC 成 60 角,则截面的面积为 . 5.①(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)过正三棱锥的一条侧棱及底面中心作一个截面,若截面是等腰三角形, 侧面与底面所成角为θ ,则 cosθ = 则此棱锥侧面与底面所成的二面角的大小是 面四边形是平行四边形,则这样的平面α ( (A)不存在 (B)只有 1 个 ) (C)恰有 4 个 . (D)有无数多个 . . ②(2005 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别是 SB、SC 的中点若截面 AMN⊥侧面 SBC, 6.①(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面α 去截此四棱锥,使得截
0

.

4.①(1987年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四棱锥底面边长为a,侧棱长为l(l>a),过底面一顶点作垂直于对棱的

②(2000 年第 11 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三棱台 ABC–DEF 上、下底面边长的比是 1:2(上底为 ABC),G 是侧 棱 CF 的中点,则棱台被截面 AGE 分成的上、下两部分体积的比是

4.粘接切割

[例 4]:(1996 年全国高中数学联赛试题)已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都 Y.P.M 数学竞赛讲座 15
相等的六面体,并且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________.

[解析]: [类题]:
1.(1995年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在棱长为a的正方体ABCD ?A1B1C1D1的相邻两个面上有两个正四棱锥V1? A1B1C1D1和V2?BB1C1C(V1、 V2都在正方体的外部),且这两个正四棱锥的侧面都是正三角形,则∠V1B1V2的大小是_____(用反三角 函数表示). 2.(2009 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)现有一个正四面体与一个正四棱锥,它们的所有棱长都相等,将它们重叠一 个侧面后,所得的几何体是( (A)四面体 新多面体的面数是 可达到 . . ) (B)五面体 (C)六面体 (D)七面体

3.(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将棱长为 a 的正四面体和棱长为 a 的正八面体的一个面重合,得到的 4.(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将一个三棱锥和一个三棱柱接成一个多面体,这个多面体的面数最少 5.(2003 年第 14 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三个 12cm×12cm 的 正方形的纸都被连接两邻边中点的直线分成两片,把这 6 片粘在一个正六 边形的外面,然后折成一个多面体,则这个多面体的体积等于____ cm .
3

图1

6.(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)把一个长方体切割成 k 个四面体,则 k 的最小值是 解:据等价性,只须考虑单位正方体的切割情况,先说明 4 个不够,若为 4 个, 因四面体的面皆为三角形,且互不平行,则正方体的上底至少要切割成两个 三角形,下底也至少要切割成两个三角形,每个三角形的面积≤
1 ,且这四个 2

.

D1 A1 D

C1

三角形要属于四个不同的四面体,以这种三角形为底的四面体,其高≤1,故四 个不同的四面体的体积之和≤4(
1 1 × ×1)<1,不合;所以 k≥5,另一方面,可 3 2

B1 C

将单位正方体切割成 5 个四面体;例如从正方体 ABCD-A1B1C1D1 中间挖出一个 四面体 A1BC1D,剩下四个角上的四面体,合计 5 个四面体.

A

B

5.个数最值 [例 5]:(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点,在这样的
一个四面体中,直角三角形最多有 个.

[解析]: [类题]:
1.①(2008 年第 19 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一个三棱锥的四个面所在的平面把空间分成的部分数为 ②(1994 年第 5 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)一个正三棱柱的各个面所在的平面将空间分为 k 个部分 k 则 k= . .

2.①(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知棱长为 1 的正方体,以它的 8 个顶点为顶点组成三角形,其中面 积为
2 的有 2

个.

②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 BD1 垂直的面对角线的条数是 . ③ (1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题 ) 与正方体各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数 是 . 3.①(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)四个面都是正三角形的几何体叫做正四面体.用一个平面去切正四 面体,使它成为形状大小都相同的两个几何体,这样的平面的个数为 . ②(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体.正四面体的四

个正三角形面的 12 条中线能形成数值不同的 k 个锐角,则 k 的数值是

.

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面与底面 BCD 所成角为 75 ,这样的截面共可作出 的角都等于 80 的平面,这样的平面有且仅有
0 0

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个.
0

③(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)过正四面体 ABCD 的顶点 A 作一个形状为等腰三角形的截面,且使截 4.①(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平面α 、β 所成的锐角为 40 ,过空间中一个定点 P 作与α 、β 所成 个. ②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在正五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1 的侧棱 CC1 上有一点 P,若截面 PAE1 与侧 面 AEE1A1 互相垂直,则这样的 P 点( ) (A)一般有两个,特殊情况下仅有一个 (B)有且仅有一个 (C)有两个 (D)有时不存在 5.①(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)5 个顶点不共面的五边形叫做空间五边形,空间五边形的 5 条边所在 直线中,互相垂直的直线对至多有 对 对. ②(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三棱锥 6 条棱所在直线中,互相垂直的成对直线至多有 目的,请你想法尽可能少锯几次,那么至少需要锯 次.

6.(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将棱长为 5 的正方体锯成棱长为 1 的 125 个小正方体,锯 12 次可达到

Ⅴ.解题方法
1.综合分析法 [例1]:(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设平面α 外一定点P到α 的距离为h,α 上的三个动点A、B、C到P的距离
分别为a、b、c,并且∠PBA=90 .则△ABC面积的最大值为
0

(用a、b、c、h表示).

[解析]: [类题]:
1.①(2003 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知正三棱柱 ABC?A1B1C1 中,E 是 BC 的中点,D 是 AA1 上的一个动点,且
AD =m.若 AE∥平面 DB1C,则 m 的值等于 DA 1

.
0

②(2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题)边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成 60 角,M、N 分别是线 段 AC 和 BF 上的点,且 AM=FN,则线段 MN 的长的取值范围是 且AM=FN.若AB=1,则MN的取值范围是 . .
0

③(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成120 ,M、 N分别是对角线AC和BF上的点, 2.①(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知正四棱锥 V-ABCD 的棱长都等于 a,侧棱 VB、 VD 的中点分别为 H 和 K, 若过 A、H、K 三点的平面交侧棱 VC 于 L,则四边形 AHLK 的面积为__________. ②(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 成 60 的二面角,顶点 A 在面 BCD 上的射影 H 是△BCD 的垂心,G 是△ABC 的重心,若 AH=4,AB=AC,则 GH= AB 上的动点,则△PCK 面积的最小值为 则四边形 EBFD1 的面积最小值为 则此直角三角形的斜边长是 . .
0 0

.

3.①(1999 年全国高中数学联赛河北初赛试题)设三棱锥 P—ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=AB= 3 ,AC= 2 ,∠C 为锐角,K 为棱 . ②(2009 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 AA1,CC1 上的点,且 AE=C1F, 4.①(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上, ②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三棱锥 P-ABC 中,?APB=?BPC=?CPA=90 ,D 为底面 ABC 内的一 点,?APD=45?,?BPD=60?,则?CPD 的余弦值为 . 5.①(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)有两块直角三角板,一块三角板的两条直角边的长分别是 1, 3 ;另 一块三角板的两条直角边的长分别是 3 , 3 .这两块三角板有两对顶点重合,且成 90?的二面角,则不重合的两个顶点的距 离等于 .
0

②(2003年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在平面α 上有一个△ABC,∠ABC=60 ,AC=3.在平面α 的两侧分别有点S、 T,满足SA=SB=SC=2,TA=TB=TC=3,则ST的长为_____. ③(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 A 关于直线 BD1、A1C 的对称 点分别为 P、Q,则 P、Q 间距离等于 .

6.①(2002 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四棱台的上底、 下底及侧面(四个等腰梯形)的面积之比为 2:5:8,则侧

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面与底面所成角的大小为_____.

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②(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=6,BC=3,在线段 BD、 A1C1 上各有一动点 P、 Q,在 PQ 上有一点 M,且 PM=2MQ,则 M 点轨迹图形的面积为 .

2.类比推理法 [例 2]:(1995 年全国高中数学联赛试题)设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与
PA,PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式
1 1 1 ( ? ? PQ PR PS

)

(A)有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数

[解析]:类比到等腰△ABC 中,过底边 BC 中点的直线分别与 AB,AC 交于点 M,N,则 [类题]:

1 1 ? =常数. AM AN

1.①(2003 年全国 I 高考题)在平面几何中,有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB,AC 互相垂直,则 AB2+AC2=BC2” 拓展到空 间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥 A-BCD 的 三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则 ②(2004 广东高考试题)由图(1)有面积关系: B
B? B?
S ?PA?B? S ?PAB ? P A? ? P B ? PA ? PB

.” ,则由图(2)有体积关系: V P? A?B?C? =
V P ? ABC

.

B
C?

C A

P

A?

A

P

A?

③(2002 年上海春季招生试题)如下图,若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点 M1、M2 与点 N1、N2,则三角形 面积之比
S ?OM1N1 S ?OM 2 N2 ? OM1 ON1 ? .若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 OP、OQ 和 OR 上,分别有点 P1、P2,点 Q1、 OM2 ON2

Q2 和点 R1、R2,则类似的结论为 M1 M2 O N2 N1 (A)V1<V2<V3 N

.

M P1 P2 Q2 P (C)V3<V1<V2 Q R1 Q1

O

R2 R )

2.(1993 年第 4 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)已知正方体、 等边圆柱、 球的表面积都是 S,体积依次是 V1,V2,V3,则( (B)V3<V2<V1 (D)V2<V1<V3

3.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设一个四面体的体积为V1,以它的各棱的中点为顶点构成一个凸多面体,其体 积为V2.则
V2 = V1

.

4.(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设有一个体积为 54 的正四面体,若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体, 则所作四面体的体积为 . . 5.(2008 年第 19 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)过四面体一个顶点的三条棱的中点可以确定一个平面,这样的平面有 4 个,用这样的四个平面截去 4 个小棱锥后,剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比是 1cm、2cm和3cm,则它到第四个面的距离为_____cm. 向量可以用来深入精确的研究形的问题,尤其是立体几何问题.对此必须建立空间向量的基本理论.学习、理解、认识 空间向量最有效的途径是与平面向量进行类比.

6.(1994年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在一个棱长为5 6 cm的正四面体内有一点P,它在三个面的距离分别是

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平面向量 向量的坐标 a=(x,y); 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A B =(x2-x1,y2-y1). 向量的运算:a=(x1,y1),b=(x2,y2) 1.加法运算:a+b=(x1+x2,y1+y2); 2.减法运算:a-b=(x1-x2,y1-y2); 3.数乘运算:λa=(λx1,λy1)(λ∈R) 4.数积运算:a.b=x1x2+y1y2. 基本结论:a=(x1,y1),b=(x2,y2) 1.a∥b ? x1:x2=y1:y2; 2.a⊥b ? x1x2+y1y2=0; 3.|a|= x12 ? y12 ; 4.cos<a,b>=
x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ?
2 x2

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空间向量 向量的坐标 a=(x,y,z); 若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 A B =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 向量的运算:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 1.加法运算:a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2); 2.减法运算:a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2); 3.数乘运算:λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R) 4.数积运算:a.b=x1x2+y1y2+z1z2. 基本结论:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 1.a∥b ? x1:x2=y1:y2=z1:z2; 2.a⊥b ? x1x2+y1y2+z1z2=0 3.|a|= x12 ? y12 ? z12 ; 4.cos<a,b>=
x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 x12
2 2 2 ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2

?

2 y2

基本定理: 1.基底定理:如果 a、b 是平面内二个不共线向量,x 是平面内的任意向量,那么存在唯一的一组实数 (x,y),使得 x=xa+yb;

基本定理: 基底定理:如果 a、b、c 是空间内三个不共面的向量,x 是 空间内的任意向量,那么存在唯一的一组实数(x,y,z),使 得 x=xa+yb+zc;

2.三点共线:如果点 O 不在直线 AB 上,则三点 A、B、 2.四点共面:如果点 O 不在平面 AB 上,则四点 A、B、C、P P 共线 ? O P =λ OA +μ O B ,其中,λ+μ=1. 共面 ? O P =λ OA +μ O B +η O C ,其中,λ+μ+η=1.

1.直线的方向向量:直线 l 上任意两点 A、B,则称 AB 为直线 l 的方向向量. 2.平面的法向量:如果直线 l 垂直于平面α ,那么直线 l 的方向向量称为平面α 的法向量. 3.平行与垂直:如果直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b,平面α 、β 的法向量分别为 m、n,则:①l1∥l2 ? a∥b;②l1⊥ l2 ? a.b=0;③l1∥α ? a.m=0,且直线 l1 不在平面α 内;④l1⊥α ? a∥m;⑤α ∥β ? m∥n;⑥α ⊥β ? m.n=0. 4.夹角问题:如果直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b,平面α 、β 的法向量分别为 m、n,则:①若直线 l1 与 l2 的夹角为 θ ,则 cosθ =| θ =|
m?n | m |?| n | a ?b | a |?|b |

|;②若直线 l1 与平面α 的夹角为θ ,则 sinθ =|

a?m | a |?| m |

|;③若平面α 与平面β 的夹角为θ ,则 cos

|.

5.距离问题:如果直线 l 的方向向量为 a,a 同向的单位向量为 a0,平面α 的法向量分别为 m,m 同向的单位向量为 m0. ①点到直线的距离:如果点 A 在直线 l 上,则点 P 到直线 l 的距离 d= | PA |2 ? | PA ? a0 |2 ;②点到平面的距离:如果点 A 在平 面α 上,则点 P 到平面α 的距离 d=| P A ? m0|;③异面直线的距离:如果向量 m 与两异面直线 l1 与 l2 的方向向量分别垂直,且 P∈l1,Q∈l2,则直线 l1 与 l2 的距离 d=
| PQ? m | |m|

.

6.特殊平面的法向量:①如果平面α ∥平面 xOy,则平面的法向量 m=(0,0,1);②如果平面α 在 x、y、z 轴上的截距分 别为 a、b、c(abc≠0),则平面α 的法向量 m=( , , );③如果平面α ∥x 轴,且在 y、z 轴上的截距分别为 b、c(bc≠0), 则平面的法向量为 m=(0 , , );④如果平面α 经过 x 轴和点 P(a,b,c),则平面α 的法向量 m=(0,c,-b);⑤如果平面α 经过
1 1 b c

1 1 1 a b c

点 O(0,0,0),A(a,0,c),B(0,b,c),则平面α 的法向量 m=( , ,? );⑥如果平面α 经过点 A(a,0,c+h),B(0,b,c+h),C(0,0,

1 1 a b

1 c

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h),则平面α 的法向量 m=( , , ).
1 1 1 a b c

19

空间直角坐标系的建立可以给我们提供一种解决立体几何问题的方法,即解析法.学习解析法要建立在对空间直角坐 标系的认识的基础上,理解、认识空间直角坐标系最有效的途径是与平面直角坐标系进行类比. 项目 坐标系 平面解析几何 有相同的单位长度和公共原点,且相互垂直 的两条数轴构成平面直角坐标系. 基本图 y P(x,y) O x x 点坐标 两点距 离公式 P(x,y) 如果 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 |PQ|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 如果 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),且 AP ? ? PB , 则 x=
x1 ? ?x2 y ? ?y 2 ,y= 1 . 1? ? 1? ? x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2

空间解析几何 有相同的单位长度和公共原点,且两两相互垂直的 三条数轴构成空间直角坐标系. z P(x,y,z) O y

P(x,y,z) 如果 P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2),则 |PQ|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( z1 ? z2 ) 2 如果 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),P(x,y,z)且 AP ? ? PB , 则 x=
x1 ? ?x2 y ? ?y 2 z ? ?z2 ,y= 1 ,z= 1 . 1? ? 1? ? 1? ? x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ). 2 2 2

定比分 点公式

特别地 AB 的中点 P( 基本图 的方程

特别地 AB 的中点 P(

1.直线的截距式方程:如果直线 l 在 x、y 轴 上的截距分别为 a、b(ab≠0),则直线 l 的方 程为:
x y ? =1; a b

1.平面的截距式方程:如果平面α在 x、y、z 轴上的 截距分别为 a、b、c(abc≠0)则平面的方程 为:
x y z ? + =1; a b c

2.直线的一般式方程:ax+by+c=0. 3.圆的方程:(x-a) +(y-b) =r (r>0),其中,圆 心 M(a,b),r 为半径. 法向量 平行 判定 垂直 判定 夹角 公式 直线 ax+by+c=0 的法向量 m=(a,b). 如果直线 l1:a1x+b1y+c1=0 与 l2:a2x+b2y+ c2=0,则 l1∥l2 ? a1:a2=b1:b2≠c1:c2. 如果直线 l1:a1x+b1y+c1=0 与 l2:a2x+b2y+ c2=0,则 l1⊥l2 ? a1a2+b1b2=0. 如果直线 l1:a1x+b1y+c1=0 与 l2:a2x+b2y+ c2=0,则 l1 与 l2 的夹角θ满足: cosθ= 点线 (面)距 离
| a1a2 ? b1b2 |
2 2 a12 ? b12 ? a2 ? b2
2 2 2

2.平面的一般式方程:ax+by+cz+f=0. 3.球的方程:(x-a) +(y-b) +(z-c) =R (R>0),其中, 球心 M(a,b,c),R 半径. 平面 ax+by+cz+f=0 的法向量 m=(a,b,c). 如果平面α:a1x+b1y+c1z+f1=0=0 与β:a2x+ b2y+c2z+f2=0,则α∥β ? a1:a2=b1:b2=c1:c2≠f1:f2. 如果平面α:a1x+b1y+c1z+f1=0=0 与β:a2x+ b2y+c2z+f2=0,则α⊥β ? a1a2+b1b2+c1c2=0. 如果平面α:a1x+b1y+c1z+f1=0=0 与β:a2x+ b2y+c2z+f2=0,则α与β的夹角θ满足: cosθ=
| a1a2 ? b1b2 ? c1c2 |
2 2 2 a12 ? b12 ? c12 ? a2 ? b2 ? c2
2 2 2 2

.

.

点 P(x0,y0)到直线 ax+by+c=0 的距离 d=
| ax0 ? by0 ? c | a 2 ? b2

点 P(x0,y0,z0)到平面 ax+by+cz+f=0 的距离 d=
| ax0 ? by0 ? cz0 ? f | a 2 ? b2 ? c2

.

.

特别地,两平行直线的距离为什么?

两平行平面的距离为什么?

3.自由向量法

[例 3]:(2005 年全国高中数学联赛试题)空间四点 A、 B、 C、 D 满足|AB|=3,|BC|=7,|CD|=11,|DA|=9,则 AC ? BD 的取值(
(A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个

)

20
[解析]: [类题]:

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1.(2008 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知正三棱锥 P-ABC 的底面正三角形的边长为 1,其外接球的球心 O 满足 OA +
OB ? OC =0,则这个正三棱锥的体积为__________.

2.①(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)空间四边形 ABCD 中,AB=AD=2,BC=CD=3,则 BD 与 AC 所成的角的正弦 值为 _____度. 3.①(1995 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体 ABCD 的棱长是 16,E 是棱 AB 的中点,F 在棱 CD 上,若 CF=5,则 线段 EF 的长等于_____. ②(2005年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体ABCD的棱长为6cm,在棱AB、 CD上各有一点E、 F,若AE=1cm,CF=2cm, 则线段EF的长为_____cm. ③(2012 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)在正四面体 ABCD 中,AO⊥平面 BCD,垂足为 O.设 M 是线段 AO 上一点,且满 足∠BMC=
? AM ,则 = 2 MO

.

②(1986 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)空间四边形的两组对边的平方和相等,那么它的两条对角线所成的角是

.

4.①(2010 年全国高中数学联赛试题)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1 的中点,二面角 B-A1P-B1=α ,则 sinα = 它的侧棱长为 . .
0

②(2008 年全国高中数学联赛福建初赛试题)己知一个正三棱柱的底面边长为 1,且两个侧面的异面对角线互相垂直.则 5.(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,顶点 A 出发的三条棱 AA1、AB、AD 的长度分别为 2、3、4 且两两夹角都为 60 ,那么这个平行六面体的四条对角线 AC1、BD1、DB1、CA1 的长度(按顺序)分别为________. 6.(1992年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中,已知对角线A1C=4,B1D=2.若P是空间一点使 PA1=3,PC=5,则PB1 +PD =_____.
2 2

4.解析向量法 [例 4]:(1998 年全国高中数学联赛试题)设 E,F,G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 C?FG?E 的大小
是 .

[解析]: [类题]:
1.①(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知正四面体 ABCD 中,AE= 为 . ②(2001 年第 12 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正四面体的侧面三角形的高线中,其“垂足”不在同一侧面上的任 意两条所成角的余弦值是
0

1 1 AB,CF= CD,则直线 DE 与 BF 所成的角 4 4

.

2.①(1999 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体 ABCD 的棱长为 1,点 G 是底面△ABC 的重心,点 M 在线段 DG 上, 且使得∠AMB=90 ,则 DM 的长为_____. ②(2006 年全国高中数学联赛试题)在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,∠BAC=
? ,AB=AC=AA1=1.已知 G 与 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中 2

点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点).若 GD⊥EF,则线段 DF 的长度的取值范围为 3.(2004 年全国高中数学联赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1-A1 的度数是____________.

.

4.(2010 年全国高中数学联赛福建初赛试题)在棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,△PAB 为等边三角形,O 为 AB 边中点, 且 PO⊥面 ABCD,则二面角 P-AC-D 的余弦值为_________.

5.(2011 年全国高中数学联赛试题 B)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 6,M、N 分别是 BB1、B1C1 上的点,MB1=NB1=2,S、P 分别是线段 AD、MN 的中点,则异面直线 SP 与 AC1 的距离为 .

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6.(2009 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)如图,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体,P-A1B1C1D1 是正四棱锥,且 P 到平面 ABC 的距离为 面直线 A1P 与 BC1 的距离是 .
3 AB,则异 2
A1 D C A B

21
P
D1 C1

B1

5.解析分析法 [例 5]:(2011 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在长方体 ABCD-EFGH 中,设 P 是矩形 EFGH 的中心,线段 AP 交平面 BDE
于点 Q,AB=3,AD=2,AE=1,则 PQ= .

[解析]: [类题]:
1.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、 F分别是AB、 AA1的中点.则平面CEB1与平面D1FB1 所成二面角的平面角的正弦值为 BC 的中点,那么四面体 B1-EFD 的体积是 和 CC1 的中点.则四面体 O-MNB1 的体积为 . . . .
? ,并且 PA=PB=3,PC=4,又 M 2

2.(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=AD=1,点 E、F、G 分别是棱 AA1、C1D1 与 3.(2009 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 A1D1 4.(2008 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点, 动点 P 在圆锥底面内(包括圆周),若 AM⊥MP,则 P 点形成的轨迹的长度为

5.(1996 年第 7 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)在三棱锥 P–ABC 中,∠APC=∠CPB=∠BPA= 是底面 ABC 内一点,则 M 到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 .

6.(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知单位正方体 ABCD—EFGH 棱 AD 与直线 BC 上分别有动点 Q、 P.若△PQG 与 △BDE 相截得到的线段 MN 长度为 y,设 AQ=x(0≤x≤1),则 y 的最小值写成关于 x 的函数关系式是 .

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1

竞赛中的立体几何问题
高中联赛中的立体几何问题主要以客观题的形式出现,并重点考察度量及球的问题.

Ⅰ.体的认识
1.正方体 [例 1]:(2008 年全国高中数学联赛试题)若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564cm2,则这三个正方
体的体积之和为( (A)764cm 或 586cm
3 3

) (B)764cm
3

(C)586cm 或 564cm

3

3

(D)586cm

3

[解析]:设这三个正方体的棱长分别为 a,b,c,则有 6(a2+b2+c2)=564 ? a2+b2+c2=94.不妨设 1≤a≤b≤c<10,从而 3c2≥
a +b +c =94 ? c >31,故 6≤c<10,c 只能取 9,8,7,6. 若 c=9,则 a +b =13,得一组解(a,b,c)=(2,3,9);若 c=8,则 a +b =30,此时无解;若 c=7,则 a +b =45,得一组解(a,b,c)= (3,6,7);若 c=6,则 a +b =58,此时无解;体积为 V=2 +3 +9 =764cm 或 3 +6 +7 =586cm .
2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

[类题]:
1.①(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E、F分别在AB1、BC1上(不在线段的端点上),且AE=BF,那么,下面4个结论: ①AA1⊥EF;②A1C1∥EF;③EF∥平面A1B1C1D1;④EF与A1C1异面. 正确的是( (A)②④ ) (B)①④ (C)②③ (D)①③ A1 A E D1 B1 D B F C1 C

②(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,给出下列四个命题:①点 P 在直线 BC1 上运动 时,三棱锥 A-D1PC 的体积不变;②点 P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角大小不变;③点 P 在直线 BC1 上运动 时,二面角 P-AD1-C 的大小不变;④点 M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则点 M 的轨迹是过 D1 点的直线.其中正 确的编号是( (A)①② B-AD1-C,正确;④错误. 2.(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平行光线照射到一个棱长为 1 的正方体上,在正方体后面的平面上留 下的影子的面积为 S,则 S 的最大值为 . ) (B)②③ (C)①③ (D)①③④

解:①BC1∥AD1 ? BC1∥平面 ACD1 ? 三棱锥 A-D1PC 的体积不变,正确;②当点 P 在点 B 处时,错误;③二面角 P-AD1-C=二面角

解:当光线与面 A1BC1 垂直时,S 的最大=△A1BC1 面积的 2 倍= 3 . 3.(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体,则该正方体的棱 长最大等于 .

解:设正方体的棱长为 a,因为正方体的对角线长不大于球的直径,所以, 3 a≤20,即 amax=11. 4.(2008 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行,每 走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁的爬行路线是 AA1→A1D1→?,黑蚂蚁的爬行路线是 AB→BB1→?,它们都依照如下规 则:所爬行的第 n+2 段与第 n 段所在直线必须是异面直线,设黑白两个蚂蚁都走完 2008 段后各停止在正方体的某个顶点处, 这时黑白两个蚂蚁的距离是 . 解:白蚂蚁的爬行路线是 AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→?;走完 6 段回到 A ? 走完 2008 段后,在 C 处;黑蚂蚁的爬行路线 是 AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA→?,走完 6 段回到 A ? 走完 2008 段后,在 D1 处;距离是 2 . 5.(1992 年全国高中数学联赛试题)从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的直线都 是异面直线,则 k 的最大值是_____.

解:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,取 AB1,BC1,CD,A1D1.若有 5 条线段所在的直线都是异面直线,则其端点相异 ? 正方体至少有 10 个顶点. 6.(2006 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体,则上底面 ABCD 的内切圆上的点 P 与

2
过顶点 A,B,C1,D1 的圆上的点 Q 之间的最小距离是 解:过顶点 A,B,C1,D1 的圆半径 R= .

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3 3 2 3 2 .设正方体的中心为 O,OQ= ,OQ= . ? PQ≥OQ-OP= 2 2 2 2 2

2.长方体 [例 2]:(2001 年全国高中数学联赛试题)命题 1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;命题 2:长方体中,必存在到各
棱距离相等的点;命题 3:长方体中,必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有( (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 )

[解析]: [类题]:
1.(2009 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)有一个长方体的箱子,它的十二条棱长之和是 140,并且从箱子的一角到最远 的一角的距离是 21,那么这个箱子的总表面积是
2 2 2

.
2 2 2 2 0 0

解:4(a+b+c)=140 ? a+b+c=35,a +b +c =441 ? 总表面积=2(ab+bc+ca)=(a+b+c) -(a +b +c )=984. 2.①(2007 年全国高中数学联赛四川初赛试题)在长方体 ABCD-EFGH 中,∠BEF=60 ,∠DEH=45 ,则 sin∠BED 的值为 解:设 AB=x,AD=y,AE=z,∠BEF=60 ? z= 3 x;∠DEH=45 ? ②(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)长方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 与面 AB1 成 25 角,BD1 与面 A1C1 成 45 角,则 BD1 与这个长方体各棱所成角中最大的角等于
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0

.

. .

3.①(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围为 解:a +c =16,b +c =9 ? AC1 =a +b +c =25-c ? AC1<5;又因 AC1>AB1=4 ? AC1 的取值范围为(4,5).

②(2009 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,且 a+b-c=1,已知长方体的对角线长 为 1,且 a≠b,则 c 的取值范围是
2 2 2 2 2

.
2 2 2 2 2 2

解:a +b +c =1,a+b-c=1 ? a+b=c+1,a +b =1-c (c<1),2(a +b )>(a+b) ? 2(1-c )>(c+1) ? c< . 4.①(1992 年第 3 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)长方体的棱长的和是 l,则该长方体的体积的最大值是 解:a+b+c=1,V=abc. ②(2010 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)一个长方体的体对角线长为 10,这条对角线在长方体一个表面上投影的长 为 8,则这个长方体体积的最大值为 解:a +b =64,a +b +c =100 ? c=6 ? 5.(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)若对任意的长方体 A,都存在一个与 A 等高的长方体 B,使得 B 与 A 的侧面积 之比和体积之比都等于 k,则 k 的取值范围是 解:k=
a1 ? b1 a1b1 ? ? k(a+b)=a1+b1≥2 a1b1 =2 k a?b ab
2 2 2 2 2

1 3

.

.

.
ab ? k ≥

2 ab ? a?b

k ≥1 ? k≥1.

6.①(2009 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)右图是某种净水水箱结构的设计草图, 其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、 宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的 存水,则净水水箱中最少可以存水 600(30+605). ②(2012 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AC=1,B1C= 2 ,AB1=p,则长方体的体积最大 时,p 为
2 2 2 2 2 3

cm .

3

解:设净水器的长、高分别为 x,y,则 xy=300,V=(x+20)30(y+60)=30(x+20)(y+60)=30(20x+60y+1300)=600(x+3y+605)≥

.
2 2 2 2 2

解:a +c =p ,b +c =2,a +b =1 ? a +b +c =

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (p +3) ? a = (p -1),b = (3-p ),c = (p +1) ? V =a b c = (p -1)(p +1)(32 2 2 2 8

p )(不等式法,导数法).

2

3.四面体 Y.P.M 数学竞赛讲座
4

3

[例 3]:(1992 年全国高中数学联赛试题)设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记λ = i ?1
一定满足( (A)2<λ ≤4 ) (B)3<λ <4 (C)2.5<λ ≤4.5 (D)3.5<λ <5.5

? Si
S

,则λ

[解析]:由 S=max{S1,S2,S3,S4} ? S1+S2+S3+S4≤4S ? λ ≤4;设 S=S4,由 S1+S2+S3>S4=S ? S1+S2+S3+S4>2S ? λ >2. [类题]:
1.①(2007 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)长度分别为 1,a,a,a,a,a 的线段能成为同一个四面体的 6 条棱的充要条件 是( ) (B)0<a<2 (C)a>
3 3

(A)0<a< 3

(D)

3 <a< 3 3

解:设 AB=1,取的中点 O,则 OA=OB=

3 3 a,在△ABO 中,OA+OB>AB ? a> . 2 3

②(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若四面体ABCD中,有AB=CD=5,AC=BD=4,AD=BC=x,则x的取值范围是( (A)1<x<9 (B)1<x< 41 (C)3<x<9 (D)3<x< 41
2 2 2 2 2 2

).

解:补形使四面体ABCD的各棱成为一个长方体的面对角线.易知,△ABC为锐角三角形,因而,x <3 +5 ,x +3 >5 ? 3<x< 41 . 2.①(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)线段 OA、OB、OC 不共面,∠AOB=∠BOC=∠COA=60?,OA=1,OB= 2,OC=3,则Δ ABC 是( (A)等边三角形 ) (B)不等边的等腰三角形 ) (C)垂心 (D)旁心 . (C)直角三角形 (D)钝角三角形

②(2008 年第 19 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若三棱锥的三个侧面的斜高相等,棱锥的顶点在底面所在的平面内 的射影在底面三角形的内部,则该射影是底面三角形的( (A)外心 (B)内心

3.(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)四面体 ABCD 的六条棱长分别为 7,13,18,27,36,41,且知 AB=41,则 CD=

解:四面体中,除 CD 外,其余的棱皆与 AB 相邻接,若长 13 的棱与 AB 相邻,不妨设 BC=13,据构成三角形条件,可知 AC ? {7, 18,27} ? AC=36 ? BD=7 ? {AD,CD}={18,27}, 于是△ABD 中, 两边之和小于第三边 , 矛盾. 因此只有 CD=13. 另一方面, 使 AB=41,CD=13 的四面体 ABCD 可作出. 4.(2007 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)以 1,1,1, 2 , 2 , 2 为六条棱长的四面体个数为 .

解:以这些边为三角形仅有四种:(1,1,1),(1,1, 2 ),(1, 2 , 2 ),( 2 , 2 , 2 );固定四面体的一面作为底面. ①当底面的三边为(1,1,1)时,另外三边的取法只有一种情况,即( 2 , 2 , 2 );②当底面的三边为(1,1, 2 )时,另外三 边的取法有两种情形,即(1, 2 , 2 ),( 2 ,1, 2 );其余情形得到的四面体均在上述情形中.由此可知,四面体个数有 3 个. 5.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为1的正三 角形.那么,这个三棱锥的体积大小( (A)有惟一确定的值 ) (C)有3个不同值 (D)有3个以上不同值 (B)有2个不同值

解:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,三棱锥 A1-ABD,三棱锥,三棱锥 A1-.(C) 6.(1987 年全国高中数学联赛试题)现有边长为 3,4,5 的三角形两个,边长分别为 4,5, 41 的三角形四个,边长分别为
5 6

2 ,4,5 的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成___________个四面体.

解:

4.正方体模型

[例 4]:(2000 年全国高中数学联赛试题)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积
是 .

[解析]:

4
[类题]:

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1.(1994 年第 5 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)以正方体 ABCD–A1B1C1D1 的四个顶点 A,B1,C,D1 为顶点构成四面体,此四 面体的表面积与正方体的表面积之比为 解: 2.(2007 年第 18 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正四面体的棱长为 a,则它的外接球的表面积等于 体的棱长为 . . 3.①(2006 年第 17 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)一个球与正四面体的各个棱都相切,且球的表面积为 8π ,则正四面 ②(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差 不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为 R1,能包容此框架的最小球的半径为 R2,则 解: 4.(2002 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)棱长为 1 的正四面体,在平面上投影面积的最大值是_____. 解: 5.(2004 年第 15 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)设正三棱锥底面的边长为 a,侧面组成直二面角,则该棱锥的体积等于 . 6.(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正四面体 ABCD 的体积为 1,O 为其中心.正四面体 A1B1C1D1 与正四面体 ABCD 关 于点 O 对称,则这两个正四面体的公共部分的体积为 .
3 ,当我们在原正四面体中切割掉这四个 4

.

R1 等于 R2

解:若将 A-BCD 放在一个水平面上,易知其中心到点 A 的距离是 A 到底面距离的 小正四面体后,即得到两个正四面体的公共部分体积为 1-4(
1 3 1 )= . 2 2

5.长方体模型 [例 5]:(1986 年全国高中数学联赛试题)如果四面体的每一个面都不是等腰三角形,那么其长度不等的棱的条数最少为
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

[解析]: [类题]:
1.①(1989年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在四面体ABCD中,AB=CD=4,AC=AD=BC=BD=3,则此四面体的体积为_____. ②(2012 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在四面体 ABCD 中,AB=AC=AD=BD=5,BC=3,CD=4,该四面体的体积为______. ③(1990 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)己知四面体各面都是棱长分别为 5, 34 , 41 的三角形,则此四面体的 体积是_____. 2.①(2009 年全国高中数学联赛河南初赛试题)四面体 A-BCD 中,AB=CD=5,AC=BD= 34 ,AD=BC= 41 ,则四面体 A-BCD 的外 接球半径为 外接球的表面积是 解:构造长方体,把三棱锥 B-ADC 放入长方体中,则长方体的对角线为三棱锥 B-ADC 的外接球的直径.AD= 3,BD=DC=1, 对角线长为 5,∴r= 5 5 2 2 ,外接球为表面积 4π r =4π ( ) =5π . 2 2 ) . ②(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)将边长为 2 的正△ABC 沿高 AD 折成直二面角 B-AD-C,则三棱锥 B-ADC 的

3.(1997 年全国高中数学联赛试题)如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有( (A)0 条 (B)1 条 (C)多于 1 的有限条 (D)无穷多条 4.(1999 年全国高中数学联赛试题)给定下列两个关于异面直线的命题:

命题Ⅰ:若平面?上的直线 a 与平面?上的直线 b 为异面直线,直线 c 是?与?的交线,那么,c 至多与 a,b 中的一条相交;

命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线. 那么( ) (B)命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确 (A)命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确

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(C)两个命题都正确 解: (D)两个命题都不正确
0

5

5.(2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 a,b 是夹角为 30 的异面直线,则满足条件“a ? α ,b ? β ,且α ⊥β ”的 平面α ,β ( (A)不存在 ) (B)有且只有一对 (C)有且只有两对 (D)有无数对

解:任作 a 的平面α ,可以作无数个.在 b 上任取一点 M,过 M 作α 的垂线.b 与垂线确定的平面β 垂直于α .选 D. 6.(2007 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 S-ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥,O 为底面 ABC 内一点,若∠OSA= α ,∠OSB=β ,∠OSC=γ ,那么 tanα tanβ tanγ 的取值范围是 解:过 O 分别作与 SA、SB、SC 垂直的平面,得到一个长方体, 且 OS 为长方体的对角线,所以 cos α +cos β +cos γ =1,则 sin α =cos β +cos γ ≥2cosβ cosγ ,同理:sin β =cos α + cos γ ≥2cosα cosγ ,sin γ =cos α +cos β ≥2cosα cosβ . 故 tanα tanβ tanγ ≥2 2 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

6.旋转体 [例 6]:(2004 年全国高中数学联赛试题)顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆
内的点,O 为底面圆的圆心,AB⊥OB,垂足为 B,OH⊥PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最大 时,OB 的长是 .
2 ,设 OB=t,则 AB= 8 ? x 2 ,PB= 8 ? x 2 ? OH=

[解析]:PA=4 ? OA=OP=2
? S△PHC=
1 ×2 2

2 2x x2 ? 8

,PC=2,PH=

8 x2 ? 8

sin∠APB=

8 ? x2 4

8 x2 ? 8

1 4 2 sin ? cos ? 4 2 1 2 x 8 ? x2 8 ? x2 (x=2 2 sinα )= = ≤ , ? VO-HPC= ×4 2 3 3 2 tan ? ? cot ? 3 3 4 sin 2 ? ? 1 x2 ? 8

2tanα =cotα ? tanα =

2 3 2 6 . ? sinα = ? x= 2 3 3

[类题]:
1.①(1987 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)圆锥的侧面展开图是半径为 1,圆心角为 270°的扇形,则它过顶点的截 面三角形的面积的最大值是 解: ②(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)若一个圆锥中有三条母线两两垂直,则此圆锥侧面展开图扇形的圆心 角为 .
6 a ? 弧长=2π 3 6 a,由θ a=2π 3 6 a? 3

.

解:设母线长为 PA=PB=PC=a ? △ABC 是边长为 2 a 的正三角形 ? 圆的半径 r= 圆心角θ =
2 6 π. 3

2.①(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)母线长为 6 的圆锥中,体积最大的那一个的底面圆的半径为 解:

.

②(2000 年第 11 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)从一个半径是 1 分米的圆形铁片中剪去圆心角为 x 弧度的一个扇 形,将余下的部分卷成一个圆锥(不考虑连接处用料),当圆锥的容积达到最大时,x 的值是 解: 3.①(1994 年第 5 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)已知无盖的圆柱形桶的容积是 V,用来做桶底和侧面的材料每平方米 .

的价格比为 3:2,则当圆桶造价最低时,桶底半径 R= 解:

.

②(1986 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在轴截面顶角为直角的圆锥内,作一内接圆柱.若这圆柱的全面积等于

6
这圆锥的侧面积,则这圆锥顶点至圆柱上底面的距离等于圆锥母线长的 解: .

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4.(1991 年第 2 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知台体上、下底的面积分别为 S1,S2,若与底面平行的平面把台体截 成体积相等的两部分,则截面面积为 解: 5.①(1993年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)分别以直角三角形的两直角边为轴,将该三角形旋转一周所得的两个旋 转体的体积分别是15和20.则以该直角三角形斜边为轴旋转一周所得的旋转体的体积是_____. 解: ②(2010 年全国高中数学联赛广东初赛试题)分别以直角三角形的两条直角边 a,b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周, 所得旋转体的体积依次为 Va,Vb,Vc,则 Va +Vb 与(2Vc) 的大小关系是___________. 解: 6.①(1989 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)一直角梯形的两底分别为 5 和 8,高为 4,将它绕斜腰旋转一周所得的旋 转体的表面积是_____. 解: ②(1990年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)梯形的两底分别是a和b,将梯形绕长为a的底旋转一周所得旋转体体积为 V1,绕长为b的底旋转一周所得旋转体体积为V2,则 解:
V1 =_____. V2
2 2 2

.

Ⅱ.球的问题
1.球的认识 [例 1]:(2011 年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知在半径为 5 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=6,CD=8,则四面体
ABCD 的体积的最大值为 .
1 6

[解析]:因球心到弦 AB、CD 的距离分别为 4,3 ? AB、CD 距离的最大值为 h=7,设 AB 与的夹角为α ,由 V= AB×CD×sin
α ×h=56sinα ≤56.

[类题]:
1.(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为 4 的球的两条弦 AB、 CD 的长度分 别等于 2 7 和 4 3 ,M、N 分别为 AB、CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:①弦 AB、CD 可能相 交于点 M;②弦 AB、CD 可能相交于点 N;③MN 的最大值为 5;④MN 的最小值为 1.其中真命题为( (A)①③④ (B)①②③ (C)①②④ (D)②③④ )

2.(1989年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)点P在直径为1的球面上,过P作两两垂直的三条弦若其中一条弦长是另一条 弦长的2倍,则这三条弦长的和的最大值是_____. 解: 3.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)在120 的二面角α -l-β 内,⊙O1、⊙O2分别在半平面α 、β 内,且与棱l切于同 一点P.则以⊙O1、⊙O2为截面的球( (A)仅有1个 个,其球心为O,半径为OP. 4.(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一半球的体积是 18π ,则此半球的内接正方体的表面积是 . ) (B)仅有2个 (C)有无数个 (D)不存在
0

解:过点O1、O2分别作α 、β 的垂线,设两垂线的交点为O.这样的交点O是唯一的.因此,以⊙O1、⊙O2截面的球有且仅有一

解:R=3,(

2 2 2 2 2 2 a) +a =R ? a =6 ? 正方体的表面积是 6a =36. 2
0

5.(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)半球形的碗内盛满了水,若将碗口平面倾斜 30 ,则碗内溢出的水的体 积是碗的容积的 .

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解:V 球冠=π h (R2

7

R h 5 1 4 5 11 11 3 3 3 3 )=(h= ) π R ? 碗内溢出的水的体积= ? π R πR= πR ? . 2 24 3 2 3 24 24 16

6.(1988 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)两球相嵌,大球半径 R=4,小球半径 r=2,且两球的连心线长 d=4,该组合体的 可见表面积是_____. 解:S 球冠=2π Rh,可见表面积=4π R -2π Rh1+4π r -2π rh1=(h1=
2 2

1 3 ,h2= )70π . 2 2

2.外接球 [例 2]:(1997 年全国高中数学联赛试题)已知三棱锥 S?ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设 S、
A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 .
3 . 3

[解析]:由 SA=SB=SC=2 ? 点 O 到平面 ABC 的距离为 [类题]:

1.(1987 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体 ABCD 的四个顶点在半径为 1 的球上,则 AB 的长为

.

2.(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都 在同一球面上,且该六棱柱的体积为
9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8

.

3.(1992年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)△ABC的三边AB、BC、CA的长依次是2、3、4,D是以△ABC的外接圆为大圆的 球面上一点,若D到A、B、C的距离相等,则三棱锥D?ABC的体积是_____. 4.(2011 年全国高中数学联赛试题 A)在四面体 ABCD 中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60 ,AD=BD=3,CD=2,则四面体 ABCD 的外 接球的半径为 .
0 0 0

解:△ABD 为正三角形,设外心为 O1,则 DO1=r= 3 ,由 cos30 cos∠CDO1=cos60 ? cos∠CDO1=
? 点 C 的射影点 H 在 DO1 上,DH=2

3 ? CO1= 3 ,由∠CDA=∠ADB 3

3 3 6 3 2 6 2 2 2 2 2 ,O1H= ,CH=2 ,OO1=x ? x +( 3 ) =R ,( ) +(2 -x) =R ? R= 3 . 3 3 3 3 3

5.①(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点都在球 O 的球面上,其中 AA1=1,AB=2 2 ,AD =3 3 ,则经过 B、C 两点的球面距离是 间的球面距离为 .
2 3 3

.

②(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AA1= 2 ,则 A,C 两点

6.①(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体表面上与点 A 距离是 的点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度是 .

②(2007 年全国高中数学联赛试题)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,以顶点 A 为球心, 面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___________. 解:如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点 A 所在的三个面上,即面 AA1BB1、面 ABCD 和面 AA1D1D 上;另一类在不过顶点 A 的 三个面上,即面 BB1C1C、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上.在面 AA1BB1 上,交线为弧 EF
? ? 2 3 且在过球心 A 的大圆上,因为 AE= ,AA1=1,则∠A1AE= ,同理∠BAF= , 6 6 3

2 3 为半径作一个球,则球 3

D G A B

C

所以∠EAF=

? 2 3 ? 3 ,故弧 EF 的长为 = π ,而这样的弧共有三条;在面 BB1C1C 6 3 6 9

D1 A1

F C1 E B1

上,交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为

B,半径为

? 3 3 ? 3 5 3 ,∠FBG= ,所以弧 FG 的长为 = π ,这样的弧也有三条.于是,所得的曲线长为 π. 2 3 3 2 6 6

3.内切球 [例 3]:(1983 年全国高中数学联赛试题)一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样 8 Y.P.M 数学竞赛讲座
两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数
m ,那么积 mn 是 n

.

[解析]: [类题]:
1.①(2007 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)所有棱长都等于 1 的三棱锥的内切球的体积等于 解:设内切球半径为 r,则 r=
6 6 ,从而 V= π. 12 216

.

②(1990 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)若正四面体有一个半径为 2 的内切球,则它的棱长为_____. 2.①(2003 年第 14 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设有棱长等于 a 的正四面体 A1,作它的内切球 R1,再作 R1 的内接正 四面体 A2,接着再作 A2 的内切球 R2 和 R2 的内接正四面体 A3,如此继续下去,?,得到无限多个正四面体,它们的体积之和等 于 . ②(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在三棱锥 S–ABC 中,侧棱 SA,SB,SC 两两垂直,SA=SB=4,SC=6,在三 棱锥的内部有一个与三棱锥的四个面都相切的球,则此球的半径为 球半径等于______. ②(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切,若该球的体积为
32? ,则该三棱柱的体积是_____. 3

.

3.①(2011 年第 22 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知四面体 ABCD,AB=AC=AD=BC=BD=1,CD= 2 ,则该四面体的内切

③(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)若正三棱锥的内切球半径为 1,则其体积的最小值为 4.①(2011 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若底边长为 2 的正四棱锥恰内切一半径为 是 .

.

1 的球,则此正四棱锥的体积 2

②(2009 年全国高中数学联赛山东初赛试题)在正三棱锥 P-ABC 中,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,正三棱锥 的三个侧面都和半球相切.如果半球的半径等于 1,则正三棱锥的体积最小时,正三棱锥的高等于 . 解:如图,O 是正三棱锥底面中心,也是半球的球心,CD 是正三棱锥底面的高,侧面 PAB 与半球相切于点 E,连结 OE,OE⊥PE, OE=1,PO=h,设∠PDO=α ,则 h= 则 OD=
4

1 ,设正三棱锥底面三角形的边长为 a, cos ?

1 3 3 2 3 = ,所以,a= .正三棱锥的体积为 V= 2 . sin ? 6 sin? sin ? cos?
2

因 sin α cos α = =

1 1 sin2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? 3 2 2 2 sin α sin α (2cos α )≤ ( ) 2 2 3

4 9 3 2 2 ,所以 V≥ ,当且仅当 sin α =2cos α ,即 cosα = 时. 27 2 3

5.①(1994年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球,无论怎 样摇动盒子,小球在盒子中不能达到的空间的体积是_____cm (盒子的厚度不计). 解:球心运动的区域是棱长为4cm的正方体,小球能达到的的空间是该正方体+6个棱长分别为4cm,4cm,1cm的长方体+12个 底面半径为1cm,高为4cm的四分之一圆柱+8个半径为1cm的八分之一球 ? 体积=64+96+12π + 的空间的体积=216-(160+
40 40 π )=56π. 3 3 4 40 π =160+ π ? 不能达到 3 3
3

②(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)在一个棱长为5的正方体封闭的盒内,有一个半径等于1的小球,若小球在盒 内任意地运动,则小球达不到的空间的体积的大小等于 解: .

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动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .

9

6.(2008 年全国高中数学联赛试题)一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运 解:如图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r,作平面 A1B1C1//平面 ABC,与小球相切于点 D,则小球球心 O 为 正四面体 P-A1B1C1 的中心,PO⊥面 A1B1C1,垂足 D 为 A1B1C1 的中心.

因 VP ? A1B1C1 =

1 1 S?A1B1C1 PD=4 V0? A1B1C1 =4× S?A1B1C1 OD,故 PD=4OD=4r,从而 PO=PD-OD=4r-r=3r.记此时小球与面 PAB 的切点 3 3

为 P1,连接 OP1,则 PP1=2 2 r.考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB)相切时的情况,易知小球在面 PAB 上最靠近边 的切点的轨迹仍为正三角形,记为 P1EF,如图 2.记正四面体的棱长为 a,过 P1 作 P1M⊥PA 于 M.因∠MPP1=
? ,有 PM=PP1cos∠ 6

∠MPP1= 6 r,故小三角形的边长 P1E=PA-2PM=a-2 6 r.小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如图 2 中阴影部分)=
S ?PAB - S ?P1EF =18 3 ,由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 .

4.多球相切 [例 4]:(2006 年全国高中数学联赛试题)底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球,四个球两
两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 cm .
3

1 2

[解析]:四个球的球心构成棱长为 1 的正四面体,其中两棱平行于底面,这两棱的距离=
水=(
4 1 3 2 2 1 +1)π -4× π ( ) =( + )π . 3 2 3 2 2

2 2 +1 ? 需要注 ? 水面高= 2 2

[类题]:
1.①(2010 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若将半径为 12cm 四个篮球在水平地面上任意堆放,则你能堆放的最大高度 是 cm ②(2002 年第 13 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将 3 个半径为 1 的球和一个半径为 2 -1 的球叠为两层放在桌面 上,上层只放一个较小的球,四个球两两相切,那么上层小球的最高点到桌面的距离是 如果这两个半径为 r 的球也互相外切,则 r 等于 . . 2.①(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)三个半径为 1 的球互相外切,且每个球同时与另外两个半径为 r 的球外切, ②(1991年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知三个半径为6的球在平面α 的同一侧,与平面α 都相切,且每个球与 另外两个球外切,另有一个球和平面α 及这三个球都相切,则它的半径为_____. 3.①(2007 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)两个半径都是 1 的球 O1 和球 O2 相切,且它们均与直二面角的两个半平面都 相切,另有一个半径为 r(r<1)的小球 O 与这个二面角的两个半平面也都相切,同时与球 O1 和球 O2 都外切.则 r 的值是____. ②(2010 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知半径为 r 的球和半径为 R 的两个相切的球都相切,且它们都与大小为 60 的二面角的两个半平面相切,则
°

R = r

.

③(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在边长为1的正方体C内,作一个内切大球O1,再在C内的一个角顶内,作小球 O2,使它与大球外切,同时与正方体的三个面相切.则球O2的面积为 解:(7-4 3 )π . .

10
的半径是_____.

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4.①(1996 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)四个半径为 1 的小球两两相切装在一个大球里面且都与大球相切,大球 ②(2011 年第 22 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在半径为 1 的大球内放入 6 个半径相等的小球,当小球的体积最大 时,小球的半径等于____,此时在 6 个小球之间的空隙里还可以放人一小球,该小球的最大半径等于______. 5.①(2004 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)三个半径都是 10cm 的小球放在一个半球形的碗中,小球的顶端恰好与碗 的上沿处于同一平面内,则这个碗的半径是_____. ②(2009 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球 的半径均为 1,且每个小球都与半球的底面和球面相切,则该半球的半径 R=
0 0

.

6.(2007 年全国高中数学联赛天津初赛试题)过四面体 ABCD 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 ABCD 的外接球相切 于点 D,且与平面 ABC 相切.若 AD=2 3 ,∠BAD=∠CAD=45 ,∠BAC=60 ,则四面体 ABCD 的外接球的半径 r 为
0

.
0

解:过 D 作平面 ABC 的垂线,垂足为 H,作 DE⊥AB,垂足为 E,DF⊥AC 垂足为 F,则 HE⊥AB,HF⊥AC,且有 AE=AF=ADcos45 = 6 . ∠HAE=30 ,AH=2 2 ,DH=2,因此 DH 为半径为 1 的球的直径,从而四面体 ABCD 的外接球的球心 O 在 DH 的延长线上,于是有 r =(r-2) +(2 2 ) ,解得 r=3.
2 2 2

5.旋转体与球 [例 5]:(1995 年全国高中数学联赛试题)一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______. [解析]:记球半径为 R,圆锥的半径为 r,圆锥的高=h ? r2=h(2R-h) ? 圆锥的体积= π r2h= π h2(2R-h) ? 比为 8:27. [类题]:
1.①(2012 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入 半径为 r 的一个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为 解: ②(1993年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知圆锥的内切球的面积是圆锥底面面积和侧面面积的等差中项,则圆 锥母线与底面所成角的大小是_____. 解: 2.(2008 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)在半径为 R 的球的所有外切圆锥中,全面积最小的圆锥的全面积是
0

1 3

1 3

.

.

3.(1999 年全国高中数学联赛河南初赛试题)一个半径为 a 的半球内切于顶角为 90 的圆锥,半球的底面在圆锥的底内,则 V 半球:V 圆锥等于 . 4.(1999 年全国高中数学联赛河北初赛试题)将边 BC=15cm 的 ABC 绕边 AC 旋转一周,所得旋转体是有公共底面的两个圆锥, 0 边 AB 形成的圆锥的侧面展开图是半径为 20cm,圆心角为 216 的扇形,则此旋转体内切球的半径是 . 5.(2003 年全国高中数学联赛试题)将 8 个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相 切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于______________. 6.(1996 年全国高中数学联赛试题)高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1,球心 O1 在圆台的轴上,球 O1 与圆台的上底面、 侧面都相切,圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点,除球 O2,圆 台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是( (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)4

Ⅲ.度量问题
1.线线成角 [例 1]:(1997 年全国高中数学联赛试题)如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,
F 在棱 CD 上,使得
AE CF ? =λ (0<λ <+∞),记 f(λ )=α EB FD
λ

A E B F C D

+β λ ,其中α λ 表示 EF

与 AC 所成的角,β λ 表示 EF 与 BD 所成的角,则( (A)f(λ )在(0,+∞)单调增加 (C)f(λ )在(0,1)单调增加,而在(1,+∞)单调减少

) (B)f(λ )在(0,+∞)单调减少 (D)f(λ )在(0,+∞)为常数

Y.P.M 数学竞赛讲座 [解析]: [类题]:
与它们都平行,则 a,b 所成的角为 等角的直线共有( (A)0 条 解: ) (B)1 条 (C)4 条 (D)无数多条 .

11

1.①(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三条直线 a,b,c 两两成异面直线,它们互相成等角,且存在一个平面 ②(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成

③(2006 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1,过顶点 A1 作直线 l,使 l 与直线 AC 和 BC1 所成的角均 为 60 .则这样的直线 l 有( (A)1 解: ④(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)a,b,l 是两两异面的直线,a 与 b 所成的角是 成的角都是 α ,则 α 的取值范围是 的大小是 解: ②(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)四面体 ABCD 中,AB=CD=a,BC=AD=b,CA=BD=c.如果异面直线 AB 与 CD 所成的 角为θ ,那么 cosθ = 解: 3.①(2004 年第 15 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB、CC1 的中点,直线 EF 与 AC1 所成角的余弦值是 解: ②(2008年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面构成45 的二面角,则异面直 线AC与BF所成角的大小为_______. 解: 4.①(1998 年第 9 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)已知四面体 ABCD 中,AD=BC=1,E、 F 分别是 AB、 CD 上的点,且 BE:EA=CF: FD=1:2,EF=a(a>0),则 AD 和 BC 所成的角 θ = . 解: ②(2008 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)有六根细木棒,其中较长的两根分别为 3 a、 2 a,其余四根均为 a,用它 们搭成三棱锥,则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 解:两条较长的棱不可能异面,余弦值=
6 . 3
0 0

)条. (B)2 (C)3 (D)多于 3

? ,l 与 a、l 与 b 所 3

.

2.①(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点G是上底面A1B1C1D1的中心.那么,BG与AD所成角 .

.

.

.

5.①(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M 是 CC1 的中点,Q 是 BC 的中 点,点 P 在 A1B1 上,则直线 PQ 与直线 AM 所成的角等于 是 . .

②(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 CA1 与 C1B 所成的角的大小 解:向上接一个正三棱柱. 6.①(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1,CC1 上的动点 (含端点),D 为 BC 边上的中点,且 PD⊥PE.则直线 AP,PE 的夹角为 .

解:平面 ABC⊥平面 BBC1B1,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BBC1B1,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD.即夹角为 90 . ②(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在空间四边形 ABCD 中,AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC=CD,则 AD 与 BC 所成的角的正切值是 .

0

12

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2.线面成角 [例 2]:(1994 年全国高中数学联赛试题)已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于α ,则 sinα =______. [解析]:平行直线与平面的夹角相等,只须考虑同一顶点的三条棱. [类题]:
1.①(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平面外一直线和这个平面所成的角为θ ,则θ 的范围是
0

.

②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)直线 l 与平面α 所成角为 50 ,交点为 P,a 是α 内不过 P 点的任意一 条直线,那么 l 与 a 所成角的取值范围是 的角的大小是 解: AC、DE 都⊥α ,BD ? AB.若 AB=3,AC=BD=4,CD=5,则 BD 与平面α 所成的角等于 . 3.①(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平面α ?平面β ,直线 a∥α ,a 与β 成 45?角,直线 b∥β ,b 与α 成 45?角,则直线 a 与 b 所成的角的大小为 . 0 ②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)二面角α -l-β 的大小为 60 ,A∈α ,B∈β ,C∈l,且 AC=4,AB⊥β ,B 点到α 的距离为 1,则直线 AC 与平面β 所成的角的大小等于 . 4.①(1999 年第 10 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)二面角 M-l-N 的平面角是 60 ,直线 a∩平面 M,a 与棱 l 所成的角 是 30 ,则 a 与平面 N 所成的角的余弦值是 所成的角等于 .
0 0

.

2.①(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设正三棱锥 S-ABC 的底面边长为 3,侧棱长为 2,则侧棱 SA 与底面 ABC 所成 .

②(2011 年第 22 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知三点 A、B、E 在平面α 内,点 C、D 在α 外(在α 的同侧),并且

.

②(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)空间四边形 ABCD 中,AB=AD=3,BC=CD=2,AC= 5 ,则 AC 与平面 BCD 5.(2006 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为棱 AB 上一点,过点 P 在空间作直线 l,使 l 与 0 平面 ABCD 和平面 ABC1D1 均成 30 角,则这样的直线条数是 解: 6.①(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 C1D1,AB 的中点.A1,M,C,N 四 点在同一个平面内.则 CD 和平面 A1MCN 所成的角的正弦值是 解: ②(2006 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 为 D1C1 上的点且 D1M:MC1=3:1,则 CM 和平面AB1D1所成角的大小是θ ,则sinθ 等于 解: . .

3.面面成角 [例 3]:(1994 年全国高中数学联赛试题)在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(
(A)(
n?2 π ,π ) n

)
n?2 n ?1 π, π) n n

(B)(

n ?1 π ,π ) n

(C)(0,

? ) 2

(D)(

[解析]:(A). [类题]:
1.①(1988 年全国高中数学联赛试题)已知三个平面α ,β ,γ ,每两个平面之间的夹角都是θ ,且α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c.若有命题甲:θ >
? ;命题乙:a,b,c 相交于一点.则( 3

) (C)甲是乙的充分必要条件 (D)(A)、 (B)、 (C)都不对

(A)甲是乙的充分条件但不必要 解:

(B)甲是乙的必要条件但不充分

②(2002 年第 13 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)从空间一点引三条不共面的射线,则以每条射线为棱的三个二面角 的和的取值范围是 解: .

③(2007 年第 18 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)正三棱锥的侧面所成的二面角(的平面角)α 的取值范围是 解:

.

2.①(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那么这两

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个二面角的大小关系是( (A)相等 ) (B)互补 (C)相等或互补 (D)不能确定的 .

13

②(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)正四棱锥 S-ABCD 中,侧棱与底面所成的角为α ,侧面与底面所成的角为β , 侧面等腰三角形的底角为γ ,相邻两侧面所成的二面角为θ ,则α 、β 、γ 、θ 的大小关系是 的平面角的余弦值是________,其中λ 的取值范围是________. 3.①(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为 6 :2,则其侧面与底面 的夹角为 解: ②(2007 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知△ABC 是正三角形,P 是 ? ABC 所在平面外的一点,且 PA=PB=PC,若 S△PAB:S△ABC=2:3 3 ,则二面角 P-AB-C 的大小为 .
3 ,所以二 2

③(2000 年第 11 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正三棱锥的侧棱长与底面边长之比为λ ,则侧面与底面所成二面角

.

解:设 P 在平面 ABC 中射影为 O,由 PA=PB=PC 知 OA=OB=OC,即 O 为 ? ABC 的外心,又由面积射影定理知 cosθ = 面角 P-AB-C 的大小为
? . 6

③(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)如果正六棱锥侧面的顶角等于侧棱和锥底平面所成的角,那么这个角 的值等于 .
0

④(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 A1C 与底面 ABCD 成 30 角,则截面 A1BCD1 与底面 ABCD 所成角的正切等于 . ⑤(1990年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)过边长为4的等边△ABC的三顶点分别作垂直于它所在平面的垂线AA1、 BB1、CC1.若AA1、BB1、CC1的长分别是7、4、1,且在△ABC 所在平面的同侧,则△ABC和A1B1C1所在平面所成的二面角大小为. 解: ⑥(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1-B1 的大小为 为 . ②(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)正三棱锥相邻侧面所成二面角,等于侧面与底面所成二面角的两倍,则侧 棱与底面边长之比为 解: ③(2001 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知正四棱锥的底面与侧面的夹角为 45 ,则相邻两个侧面的所成角的大 小是_____. ④(2007 年全国高中数学联赛试题)在正四棱锥 P-ABCD 中,∠APC=60 ,则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为
P
P

.

⑦(2009 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)正四面体 ABCD 的外接球球心为 O,E 为 BC 中点,则二面角 A—BO—E 的大小 4.①(2010 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于________. .
0

0

.

M

D

C

D

C

A

B

A

B

解:在侧面 PAB 内,作 AM⊥PB 垂足为 M.则∠AMC 为二面角 A-PB-C 的平面角.不妨设 AB=2,则 AC=2 2 ,CM=AM= 中,由余弦定理得 cos∠AMC=1 7

7 ,在△AMC 2

.

⑤(1992年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1,若两面角A?BD1?C的大小是 AA1=_____.

2? ,则 3

14
角的余弦是 .

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5.①(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AA1 的中点,则二面角 B1-DE-A1 的平面 ②(2006 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)一个立方体的任意 4 个不在同一平面上的顶点 A、B、C、D 组成的二面角 A-BC-D 的余弦值中,小于
1 的值的个数是 2

.
0 0

③(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)O 为空间一点,射线 OA、OB、OC 交于 O,?AOB=?BOC=60 ,?COA=90 , 则二面角 A-OB-C 的平面角的余弦函数值是 .
0

④(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)二面角α -BC-β 的大小为 135 ,且 A∈α ,D∈β ,AB⊥BC,BC⊥CD,且 AB=BC=1,CD= 2 则二面角 A-BD-C 的大小为 . 6.①(2005 年第 16 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)过四面体的一条底边的平面把正四面体的体积自上而下分成 m,n 两部分,则此平面与正四面体的底面夹角的余切值等于_________. ②(2002 年第 13 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在四面体 ABCD 中,面 BAC、CAD、DAB 都是以 A 为顶点的等腰直角 三角形,且腰长为 a.过 D 作截面 DEF 交面 ABC 于 EF,若 EF∥BC,且将四面体的体积二等分,则面 DEF 与面 BCD 的夹角等于. ③(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,且二面角 H-AB-C 的大小为 30 ,则 SA:AB=
0

.

4.点面距离 [例 4]:(2011 年全国高中数学联赛山西初赛试题)单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是棱 AA1,C1D1,D1A1 的中点,则点
B1 到 EFG 所在平面的距离为 .
D1 G A1 E A D B B1 C F C1

[解析]:解一、补形法,如图,过 E,F,G 的平面截正方体,所得截面是一个正六边形,
易知该平面垂直平分正方体的对角线 B1D,而 B1D= 3 ,所以 B1 到面 EFG 的距 离 h=
3 . 2

解二:等体积法,

[类题]:
的距离为 .

1.(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,高为 3 ,则 A 点到平面 A1C1B 解:等体积法,平行转移法. 2.(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 A1B1、B1C1 的中点,则 B1 点到平面 EFCA 的距离等于 解:垂面转移法. 3.(2009 年全国高中数学联赛江西初赛试题)四面体 ABCD 中,CD⊥BC,AB⊥BC,CD=AC,AB=BC=1,平面 BCD 与平面 ABC 成 45 的二面角,则点 B 到平面 ACD 的距离为 .
0 0

.

解:DC=AC= 2 ,作 DE⊥平面 ABC,垂足为 E,连 CE,AE,由三垂线逆定理,EC⊥BC,所以∠DCE=45 ,故 CE=DE= DESABC= 得 h=

1 2 DC=1,VABCD= 3 2

1 1 1 3 ,又因 ABCE 为正方形,AE=1,则 AD= 2 ,因此正三角形 ACD 的面积为 ,设 B 到平面 ACD 的距离为 h,由 hSACD= , 6 3 6 2

3 . 3

4.(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知四面体 ABCD 中,P,Q,R 分别是棱 BC,CD,AD 上的点,且 BP=2PC,CQ= 2QD,DR=RA,则 A,B 两点到过 P,Q,R 的平面的距离之比是 . 解:比较转移法.hC=2hB,hA=2hD,hD=2hC.

5.①(1990 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)三棱锥 P?ABC 的底是边长为 a 的正三角形,PA⊥面 PBC,则 P 到面 ABC 的 距离的最大值是_____. ②(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)α -l-β 是 60? 的二面角,二面角内一点 P 到 α ,β 的距离分别

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是 1,2,则 P 到棱 l 的距离等于 .
2 2

15

③(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正四面体 ABCD 的棱长为 1,E 是△ABC 内一点,点 E 到边 AB,BC,CA 的距离之 和为 x,点 E 到平面 DAB,DBC,DCA 的距离之和为 y,则 x +y 等于 等于 . . . 6.①(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则 P 点到 BD 的距离 ②(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则 B1C 与平面 A1DC1 的距离为 这个四面体的高为 .

③(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在正四面体 ABCD 中,△ABC 和△ACD 的中心分别为 M 和 N,且 MN=1,

5.线线距离 [例 5]:(2001 年全国高中数学联赛试题)正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是 [解析]:垂面转移法:①平面 BB1D1D,直线 A1C1 与 BD1 的距离=A1C1 的中点到直线 BD1 的距离=
BD1 的距离=△A1C1D 的中心到直线 A1C1 的距离= E,F,A1C1∥平面 BFD1E.

.

6 ;②平面 A1C1D,直线 A1C1 与 6

6 ;平行转移法:①取 BB1 的中点 M,BD1∥平面 A1C1M;②取 AA1,CC1 的中点 6

[类题]:
1.(1989 年全国高考数学试题)已知圆柱的底面半径是 3,高是 4,A,B 两点分别在两底面的圆周上.且 AB=5,那么直线 AB 与 轴 OO1 之间的距离是 .

2.(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则对角线 A1C1 与 BD1 所在的直线的距 离是 . . 3.(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC 与 B1D 间的距离是 解:平行转移法. 4.(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在正方体的 12 条面对角线所在的直线中存在异面直线,如果其中两条 异面直线间的距离是 1,那么这个正方体棱长可能取的值的集合是 方体的体积是 . . 5.(1991 年第 2 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)正方体表面正方形的对角线所在直线中有两条直线的距离是 1,则此正 解:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,①若相对面的对角线所在的距离是 1,则此正方体的体积是 1;②若相邻面的对角线 CD1 与 BC1 所在的距离是 1,CD1 在平面 AB1C1D 内的射影是 C1D 的中点 M,BC1 在平面 AB1C1D 内的射影是 C1N(N 是 AB1 的中点),在矩形 AB1C1D 中,点 M 到 C1N 的距离=
3 a=1 ? a= 3 ? 则此正方体的体积是 3 3 . 3

6.(2007 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,M、N 分别为 AD、BC 的中点,则异面直线 AB 与 MN 的距离是 . 解:分别取 AB、CD 的中点 E、F,联结 EN、NF、FM、ME、EF.MN、EF 交于点 O,显然四边形 ENFM 是平面四边形且是菱形, 故 MN⊥EF,又 EF 是等腰三角形 AFB 的高,因此有 EF⊥AB,且 EO= 离的一半.
1 2 EF= .其实显然这个距离就是异面直线 AB 与 CD 的距 2 4

6.体积问题

[例6]:(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)一个正三棱锥的三条侧棱长均为1,且两两垂直.将这个三棱锥绕着它
的高旋转60 ,则旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分的体积为
3
0

.
9

[解析]:公共部分是底面积等于原底面积的 2 ,高没有改变的正六棱锥. 1 . [类题]:
1.①(1991年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在四棱锥P?ABCD中,已知底面ABCD为矩形,且面积为1平方米,侧面PAB、 PAD都与底面垂直,侧面PBC、PCD与底面分别成60 角与30 角,则该四锥棱的体积为_____立方米.
0 0

16
方米,p平方米,则它的体积为
0

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立方米. .
1 Sd(设三棱柱的高为 h ? 底边长 2

②(2006年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在直三棱柱中,已知底面积为s平方米,三个侧面面积分别为m平方米,n平 2.(2001 年第 12 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一个四棱柱的一个对角面面积为 S,与该对角面相对的两侧棱间的距 离为 d,两对角面构成的二面角是 60 ,则四棱柱的体积 V=____

解:在直三棱柱中,一个侧面面积为 S,另一侧棱与该侧面的距离为 d,则三棱柱的体积=

=

S 1 S 1 S 1 1 1 3 0 0 d ? 体积= dh= Sd).体积 V= S(xsin60 )+ S[(d-x)sin60 ]= Sd. ? 底面积= h 2 h 2 h 2 2 2 4

3.(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)空间中一点 P 到三条两两垂直的射线 OA,OB,OC 的距离分别为 3 ,2, 5 , 且垂足分别为 A1,B1,C1,则三棱锥 P-A1B1C1 的体积为
0 0

. .
3 . 4

4.(2006 年全国高中数学联赛山西初赛试题)有一个四棱锥,底面是一个等腰梯形,并且腰长和较短的底长都是 1,有一个 底角是 60 ,又侧棱与底面所成的角都是 45 ,则这个棱锥的体积是 解:这个体积是底边和高均为 1 的正六棱锥的体积的一半,因此 V=

5.(1997年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在几何体ABC?A1B1C1中,已知棱AA1、BB1、CC1都垂直底面ABC,且AB=BC=CA=AA1 =2,BB1=4,CC1=3,则该几何体的体积为_____. 5.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知 ABCD-A1B1C1D1 是一个棱长为 1 的正方体,O1 是底面 A1B1C1D1 的中心,M 是棱 BB1 上的点,且 S△DBM: S?O1B1M =2:3,则四面体 O1ADM 的体积为 .
A D O B M D1 C

解:易知 AC⊥平面 D1B1BD,设 O 是底面 ABCCD 的中心,则 AO⊥平面 DO1M. 因为 S△DBM: S?O1B1M =BD×BM:O1B1×B1M=2BM:B1M=2:3,所以 BM:B1M=1:3,故
1 3 7 BM= ,BM1= .于是 S ?DO1M = 16 4 4

2 ,所以 V A? DO1M

1 7 = S ?DO1M AO= . 3 48

C1 O1 B1

A1

6.①(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设平行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=2,BD=2 3 ,则平行四边形 ABCD 绕直线 AC 旋转所得旋转体的体积为____________. ②(1997年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)有一个顶点向下且底面呈水平状的圆锥形容器,轴截面是边长为6的正三 角形,容器里装满了水,现有一正四棱锥,底面边长为a(a<6),高为h(h>6),竖直地浸在容器里,为了使容器溢出的水最多,a 的值应取为_____.

7.四面体体积 [例 7]:(1999 年全国高中数学联赛试题)已知三棱锥 S?ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂
心,二面角 H?AB?C 的平面角等于 30?,SA=2 3 .那么三棱锥 S?ABC 的体积为__________.

[解析]: [类题]:
1.①(1984 年全国高中数学联赛试题)若四面体的条棱长是 x,其余棱长都是 1,体积是 F(x),则函数 f(x)在其定义域上( ) (A)是增函数但无最大值 解:面 ACD⊥面 BCD. (B)是增函数且有最大值 (C)不是增函数且无最大值 (D)不是增函数但有最大值 ②(2000 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在四面体 ABCD 中,AD=DB=AC=CB=1,则它的体积的最大值是________.

2.①(2000 年第 11 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)某水准仪是封闭的正四面体,体内装有水,当正四面体的一个面放置 于水平地面时,体内水面高度为体高的
1 ,现将它倒置,此时水的高度是体高的 2

.

②(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在三棱锥 A-BCD 中,已知∠ACB=∠CBD,∠ACD=∠ADC=∠BCD=∠BDC=θ ,且 cosθ =
10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10

.

解:4 面为全等的等腰三角形,AB=CD=6 2 ,其它棱长=6 5 ,放置到棱长分别为 6,6,12 的长方体中,由体积公式可求得三棱

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锥的体积为 144.

17

3.①(2011 年全国高中数学联赛福建初赛试题)在四面体 D-ABC 中,已知 DA⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 2 的正三角形,则当 二面角 A-BD-C 的正切值为 2 时,四面体 D-ABC 的体积 V= 解:2. ②(1993 年第 4 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知三棱锥 P–ABC 中,侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,又知六条棱长的和 为定值 l,则此三棱锥的体积的最大值是 .
? ,则四面体 3

.

4.①(2003 年全国高中数学联赛试题)在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD= 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 ABCD 的体积等于 .

解:在四面体 ABCD 中,设 AB=a,CD=b,直线 AB 与 CD 的距离为 d,夹角为α ,则四面体 ABCD 的体积等于

1 dabsinα . 6

②(1994年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在四面体ABCD中,棱AB、CD的长分别为a和b,这两棱中点的距离为d,则四 面体ABCD的体积的最大值是_____. 解:
1 abd. 6
0

5.①(1985年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)三棱锥P?ABC顶角的三个面角均为60 ,三个侧面的面积分别为 1,则它的体积为_____. 解:由 PA×PB=2,PB×PC= θ =

3 、2和 2

8 3 4 3 8 3 4 3 0 0 ,PC×PA= ,由折叠角公式:cos60 =cos30 cosθ ? cos ? PA×PB×PC= ? PC= 3 3 3 3

4 2 1 3 6 4 3 6 4 2 3 2 6 × = × = . ? sinθ = ? hC= ? V= × 3 3 3 3 3 3 3 2 9

②(2008 年全国高中数学联赛河北初赛试题)在三棱锥 S-ABC 中,SA=4,SB≥7,SC≥p,AB=5,BC≤6,AC≤8.则三棱锥 S-ABC 体积的最大值为 .
1 AC 0 ,且满足∠ACB=45 ,AD+BC+ =3,则 CD= 6 2

6.①(2005 年全国高中数学联赛试题)如图,四面体 DABC 的体积为
1 3

.

解 :因 (
AC 2

1 1 AC AC AC 0 AC×BCsin45 )AD≥VD-ABC= ? AD×BC ≥1,又 3=AD+BC+ ≥3 3 AD ? BC ? ≥3,等号当且仅当 AD=BC= 2 6 2 2 2

=1 时成立,这时 AB=1,AD⊥面 ABC ? CD= 3 .

②(2009 年全国高中数学联赛福建初赛试题)一个直径 AB=2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点 S, 使 AS=AB,C 为半圆上一个动点,M、 N 分别为 A 在 SB、 SC 上的射影.当三棱锥 S-AMN 的体积最大时,SC 与平面 ABC 所成角的 正弦值是 .
1 3

解:易知 BC⊥面 SAC,所以 BC⊥AN,从而 AN⊥面 SBC.所以 AN⊥SM.因此 SM⊥面 AMN,VS-AMN= SMS△ANM.由 SA=AB=2,得 AM=SM=
2 , 而 AN⊥NM, △AMN 为斜边长为 2 的直角三角形, 面积最大在 AN=MN=1 时取到. 所以,当三棱锥 S-AMN 的体积最大

时,AN=MN=1,此时,∠SCA=60 ,SC 与平面 ABC 所成角的正弦值是

0

3 . 2

③(2007 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为 8,则这个正三棱锥的 P

h B G O A

体积的最大值为

.

解:设正三棱锥 P-ABC 的底面边长为 a,高为 h,O 为三角形 ABC 的中心,G 为侧面 PBC 的重心,GH 垂直底面 ABC,垂足为 H.则 GH=
1 1 8 16 2 1 2 4 3 2 2 2 2 PO= h8AH= AD= a,由 AH +GH =AG 得 a + h =64,故 16a 3 3 9 27 9 9

+3h =64×27 由平均不等式得:64×27=8a +8a +3h ≥3 8a 2 ? 8a 2 ? 3h 2 .
2 2 2 2

18
所以,a h≤576 3 ,于是 VP-ABC=
2

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3 2 a 6 a h≤144.当 ? 时等号成立,故体积的最大值为 144. 12 h 4

[类题]:

Ⅳ.特例问题
1.折叠问题 [例 1]:(1998 年全国高中数学联赛试题)△ABC 中,∠C=900,∠B=300,AC=2,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两
点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥 A?BCM 的体积等于________.

[解析]: [类题]:
1.①(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60 的二面角,则 BC 中点与点 A 的距离 为 . ②(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在正方形 ABCD 中,M、N 分别是 AD、BC 的中点,沿 MN 把这个正方形 纸片折成以 MN 为棱的二面角 A-MN-C,使折后的锐角?BMC 的正弦值为 0.6,这时二面角 A-MN-C 的平面角是 分别沿AE、EF、FA向上翻折,使B、C、D三点合为一点P.若正方形的边长为a,则三棱锥P?AEF的体积是_____. ②(1995 年第 6 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)正方形 ABCD 的边长为 4,E 是 AB 的中点,F 是 BC 边上的一动点,将△ ADE 及△DCF 分别沿 DE、DF 折起,使 A、C 重合于 P,则 P 点到平面 DEF 的距离的最大值为 以 EF 为折痕把四边形 EFCD 折起,当∠CEB=90? 时,二面角 C-EF-B 的平面角的余弦值等于 翻折,使 AB⊥DC,则异面直线 AB、CD 的距离为_____. 4.①(1999 年第 10 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)一个锐角为 30?,斜边长为 2 的直角三角形纸片,以斜边上的中线为 折痕折成直二面角,折后斜边两个端点的距离等于 .
? ? ,∠B= ,AC=2,M 为 AB 中点,将△ACM 沿 CM 折起,使 A,B 2 6
o

.

2.①(1988年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)设点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点,将△ABE、△BCF、△FDA

. .

3.①(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在矩形 ABCD 中,AB=a,AD=2b,a<b,E、F 分别是 AD、BC 的中点, ②(1988 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)设长方形 ABCD 的长 DA 和宽 AB 分别为 a 和 b(a>b),将△ABD 沿对角线 BD

②(2012 年全国高中数学联赛河南初赛试题)在△ABC 中,∠C= 之间的距离为 2 2 ,则点 M 到面 ABC 的距离为________.

③(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)等腰直角三角形 ABC 中,AB=BC=1,M 为 AC 中点,沿 BM 把它折为二面 角,折后 A 与 C 的距离为 1,则二面角 C-BM-A 的大小为 . 5.①(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知Rt△ABC斜边AB上的高为CD,沿CD将△ACD折起,折成一个直二面角 A-CD-B,此时,∠ACB的余弦值为
1 ,则∠ACD的值为 4

.

②(1997年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知Rt△ABC的两直角边AC=2,CB=3,CP为∠ACB的平分线(P在斜边AB上), 沿CP将直角三角形折成二面角A?CP?B,当AB=2 2 时,二面角A?CP?B的大小是_____. 6.①(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将平面直角坐标系以 x 轴为棱折成直二面角,则该坐标系中的直线 x–y=1 折成的角的大小等于 . ②(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)AA’DB 是等腰梯形,AB=A’D,下底 BD=2,上底 AA’=4,S、C 分别是

AA’、BD 的中点,SC=1,沿 SB、SC、SD 折叠,使这梯形成为一个四棱锥 S-ABCD 的各侧面(A、A’重合),则此棱锥底面上的 对角线 AC 的长等于 .

2.展开问题 [例 2]:(2009 年全国高中数学联赛四川初赛试题)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱 AB=6,BC=BB1=
动点,则 AP+PB1 的最小值是 .

2 ,点 P 是线段 BC1 上的一

[解析]: [类题]: Y.P.M 数学竞赛讲座
1.(2009 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)正三棱柱的侧面展开图是边长为 2 和 4 的矩形,则它的体积是 截面 A1BD 内一动点,则 AF+FE 的最小值等于 面 ABCD 上一动点,则 C1P+PQ 的最小值为 . .

19
.

2.(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 上一点,且 A1E=1,F 为 3.①(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是面对角线 AB1 上一动点,Q 是底 ②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在长方体 ABCE-A1B1C1D1 中,AB= 2 ,BC=AA1=1,P 是对角线 AC1 上的一 个动点,Q 是底面 ABCD 上的一个动点,则 B1P+PQ 的最小值为 . 4.①(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)长、宽、高分别为 3cm、4cm、12cm 的长方体木块 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3cm,BC=4cm,CC1=12cm,若一只小虫要由 A 点沿木块表面爬到 C1 点,最短路径的长度是 C1 的最短距离为 6,则长方体的体积最大值为______________. 5.(1994 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)如图,圆台的上底半径为 5cm, 下底半径为 10cm,母线 AB 长 20cm(其中 B 点在下底圆周上),从母线 AB 的中点 M 拉一条绳子,围绕圆台的侧面转到 B 点,当所用最短的时候,绳子上的点和圆台的 上底圆周上的点之间的最短距离是 . .
图2 A M B

.

②(2012 年全国高中数学联赛河南初赛试题)一只蚂蚁由长方体 ABCD-A1B1C1D1 顶点 A 出发,沿着长方体的表面达到顶点

6.①(2011 年全国高中数学联赛江西初赛试题)正三棱锥 D-ABC 的底面边长为 4,侧棱长为 8,过点 A 作与侧棱 DB,DC 都相 交的截面△AEF,那么,△AEF 周长的最小值是 解:作三棱锥侧面展开图,易知 EF∥BC,且由周长最小,得 A,E,F,A1 共 AA1=11. ②(2002 年第 13 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)四面体 ABCD 的各面都是锐角三角形,且 AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c, 平面 π 分别截棱 AB、BC、CD、DA 于点 P、Q、R、S,则四边形 PQRS 的周长的最小值是
0

.

③(2007年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知α ?l?β 是大小为45 的二面角,C为二面角内一定点,且到半平面α 和β 的距离分别为 2 和6,A,B分别是半平面α ,β 内的动点,则Δ ABC周长的最小值为___.

3.截面问题 [例 3]:(2005 年全国高中数学联赛试题)如图,ABCD- A??B?C?D? 为正方体.任作平面
α 与对角线 A C ? 垂直,使得α 与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边 形的面积为 S,周长为 l.则( (A)S 为定值,l 不为定值 (C)S 与 l 均为定值 ) (B)S 不为定值,l 为定值 (D)S 与 l 均不为定值

[解析]:将正方体切去两个正三棱锥 A- A? BD 与 C ? - D?B? C 后,得到一个以平
行平面 A? BD 与 D?B? C 为上、下底面的几何体 V,V 的每个侧面都是等腰直 角三角形,截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行,将 V 的侧面沿棱 A? B? 剪开,展平在一张平面上,得到一个平行四边形 A? B? B1A1, 而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A? A1 平行的线段(如图中 E? E1),显 然 E? E1= A? A1,,故 l 为定值. 当 E? 位于 A? B? 中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E? 移至 A? 处时,W 为正三角形,易知周长为定值 l 的正六边形与正三 角形面积不等,故 S 不为定值.

[类题]:

1.①(2003 年第 14 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面 图形”.棱长为 1 的正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,E 为 AB 中点,F 为 CC1 中点,过 D1、E、F 三点的截面图形的周长等于 截面的面积为 . 2.①(2005 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)正方体的截平面不可能 是 ... ①钝角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形. ②(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、BC 的中点 E、F 作一个截面,使截 . ②(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则到直线 A1D1 及 AB1 的距离相等的 .

20
面与底面 ABCD 所成的角为 45 ,则此截面的形状是( (A)三角形或五边形 (B)三角形或六边形
0

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) (C)六边形 (D)三角形或四边形 .

③(1999 年全国高中数学联赛河北初赛试题)一个正方体内接于一个圆锥(其中一个底面在圆锥底面上,相对的面的四 个顶点均在圆锥的侧面上),经过圆锥的两条母线作截面,则下列图形中不可能出现的图形个数是

3.①(1983年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)点P在单位正方体的ABCD?A'B'C'D'的棱CD上滑动,过P、A、C'做截面,所 得截面的面积的最小值是_____. ②(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 的截面面积为 S,Smax 和 Smin 分别为 S 的 最大值和最小值,则
S max 的值为 S min

.

③(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)棱长为 1 的正方体和它的外接球与一个平面相交得到的截面是一 个圆及它的内接正三角形,那么球心到该截面的距离等于 截面,则该截面与底面夹角的正弦值等于_____. ②(1991年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)用平面去截一个正四棱柱,使截面为菱形,且有一个内角为30 ,则截面与 底面所成的二面角大小为_____. ③(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正三棱柱 ABC-A1B1C1 底面的边长及高都是 2cm,过 AB 作一个截面,截 0 面与底面 ABC 成 60 角,则截面的面积为 . 5.①(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)过正三棱锥的一条侧棱及底面中心作一个截面,若截面是等腰三角形, 侧面与底面所成角为θ ,则 cosθ = 则此棱锥侧面与底面所成的二面角的大小是 解:arccos
6 . 6
0

.

4.①(1987年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四棱锥底面边长为a,侧棱长为l(l>a),过底面一顶点作垂直于对棱的

. .

②(2005 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别是 SB、SC 的中点若截面 AMN⊥侧面 SBC,

6.①(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面α 去截此四棱锥,使得截 面四边形是平行四边形,则这样的平面α ( (A)不存在 (B)只有 1 个 ) (C)恰有 4 个 . (D)有无数多个

②(2000 年第 11 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三棱台 ABC–DEF 上、下底面边长的比是 1:2(上底为 ABC),G 是侧 棱 CF 的中点,则棱台被截面 AGE 分成的上、下两部分体积的比是

4.粘接切割 [例 4]:(1996 年全国高中数学联赛试题)已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都
相等的六面体,并且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________.

[解析]:

[类题]:
1.(1995年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在棱长为a的正方体ABCD ?A1B1C1D1的相邻两个面上有两个正四棱锥V1? A1B1C1D1和V2?BB1C1C(V1、 V2都在正方体的外部),且这两个正四棱锥的侧面都是正三角形,则∠V1B1V2的大小是_____(用反三角 函数表示). 2.(2009 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)现有一个正四面体与一个正四棱锥,它们的所有棱长都相等,将它们重叠一 个侧面后,所得的几何体是( (A)四面体 ) (B)五面体 (C)六面体 (D)七面体

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新多面体的面数是 可达到 . .

21

3.(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将棱长为 a 的正四面体和棱长为 a 的正八面体的一个面重合,得到的 4.(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将一个三棱锥和一个三棱柱接成一个多面体,这个多面体的面数最少 5.(2003 年第 14 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三个 12cm×12cm 的 正方形的纸都被连接两邻边中点的直线分成两片,把这 6 片粘在一个正六 边形的外面,然后折成一个多面体,则这个多面体的体积等于____ cm .
3

图1

6.(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)把一个长方体切割成 k 个四面体,则 k 的最小值是 解:据等价性,只须考虑单位正方体的切割情况,先说明 4 个不够,若为 4 个, 因四面体的面皆为三角形,且互不平行,则正方体的上底至少要切割成两个 三角形,下底也至少要切割成两个三角形,每个三角形的面积≤
1 ,且这四个 2

.

D1 A1 D

C1

三角形要属于四个不同的四面体,以这种三角形为底的四面体,其高≤1,故四 个不同的四面体的体积之和≤4(
1 1 × ×1)<1,不合;所以 k≥5,另一方面,可 3 2

B1 C

将单位正方体切割成 5 个四面体;例如从正方体 ABCD-A1B1C1D1 中间挖出一个 四面体 A1BC1D,剩下四个角上的四面体,合计 5 个四面体.

A

B

5.个数最值 [例 5]:(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点,在这样的
一个四面体中,直角三角形最多有 个.

[解析]: [类题]:
1.①(2008 年第 19 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)一个三棱锥的四个面所在的平面把空间分成的部分数为 ②(1994 年第 5 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)一个正三棱柱的各个面所在的平面将空间分为 k 个部分 k 则 k= . .

2.①(1996 年第 7 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知棱长为 1 的正方体,以它的 8 个顶点为顶点组成三角形,其中面 积为
2 的有 2

个.

②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正方体每个面上正方形的对角线叫做正方体的面对角线.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 BD1 垂直的面对角线的条数是 . ③ (1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题 ) 与正方体各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数 是 . 3.①(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)四个面都是正三角形的几何体叫做正四面体.用一个平面去切正四 面体,使它成为形状大小都相同的两个几何体,这样的平面的个数为 . ②(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体.正四面体的四 个正三角形面的 12 条中线能形成数值不同的 k 个锐角,则 k 的数值是 面与底面 BCD 所成角为 75 ,这样的截面共可作出
0

.

③(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)过正四面体 ABCD 的顶点 A 作一个形状为等腰三角形的截面,且使截 个.

4.①(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平面α 、β 所成的锐角为 40 ,过空间中一个定点 P 作与α 、β 所成 的角都等于 80 的平面,这样的平面有且仅有
0

0

个.

②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)在正五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1 的侧棱 CC1 上有一点 P,若截面 PAE1 与侧 面 AEE1A1 互相垂直,则这样的 P 点( ) (A)一般有两个,特殊情况下仅有一个 (B)有且仅有一个 (C)有两个 (D)有时不存在 5.①(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)5 个顶点不共面的五边形叫做空间五边形,空间五边形的 5 条边所在 直线中,互相垂直的直线对至多有 对 对. ②(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三棱锥 6 条棱所在直线中,互相垂直的成对直线至多有

22
目的,请你想法尽可能少锯几次,那么至少需要锯 次.

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6.(1997 年第 8 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)将棱长为 5 的正方体锯成棱长为 1 的 125 个小正方体,锯 12 次可达到

Ⅴ.解题方法
1.综合分析法 [例1]:(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设平面α 外一定点P到α 的距离为h,α 上的三个动点A、B、C到P的距离
分别为a、b、c,并且∠PBA=90 .则△ABC面积的最大值为
0

(用a、b、c、h表示).

[解析]: [类题]:
1.①(2003 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知正三棱柱 ABC?A1B1C1 中,E 是 BC 的中点,D 是 AA1 上的一个动点,且
AD =m.若 AE∥平面 DB1C,则 m 的值等于 DA 1

.
0

②(2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题)边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成 60 角,M、N 分别是线 段 AC 和 BF 上的点,且 AM=FN,则线段 MN 的长的取值范围是 .
0

解:过点 M 作 MH//BC 交 AB 于 H,则 AM:AC=AH:AB,又 AM=FN,AC=FB,∴FN:FB=AH:AB∴NH//AF,∴NH⊥AB,MH⊥AB,∴∠MHN=60 , 设 AH=x(0≤x≤2),则 MH=x,NH=2-x,∴MN= 3( x ? 1) 2 ? 1 ∈[1,2]. ③(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成120 ,M、 N分别是对角线AC和BF上的点, 且AM=FN.若AB=1,则MN的取值范围是 解 :[
3 ,1]. 2
0

.

2.①(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知正四棱锥 V-ABCD 的棱长都等于 a,侧棱 VB、 VD 的中点分别为 H 和 K, 若过 A、H、K 三点的平面交侧棱 VC 于 L,则四边形 AHLK 的面积为__________. ②(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 成 60 的二面角,顶点 A 在面 BCD 上的射影 H 是△BCD 的垂心,G 是△ABC 的重心,若 AH=4,AB=AC,则 GH=
1 3
0

.
0

解:设面 AHD 交 BC 于 F,则因 AB=AC,故 G 在 AF 上,且 GF= AF,∠AFH=60 ,于是 AF=
4 9

8 3

,FH=

1 4 8 AF= ,GF= ,在三角形 2 3 3 3

GFH 中,由余弦定理得 GH=

21 .

3.①(1999 年全国高中数学联赛河北初赛试题)设三棱锥 P—ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=AB= 3 ,AC= 2 ,∠C 为锐角,K 为棱 AB 上的动点,则△PCK 面积的最小值为 则四边形 EBFD1 的面积最小值为 .
6 . 2

.

②(2009 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 AA1,CC1 上的点,且 AE=C1F,

解:由题意,可得当 E,F 分别是 AA1,CC1 的中点时,四边形 EBFD1 的面积可取到最小值

4.①(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上, 则此直角三角形的斜边长是 .

②(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)三棱锥 P-ABC 中,?APB=?BPC=?CPA=90 ,D 为底面 ABC 内的一 点,?APD=45?,?BPD=60?,则?CPD 的余弦值为 .
0

5.①(1999 年第 10 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)有两块直角三角板,一块三角板的两条直角边的长分别是 1, 3 ;另 一块三角板的两条直角边的长分别是 3 , 3 .这两块三角板有两对顶点重合,且成 90?的二面角,则不重合的两个顶点的距 离等于 .
0

②(2003年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在平面α 上有一个△ABC,∠ABC=60 ,AC=3.在平面α 的两侧分别有点S、 T,满足SA=SB=SC=2,TA=TB=TC=3,则ST的长为_____. ③(1995 年第 6 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 A 关于直线 BD1、A1C 的对称

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点分别为 P、Q,则 P、Q 间距离等于 面与底面所成角的大小为_____. .

23

6.①(2002 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四棱台的上底、 下底及侧面(四个等腰梯形)的面积之比为 2:5:8,则侧 ②(1997 年第 8 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=6,BC=3,在线段 BD、 A1C1 上各有一动点 P、 Q,在 PQ 上有一点 M,且 PM=2MQ,则 M 点轨迹图形的面积为 .

2.类比推理法 [例 2]:(1995 年全国高中数学联赛试题)设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与
PA,PB 的延长线分别交于 Q,R,则和式
1 1 1 ( ? ? PQ PR PS

)

(A)有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数

[解析]:类比到等腰△ABC 中,过底边 BC 中点的直线分别与 AB,AC 交于点 M,N,则 [类题]:

1 1 ? =常数. AM AN

1.①(2003 年全国 I 高考题)在平面几何中,有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB,AC 互相垂直,则 AB2+AC2=BC2” 拓展到空 间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥 A-BCD 的 三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则 ②(2004 广东高考试题)由图(1)有面积关系: B
B? B?
S ?PA?B? S ?PAB ? P A? ? P B ? PA ? PB

.” ,则由图(2)有体积关系:
V P ? A?B?C ? V P ? ABC

=

.

B
C?

C A

P

A?

A

P

A?

③(2002 年上海春季招生试题)如下图,若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点 M1、M2 与点 N1、N2,则三角形 面积之比
S ?OM1N1 S ?OM 2 N2 ? OM1 ON1 ? .若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 OP、OQ 和 OR 上,分别有点 P1、P2,点 Q1、 OM2 ON2

Q2 和点 R1、R2,则类似的结论为 M1 M2 O N2 N1 (A)V1<V2<V3 N

.

M P1 P2 Q2 P (C)V3<V1<V2 Q R1 Q1

O

R2 R )

2.(1993 年第 4 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)已知正方体、 等边圆柱、 球的表面积都是 S,体积依次是 V1,V2,V3,则( (B)V3<V2<V1 (D)V2<V1<V3

3.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设一个四面体的体积为V1,以它的各棱的中点为顶点构成一个凸多面体,其体 积为V2.则
V2 = V1

.

4.(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设有一个体积为 54 的正四面体,若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体, 则所作四面体的体积为 . . 5.(2008 年第 19 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)过四面体一个顶点的三条棱的中点可以确定一个平面,这样的平面有 4 个,用这样的四个平面截去 4 个小棱锥后,剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比是 1cm、2cm和3cm,则它到第四个面的距离为_____cm.

6.(1994年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在一个棱长为5 6 cm的正四面体内有一点P,它在三个面的距离分别是

24
空间向量最有效的途径是与平面向量进行类比. 平面向量 向量的坐标 a=(x,y); 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A B =(x2-x1,y2-y1). 向量的运算:a=(x1,y1),b=(x2,y2) 1.加法运算:a+b=(x1+x2,y1+y2); 2.减法运算:a-b=(x1-x2,y1-y2); 3.数乘运算:λa=(λx1,λy1)(λ∈R) 4.数积运算:a.b=x1x2+y1y2. 基本结论:a=(x1,y1),b=(x2,y2) 1.a∥b ? x1:x2=y1:y2; 2.a⊥b ? x1x2+y1y2=0; 3.|a|= x12 ? y12 ; 4.cos<a,b>=
x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ?
2 x2

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向量可以用来深入精确的研究形的问题,尤其是立体几何问题.对此必须建立空间向量的基本理论.学习、理解、认识

空间向量 向量的坐标 a=(x,y,z); 若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 A B =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 向量的运算:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 1.加法运算:a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2); 2.减法运算:a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2); 3.数乘运算:λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R) 4.数积运算:a.b=x1x2+y1y2+z1z2. 基本结论:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 1.a∥b ? x1:x2=y1:y2=z1:z2; 2.a⊥b ? x1x2+y1y2+z1z2=0 3.|a|= x12 ? y12 ? z12 ; 4.cos<a,b>=
x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 x12
2 2 2 ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2

?

2 y2

基本定理: 1.基底定理:如果 a、b 是平面内二个不共线向量,x 是平面内的任意向量,那么存在唯一的一组实数 (x,y),使得 x=xa+yb;

基本定理: 基底定理:如果 a、b、c 是空间内三个不共面的向量,x 是 空间内的任意向量,那么存在唯一的一组实数(x,y,z),使 得 x=xa+yb+zc;

2.三点共线:如果点 O 不在直线 AB 上,则三点 A、B、 2.四点共面:如果点 O 不在平面 AB 上,则四点 A、B、C、P P 共线 ? O P =λ OA +μ O B ,其中,λ+μ=1. 共面 ? O P =λ OA +μ O B +η O C ,其中,λ+μ+η=1.

1.直线的方向向量:直线 l 上任意两点 A、B,则称 AB 为直线 l 的方向向量. 2.平面的法向量:如果直线 l 垂直于平面α ,那么直线 l 的方向向量称为平面α 的法向量. 3.平行与垂直:如果直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b,平面α 、β 的法向量分别为 m、n,则:①l1∥l2 ? a∥b;②l1⊥ l2 ? a.b=0;③l1∥α ? a.m=0,且直线 l1 不在平面α 内;④l1⊥α ? a∥m;⑤α ∥β ? m∥n;⑥α ⊥β ? m.n=0. 4.夹角问题:如果直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b,平面α 、β 的法向量分别为 m、n,则:①若直线 l1 与 l2 的夹角为 θ ,则 cosθ =| θ =|
m?n | m |?| n | a ?b | a |?|b |

|;②若直线 l1 与平面α 的夹角为θ ,则 sinθ =|

a?m | a |?| m |

|;③若平面α 与平面β 的夹角为θ ,则 cos

|.

5.距离问题:如果直线 l 的方向向量为 a,a 同向的单位向量为 a0,平面α 的法向量分别为 m,m 同向的单位向量为 m0. ①点到直线的距离:如果点 A 在直线 l 上,则点 P 到直线 l 的距离 d= | PA |2 ? | PA ? a0 |2 ;②点到平面的距离:如果点 A 在平 面α 上,则点 P 到平面α 的距离 d=| P A ? m0|;③异面直线的距离:如果向量 m 与两异面直线 l1 与 l2 的方向向量分别垂直,且

P∈l1,Q∈l2,则直线 l1 与 l2 的距离 d=

| PQ? m | |m|

.

6.特殊平面的法向量:①如果平面α ∥平面 xOy,则平面的法向量 m=(0,0,1);②如果平面α 在 x、y、z 轴上的截距分 别为 a、b、c(abc≠0),则平面α 的法向量 m=( , , );③如果平面α ∥x 轴,且在 y、z 轴上的截距分别为 b、c(bc≠0), 则平面的法向量为 m=(0 , , );④如果平面α 经过 x 轴和点 P(a,b,c),则平面α 的法向量 m=(0,c,-b);⑤如果平面α 经过
1 1 b c

1 1 1 a b c

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1 1 a b 1 c

25

点 O(0,0,0),A(a,0,c),B(0,b,c),则平面α 的法向量 m=( , ,? );⑥如果平面α 经过点 A(a,0,c+h),B(0,b,c+h),C(0,0, h),则平面α 的法向量 m=( , , ). 空间直角坐标系的建立可以给我们提供一种解决立体几何问题的方法,即解析法.学习解析法要建立在对空间直角坐 标系的认识的基础上,理解、认识空间直角坐标系最有效的途径是与平面直角坐标系进行类比. 项目 坐标系 平面解析几何 有相同的单位长度和公共原点,且相互垂直 的两条数轴构成平面直角坐标系. 基本图 y P(x,y) O x x 点坐标 两点距 离公式 P(x,y) 如果 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 |PQ|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 如果 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),且 AP ? ? PB , 则 x=
y ? ?y 2 x1 ? ?x2 ,y= 1 . 1? ? 1? ?
x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2
1 1 1 a b c

空间解析几何 有相同的单位长度和公共原点,且两两相互垂直的 三条数轴构成空间直角坐标系. z P(x,y,z) O y

P(x,y,z) 如果 P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2),则 |PQ|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( z1 ? z2 ) 2 如果 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),P(x,y,z)且 AP ? ? PB , 则 x=
y ? ?y 2 x1 ? ?x2 z ? ?z2 ,y= 1 ,z= 1 . 1? ? 1? ? 1? ?
x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ). 2 2 2

定比分 点公式

特别地 AB 的中点 P( 基本图 的方程

特别地 AB 的中点 P(

1.直线的截距式方程:如果直线 l 在 x、y 轴 上的截距分别为 a、b(ab≠0),则直线 l 的方 程为:
x y ? =1; a b

1.平面的截距式方程:如果平面α在 x、y、z 轴上的 截距分别为 a、b、c(abc≠0)则平面的方程 为:
x y z ? + =1; a b c

2.直线的一般式方程:ax+by+c=0. 3.圆的方程:(x-a) +(y-b) =r (r>0),其中,圆 心 M(a,b),r 为半径. 法向量 平行 判定 垂直 判定 夹角 公式 直线 ax+by+c=0 的法向量 m=(a,b). 如果直线 l1:a1x+b1y+c1=0 与 l2:a2x+b2y+ c2=0,则 l1∥l2 ? a1:a2=b1:b2≠c1:c2. 如果直线 l1:a1x+b1y+c1=0 与 l2:a2x+b2y+ c2=0,则 l1⊥l2 ? a1a2+b1b2=0. 如果直线 l1:a1x+b1y+c1=0 与 l2:a2x+b2y+ c2=0,则 l1 与 l2 的夹角θ满足:
2 2 2

2.平面的一般式方程:ax+by+cz+f=0. 3.球的方程:(x-a) +(y-b) +(z-c) =R (R>0),其中, 球心 M(a,b,c),R 半径. 平面 ax+by+cz+f=0 的法向量 m=(a,b,c). 如果平面α:a1x+b1y+c1z+f1=0=0 与β:a2x+ b2y+c2z+f2=0,则α∥β ? a1:a2=b1:b2=c1:c2≠f1:f2. 如果平面α:a1x+b1y+c1z+f1=0=0 与β:a2x+ b2y+c2z+f2=0,则α⊥β ? a1a2+b1b2+c1c2=0. 如果平面α:a1x+b1y+c1z+f1=0=0 与β:a2x+ b2y+c2z+f2=0,则α与β的夹角θ满足:
2 2 2 2

cosθ= 点线 (面)距 离

| a1a2 ? b1b2 | a12 ? b12 ?
2 a2 2 ? b2

.

cosθ=
a12

| a1a2 ? b1b2 ? c1c2 |
2 2 2 ? b12 ? c12 ? a2 ? b2 ? c2

.

点 P(x0,y0)到直线 ax+by+c=0 的距离 d=
| ax0 ? by0 ? c | a ?b
2 2

点 P(x0,y0,z0)到平面 ax+by+cz+f=0 的距离 d=
| ax0 ? by0 ? cz0 ? f | a 2 ? b2 ? c2

.

.

特别地,两平行直线的距离为什么?

两平行平面的距离为什么?

3.自由向量法

26
(A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个

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) (D)有无穷多个

[例 3]:(2005 年全国高中数学联赛试题)空间四点 A、 B、 C、 D 满足|AB|=3,|BC|=7,|CD|=11,|DA|=9,则 AC ? BD 的取值( [解析]:设 AB =a, AC =b, AD =c,|a|=3,|c|=9,由|BC|=7,|CD|=11 ? |a-b|=7,|b-c|=11 ? b2-2ab=40,b2-2bc=40 ? ab=bc
? AC ? BD =b(c-a)=bc-ab=0.

[类题]:
1.(2008 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知正三棱锥 P-ABC 的底面正三角形的边长为 1,其外接球的球心 O 满足 OA +
OB ? OC =0,则这个正三棱锥的体积为__________.

2.①(1998 年第 9 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)空间四边形 ABCD 中,AB=AD=2,BC=CD=3,则 BD 与 AC 所成的角的正弦 值为 _____度. 3.①(1995 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体 ABCD 的棱长是 16,E 是棱 AB 的中点,F 在棱 CD 上,若 CF=5,则 线段 EF 的长等于_____. ②(2005年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体ABCD的棱长为6cm,在棱AB、 CD上各有一点E、 F,若AE=1cm,CF=2cm, 则线段EF的长为_____cm. ③(2012 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)在正四面体 ABCD 中,AO⊥平面 BCD,垂足为 O.设 M 是线段 AO 上一点,且满 足∠BMC=
? AM ,则 = 2 MO

.

②(1986 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)空间四边形的两组对边的平方和相等,那么它的两条对角线所成的角是

.
1 1 1 ( BC + BD )=a+ [(b-a)+(c-a)]= (a+b+c),设 AM =λ (a+b+ 3 3 3
2 2 2 2 2

解:设 AB =a, AC =b, AD =c,则 AO = AB + BO = AB +

c), 则 BM = λ (a+b+c)-a, CM = λ (a+b+c)-b, 由 BM CM =0 ? λ ( λ -1)a +[( λ -1) + λ ]ab+( λ + λ -1)ac+ λ bc+ λ ( λ -1)b +λ c =0,设|a|=m,则 a =b =c =m ,ab=bc=ca=
2 2 2 2 2 2

AM 1 2 1 m ?λ = ? =1. MO 2 6

4.①(2010 年全国高中数学联赛试题)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1 的中点,二面角 B-A1P-B1=α ,则 sinα = 它的侧棱长为 . .
2 . 2

②(2008 年全国高中数学联赛福建初赛试题)己知一个正三棱柱的底面边长为 1,且两个侧面的异面对角线互相垂直.则

解:设 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,侧棱的长为 a,侧面对角线 AB1 与 BC1 互相垂直.则 a=

5.(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,顶点 A 出发的三条棱 AA1、AB、AD 的长度分别为 2、3、4 且两两夹角都为 60 ,那么这个平行六面体的四条对角线 AC1、BD1、DB1、CA1 的长度(按顺序)分别为________. 6.(1992年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中,已知对角线A1C=4,B1D=2.若P是空间一点使 PA1=3,PC=5,则PB1 +PD =_____.
2 2 0

4.解析向量法 [例 4]:(1998 年全国高中数学联赛试题)设 E,F,G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 C?FG?E 的大小
是 .

[解析]: [类题]:
1.①(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知正四面体 ABCD 中,AE= 为 . ②(2001 年第 12 届“希望杯”全国数学邀请赛试题)正四面体的侧面三角形的高线中,其“垂足”不在同一侧面上的任 意两条所成角的余弦值是 .
1 1 AB,CF= CD,则直线 DE 与 BF 所成的角 4 4

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解:解析向量法.

27

2.①(1999 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)正四面体 ABCD 的棱长为 1,点 G 是底面△ABC 的重心,点 M 在线段 DG 上, 且使得∠AMB=90 ,则 DM 的长为_____. 解:解析向量法. ②(2006 年全国高中数学联赛试题)在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,∠BAC=
? ,AB=AC=AA1=1.已知 G 与 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中 2
0

点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点).若 GD⊥EF,则线段 DF 的长度的取值范围为 3.(2004 年全国高中数学联赛试题)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1-A1 的度数是____________.

.

4.(2010 年全国高中数学联赛福建初赛试题)在棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,△PAB 为等边三角形,O 为 AB 边中点, 且 PO⊥面 ABCD,则二面角 P-AC-D 的余弦值为_________. 5.(2011 年全国高中数学联赛试题 B)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 6,M、N 分别是 BB1、B1C1 上的点,MB1=NB1=2,S、P 分别是线段 AD、MN 的中点,则异面直线 SP 与 AC1 的距离为 解: 6.(2009 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)如图,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体,P-A1B1C1D1 是正四棱锥,且 P 到平面 ABC 的距离为 面直线 A1P 与 BC1 的距离是 解:
6 . 3
3 AB,则异 2
A1 D C A B

.

P
D1 C1

B1

.

5.解析分析法 [例 5]:(2011 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在长方体 ABCD-EFGH 中,设 P 是矩形 EFGH 的中心,线段 AP 交平面 BDE
于点 Q,AB=3,AD=2,AE=1,则 PQ= .

[解析]: [类题]:
1.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、 F分别是AB、 AA1的中点.则平面CEB1与平面D1FB1 所成二面角的平面角的正弦值为 BC 的中点,那么四面体 B1-EFD 的体积是 和 CC1 的中点.则四面体 O-MNB1 的体积为 . . . . 2.(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=AD=1,点 E、F、G 分别是棱 AA1、C1D1 与 3.(2009 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 A1D1 4.(2008 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点, 动点 P 在圆锥底面内(包括圆周),若 AM⊥MP,则 P 点形成的轨迹的长度为 解:建立空间直角坐标系,设 A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0, 3 ),M(0,0, 形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长度为 2 1 ? ( )2 =
3 4
7 . 2

3 3 ),P(x,y,0),由于 AM⊥MP,所以 y= ,此为 P 点 4 2

5.(1996 年第 7 届 “希望杯” 全国数学邀请赛试题)在三棱锥 P–ABC 中,∠APC=∠CPB=∠BPA= 是底面 ABC 内一点,则 M 到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 解:建立空间直角坐标系,设 A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4) ? 平面 ABC: x+ y+ (
1 2 144 1 2 2 2 2 2 2 2 ) +( ) ](x +y +z ) ? x +y +z ≥ . 3 4 41 1 3 1 3

? ,并且 PA=PB=3,PC=4,又 M 2

.
1 1 1 1 2 1 2 z=1 ? 1=( x+ y+ z) ≤[( ) + 4 3 3 4 3

6.(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知单位正方体 ABCD—EFGH 棱 AD 与直线 BC 上分别有动点 Q、 P.若△PQG 与 △BDE 相截得到的线段 MN 长度为 y,设 AQ=x(0≤x≤1),则 y 的最小值写成关于 x 的函数关系式是 解:当 AQ=x 时,设 GQ 与面 BDE 交于点 N,作 NM⊥BD 于点 M,联结 QM 交直线 BC 于点 P,此时 y=|MN|最小. 建立如图的空间直角坐标系,则 Q(0,x,1),N(
1? x 1? x 2 3 1? x 3 1? x 6 1? x , , ),M( ( ),1- ( ),1) ? y=|MN|= ( ). 3? x 3? x 3? x 3? x 2 3? x 2 3? x 2

.

A B C

D


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