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高一数学 第三讲 函数的增减性


函数的增减性
一、 概念 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 I ? A 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1 )<f(x2 ),那么就说 y=f(x)在区间 I 上是 增函数。I 称为 y=f(x)的单调增区间。 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1 )>f(x2 ),那么就说在这个区间 I 上是减 函数。I 称为 y=f(x)的单调减区间。 1. 证明函数 f ( x ) ? x ?
2 x

在 ( 2 , ?? ) 上是增函数.

2.归纳解题步骤 归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、断号、定论. 练习:证明函数 f ( x ) ?
x

在 [ 0 , ?? ) 上是增函数.

问题:要证明函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 上是增函数,除了用定义来证,如果可以证得对任意的 x 1 , x 2 ? ( a , b ) , 且 x1 ? x 2 有
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 ? 0 可以吗?

分析这种叙述与定义的等价性.尝试用这种等价形式证明函数 f ( x ) ? ①如果函数 f ? x ? 对区间 D 内的任意

x

在 [ 0 , ?? ) 上是增函数.

x 1 , x 2 ,当 x 1 ? x 2 时都有 f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ,则 f ? x ? 在 D 内是增函数;

当 x 1 ? x 2 时都有 f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ,则 f ? x ? 在 D 内是减函数。 ②设 x 1 , x 2 ? ?a , b ? ,那么
f ? x1 ? ? f ? x 2 x1 ? x 2 f ? x1 ? ? f ? x 2 x1 ? x 2

?

? 0 ? f ? x ? 是增函数;

?

? 0 ? f ? x ? 是减函数。

二、主要方法: 因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定 1 . 讨论函数单调性必须在其定义域内进行, 义域的子集;
1

2 . 判断函数的单调性的方法有:

? 1 ? 用定义; ? 2 ? 用已知函数的单调性; ? 3 ? 利用函数的导数; ? 4 ? 如果 f ( x ) 在区间 D 上是增(减)函数,那么 f ( x ) 在 D 的任一非空子区间上也是增(减)函数 ? 5 ? 图象法; “同增异减” ? 6 ? 复合函数的单调性结论: ? 7 ? 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. ? 8 ? 互为反函数的两个函数具有相同的单调性.
增函数 f ( x ) ? 增函数 g ( x ) 是增函数; 减函数 f ( x ) ? 减函数 g ( x ) 是减函数; 增函数 f ( x ) ? (9 ) 在公共定义域内, 减函数 g ( x ) 是增函数;减函数 f ( x ) ? 增函数 g ( x ) 是减函数。

? 1 0 ? 函数 y
递减。

? ax ?

b

? (a ? 0, b ? 0) 在? ? ? , ? ? x ?

? b ? ?或 ? a ? ?

b

? ? , ? ? ? 上单调递增;在 ? ? ? a ? ?

b

? ,0 ?或 ? a ?

? b ? ? 0 , ? 上是单调 ? a ? ?

3 . 证明函数单调性的方法:

? 1 ? 利用单调性定义①:如果函数 f ? x ? 对区间 D 内的任意 x 1 , x 2 ,当 x 1 ? x 2 时都有 f ? x 1 ? ? 在 D 内是增函数;当 x 1 ? x 2 时都有 f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ,则 f ? x ? 在 D 内时减函数。 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ? f ? x ? 在是增函数; ? 2 ? 利用单调性定义②:设 x 1 , x 2 ? ?a , b ? ,那么
f ? x1 ? ? f ? x 2 x1 ? x 2

f ? x 2 ? ,则 f ? x ?

?

x1 ? x 2

? 0 ? f ? x ? 在是减函数。

三、函数单调性课堂练习 如果函数 y=f(x)在区间 I 上是单调增函数或是单调减函数,那么就说函数 y=f(x)在区间 I 上具有单调性.已 知函数 y=f(x)的图象,根据图象写出函数的单调区间: y y
?
2

a

b O

c

d

x

??

?

O

?
2

?

x

1.下列函数在区间(0,+ ? )上不是增函数的是( A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y=
3 x

) D.y=x2+2x+1

2. 下列函数中,属于增函数的是 [

]

2

3. 若一次函数 y=kx+b(k≠0)在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则点(k,b)在直角坐标平面的 [ A.上半平面
2

]

B.下半平面

C.左半平面

D.右半平面 ]

4.函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 [ A.a≥3 B.a≤-3
2 2

C.a≤5 ]

D.a=-3

5. 已知 f(x)=8+2x-x ,如果 g(x)=f(2-x ),那么 g(x)[ A.在区间(-1,0)内是减函数 C.在区间(-2,0)内是增函数 6.在区间 上为增函数的是(

B.在区间(0,1)内是减函数 D.在区间(0,2)内是增函数 ).

A.

B.

C.

D.

7.

的增区间是(

)。

A.

B.

C. ;

D.

8.(1)若函数 y=kx+2 在 R 上为增函数,则 k 的范围是
2

(2)若函数 y=x —mx+5 在(— ? ,2)为减函数,在(2,+ ? )上为增函数,则 m= 9.y=f(x)在定义域上是单调递增函数,且 f(x)>0,那么在同



函数;y=[f(x)] 是单调______函数. 10. 在 11.函数 12.已知 13.函数 在 都是减函数,则 ,当 在 上是____函数(填增或减). 时是减函数,则 ,则 的值为_______. .

2

时,是增函数,当 是常数),且 上是减函数,则

的取值范围是_______.

3

14.若函数 15.已知 ① ②

在区间 在定义域内是减函数,且 ( (

上是减函数,则实数

的取值范围是__________.

,在其定义域内判断下列函数的单调性:

为常数)是___________; 为常数)是___________;

③ ④

是____________; 是__________.

16.设



是增函数,





是减函数,则

是_______函数;



________函数;
2

是_______函数.

17.(1)函数 f(x)=x -1 在(-∞,0)上是减函数;、

18. 已知 f(x)=-x -x+1(x∈R), 证明 y=f(x)是定义域上的减函数, 且满足等式 f(x)=0 的实数值 x 至多只有一个.

3

4

19.判断一次函数

单调性.

20.证明函数



上是增函数,并判断函数



上的单调性.

21.判断函数

的单调性.

22.定义域为 R 的函数 y=f(x),对任意 x∈R,都有 f(a+x)=f(a-x),其中 a 为常数.又知 x∈(a,+∞)时,该函 数为减函数,判断当 x∈(-∞,a)时,函数 y=f(x)的单调状况,证明自己的结论.

23.设 f(x)是定义在 R 上的递增函数,且 f(xy)=f(x)+f(y)

+

(2)若 f(3)=1,且 f(a)>f(a-1)+2,求 a 的取值范围.

24.函数

对于

有意义,且满足条件
5





是非减函数,(1)

证明

;(2)若

成立,求

的取值范围.

25.已知函数

(1)



,证明:

(2)证明



上是增函数

26.函数



,求函数

的单调区间.

6

27.求证:



上不是单调函数.

28.根据函数单调性的定义,证明函数



上是减函数.

29.设

是定义在

上的增函数,

,且

,求满足不等式

的 x 的取值范围.

7

关于复合函数
1、复合函数的概念

如果 y 是 a 的函数,a 又是 x 的函数,即 y=f(a),a=g(x),那么 y 关于 x 的函数 y=f[g(x)]

叫做函数 y=f(x)和 a=g(x)的复合函数,其中 a 是中间变量,自变量为 x,函数值 y。

例如:函数

是由

复合而成立。

函数

是由

复合而成立。

a 是中间变量。

2、复合函数单调性

定理:一般地,设函数 u=g(x)在区间 M 上有意义,函数 y=f(u)在区间 N 上有意义,且当 X∈M 时,u∈N。

有以下四种情况:

(1)若 u=g(x)在 M 上是增函数,y=f(u)在 N 上是增函数,则 y=f[g(x)]在 M 上也是增函数;

(2)若 u=g(x)在 M 上是增函数,y=f(u)在 N 上是减函数,则 y=f[g(x)]在 M 上也是减函数;

(3)若 u=g(x)在 M 上是减函数,y=f(u)在 N 上是增函数,则 y=f[g(x)]在 M 上也是减函数;

(4)若 u=g(x)在 M 上是减函数,y=f(u)在 N 上是减函数,则 y=f[g(x)]在 M 上也是增函数。

注意:内层函数 u=g(x)的值域是外层函数 y=f(u)的定义域的子集。

例、讨论函数的单调性

(1)

(2)

8

一.复合函数 y=f[g(x)]的单调性规律
若函数 y=f(x)是由外函数 y=f(u)和内函数 u=g(x)复合而成,则复合函数 y=f[g(x)]的单调性与各分函数 y=f(u),u=g(x)的单调性之间的关系如下表:







三个以上分函 数

y=f(u) u=g(x) y=f[g(x)] 判断原则

↗ ↗ ↗

↗ ↘ ↘

↘ ↗ ↘

↘ ↘ ↗ 偶数个减为增 奇数个减为减

“同增异减”

二.判断原则是“同增异减”------两分函数的单调性相同时复合函数为增函数,两分函数的单调性不
同时复合函数为减函数。

具体步骤是:1.

求定义域;2. 把复合函数分解成若干基本初等函数;3. (外函数不单调时)依中间变量 u

的范围求自变量 x 的范围;4. 依“同增异减”原则判断复合函数的增减性。 具体题目根据内外函数的难易情况分以下几类: (1)内外均简:在其定义域上内外函数均单调。 (2)内繁外简:在其定义域上内函数不单调外函数单调。 (3)内简外繁:在其定义域上外函数不单调内函数单调。 (4)内外均繁:内外函数均不单调。 (5)含参型:函数中含有参数。 (6)分函数有两个以上:分函数中减函数有奇数个时复合函数减、偶数个时增。

9

例 1 函数 y= x ( x ? 0 )的单调性是 例2 求 y=log0.5(-x +4x+3)的单调区间。(内繁外简)
2

。(内外均简)

例 3 求 y=4 +6?2 +2 的增区间。(外繁内简)

x

x

例4

函数 f(x+1)= x -2x+1 的定义域[-2,0]。求 f(x)的单调区间。

2

练习:f(x)与 g(x)= 关于 y=x 对称,求 f(3x-x )的减区间。

2

例 5 求函数 y=x

4

-2x +6 的单调区间(内外均繁)。

2

10

练习 .已知 f(x)=8+2x-x . g(x)=f(2-x )。求 g(x)的单调区间。

2

2

例 6 判断函数 f(x)=loga(1-a )的单调性(含参型)。

x

练习:1.函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,求 a 的取值范围。

2.函数 y=log0.5(3x

2

-ax+5)在(-1,+∞)上单调递减,求 a

的取值范围。

3.求 y =lg(2 +1)+lg(2 -2)的单调区间(三个分函数)。

x

x

11

二.两函数的运算:两个单调函数的运算,只有(同性的和、异性的差、相反三类)
1.增+增=增 减+减=减;2.增-减=增 减-增=减;3.-增(减)=减(增)其它均不确定。

f(x) g(x) f(x)+g(x) -f(x) f(x)-[-g(x)] 单调性 ↗ ↘ 原则 ↗ ↘ ↗ ↘ ↘ ↗ ↗ ↘

同性之和不需变,异性之差看被减,其它 运算不确定

同性和不变,异性差被减,负的增减反,其余不能判断。

12

函数单调性课后练习题
1. (1)已知函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围
2



. (2) 已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 的递减区间是(-∞, , 4]则实数 a 的取值范围是 .

(3)已知 x∈[0,1],则函数

y ?

2x ? 2 ?

1 ? x的最大值为_______最小值为_________

2.讨论函数 f(x)=

ax 1? x
2

(a≠0)在区间(-1,1)内的单调性.

3.判断函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论;如果 x∈(0,+∞) ,函数 f(x)是增 函数还是减函数?

4.已知:f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-1)<f(x2-1)求 x 的取值范围.

5.设 y=f(x)的单增区间是(2,6),求函数 y=f(2-x)的单调区间.

13

6.函数 f ( x ) ? A. 0 ? a ?

ax ? 1 x ? 2 1 2

在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是( ) B. a ?
1 2

C.a<-1 或 a>1

D.a>-2

? 2 ?x +4x,x≥0, 7.已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ?4x-x ,x<0. ?

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

8.已知 f(x)在其定义域 R+上为增函数,f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),解不等式 f(x)+f(x-2) ≤3

9.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( (1)求 f(1)的值;? (2)判断 f(x)的单调性;? (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2.?

x1 x2

)

=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0.

10.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1.? (1)求证:f(x)是 R 上的增函数;? 2 (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3.?

11.设 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且在(0,+∞)是递增的, f ( ) ? f ( x ) ? f ( y )
y

x

(1)求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y) ; (2)设 f(2)=1,解不等式 f ( x ) ? f (
1 x ?3 ) ? 2。

14

3-ax (a≠1). a-1 (1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 12.已知函数 f(x)= 13. 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x ) , f ( 0 ) ? 0 , 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? 1, 且 对 任 意 的 a 、b ? R , 有
f ( a ? b) ? f ( a)?

(1)求 f ( 0 ) 的值; (2)求证: 对任意的 x ? R , 恒有 f ( x ) ? 0 ; (3)若 f ( x ) ? f ( 2 x ? x ) ? 1 , f ( .b)
2

求 x 的取值范围.

2 14.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

15

小测试
1.(1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围 是 . (2) 已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 的递减区间是(-∞, , 4]则实数 a 的取值范围是 . (3)已知 x∈[0,1],则函数 y ? 2 x ? 2 ? 1 ? x 的最大值为_______最小值为_________ 2.讨论函数 f(x)=
ax 1? x
2

(a≠0)在区间(-1,1)内的单调性.

3.判断函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论;如果 x∈(0,+∞) ,函数 f(x)是增 函数还是减函数?

4.

已知:f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-1)<f(x2-1)求 x 的取值范围.

5.设 y=f(x)的单增区间是(2,6),求函数 y=f(2-x)的单调区间.

6.函数 f ( x ) ? A. 0 ? a ?

ax ? 1 x ? 2 1 2

在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是( ) B. a ?
1 2

C.a<-1 或 a>1

D.a>-2

? 2 ?x +4x,x≥0, 7.已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ? ?4x-x ,x<0.

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

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8.已知 f(x)在其定义域 R+上为增函数,f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),解不等式 f(x)+f(x-2) ≤3

9.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( (1)求 f(1)的值;? (2)判断 f(x)的单调性;? (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2.?

x1 x2

)

=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0.

10.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1.? (1)求证:f(x)是 R 上的增函数;? 2 (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3.?

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11.设 f(x)的定域为(0,+∞) ,且在(0,+∞)是递增的, f ( ) ? f ( x ) ? f ( y )
y

x

(1)求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y) ; (2)设 f(2)=1,解不等式 f ( x ) ? f (
1 x ?3 ) ? 2。

3-ax (a≠1). a-1 (1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 12.已知函数 f(x)= 13. 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x ) , f ( 0 ) ? 0 , 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? 1, 且 对 任 意 的 a 、b ? R , 有
f ( a ? b) ? f ( a)?

(1)求 f ( 0 ) 的值; (2)求证: 对任意的 x ? R , 恒有 f ( x ) ? 0 ; (3)若 f ( x ) ? f ( 2 x ? x ) ? 1 , f ( .b)
2

求 x 的取值范围.

2 14.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

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