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在高中数学教学中渗透数学文化 - 内容摘要


渗透数学文化教育的高中数学教学研究





内容摘要: 新一轮课程改革无疑是对传统数学教学的挑战,从理念到内容,从 方法到模式,蕴含着古今中外杰出数学人才成长史、数学演变史、数学思维发展史 的数学文化在数学教学中的价值逐渐得到认同,数学课程应当反映数学的历史、应 用和发展趋势,反映数学与社会发展相互作用、相互推动的关系,反映数学科学的 思想体系、美学价值,已经成为数学教育教学研究的共识。在高中数学教学中渗透 数学的科学价值、应用价值、人文价值,进行数学愉快教学,让学生学会体验、欣 赏数学,帮助学生培养热爱数学知识、自主进行数学技能训练,在数学文化的熏陶 中逐步将知识、技能内化为一种数学性格,生成良好的数学素养,是高中数学教学 的新视点,本文结合数学史范例,从高中数学新课程改革的角度探讨数学文化在高 中数学教学的渗透,并通过实验证明,数学文化背景下教与学理念和形式的人文化、 多样化,课题的研究对高中数学教学有着极大的促进作用,将对学生的终身数学学 习的兴趣和能力产生深远的影响,有利于完善学生的数学人格,促进他们身心的健 康发展。

关键词:数学文化

数学素养

数学教学

研究性合作学习

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Abstract
Content: A new wave of course reform is undoubtedly a challenge to contents, from methods to models,

conventional math teaching. From the ideas to

with the development stories of many outstanding mathematical talents history, with the evolvement history of mathematics, and with the history of math thinking, the math culture’s value in math education is gradually recognized and accepted. The math course should reflect math’s history, math’s application and development trend, and math’s interaction and co-development with the society, and reflect math science’s ideology system and aesthetic values. This has become a common recognition in math education research. It is a new viewpoint that teachers teach courses in an enjoyable way with math’s science values, practical values, and humanity values. Meanwhile, teachers help students experience and enjoy math, help them begin to love math knowledge from the bottom of their hearts, help students obtain their math techniques by themselves. In this way, students gradually integrate knowledge and techniques into a math characteristic, and obtain excellent math accomplishments. The paper introduces examples of math history ,from the angles of maths course reform explores math culture’s influence in high school math course teaching. The paper proves with experiments that, it has greatly promoted high school math course teaching, with the humanity and diversification of concepts and forms of teaching and project. It is also beneficial to students’ personality development and their development in physical and mental health, profoundly influenced students’ interests and abilities in learning math throughout their lives.

Key words: Mathematics culture; Mathematics skill set; Mathematics teaching; Researching cooperation and learning

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引言 ·································································································· 1 1 新课程背景下关于数学的思考························································· 1 2 问题的提出 ···················································································· 1 第 1 章 树立数学文化观 ·············································································· 4
1.1 数学与文化 ································································································· 4 1.1.1 关于数学 ·································································································· 4 1.1.2 数学文化的概念界定 ·············································································· 4 1.2 数学文化观 ································································································· 5 1.2.1 数学文化在中学数学教学中的迷失和回归 ·········································· 5 1.2.2 在中学数学教学中树立数学文化观 ······················································ 6

第 2 章 数学文化的形成和发展 ······················································ 7
2.1 数学发展史概述 ························································································· 7 2.1.1 古代数学时期 ·························································································· 7 2.1.2 变量数学时期 ·························································································· 9 2.1.3 近、现代数学时期 ·················································································· 9 2.1.4 我国现代数学的发展 ············································································ 10 2.2 数学文化的发展 ······················································································· 12 2.2.1 几何、微积分、非欧几何与数学文化 ················································ 12 2.2.2 自然、综合国力与数学文化 ································································ 13 2.2.3 人的发展与数学文化 ············································································ 14

第 3 章 高中数学教学渗透数学文化教育的必要性····················· 16
3.1 渗透数学文化教育是高中新课标的要求 ··············································· 16 3.2 渗透数学文化教育是素质教育的重要内容 ··········································· 16 3.3 渗透数学文化教育可以有效激发学习数学的热情 ······························· 18 3.4 渗透数学文化教育有助于全面认识数学的价值 ·································· 19

第 4 章 高中数学教学渗透数学文化教育的实施························· 21 4.1 通过介绍数学史来渗透数学文化教育 ·········································· 21 4.2 创新教学方法,传播数学文化 ···················································· 23 4.2.1 发掘数学的内蕴,展示数学的美学价值 ··································· 23 4.2.2 重视数学思维的培养,崇尚数学的理性精神 ····························· 24 4.2.3 营造良好的课堂文化氛围,体现数学的人文精神 ······················ 26 4.3 渗透数学思想方法,提高学生数学素养 ······································· 27
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4.3.1 运用数学思想方法的创新属性培养数学创新意识 ······················ 27 4.3.2 运用数学思想方法的辩证特点培养正确的世界观、完善认知结构

···································································································· 28 4.3.3 在课堂教学中实施化归、构造函数等数学思想方法的渗透 ········· 28 4.4 开展研究性合作学习,体验感悟数学文化的价值 ························· 30 第 5 章高中数学教学渗透数学文化教育的实验研究 ··················· 36 5.1 实验的目的 ··············································································· 36 5.2 实验的理论依据 ········································································ 36 5.2.1 普通高中数学新课程标准 ······················································· 36 5.2.2 学习理论 ··············································································· 36 5.3 实验设计 ·················································································· 36 5.4 实验结果分析 ··········································································· 37 结语 ································································································ 40 参考文献 ························································································· 41 附录 1······························································································ 43 附录 2······························································································ 44 致谢 ································································································ 46

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一、新课程背景下关于数学的思考



R·柯朗在 M·克莱因所著的《西方文化中的数学》一书的序言中指出:许 多世纪以来,人们一直遵循数学是文化的组成部分的传统,但在我们这教育普及 的时代,这一传统却被抛弃了。M·克莱因在该书的前言中指出:在教科书和学 校的课程中,都将“数学”看作是一系列毫无意义的,充满技巧性的程序。外行 人很少使用数学技巧及其知识,因此他们通常对这些显得枯燥无味的东西反感, 就连一些受过良好教育的人也持无视甚至轻蔑的态度, 对数学的无知成为一种社 会风尚。 M·克莱因所指出的现象不仅反映了 20 世纪五、六十年代西方国家人们认 识数学的一种态度或倾向,也透视了中国现代教育对数学的认识倾向。 随着人类文明的进展,数学科学不断赋予数学新的功能,现在数学的思想已 开始嵌入我们的文化之中。教育部颁发的《高中数学课程标准》 (实验)中,对 高中数学课程提出了十条要求,其中之一是:体现数学的文化价值。认为数学是 人类文化的重要组成部分,数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势, 数学对推动社会发展的作用, 数学的社会需求, 社会发展对数学发展的推动作用, 数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神等。高中数学课程应 帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观,提倡体现 数学的文化价值,提出对“数学文化”的学习要求,提高学生的数学素养。 高中数学课程标准对“数学文化”的渗透给予了足够的重视,在实验教材的 每一章内容后都附有相应的阅读材料或课题学习, 在教材内容的注解中介绍了不 少的数学史,但是,要使“数学文化”的思想理念真正在高中数学课堂教学中渗 透实施,变成教师的自觉行为,本文认为:必须要转变观念,树立数学文化观, 比较全面地认识数学文化的形成和发展, 认识到在数学课堂中渗透数学文化的必 要性,确立新课程标准理念下数学教育的评价体系,并且在实践中积极探索落实 “数学文化”理念行之有效的方法。

二、问题的提出
R·柯朗在《什么是数学》第一版的序言中指出,数学研究已出现一种过分 专门化和过于强调抽象的趋势, 而数学的应用以及与其他领域的联系却没有得到 应有的重视,数学教育也已陷入严重的危机之中,数学教学有时竟演变成单纯的 解题训练,这种训练虽然可以提高形式推导的能力,但却不能导致对数学的真正 柯朗又指出, 理解, 也无助于提高独立思考的能力。 在第一版修正版的序言中 R· 在许多事情的推动下,人们对数学知识与训练的需要日益增加,除非学生与教师
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设法超越数学的形式主义,并努力去把握数学的实质,否则产生受挫和幻灭的危 险将会更甚。 R·柯朗对数学界的上述批评和告诫,过去了 60 年,但至今仍然有深刻的 现实意义。 他的批评既尖锐又中肯, 关照现实, 我们的数学课程教学又是怎样呢? 以往我国数学教育界对中小学的教育水平,自我感觉良好,实际上,目前我 国数学教育的现状不容乐观。 2005 年 6 月 26 日, 丘成桐院士在浙江大学主持 “数 学英才班”第一场面试后,很失望地指出与国外相比,数学方面的差距不仅是在 本科生和研究生阶段,国内的基础教育水平没有人们想象的那么好。参与面试的 其他著名数学家也认为,这次面试使他们意识到,问题不仅存在于大学教育,更 存在于中学教育。他们还认为,数学竞赛对中学生的负面影响,超出了他们的想 象。 现在的高中生不能准确叙述圆周率这一概念,不知道什么是“割圆术” ,不 知道什么是历史上数学计算方面的三大发明的学生比比皆是。正如学生说:我们 从来没有学过数学史,也从来没有做过这样的题目。 以上警示折射出了现行数学教育的一个弊端,重形式体系、重逻辑推理、重 数学问题解决,轻数学文化教育。把掌握基本知识,训练学生的基本技能,提高 学生解题速度和准确性作为教学的唯一目标, 使得学生的情感和精神生活在这种 机械训练的教学模式下丧失殆尽,把数学知识变成了僵死的教条,且以灌输的方 式阻碍着学生的智力发展,使学生的创新意识与学习的激情逐步退化和停滞。一 旦高考结束,留给学生的数学仅仅是加减乘除而已。学生认为学习数学仅仅是为 了考试,而且在数学上花费的时间最多,在现实生活中最没用。有少数学生甚至 由怕数学到恨数学,更有甚者恨数学老师,这不能不说是数学教育的悲哀,值得 我们关注和反思。把学生的生活空间挤压在“题海”中,在分数的争夺上,使学 生失去了健康快乐的生活,这种教学与以人为本的精神是相悖的。早在一九八四 年,美国国家研究委员会的报告就指出: “在现今这个技术发达的社会里,扫除 数学文盲的任务已经替代了昔日扫除文盲的任务, 而成为当今教育的主要目标。 ” 报告预见到:在二十一世纪,数学的知识和方法渗透到人类事物的方方面面,一 个没有数学素养的人将很难在社会上立足。而有数学素养,不仅仅表现在数学考 试中的解题速度和准确度,还应在日常生活、学习、工作中时时处处表现出是一 个学过数学的人,这种不经意的言谈举止中表现出的数学造诣,决不是一时的数 学知识灌输、 数学技能训练所能体现得出的, 是在长期的数学学习中数学的思想、 方法逐步内化而成的,也就是在数学文化的熏陶中逐步形成的。 过去人们往往只把数学看成一种自然科学,对数学本质的认识,偏重于数学 基础、数学与生产实际及自然科学的关系,重视人的认知能力,其实人的非认知

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心理活动的一面更为奇特,而我们的数学教育却忽视了这一点。 音乐老师注意培养学生的乐感,体育老师注意培养学生的球感,英语老师注 意培养学生的语感,数学老师却很少注意培养学生的数感,甚至自己也没注意到 这种感觉,其实这种感觉对人的情感、认识等都有很大的影响。 柏拉图提出,不懂几何者不得进入他的哲学学校;英国律师至今要在大学里 学习许多数学知识; 西点军校设置许多高深的数学课程等等现象表明数学的重要 性。当那些人后来成为哲学大师、著名律师或运筹帷幄的将帅时,那些具体的数 学知识恐怕忘得一干二净了,但那种铭刻于心的数学精神和数学思想方法,却发 挥着重要作用,这是精神的一面,非认知心理的一面。 数学教育不能只停留在学生认知的水平上, 应当尽可能让学生欣赏到数学的 美,追求数学的美,并认识到发展数学对发展人类文化起着不可估量的作用,这 样的数学教育才是高效的。本文提倡的,正是这样一种崭新的渗透了数学文化的 数学教学。 刚参加工作不久的数学教师是在教授课本知识, 二流的数学教师在教授解题 方法,一流的数学教师在传授数学思想方法,超级数学大师在传播数学文化,对 受教育者产生深远影响。我们大多数的教师可能成不了大师,但作为当代的一名 数学教师有责任、 有义务为把我国建设成为 “二十一世纪数学大国” 而努力工作。

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第一章 树立数学文化观
1.1 数学与文化
1.1.1 关于数学 数学的内涵随着时代的变迁而变化。 公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德将数学定义为:数学是量的科学。16 世纪,英国哲学家培根(F.Bacon,1561~1626)将数学分为“纯粹数学” (pure mathematics)与“混合数学” (mixed mathematics) 。17 世纪,数学家、哲学家 笛卡儿 (R· Deacartes,1596~1650) 认为: 凡是以研究顺序 (order) 和度量 (measure) 为目的的科学都与数学有关。19 世纪晚期康托尔(G·Cantor,1845~1918)认为: 数学是绝对自由发展的学科,它只服从明显的思维,就是说它的概念必须摆脱自 相矛盾,并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相 联系。20 世纪初罗素(B·Russell,1872~1970)曾说过一段看似无理、实则充满 睿智的话: “数学可以定义为这样一门学科,我们永远不知道其中所说的是什么, 也不知道所说的内容是否正确。 ”莫里斯·克莱因(Morris kline,1908~1992)认 为,这是罗素用生动的语言对数学在 20 世纪与科学的关系的最好描述。数学家 们不知道自己所说的是什么,是因为纯数学与实际意义无关;数学家们不知道所 说的是否正确,是因为作为一位数学家,他们从不费心去证实一个定理是否与物 质世界相符,对这些定理我们只能问也只需问它是否通过正确的推理得来的。 R·柯朗在《什么是数学》一文指出:数学,作为人类思维的表达形式,反 映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。他还认为: 不论对专家来说,还是对普通人来说,唯一能回答“什么是数学”这个问题的, 不是哲学而是数学活生生的经验。 《普通高中数学课程标准》 (实验)中认为:数学是研究空间形式和数量关 系的科学,是刻画自然界规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学在形成人 类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学 是人类文化的重要组成部分,数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。这样 就把数学和文化连接到了一起,给数学课程指出了新的教学视野。 1.1.2 数学文化的概念界定 什么是文化?《中国大百科全书辞典》解释为:文化,泛指一般知识,特别 是基础的语文和计算知识。在中国古代,文化又是文治,教化的总称。当今文化 一词,译自英文 culture,一般说来,通过基因传递的(遗传)为生物的本能,后 天习得的为文化传递,人类的行为模式,大部分是后天学来,可以认为是人创造
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出来的供人享受的一切,包括科学、艺术或美术、哲学或宗教等,文化是与自然 相对的,广义地说,是指人类在社会历史实践过程中所创造的物质财富与精神财 富的总和。 按照这样的理解,我们就应把一切非自然的、也即由人类所创造的事物或对 象都看成文化的产物。任何一门科学都属于人类文化的范畴,数学也是一种文化 现象。数学是人类的一种文化,它的思想、内容、方法和语言是现代文明的重要 组成部分,数学不只是关于数的世界、形的世界或更广阔世界的科学,数学还是 一门充满人文精神的科学, 作为一种理性的深层次文化对人类社会有着深刻的影 响。 结合 M·克莱因在《是与非的观念》一文中数学为什么可以作为文化来看 待的六个方面的说明和国内最早注意数学文化的学者即北京大学教授孙小礼的 观点,本文界定数学文化的概念是:渗透数学内涵,用数学的观点观察现实,构 造数学模型,学习数学语言、图表、符号表示,进行数学交流,通过理性思维, 培养严谨素质,追求创新精神,欣赏数学之美的一种文化现象。 把数学看作一种文化现象,数学教育就是数学文化的教育。当前,数学教育 的文化价值已受到数学界的普遍认可,数学文化观逐渐树立。

1.2 数学文化观
1.2.1 数学文化在中学数学教学中的迷失和回归 为什么在高中数学新课标中又重提数学文化呢? 一个重要原因是数学本身的发展存在着脱离一般科学文化的孤立主义的倾 向,即与一般科学文化相比,显得“超凡脱俗”“曲高和寡” 、 ,数学的过度形式 化,以及高度的抽象化,容易使人错误地认为数学只是少数天才脑子里想象出来 的,由专家发明的一系列规律和公式,而其他人只能应用以得出固定答案,数学 的进步也无需人类文化的哺育。 另一个重要的原因,正如 M·克莱因所说,在教科书和学校的课程中,都 将“数学”看作一系列毫无意义的、充满技巧性的程序。把这样的东西作为数学 的特征,就如同把人体结构中每一块骨骼的名称、位置和功能当作活生生的、有 思想、富于激情的人一样。在人类文明中,数学如果脱离了其丰富的文化基础, 就会被简化成一系列的技巧,它的形象也就被完全歪曲了。由于外行人很少使用 数学技巧及其知识,因此他们对这些通常显得枯燥无味的东西很反感。这样一来 产生的结果是,对数学这样一门基础性、富有生命力的、崇高的学科,就连一些 受过良好教育的人也持无视甚至轻蔑的态度。 正是上述一些原因, 数学作为一门自然科学, 其丰富的科学价值为大众熟知,

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作为一种文化所蕴含的深刻的人文价值,却往往被大众所忽视。 王梓坤院士在《今日数学及其应用》一文中总结了数学的四个作用,其中一 个作用是对全体人民的科学思维与文化素质的哺育,他指出: “数学文化具有比 数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵,数学文化是对数学知识、技能、能力 和素质等概念的高度概括。 ”齐民友教授在《数学与文化》中指出: “历史已经证 明,而且将继续证明一种没有相当发达的数学文化是注定要衰落的,一个不将掌 握数学作为文化的民族也是注定要衰落的。 ”在 2002 年北京国际数学家大会上, 国外数学教育家提出了将数学教育与人文教育相结合的观点,在国内张奠宙教 授、齐民友教授、张顺燕教授、张楚廷教授、孙小礼教授、邓东皋教授等学者纷 纷发出对数学文化的呼吁,广大数学教育工作者逐渐达成共识。 高中数学课程标准明确提出要在教学中体现数学的文化价值, 表明数学文化 的回归乃大势所趋。 1.2.2 在中学数学教学中树立数学文化观 学习数学不仅是为了获取知识,更要通过数学的学习接受数学精神、数学思 想和数学方法的熏陶,提高思维能力,锻炼意志品质,并把它们迁移到学习、工 作和生活的各个领域中去。 前苏联数学家辛钦指出: “数学教学可以培养人正直与诚实的品质,可以培 养人的顽强与勇气。 ”英国大学律师专业开设了数学课程,因为严格的数学训练 能够使人养成一种坚定不移而客观公正的品格, 形成一种严格而又精确的思维习 惯。著名的美国西点军校也开设了数学课程,其目的不在于实践中要用到这些数 学知识,而是在于以下考虑:只有经过严格的数学训练,才能使学生在未来的军 事行动中,把特殊的活力与灵活的快速反应互相结合起来,使学生具有把握军事 行动的能力和适应性,从而为他们驰骋疆场打下坚实的基础,这些都可以看成数 学文化的魅力。 数学的文化性还体现在:数学可以帮助人们更好地认识自然和人类社会,更 好地适应日常生活,理解周围世界;数学可以促进人们有条理地思考有效地进行 表达和交流, 运用数学分析问题和解决问题; 数学实践活动可以发展人的主动性、 责任感和自信心,培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的创新精神。 因此,在高中数学教学中,要树立数学文化观:充分发挥数学教育的两个功 能即科学技术教育功能和文化教育功能,在传授知识的同时起到人格教化的作 用,让学生不但是一个科学人,还是一个文化人,形成和发展数学品质,全面提 高学生的数学素养。

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第二章 数学文化的形成和发展
数学是人类活动的结果,只有真正了解数学的历史的人,才能对数学文化有 较全面的认识,才能树立数学文化观。 数学课程一般使人有这样一种感觉: 数学就是从概念到概念, 从公理到定理, 从定理到定理,从一般到抽象,从抽象到更抽象;在深奥的数学抽象王国里,数 学家们都是天才、超天才,他们能克服任何困难,能轻松地巧架辅助线,巧设辅 助函数,任何难题他们都所向披靡,而数学的发展史告诉我们:数学家也是普通 的人,也曾经历过漫长艰苦的道路,也曾在迷雾中摸索前进,也曾遇到过挫折、 斗争,所谓天才,其实就是刻苦钻研、不屈不挠的精神。数学文化揭示真理:认 真探索先人的数学创造的思想、数学发现的能力往往比仅仅积累、掌握数学教科 书上的知识更为重要。

2.1 数学发展史概述
2.1.1 古代数学时期(原始人时代到17世纪初) 2.1.1.1 数学的萌芽时期(约公元前3500年~公元前600年) 在自然科学的众多分支中,数学是其中最古老的分支之一,其发展的历史和 人类的历史几乎是同样的久远。最初,仅仅是一些零碎的简单数学知识,中国古 代的传说中便有“结绳而治,契木而之”的说法,后来更有“隶首作数”的记载。 三四千年前,在人类文明的发祥地──埃及的尼罗河流域、伊拉克的两河流 域、印度河流域、中国黄河流域等地区,开始出现了较高水平的人类早期文化, 出现了数的写法、数的算术运算、某些几何的实际知识,解答最简单的代数性质 问题等。 公元前二千年左右,出现了专门记录数学知识的史料,但只是零星的知识积 累,尚未概括出精确的方法,也没有严格的理论,没有形成严整的体系,也缺乏 逻辑因素,在这一时期基本上还看不到命题的证明,演绎推理和公理法。 2.1.1.2 初等数学时期(公元前600年~17世纪初) 近两千年的初等数学时期,可分为几何发展时期(公元前 600 年~2 世纪) 和代数优先发展时期(2 世纪~17 世纪) ,也可分为希腊数学时期(公元前 600 年~7 世纪) 、东方数学时期(7~15 世纪)和欧洲文艺复兴时期(15~17 世纪) 。 希腊数学与哲学的紧密结合使数学知识很快被抽象、概括、整理,形成数学 理论,同时又重视命题的逻辑证明,力求数学建立在必然性的理论基础上,追求 严密的理论体系,在古希腊形成一种风尚和传统。例如强调“万物皆数”的毕达

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哥拉斯学派的数学思想一直影响到文艺复兴时期的其他哲学家和科学家。 《几何 原本》是古希腊数学的代表,欧几里得几何的创立,对人类的贡献不仅仅在于产 生了一些有用的,美妙的定理,更主要的是它孕育出了一种理性精神,数学也被 看作是所有科学的标准,在柏拉图学院的门口,写有这样的箴言: “不懂数学者 不得入内” ,这典型地反映了当时对待数学的态度。 随着古希腊数学的衰退,数学发展的中心转到东方的中国、印度和阿拉伯。 印度人在代数、三角等方面获得了相当大的成就,5~12 世纪是其全盛时期,阿 拉伯数学自 7~15 世纪的数百年间,吸取希腊与印度的数学精华,而且大大向前 发展。 这个时期中国数学也有了长足的发展,出现了《九章算术》 、赵爽的《勾股 圆方图注》 、刘徽的《九章算术注》和《海岛算经》《五曹算经》《孙子算经》 、 、 、 《张邱建算经》等,沈括的《梦溪笔谈》 ,秦九韶的《数学九章》等一些具有世 界意义的突出成就。在 1000 多年间, 《九章算术》一直被当作教科书,对东西方 数学发展有着重大影响。 祖冲之(429~500 年)是继刘徽之后的一位杰出的数学家,计算圆周率精 确到小数点后第六位,即:3.1415926< π <3.1415927,这一记录直到15世纪才 被阿拉伯数学家阿尔·卡西打破。祖冲之还提出圆周率的密率,1000 多年后才 被德国数学家鄂图(Otto,1550—1605 年)重新得到。祖冲之之子祖暅提出“幂 势相同,则积不容异”的原理,现一般称之为祖暅原理。意大利数学家卡瓦列利 于 17 世纪重新提出这个原理,并为微积分奠定了基础。 宋元数学是中国数学史上光辉灿烂的一页, 也是中世纪世界数学史上最丰富 多彩的一页,是以算筹为主要工具的中国古代数学的极盛时期,特别在高次方程 数值解法、天元术和四元术、大衍求一术、垛积术和招差术(朱世杰的“招差术” 公式与其后 300 年牛顿的插值公式在形式上是完全一致的) 等许多方面都超过西 方,处于遥遥领先的地位。但明朝以后,中国古代数学陷于衰落,出现了停滞不 前的局面。总的来说中国古代数学长于计算,疏于证明,数学的理性思维方面不 如西方数学。 欧洲数学从 5 世纪中叶到 16 世纪末期,经历了黑暗时期、传播时期、黎明 时期和文艺复兴四个时期。 15 世纪中叶,开始了以意大利为中心逐渐蔓延到整个欧洲的文艺复兴时期。 这个时期欧洲数学发掘、再现和继承了希腊人的数学,并受阿拉伯、印度数学的 影响,终于第一次越过先人的成就,于 17 世纪完成了初等数学的建立。至此, 初等几何、算术、初等代数、三角学都已发展成为独立的数学分支。初等数学的 建立,标志着常量数学时期的结束,接着向变量数学──高等数学过渡。

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2.1.2 变量数学时期(17世纪中叶~19世纪20年代) 文艺复兴时期,在生产的推动下,自然科学得到迅猛的发展,数学也进行了 一场大变革,伽利略(Galilie,Galileo 方法”的思想,是划时代的。 研究运动成了自然科学的中心课题, 作为变化着的量的一般性质及它们之间 依赖关系的反映,在数学中产生了变量和函数的概念,数学开始进入一个崭新的 时期──变量数学时期。 伽利略提出实验力学, 笛卡儿 (Rene Descartes,1596~1650) 和费马(Pierrede Fermat,1601~1665 年)建立解析几何,费马和帕斯卡开拓概 率论,帕斯卡提出数学归纳法,笛沙格和帕斯卡奠定了射影几何学,牛顿和莱布 尼兹完成微积分的发明等。在 1650 年,自然界的数学解释已经风行全欧洲,并 成为一种时尚,以至于印有笛卡儿名字的精美、昂贵的书籍,成了贵妇们梳妆台 上的装饰品。17 世纪后半期作为一门数学科学,微积分学的最后创立由一代宗 和德国学者莱布尼茨 (Leibniz,Gottfried 师──牛顿 (Newton,Isaac 1642~1727 年) Wilhelm 1646~1716)完成。 18 世纪是变量数学迅速发展的时期,在数学史上被称为发明的世纪,在这 一世纪数学方面的成果大大超过过去任何一世纪,产生了一些重要的数学分支, 如无穷级数、常微分方程和偏微分方程、微分几何和变分法、画法几何等。 18 世纪末,数学界产生了一种“世纪末”的情绪,认为在这一世纪内,已 经由欧拉、拉格朗日、达兰贝尔等人把主要的问题全解决了,数学领域似乎已穷 竭。但暂时的沉寂仅是暴风雨来临前夕的预兆,数学史上一场更为壮阔更为深入 的革命即将来临,19 世纪的数学将进入一个新时代。 2.1.3 近、现代数学时期(19 19世纪20 20年代~二次世界大战,20 20世纪40 40年代以来) 19 20 20 40 近代数学时期: 19 世纪在数学史上是一个具有特色的时代,数学取得了前所未有的飞跃发 展,它的成果一直持续到 20 世纪,这一时期的特点: 1)几何学上突破了传统的欧氏几何体系,各种非欧几何相继出现。 2)代数学上打破了以方程论为中心的古典代数学之牢笼,以群论为发端的 近世代数诞生。 3)分析学上经过几代人的努力,终于奠定了分析学的严格的逻辑基础,并 随之开拓了函数逼近论、 复变函数论、 泛函分析论、 拓扑学等众多的数学新分支。 4)出现了灿若群星的大批数学家,如高斯、傅里叶、泊松、波尔查诺、柯 西、克莱茵、彭加勒、希尔伯特等等。 1564~1642 年)强调在观察和实验中运用数 学方法的作用,强调科学必须通过测量而追求定量的规律。这种“实验──数学

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在 19 世纪,由于数学研究题材巨大的膨胀,新领域不断地开辟,旧领域持 续地扩大,数学这棵大树进入了它最繁盛的时期。从数学哲学的角度看,19 世 纪是一个重要的转折时期。在非欧几何出现以前,尽管不同的数学家、哲学家对 数学有着不同的看法,但几乎所有的人对数学的绝对真理性持完全肯定的态度, 然而由于非欧几何的建立,欧氏几何一统天下的覆灭,关于数学绝对真理性的信 念崩溃了,各式各样代数学的出现加速了这种信念的破灭,数学家被迫从根本上 改变对数学性质的理解,以及对它和物质世界的关系的理解,数学的发展由变量 数学时期转向现代数学时期。 现代数学时期: 由于计算机的出现,使得数学得到了史无前例的迅速发展,数学这棵古老的 大树焕发出青春的活力。 数学界的思想极端活跃, 现代数学知识爆炸, 文献宏丰, 一个数学家只能谙熟其中一个领域,至多旁及几个领域,像过去欧拉、高斯、黎 曼那样“全能”的数学家已不复存在,也没有像庞加莱和希尔伯特那样雄视全局 的大师,更不会有像希氏在短期内提出 23 个带全局性问题的突破。 现代数学有以下特点: 1)计算机科学和人工智能的形成和发展。 2)应用数学分支的大量涌现和发展,如计算数学、对策论、控制论、生物 数学、数学金融学、数理经济学等。 3)纯粹数学有一些重大突破,如连续统假设,大基数问题,广义函数论, 数理逻辑中的“力迫法”“模型论” 、 、纤维丛理论,数论中用李群的无限维表示 法。 4)系统科学的出现。 5)各种数学新思想的出现,如非标准分析,模糊数学,突变理论,结构数 学,构造数学,分形几何,混沌学等等。 6)机器证明的出现。 总之,从时间上来看,数学史是一个由简单到复杂,由低级向高级,由特殊 到一般的过程。我国著名数学家齐民友教授在 1958 年所写的《竹子的哲学》一 文中认为: “数学的生长像竹子,根在大地,然后自己一节一节向上长,间或爆 出新笋,长成新竹。若干年后,竹子开花,结成种子,重回大地。 ”这一比喻, 生动贴切地揭示了数学文化的形成和发展。 2.1.4 2.1.4 我国现代数学的发展 辛亥革命推翻了满清王朝,一批知识分子为寻找中国富强之路,到西方各国 去留学,回国后成为中国现代数学的拓荒者、先驱者与领导者,如从美国留学归

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来的胡明复、姜立夫、秦元勋、钱宝琮等,从法国留学归来的熊庆来、何鲁、陈 荩民、关肇直、陈省身等,从英国归来的许宝騄、徐利治等,从日本留学归来的 陈建功、冯祖荀、苏步青等,从东欧回来的王梓坤(原苏联) 、候振廷以及本土 的数学家李俨、傅仲孙等,努力普及现代数学知识,兴办数学教育,出版科技刊 物,创办科学学会和研究所,为中国数学文化的积累和发展、推广和普及做出卓 越的贡献。 陈建功(1893~1970)于 1928 年发表了世界性的成果──研究傅里叶级数 的收敛和求和的问题,以及从理论上探索怎样可以将函数表达为三角级数。 苏步青(1902~2003)于 1928 年春在一般曲面研究中发现了四次(三阶) 锥面,用几何的构图刻画出曲面的高阶微分性质,这一成果被称为“苏锥面” 。 70 年代以后在中国开创了新的研究方向──计算几何,创立了国际公认的微分 几何学学派;研究“K 展空间”几何学和射影曲线;开展计算几何在航空、造船、 汽车制造等方面的应用研究等,在我国的数学史上,苏步青开创并代表了一个时 代! 陈省身(1911.10~2004.12)世界级的数学巨匠,华人数学家的杰出代表, 成就为:高维高斯-邦内特公式内蕴证明和示性类两项极负盛名的工作,开创并 领导着整体微分几何、纤维丛微分几何等领域的研究。84 年 5 月获得当代数学 的最高奖之一──“沃尔夫奖” (Wolf Prize),被国际数学界尊为“微分几何之 父” 04 年 11 月国际天文学联合会将一颗编号为 1998CS2 号的小行星命名为 。 “陈 省身星” ,以表彰他对全人类的贡献。他培养的学生丘成桐于 1983 年荣获当代数 学的最高奖之一──“菲尔茨奖章” (Fields Medals) 。 华罗庚(1910~1985)是一位自学成才的中国数坛巨星。他的数学工作主要 在四个方面:一是数论;二是代数(典型群、华氏定理、矩阵几何) ;三是多复 变函数论;四是推广“统筹法”和“优选法” 。 许宝騄在英国研究概率论和数理统计,解决了一系列的难题,成为 20 世纪 数理统计学的奠基人之一。 “文化大革命”期间数学研究和教学几乎停顿。陈景润在哥德巴赫猜想上的 突破大大的鼓舞了中国数学界。1986 年在美国伯克利举行的国际数学家大会上, 吴文俊作了 45 分钟讲演;1990 年在日本京都举行的国际数学家大会上,大陆到 美国工作的田刚、林芳华应邀作了 45 分钟报告 ;1994 年在苏黎世举行的国际 数学家大会上,张恭庆、马志明和在美国工作的于骏、励建书都作了 45 分钟报 告;2002 年 8 月 20 日至 28 日,第 22 届世界数学家大会在北京召开,说明中国 的数学研究与教育的国际地位已经得到了世界的认可,2002 年 8 月 20 日的中国 北京人民大会堂第一次成为数学家的圣殿,世界数学精英、科学巨擘纷纷来华参

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会,盛况空前。今年 6 月 3 日丘成桐教授向全世界宣布:在美、俄等国科学家的 工作基础上,中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已彻 底证明“七大数学世纪难题”之一的庞加莱猜想。中国一直不乏出色的数学家, 陈景润、陈省身、丘成桐就是例子,据统计,近十年发表论文的国家排行榜上, 中国居于第四位。

2.2 数学文化的发展
2.2.1 几何、微积分、非欧几何与数学文化 初等数学时期,在古希腊哲学中是“万物皆数”,数是万物的本源,数的规 律统治着万物. 一生二, 二生三, 数生点, 点生线, 线生面, 面生体, 体生万物. 中 国古代也有一生二,二生三,三生万物的说法,也是类似的哲学思想。从此,数 学与哲学结下了不解之缘。 欧几里得几何产生在公元前 300 年,已流传两千多年,至今每个学生或多或 少还要学习它,它的影响遍及世界各国。欧氏几何首开公理方法,牛顿的力学就 学欧氏方法,把全部力学建立在万有引力和运动三大定律基础上;爱因斯坦把相 对论只建立在两条公理上;有一位伦理学家企图把伦理学也建立在公理基础上; 哲学家思考自己的逻辑起点;教育理论工作者也思考自己的教育科学的逻辑起 点。可以看出,欧氏几何的思想和方法产生了极其广泛和深远的影响。 在长达 2000 多年的历史中没有停止对欧氏几何的研究,曾经有一个匈牙利 年轻人不顾父亲、朋友的忠告,“偏向虎山行”去研究欧氏几何中的平行公理独 立性问题;另有一位俄罗斯人,研究平行公理问题遭到他人(包括一些名人)的 讥讽和嘲笑,而他无怨无悔。 欧氏几何的出现不仅影响到人们的自然观,而且影响到人类的思维方式、世 界观,影响到人类文化,只有在文化的意义下才能够理解这种奋斗精神及这样的 一往情深的现象,惟有用文化的观点来看待数学及数学活动才是恰当的。 牛顿和莱布尼茨共同创立的微积分,对数学自身的发展,对其它自然科学和 工程技术的作用以及对人类物质文明的影响是巨大, 对人类文化也产生了深远的 影响,微积分渗透到人文、社会科学,人们用它来研究和描述规律性的东西。 微积分影响到哲学方法和世界观,辩证唯物主义很关注微积分,马克思、恩 格斯对数学特别是微积分有过广泛深入的研究, 恩格斯在 《自然辩证法》 中讲到: “数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩 证法进入了数学,有了变数,微分学和积分学也就立刻成为必要的了……”列宁 对数学也有过浓厚的兴趣。 马克思主义者对自然科学的各种进步给予深切关注和 热情的支持,特别关注它们对社会进步的影响,把社会文化和自然文化紧密联系

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在一起。 由此可见,用数学文化的观点才能发现数学对人类文化的贡献,对社会发展 的推动作用。 19 世纪初,俄罗斯人罗巴切夫斯基在否定欧氏几何平行公理的条件下,提 出假设“过已知直线外一点,可作多于一条的直线平行于已知直线” ,在这一假 设下推导出一系列定理,创立了罗氏几何,是数学思维过程中的重大突破,后来 又有了黎曼几何等。 新的几何学的诞生, 对欧氏几何的认识也更清晰、 更深刻了, 非欧几何的诞生是数学史上的一大奇观,是人们对数学的一种理性思考、一种对 严谨、对逻辑、对完美的追求,几何之最初是人类实际生活(测地、丈量等)有 关,欧几里得建立公理体系的工作已经超出一般实际生活的需要,非欧几何的工 作更是如此。 非欧几何的建立是人类追求完美的纯理性思维的巨大胜利, 饱含着对几何完 美的向往,用纯实用的观点是不可能准确地解释人类的数学活动,惟有用文化的 观点来看待,才是准确的。 2.2.2 自然、综合国力与数学文化 在人体上、在动植物界,都可以看到黄金比的存在,艺术家达·芬奇称之为 黄金分割,数学对它有准确的描述,这一分割就表现了自然、艺术与数学的交融 与汇合。 早在公元 300 年前,亚历山大的帕普斯就研究过蜜蜂房的形状,此后还有不 少学者研究过蜂房的奇妙结构。1712 年巴黎科学院院士瑞士数学家克尼格用了 高等数学的方法,证实蜂房是在相同容积下所用材料最省的,并计算出菱形的两 角,与实际测出的角度只差两分;1743 年英国数学家麦可劳林重新对菱形的角 作了计算,所得结果与实测结果基本一致。小小的蜜蜂按最省料的方式建造了蜂 房,公元后 300 年才为人所研究,延续了千年以上,有科学院院士参与计算,用 上了牛顿、莱布尼茨创立的微积分,最后由赫赫有名的英国数学家计算成功,这 是自然界中美妙现象里面美妙的数学问题。天王星、谷神星、海王星的发现、开 普勒行星运动第三定律等,这些自然天体中的美,都由数学家发现并表现出来。 数学曾被视为自然科学的一个分支, 但它在自然科学中似乎处在一种哲学的 地位,因为它在更深的层次上思考着自然和人类,数学从一个特殊的角度体现天 人合一的哲学思想,所以可以说数学比其它自然科学更象是文化。 数学文化还渗透于社会发展、综合国力之中,生产力发展水平、经济繁荣和 社会稳定,肯定是数学发展和繁荣的条件。英国、法国最早开始工业革命,英法 曾是世界数学最发达的地方;19 世纪德国兴起,成为重要的现代工业中心,德

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国同时也成为数学大国;19 世纪末,20 世纪初,美国崛起,成为头号经济大国, 逐渐,美国也成为总体数学水平最高的国家。有足够的证据证明,一个国家的综 合国力跟一个国家的数学水平有密切关系。 同样有证据显示,数学并不是经济发展水平的简单对应物。比如,中东一些 国家人均收入很高的国家数学水平却并不高,罗巴切夫斯基出现在 19 世纪的俄 罗斯,阿贝尔出现在 19 世纪的挪威,牛顿、高斯、欧拉三位数学巨人出身都比 较贫寒,华罗庚、陈景润也是如此。 最能解释数学中出现的必然或偶然事件的因素是文化, 如果把经济视为一种 广义的文化在起作用,那就更为恰当,数学文化的发展与国家的综合国力增强有 明显的对应关系。 中华优秀文化的继承和发扬是我国成为世界数学大国的重要因素, 把我国建 设成为“二十一世纪数学大国”不是梦想,振兴民族,惟有数学率先赶上,历史 的责任重大而光荣,教学一线的高中数学教师应努力丰富自己的数学素养,成为 一个合格的数学文化的传承者。 2.2.3 人的发展与数学文化 .2.3 数学作为一门课程进入学校是在公元前就开始了,至今已 2400 年左右的柏 拉图时期,柏拉图认为: “如果说不知道正方形的对角线和边是不能用同一单位 度量的,那他就不值得人的称号。 ”他规定不懂几何学不得进他的哲学学校,那 时就把数学学习与教育、与做人联系起来。 数学教育除提供观察世界的一般观念和方法外,还直接为人的更完美的发 展。培根曾说,哲理使人深刻,读诗使人聪慧,演算使人精密。其实,数学不仅 使人精密,也使人深刻,使人聪慧。并非每个中小学生都一定要专门读哲学,亦 非每位中小学生要写诗歌,然而,每位中小学生必须系统读数学,练数学,因为 数学确实不仅实用,而能使青少年的思维条理化、系统化,使青少年的思维更健 康、更活泼。数学作为科学的语言、自然的语言,它不仅是工具,它可融入人自 身, 成为人的重要素质, 成为人的一种修养, 具有数学修养的人应当是站得更高, 人的素质也更高了。随着数学的深入学习,数学修养的加强,还有利于人格的完 善。 现在,在全世界最普遍开设的教育课程是数学,开设的时间也长,中国数学 有悠久的历史,我国古代数学曾达到极高的水平,但有偏于应用的一面,而现代 数学的用途的广泛性,容易被忽略数学对人的发展的作用,只注意到数学在科学 技术中的作用,而未注意到数学的人文作用。 “在现今这个技术发达的社会,扫 除‘数学盲’的任务已经替代了昔日扫除‘文盲’的任务而成为当今教育的重要

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目标。人们可以把数学对我们社会的贡献比喻为空气和食物对生命的作用。事实 上, 可以说, 我们大家都生活在数学的时代──我们的文化已经 ‘数学化’” 。 (摘 自《美国数学的现在和未来》 ,中译本 复旦大学出版社,1986 年版) 数字化时代的到来,意味着人类文明高速发展科技与经济的需要,更加重视 数学的教育,同时由于重视人自身的发展、文化的发展,数学文化的教育也日益 受到重视。 数学文化是人类文化极为重要的组成部分,数学文化伴随着人的发展而辉 煌,历史证明了这一点,未来还会继续证明这一点。

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第三章

高中数学教学中渗透数学文化教育的必要性

五十多年来,我国的数学教育形成了以注重系统的基础知识和基本技能(即 “双基” )的掌握与训练为特征的优良传统,但也存在严重忽视学生的情感、态 度和价值观等方面的问题。 “人文教育与科学教育的融合”这一主题是近几年来 各国教育界乃至世界各国政府和社会都在关注的问题,随着社会的发展,教育对 经济的发展越来越显示出重大的影响,如何培养“全人”越来越受到关注。在高 中数学教学中渗透数学文化教育必然可以为此做出应然的贡献。

3.1 渗透数学文化教育是高中新课标的要求
《普通高中数学课程标准》 (实验)中指出:数学是人类文化的重要组成部 分,数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。 课程的基本理念之一是:体现数学的文化价值。数学课程应适当反映数学的 历史、应用和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发 展对数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创 新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确 的数学观。 为此,高中数学课程要求学生通过高中阶段数学的学习,初步了解数学科学 与人类社会发展之间的相互作用,体会数学科学中的科学价值、人文价值,开阔 视野,寻求数学进步的历史轨迹,激发对数学创新原动力的认识,受到优秀文化 的熏陶,领会数学的美学价值,从而提高自身的文化素养和创新意识。 高中生正处在从青少年时期到成人的过渡时期,世界观、人生观、价值观正 逐步形成的时期,应该通过提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲 而不舍的钻研精神和科学态度, 拥有一定的数学视野, 逐步认识数学的科学价值、 应用价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学 的美学意义,从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义的世界观、人生观和 价值观。 新课程标准从人类文化的层面定位高中数学课程,旨在强化数学文化的修 养, 而数学文化的修养往往比数学知识和技能本身在深层次上更能反映人才的质 量,这就要求在高中数学教学中加强数学文化的渗透和教育,担负起传承数学文 化与发展数学文化的重任。

3.2 渗透数学文化教育是素质教育的重要内容
我国的基础教育正从“应试教育”向“素质教育”转轨,如何提高学生的数 学素质是当今数学教育的主要任务。

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数学素质教育,首先是在 1992 年 12 月的宁波全国高级教师数学会上,就数 学教育的国际比较而提出的,数学素质教育研究小组就是在这次研讨会上成立, 并发表了《数学素质教育设计》 (草案) ,其中对数学素质教育作了一个界定,即 数学素质教育包括数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流四部分。 1993 年 10 月在扬州举行了第二次会议,发表了《数学素质教育设计要点》 , 认为数学素质是人为适应社会的挑战应具有的整体素质,它包括:数学的观念、 知识、能力、思维方法,数学的精神、交流、思维、判断、评价、欣赏以及运用 数学的思想、方法去处理学习、生活和工作中所遇到的问题的科学精神。 1995 年 5 月由华东高级教师师资培训中心和青岛教委教研室联合承办的第 三次研讨会,会议的主题是: “数学素质的含义及其评价。 ”在这次青岛会议上对 数学素质教育的内涵进行了全方位的研究, 认为一个人的数学素质是指在先天的 基础之上,主要通过后天的学习所获得的数学观念、知识和能力的总称,是一种 稳定的心理状态。 国外对数学素质的解释,有影响力的主要有以下两种提法: 1)美国数学课程标准:①懂得数学的价值,②对自己的数学能力有信心, ③有解决数学问题的能力,④学会数学交流,⑤掌握数学思想方法。 2)概括英国 Cockcraft 的报告、德国和日本的数学教学大纲,可以看到有 新的提法:数学素质应涉及知识观念层面、创造能力层面、思维品质层面和科学 语言层面。 从国内对数学素质的众多研究中可以看出, 或者从数学教学大纲或数学课程 标准的精神出发,或者从人的一般素质出发,大致有以下几种: 1)就大众数学的教育目标来说:分为数学知识、公民意识、社会需要、语 言交流等四个方面,这是着重从人生活的实践需要出发而提出的。 2)学者观点:数学科学素质,数学文化素质,数学技术素质,数学应用素 质,数学思维素质等几方面。 3) 高中数学新课程标准观点: 数学基础知识和技能, 空间想象, 抽象概括, 推理论证, 运算求解, 数据处理, 数学地提出问题、 分析问题和解决问题的能力, 数学表达和交流能力,独立获取数学知识的能力,数学应用意识和创新意识,作 出数学思考和判断,学习数学的情感态度,数学的视野等。 综合以上认识,笔者认为:高中数学素质教育就是在数学教学中,充分尊重 学生的主体性,注重挖掘其潜能,提高数学思维能力和数学应用、交流能力,培 养数学的创新和文化意识,关注学生的情感、态度,逐步认识数学的科学价值、 应用价值和文化价值,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,形成正确的 世界观、人生观和价值观,为其今后的发展打下坚实的基础,形成良好的数学头

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脑。 高中阶段是人发展的重要时期,是从青少年向成人过渡的时期,世界观、人 生观和价值观正在逐步形成, 需要教育与引导的时期, 需要掌握知识, 提高能力, 学会学习,全面提高自身素质,为进一步深造学习或参加社会主义现代化建设作 准备的时期,因此,在高中数学教学中渗透数学文化教育是实施数学素质教育的 重要内容。

3.3 3.3 渗透数学文化教育可以有效激发学习数学的热情
中国古代格言: “习之者不如好之者,好之者不如乐之者。 ”培养学生对数学 的浓厚兴趣是学生学好数学的最好方法,兴趣是激发学生刻苦钻研的原动力。这 个很明显的道理常常被人们所忽略,仅仅停留在口头上而已。长期以来为了强调 数学的逻辑性、严谨性、准确性等科学属性,数学课堂留给人们的印象是严肃、 严格、严谨,冷静沉着,不拘言谈,学习数学的过程是苦思冥想的过程,是掌握 概念、公式、公理、定理、命题的过程,是演练大量习题达到机械化程度的过程 等。教学过程普遍缺乏对学生的启发性,忽视学生科学探讨精神的帮助、鼓励和 培养,不讲课程内容的科学意义,而在一些枝节问题上大做文章,甚至把做题作 为整个教学的中心,误导学生做难题、偏题、怪题,这样就变相扼杀了学生的创 造性。学习的感觉是枯燥乏味,单调紧张,仅仅是为考试才学,学得很被动,产 生“畏难”情绪,甚至造成严重的心理压力,产生心理障碍,这样显然不利于数 学教学工作。因此,只传授知识,解决问题是不够的,还应通过渗透数学文化教 育来激励学生热爱数学,培养学生学习数学的兴趣,才是我们实现大众数学的根 本。 在高中数学教学中,我们把数学的科学性和人文性两者结合起来,科学的目 的在于认识世界,改造世界,为人类服务;人文的目的在于追求真善美,追求社 会、人生和心灵的和谐。如果数学教学中营造民主和谐的氛围,把数学概念、定 理、问题通俗化、生活化,使得学生易于接受,充分展示数学的美、数学精神的 魅力,阐述数学推理之妙谛、数学的广泛应用,展现数学与哲学、数学与艺术、 数学与自然科学的联系,数学课堂就成为了一个生动有趣的奇妙世界。 数学发展的历史贯穿着理性探索与现实需要这两股动力, 贯穿着对真善美与 对功利的两种追求,我们在文化这一广阔的背景下讨论数学的发展、数学的作用 以及数学的价值,从历史的、文化的和哲学的高度鸟瞰数学的全景和魅力,使数 学成为对于怀着各种各样不同兴趣的学生都有吸引力的一门学科。 就数学的真理性而言数学是严谨、逻辑的,就数学的内容而言数学是纯美、 艺术的,在数学的发现、创造过程中,凝结着数学家们炽热和激越的情感。如果

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我们的数学课堂教学能让学生感到数学的美和激情, 那么学生将会对数学有很大 的兴趣,这种教学将获得极大的成功,教学本身也是一种极高的艺术,我们太需 要这种艺术了。因此,笔者认为在高中数学课堂教学中可以通过有血有肉的数学 文化感动学生,渗透数学文化教育,激发学生学好数学的热情与自信。

3.4 渗透数学文化教育有助于全面认识数学的价值 3.4
由于“应试教育”的影响,我国高中生对数学的价值了解甚少,认为数学就 是“解题” 。其实数学的价值很丰富,主要包括:数学的基础性价值,工具性价 值,应用性价值和人文性价值。 在人类文明中数学一直是一种主要的文化力量, 数学不仅在科学推理中具有 重要的价值,在科学研究中起着核心的作用,在工程设计中必不可少,在西方, 数学还决定了大部分哲学思想的内容和研究方法,摧毁和构造了诸多宗教教义, 为政治学和经济学提供了依据, 塑造了众多流派的绘画、 音乐、 建筑和文化风格, 创立了逻辑学。作为理性的化身,数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统 治的领域,并成为它们的思想和行为的指南。 人类历史上的每一个重大事件的背后都有数学的身影:哥白尼的日心说,牛 顿的万有引力定律,无线电波的发现,三权分立的政治结构,一夫一妻的婚姻制 度, 爱因斯坦的相对论, 孟德尔的遗传学, 马尔萨斯的人口论, 达尔文的进化论, 达芬奇的绘画,巴赫的 12 平均率,晶体结构的确定,冯·诺伊曼的数字计算机 方案,DNA 双螺旋疑结的打开等都与数学思想有密切联系,数学在军事上的应用 更是日益增强,军事家评论第一次世界大战是化学战(火药) ,第二次世界大战 是物理战(原子弹) ,海湾战争是数学战。 数学在经济学中广泛的应用是当前经济学最为深刻的改革之一。从 1969 年 到 2001 年共有 49 位经济学家获得诺贝尔经济学奖,其中有 41 位获奖者得益于 运用数学的程度很强,使人有这样的印象,诺贝尔经济奖是颁发给经济界的数学 家。 数学不仅仅是一种工具, 它更是一个人必备的素养, 它会影响一个人的言行、 思维方式等各方面。一个人,如果他(她)不是以数学为终生职业,那么他的数 学素养并不只表现在能解多难的题,解题有多快,数学能考多少分,关键在于他 是否真正领会了数学的思想,数学的精神,是否将这些思想融会到他的日常生活 和言行中去。日本的米山国藏说: “我搞了多年的数学教育,发现学生们在初中、 高中接受的数学知识因毕业进入社会后, 几乎没有什么机会应用这些作为知识的 数学,所以通常是出校门不到一两年就很快忘掉了。然而,不管他们从事什么业 务工作,惟有深深铭刻于头脑的数学精神、数学的思维方法、研究方法和着眼点

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等,都随时随地发生作用,使他们受益终生。 ” 数学文化自身无可比拟的价值, 只有通过渗透数学文化教育的数学教学来完 成。

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第四章 在高中数学教学中渗透数学文化教育的实施
传统高中数学教学从总体上看观念陈旧、方法单一,基本上是以教师讲授为 主。学生学习数学主要采用“听讲、记笔记、做大量习题。 ”这种模式学习,造 成教师与学生之间缺乏必要的情感交流及片面强调解题技巧和应试,缺乏探索、 研究和创新意识,数学学习处于一种疲于应付而低效的被动状态。 实际上数学中的解题技巧只不过是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥 落后的产物,通过数学的学习接受数学精神、数学思想和数学方法的熏陶,提高 思维能力,锻炼意志品质,并把它们迁移到学习、工作和生活的各个领域中去, 才是数学学习的根本目的,在数学文化观关照下的数学教学肯定有别于传统做 法,笔者提出以下实施方略:

4.1 通过介绍数学史来渗透数学文化教育
历史有以古知今的作用,庞加莱说: “若想预见数学的将来,正确的方法是 研究它的历史和现状。 ” 如何运用数学史进行数学教学是国际数学教育界共同关心的问题。1998 年, 国际数学教育委员会在法国马赛组织了一次 “数学史与数学教学” 的专题讨论会, 这次会议的主题是数学文化,要求数学教学充分反映数学的文化底蕴,从课程内 容、概念形成、证明方法、习题配置等各个方面,全方位地使数学史溶入、丰富 和促进数学教学。 数学文化观念下的数学史,着重于过程,学习历史上世界各国数学家的献身 精神、创新思想、细致敏锐的见识,以及百折不挠的毅力。 通过介绍数学史渗透数学文化教育的途径有以下几种: 1、开设数学史选修课,介绍一些涉及重大进展和具有深远影响的事件,比 如:①数学科学产生与逐渐繁荣的历史。②数学思想逐渐演变的历史。③数学家 逐渐纠错的历史。④数学应用逐渐扩展的历史。⑤数学崇尚理性的精神。⑥数学 与哲学的关系。⑦数学的美学价值。 《中学数学教与学》04 年 7 期第 27 页登载了浙江师范大学数理学院的朱哲 和张维忠的一篇文章《基于数学史的教学课例》 ,提出在数学教育中通过数学史 的渗透,在传统与现代之间架起一座桥梁,实现数学教育的现代化设想。 2、结合课程教学内容介绍重要的数学思想,优秀的数学成果,相关人事, 将人文精神贯穿整个教学过程。 如在讲解“数形结合”这一数学思想方法时,强调注意数、形结合,华罗庚 教授曾写了一首词:数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞,/数缺形时少知觉,

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形少数时难入微,/数形结合百般好,隔离分家万事非,/切莫忘,几何代数统一 体,/永远联系,切莫分离。 这样一给学生介绍,既有助于加深理解,也有助于记忆,更重要的是潜移默 化地渗透数学文化教育,学生很乐于接受,值得一提的是,华罗庚教授的文学水 平极高,他写了不少诗文,并以诗歌的形式传授数学方法论,这些都是我们在教 学中可以借鉴和挖掘的财富。此外,诸如柯西小时候在人文课程方面的修养就奠 定了他日后成为一名大数学家的基础的故事等, 这些数学家们身上发生的真实故 事给学生启发和借鉴, “他山之石可以攻玉” ,也体现了数学文化的价值。 3、推荐与数学相关的有价值的作品,供学生课外阅读,拓宽他们的数学视 野,再通过撰写读后感、数学小论文、数学作文并组织学生交流等多种形式,使 数学文化的点点滴滴如春风化雨,滋润学生的心田。 书籍类有美国数学家西奥妮·帕帕斯写的《数学的奇妙》 ,陈诗谷、葛孟曾 著的《数学大师启示录》 ,李心灿等著的《当代数学精英(菲尔玆奖得主及其建 树与见解),张景中院士著的《数学家的眼光》《新概念几何》《漫话数学》 》 、 、 、 《数学与哲学》《从 2 谈起》等等这些作品通俗易懂,都是渗透数学文化教学 、 展现数学魅力的好书。 数学作文是近年来刚兴起的一种新的数学教学方式, 学生写自己有关学习数 学的问题、体验、收获及反思等,文体不限,是学生通过文字来表达自己对数学 现象、数学问题的看法、认识和探索的一种方式,通过数学作文开辟了一条师生 心灵交流的通道, 促进师生间情感的交流, 提供了一个师生交流数学看法的平台, 有利于学生养成良好的数学学习习惯、反思习惯,促进学生的数学表达、数学交 流能力及创新能力的发展,数学作文这种方式丰富了数学文化传播的途径和方 法,值得在高中数学教学中大力推广。 4、利用网络、报刊等各种资源了解数学与历史经济、文学、艺术、军事等 的关系。引导学生就某个专题通过网络搜集、查找、阅读资料文献,在此基础上 编写一些形式内容丰富多样的科普论文,研究数学的文化,体会数学的文化、科 学、美学价值,如通过网络查找有关我国古代、现代数学家的事迹,了解他们的 成才过程,他们对现代数学的贡献等,都是渗透数学文化教育的重要渠道。 华南师范大学附中 04 级高二有两个班利用网络自办数学杂志,取名为《聊 聊数语》 ,其创刊词中写到: “数学最神奇,一组图形,一串字符,包囊了世界万 物。……两个创新班,同以赤子心,愿做数学美的传播者……”该杂志为展示学 生的探究成果和心得提供了一个平台,非常有利于提高学生数学素养,这在传统 数学教学模式下是不可想象的,只有在数学文化观下的教育才可能出现。

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4.2 创新教学方法,传播数学文化
4.2.1 发掘数学的内蕴,展示数学的美学价值 爱美、欣赏美是人的天性,赏心悦目的东西总是容易让人接受,如果结合教 学内容,在课堂上展现数学美,让学生欣赏、感悟到数学的美,那么学生学习数 学的热情一下子就会高涨起来。 每个学过数学的人都感受过那样的时刻: 一条辅助线使无从着手的几何题豁 然开朗;一个变形使不等式证明获得通过;一个特定的“关系-映射-反演”方 法使原本不相干的问题得到解决。这时的快乐与兴奋是难以用语言来形容的,只 有用“妙”字来描绘心中的感受。这种美妙的意境,会使人感到造化安排数学之 巧妙、数学家创造数学之深邃、数学学习领悟之欢快。达到这一步,学生才真正 感到数学的美丽,被数学所吸引,喜欢数学,热爱数学。 例 1 将两个垂直相交的相同圆柱体的截线展开来,结果是一条正弦曲线。这真 出乎意料之外,一经证明,却又在情理之中。

例2 已知圆C :x+2 ) + y 2 = 1, P ( x, y ) 为圆上任意一点, (
2

y?2 求(1) 的最值 (2)x-2y 的最值。 x ?1 y?2 解:(1)将 看成过圆上任意点P(x, y )与定点A 1, 2)的直线斜率。 ( x ?1 1 t (2)设x-2y =t 转化求直线 y= x ? 在y 轴上的截距。 2 2

例3 当m取什么值时方程x2 ? 2mx + m +1 = 0 的一个根大于5,而另一个小于5?   绝大多数学生会想到应用一元二次方程根的判别式及求根公式。 但这样做运算复杂,容易导致失败,如果借助于二次函数 f(x)=x2 ? 2mx + m +1的图像,只须f(5)<0,就能确定m的取值范围。
三视图的教学可唤起学生对几何图形的美感享受,还有在进行分类讨论时, 必须不重不漏,完美无缺等都是在对美的追求,追求完美的数学境界是数学思维 的一个特点。我们要应用数学的美学教育的功能,使人的思想得到提升、思维品 质得到提高、创新精神得到发挥,数学美一直是指引数学家前进和奋斗不息的一 盏明灯。法国数学家阿达玛(J·Hadamard,1865~1963 年)说: “数学家的美感犹 如一个筛子,没有它的人永远成不了数学家。 ”可见,数学的美感和审美能力是 进行数学研究和创造的基础。

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4.2.2 重视数学思维的培养,崇尚数学的理性精神 数学教学的重点是发展学生的数学思维,数学思维是理性思维的一种,它不 同于形象思维,也不同于物理、化学、生物学等使用的实证思维。 逻辑思维是数学思维的基础部分, 但不是核心部分, 只靠逻辑推不出新东西。 “逻辑只是数学家为了保持数学健康而必须遵守的卫生规则” (H·外尔语) ,数 学思维的创造性与直觉思维、数学美学、合情推理、结构观念等思维方式密切相 关, 培养数学思维首先是数学意识的孕育与培养。数学知识需要数学能力来驾 驭,而意识决定思考的方向,所以数学意识就显得特别重要了。 例1 设方程10 x + x ? 3 = 0和方程 lg x + x ? 3 = 0的根分别为α 和β,求α+β 的值。
解:将方程10 x + x ? 3 = 0整理为10 x = ? x + 3, 可知α 是曲线y = 10 x 与直线 y = ? x + 3 的交点A 的横坐标。将方程 lg x + x ? 3 = 0整理为 lg x = ? x + 3, 可知β 是曲线 y = lg x与直线 y = ? x + 3 的交点B 的横坐标。由于y = 10 x 与y = lg x的图像关于 3 直线y = x 对称,两直线y = ? x + 3与y = x 的交点横坐标是 ,故α+β=3. 2 这一问题,论知识、能力都不难,难的是将方程构造成函数模型,借助函 数图像,很容易得出结果。 数学意识也可以说是对数学的一种感觉,在心理学上属于非认知心理。有这 样一个故事: 哈代乘车去看拉曼纽让, 并告诉他说所乘坐的那辆车的车号 “1729” 太没意思了。可是年轻的印度数学家拉曼纽让却告诉这位数论方面的领袖人物, 说这个数有意思极了,它是一个可用两种方式表示为两整数立方和的数

(1729 = 10

3

+ 93 = 123 + 13 ) ,而且是具有这种性质的最小正整数。这两位数学家对

1729 这个数的感觉就不一样,拉曼纽让有着极好的数学意识,这无疑是他成功

的极其重要的因素。 其次是要提高和发展数学思维能力,即独立思考,不迷信权威;尊重事实, 不感情用事;思辨分析,不混淆是非;严谨推理,不违背逻辑。 例 2 某人得到一家公司的聘用,老板说,目前年薪为1万元,这里有两种方 案供你选择:第一种,每一年加 1000 元;第二种,每半年加 300 元。试问,如 果你打算在该公司工作 5 年,究竟用那种方案得到收入多? 这是一个很好的等差数列的探究性问题, 也是数学文化在生活应用的具体体 现。初看起来,一年加一千,总比半年加三百即一年加六百要好。其实,加薪后 是不会减下来的,所以按两种方案得到各时段的实际加薪数的数列,见下表(底 薪1万元未记,单位:元)

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时 加 薪 数 段

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

方案一

1000

2000

3000

4000

5000

方案二 300

600

900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

由此看出,除了第一年,按方案一得 1000 元,多于方案二得 900 元外;第 二年按方案一可得1000+2000=3000 元, 按方案二也可得300+600+900+1200=3000 元; 到第三年,情况为: 方案一:1000+2000+3000=6000 元 方案二:300+600+900+1200+1500+1800=6300 元 以后再算下去,方案二明显占优势。到第五年后总加薪数为:

(1000 + 5000) × 5 方案一: = 15000元 2 (300+3000)× 10 方案二: = 16500元 2 所以方案二好。
但是如果方案二是每半年加 200 元呢?10 年后的总加薪数为(用等差数列求和) : 10 × 11 方案一: × 1000 = 55000元 2 20 × 21 方案二: × 200 = 42000元 2 因此这时方案二不好,方案一好。 那么每半年加薪多少会使得 n 年后方案二有利呢?



n(n + 1) 2n(2n + 1) ×1000 < × d得 2 2 11 当n = 10时,d > ×1000 ≈ 262元 42

这一问题的变化还有很多,用这一问题作为等差数列单元的数学应用题,对 培养学生数学思维能力是很有益的,也是学生获得社会生活经验的积累。 高中数学教学的每节课都能进行培养数学意识和理性思维的教育, 只在有心 与无心、有意与无意之差别而已。许多数学家一再呼吁,中国传统文化中比较缺 乏这种理性思维,应当在基础教育中适当加强,并使之融入中华文化。这是很对 的,我们应该在平时的教学中有意识地进行培养学生理性思维的教学实践,让学
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生多一些探索和研究,在教学中进行数学文化教育的渗透。 4.2.3 营造良好的课堂文化氛围,体现数学的人文精神 高中数学是重要的基础课,课时相对多一些,加上高中数学又是相对比较难 的科目,许多学生会产生畏难情绪,因此,数学课堂文化氛围对学生的影响就显 得特别大。 课堂文化是普遍存在于课堂之中的文化现象,它是由教育传统、学校和班级 的风气、教师个人的修养和作风等诸多因素形成的不成文的规定,弥漫于课堂的 特定氛围,以及制约师生行为的习惯等文化现象。同一个学校的各个班级的课堂 上因科目、老师、学生的不同有着不同的课堂文化,它就象校园文化一样属于一 种亚文化,是一股潜在的力量,把握得好能起着潜移默化的教育作用。 笔者认为高中数学课堂文化需要重建数学文化的内涵。 每一位高中数学教师 都应该在自己的课堂上营造具有个人特色的课堂文化,通过自己的工作和魅力, 使课堂文化成为渗透数学文化,影响学生精神风貌,和进行世界观、人生观、价 值观教育的重要手段。 数学课堂是一个小社会,教师是这个小社会的“引导人” ,学生是其中充分 享受民主和自由的“公民” ,在这个特定社会的文化内涵里,有三个最重要的因 素:创新、民主、合作。 创新,是高中数学课堂文化的灵魂。作为高中数学教师不一定要有数学大师 们那样辉煌的数学成果,但应该具有他们的创新精神,成为与时俱进的学者,这 样,学生才会在教师的感染和鼓舞下,在学习数学基础知识的同时,怀着对未知 事物的强烈的好奇心,努力探索新知的抱负和决心,以及克服困难获得成功的意 志和信心。 他们将来不必都成为数理科学家, 但创新精神、 探索好奇、 感受成功, 则是人人都需要的。现在有的数学课堂中弥漫着“实惠”的风气,只以“分数小 康”为满足。一些重点中学里学生的最高理想只是考取重点院校,一般中学的学 生仅仅希望能考取一个本科院校。 一些高中数学教师对于当代数学的进展很少关 心,数学课堂氛围颇有“郁闷”的感觉,这是必须打破的闷局。欧拉在“给学生 讲课时喜欢寻点开心,让学生感到惊异。(康多塞语)这才可能使学生有感情的 ” 投入,使学生好奇、喜欢,获得理解和体验,而不只是让学生认识、记忆、解题。 民主,是高中数学课堂文化的准则。教师处于引导地位,具有先天优势,自 然就有一个发挥民主的问题。数学世界是最能体现民主的,没有绝对权威,能者 为师,教学相长,学生会在民主氛围里感受到数学文化带来的精神愉悦,将启迪 他们热情地走向数学文化。民主的课堂是思想自由、开放的课堂,小组合作进行 讨论、探讨研究甚至争论成为课堂教学的形式,对学生的思想火花要保护。 《中

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学数学教与学》04 年 12 期第 15 页记载着这样一个事例:有一位学习一向不出 色的学生,在一次课堂讨论中陈述了自己的思维过程和理论依据证明自己的结 论,受到全班同学和老师的肯定和鼓励,后来这位同学的学习有了明显的进步, 在民主和谐的氛围中,这位学生得到了自信,从而点燃了学习兴趣之火。 合作,是数学课堂文化的核心。现在欧美等西方各国盛行“合作学习”教学 法,除了学习需要相互帮助之外,培养合作精神是教育目标之一。数学史的进程 本身就是合作的结果:古—今,今—今,国内—国外,多层次多角度的合作完善 了数学,也完善了数学学习过程,引导合作小组寻找课题,发现问题,合作探究 解决问题,数学课堂教学成为一个实现真理的平台,学生必将自觉深入到数学文 化的博大精深中去。现在部分重点中学竞争过度,公布学生的成绩排名,各科成 绩前几名的学生名字,来刺激学生争名次,实际上是摧残学生心灵,弊多利少的 做法。数学文化的介入,无疑将净化我们的数学课堂。 总之,教学实践证明,当老师讲些“活数学”或者把数学与哲学、美学、经 济以及其他文化艺术相联系时,学生就表现出向往、兴奋的热情。可见,如果在 高中数学教学中注重数学文化观念,将有利于培养学生对数学的兴趣。而缺乏文 化气息的教学,学生会感到枯燥无味、郁闷。优秀数学教师的教学,都有较强的 文化气息,这一特点也是他们成功的因素之一。所以我们应该重视高中数学教学 数学文化教育的渗透,使学生在数学学习中经受人类文明的洗礼。

4.3 渗透数学思想方法,提高学生数学素养
4.3.1 运用数学思想方法的创新属性培养数学创新意识 数学思想方法是指人们对数学知识内容的本质认识, 对所使用的方法和规律 的理性认识。具有普遍的指导意义和相对稳定的特征,是研究数学理论和运用数 学解决实际问题的指导思想, 是数学文化的精髓部分。 主要包括: 化归思想方法、 数形结合思想方法、类比思想方法、归纳与猜想、函数与方程思想方法、构造思 想方法等。 《高中数学课程标准》 (实验)要求学生掌握基本的数学思想,培养学生数 学创新意识,这是一个人数学素养的重要组成部分。 数学思想方法是数学创造的源泉,发展的基础,正是数学的探索者不断开拓 新的数学思想方法,才促进着数学的发展和繁衍。纵观数学发展史,数学思想方 法诱发了数学家创造性思维的火花,促进了数学科学的成果的涌现。数学思想方 法是数学知识的本质, 为分析、 处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略, 波利亚指出,与其给人以死板的知识,不如给人以生动、活泼的方法,点石成金 的策略、手段。如果学生能够掌握数学思想方法,会对其终身学习、工作有很大

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帮助,产生深刻而持久的影响,形成独特的数学素养。 4.3.2 运用数学思想方法的辩证特点培养正确的世界观、完善认知结构 .3.2 数学思想方法本质上是唯物辩证法在数学科学中的具体体现。如:化归思想 是处理数学问题中已知与未知之间矛盾提供有效途径, 数形结合思想反映数与形 这一矛盾的对立统一,类比思想反映出数学问题中特殊与一般的关系,构造反例 反映数学问题中肯定与否定之间的辩证关系。 认知结构是个人将自己所认识的信息组织起来的心理系统, 它是将个体头脑 中的知识按照自己的理解深度、广度,结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、想 象等认知特点,组合成一个具有内部规律的整体结构。知识结构是数学内容及其 组织形态,对于学生的认知来说,它是外在之物。学生通过学习将它们转化为自 己掌握的东西后,就变成为内在之物──认知结构。 心理学家认为: 如果知识结构中原有的有关观念在统摄和概括水平上高于新 学习的知识,那么这时利用认知结构中有关观念学习新知识便成为下位学习。当 学生掌握了一些数学思想方法,再去学习相关的数学知识,就属于下位学习。这 时学生就能够挖掘数学体系内在的、深层的意义,领略到数学文化的美妙之处, 对数学知识作出深刻的解释和理解, 促进学生数学认知结构的发展和完善, 例如, 在学习“一元二次不等式的解法”时,可以领会到化归思想、数形结合、函数与 方程的数学思想方法。 高中阶段是学生形成正确的世界观、价值观,完善认知结构的关键时期,渗 透数学思想方法在这个过程中具有极其重要的作用, 教师应该努力发挥数学文化 的教育功能,将数学思想方法渗透到教学当中。 4.3.3 在课堂教学中实施化归、构造函数等数学思想方法的渗透 4.3.3 3. 首先,分析、挖掘教材。数学思想方法融入教材的数学基础知识之中,并不 像定义、定理、公式、法则那样具体,蕴含在教材逻辑体系之中,就需要老师与 学生一起认真分析教材,从数学知识中逐步抽象概括出数学思想方法。 其次,重视课堂教学设计。教学中不仅重视数学结论,而且要重视数学知识 的来源、形成过程,数学知识的发生过程也是数学思想方法的发生过程。在数学 概念的抽象概括中,发现问题、揭示数学规律的过程是渗透数学思想方法的好机 会,也是渗透数学思想方法教学的主渠道。 最后,有步骤有重点的渗透。由于数学思想方法是基于数学知识又高于数学 知识的一种隐性的数学知识, 要在循环往复的体验中才能使学生逐步认识、 理解, 在具体应用中,不断对已形成的数学思想方法进行验证和发展,逐步加深认识。

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例1 已知:数列{an }中a1 =1,a n+1a n +3a n+1 -a n =0,求数列{an }的通项公式.
分析: 将a n+1a n +3a n+1 -a n =0转化为a n = a n+1a n +3a n+1 等式两边同除以a n+1a n 得 1 a n+1 = 3 + 1 LLL an
n ?1 k =1

( *)

此式与以下数列问题相似:

(1) a n+1 = a n + f (n), 通项公式a n=a1 + ∑ f (k )
(2)a n+1 = pa n + q ( p, q为常数,pq ≠ 0, p ≠ 1) 两边同除以p n +1得 a n+1 a n q = n + n +1 n +1 p p p

? an ? q ( p n ?1 ? 1) 数列 ? n ?即为(1),所以a n= + a1 p n ?1 p ?1 ?p ? 1 3n ? 1 根据(1)(2)得(*)的通项公式: = 2 an ∴ an = 2 3 ?1
n

这就是化归思想在求递推数列通项中应用的一个很好的例子。
2 例2 已知当x ∈ [0,1]时,不等式x2cosθ -x(1-x)+(1-x)sinθ >0恒成立,

试求θ 的取值范围。
分析: 用构造思想方法,设f (x)=x2cosθ -x(1-x)+(1-x)2sinθ = (cos θ + sin θ + 1) x 2 ? (1 + 2sin θ ) x + sin θ ? f (0) = sin θ > 0 LL (1) 题设知: ? ? f (1) = cos θ > 0 LL (2) 在条件(1)(2)下,对称轴x= 只要? < 0, 即 sin 2θ > 1 LL (3) 2 联立(1)(2)(3)就可解出结果。 1+2sinθ ∈ (0,1) 2(cosθ +sinθ +1)

用构造函数的数学思想方法,问题迎刃而解。构造反例可以加快解题速 度,尤其是否定有关命题时效果更佳。

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例3 设函数f ( x) = x 2 + 1 ? ax, 其中a > 0 (1)解不等式f ( x) ≤ 1; 分析:(1)略; (2)在区间[0,+∞ ) 上任取x1 , x2 , 使得x1 < x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ( x1 ? x2 )( x1 + x2 x12 + 1 + x2 2 + 1 ? a) (2)求a的取值范围,使f ( x)在区间[0,+∞ ) 上是单调函数。

当a ≥ 1时,易知函数f ( x)是增函数。 当0<a<1时,在区间[0,+∞ ) 上存在两点x1 =0,x2 = 所以函数f ( x)在区间[0,+∞ ) 上不是增函数。 2a ,满足f ( x1 ) = f ( x2 ), 1-a 2

4.4 开展研究性合作学习,体验感悟数学文化的价值
传统的数学教学方法,主要是让学生模仿,但这种“跟随型”的训练法,对 培养学生的创造能力、独立思考能力是不利的,而创新是数学文化的灵魂,立足 于数学文化观的高中数学教学,要把学习数学的主动权交给学生, “数学教师不 能充当数学知识的施舍者的角色。 ”教师不再是知识的传授者,而是学生学习活 动的组织者和促进者。笔者认为高中数学的教学应该是掌握数学的基本精神,强 调数学意识的树立,在数学活动中感悟数学文化的价值,数学素质是学生在数学 活动中获得的。 开展数学课题研究性学习,可以使学生学到真实的数学,体验到数学家发现 数学的真实过程,在一种艰难而又生动有趣的数学活动过程中,根据自己的体验 用自己的思维方式,了解数学概念和结论产生的过程,理解直观和严谨的关系, 尝试数学研究的过程,获得重新创造的快乐。 所谓研究性学习, 就是通过问题解决的方法发展为问题解决能力的一种学习 形态。从狭义上讲就是学生在教师的指导下,根据自己的兴趣、爱好和条件从学 科领域或现实生活情境中选择课题,以类似科学研究的方式主动获取知识、应用 知识、解决问题,从而发展创新素质,养成科学精神和科学态度,提高综合素质 和能力的一种高层次的学习方式。研究性学习的特征如下: 1、问题的开放性。研究性学习的问题可以没有单一的答案或所谓的标准答 案,问题本身存在某种程度的模糊性,解决方法也存在某种程度模糊性,解决者 可以用不同的观点、从不同的角度来解析问题。 2、情境的真实性。研究性学习的内容、学习方式和学习结果具有现实意义, 倘若选题来自真实生活中所遭遇到的问题,探究方式类似于专业人员的研究,探 究结果具有现实意义。那么,这种学习就是一种回归生活世界的“真实学习” ,

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这样不再是单一的、理论化的书本知识,而是向学生呈现人类群体的生活经验, 并把它们纳入学生的生活世界中加以组织,使数学文化进入学生的“生活经验” 和“履历情境” 。 3、问题解决的渐进式。师生以渐进式的步骤共同介入问题解决,问题解决 的过程大体包括问题设定、问题探究、问题的解决与表达三个阶段。按照贝瑞特 等(C.Bereiter&M.Scardamalin)的学习概念,渐进式问题解决存在循环往复的四 个“学习环节” :理解与计划;行动与分享;反思;再反思与修正。 4、评价的发展性。在强调真实性与探究性的问题解决学习中,必然采取以 学生的实际表现为基础,注重学生个性化反应的性质评价方式。学生的真实性表 现是无法单凭传统的纸笔测验成绩来评价的, 发展性评价不仅可以弥补传统学业 成绩测验的不足,它还能提供更多的反馈信息。 根据以上特征,研究性学习问题(课题)的形成取决于问题的内在价值、学 生的内在兴趣和聚焦能力。 有效的课题研究必须针对学生 “最近发展区” 的程度, 知识能够通过学生自身的逻辑基础、情感基础达到“最近发展区” ,在研究过程 中出现“内心的敞亮” ,有“茅塞顿开、豁然开朗”这样认识过程的飞跃,同时 将所得到的数学知识、能力迁移到别的数学问题的研究上去,形成知识、能力上 的良性循环。 因此,研究性学习的立题标准必须符合三条原则: (1)理论性原则,研究内涵符合专业性,论述基于相关理论,能够展开分析 批判。 (2)逻辑性原则,研究问题的产生合乎逻辑研究动机,具有教育意义。 (3)实用性原则,研究问题具有应用性。 由于研究性学习的特征,可让学生在解决问题的过程中,领悟到数学文化的 价值。 案例:根据国家教育部制定的《普通高中课程标准》 (实验)第 104 页针对 案例 数学文化学习提供的参考选题之一: “金融中的数学” 做 , “养老保险投资” “银 与 行储蓄投资”比较的研究性学习课题。 课题题目: 对比养老保险与银行储蓄 课题题目 研究目的: 研究目的 1)通过对银行定期储蓄所得及投资养老保险收益进行调查与研究, 加深对数 列知识的理解和应用,体会金融生活中数学的科学价值、应用价值和人文价值, 培养数学应用意识。

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2)在研究活动中,进一步积累数学活动的经验和成功体验,增强数学学习的 自信心和兴趣。加强同学之间的合作交流,培养同学之间的团队精神。 研究方法:调查研究、分析讨论。 研究方法 活动方式:实际调查、搜索网上信息、自主探究、小组活动。 活动方式 问题解决的具体策略: 问题解决的具体策略 1.养老保险利率依然高于存款 目前一年期定期存款利率为 2.25%,在目前保险资金运用还只限于银行储 蓄、国债、基金等有限渠道的情况下,保险公司为了避免出现巨额利差损失,目 前寿险的固定收益均不得超过 2.5%的上限。不过,现在市场上绝大多数养老保 险产品均已改良为分红型,亦有不少保险公司主张以万能险替代养老保险。无论 是分红型养老保险还是万能险,收益率均可上下浮动,实际分红或结算利率视保 险公司的经营投资情况而定,不受 2.5%的限制,当前主流的万能险结算利率在 3.2%~3.6%之间浮动。 2.保险收益稳定,风险较小 与股市相比,长期的寿险(包括养老保险)收益稳定、风险较小,适合于有 保障需求又不愿承担高风险的投资者。 在我国经济长期稳定发展的前景很难预期未来 10 年或 20 年后银行利率会有 大的提高或降低,保险预定利率会根据银行利率的变化调整,而不会象股票价格 一样每时每刻都会随市场行情波动。 3.传统养老保险的保费相对较低 与分红型、投资连结型寿险相比,传统型养老保险或传统寿险的优点是保障 收益稳定,而且相对来说保费较低。目前监管部门对保险公司限定寿险的最高预 定利率为 2.5%, 大多数传统型寿险的预定利率是按最高限 2.5%,而分红型寿险则 一般为 2%,尽管分红险有一部分分红收益,但这部分收益是不确定的,完全根据 保险公司的资金运作收益决定,目前已经出现一些负收益的例子。而投资连结型 保险更是把一部分保费完全用于投资,收益和风险都是由保户承担。这样,风险 承受能力不同的人,可以选择不同的保险产品。 研究小组综合国家银行存款利率和友邦(中国)保险有限公司购买养老保险 条款,设计以下方案: 投保人:李先生,现年 37 岁, 缴费年限:23 年,每年缴费 4650 元 方案一:假设李先生购买“友邦金祥六十岁起给付十五年养老保险金” 的保险产品。 “友邦”公司为投保人满六十岁起给付十五年生存金表:

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年限 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 第六年 第七年 第八年 第九年 第十年 第十一年 第十二年 第十三年 第十四年 第十五年 合计

每月收入金 1000 1050 1102.5 1157.6 1215.5 1276.3 1340.1 1407.1 1477.5 1551.4 1629 1710.5 1796 1885.8 1980.1

年收入金额 12000 12600 13230 13891.2 14586 15315.6 16081.2 16885.2 17730 18616.8 19548 20526 21552 22629.6 23761.2 258952.8

到李先生满七十五足岁时将可得到 100000 元是期满后的祝寿金)

258952.8+100000=358952.8 元(其中

方案二:假设李先生按整存整取的一年利率,以每年 4650 元整存入银行 23 年后所得(税后)利息加本金为:141208.4 元。 再将 141208.4 元按每五年整存整取的利率计算,15 年后所得(税后)本息 和为:211416.35 元 结论:经比较将资金进行养老保险投资收益较大。 结论 研究结果的推广与利用: 研究结果的推广与利用 1)市场上除了上述养老保险,还有分红型,投资连结型等寿险产品,哪种 又更合算? 2)影响投保者收益的因素有哪些?如何理财? 学生体验: 学生体验:将数学知识应用到生活当中,帮助自己家中、亲属中老人、邻居 体验 老人解决一些困扰他们的问题,也使自己学会关心老人、关心社会、关心自己将 来的命运,开始思考国计民生等大问题,也终于明白,数学是这样无处不在地渗 透于生活当中。
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教师总结: 教师总结: 数学的文化价值必然会随着研究性学习成为学生数学素养的重要 组成!教师可以指导学生多方挖掘研究资源,进一步培养数学研究精神。 除了从知识的实际应用中选择研究性学习课题, 还可以从新授课中选择研究 性课题,在教学过程中,可将某些定理、公式列为研究性课题,让学生去发现、 检验、论证甚至推广,亲身经历知识的形成、发生和发展过程,在学生活动的过 程中,给予适当的指引,举例如下: 课题一:直线方程的推导 问题 1.在生活中,我们常用什么方法固定一条直线? 问题 2.确定一条直线的方程, 应给出什么条件?如何求?适用范围是什么? 问题 3.能否找到直线方程的一般式? 问题 4.是否还有其它方法? 课题二:点到直线的距离公式的推导 问题 1:将一个直角三角板放在黑板上的直角坐标系中,已知斜边的方程及 直角顶点的坐标,鼓励学生用尽可能多的方法求出直角顶点到斜边的距离。 问题 2: 一般情况下, 已知直线的方程及点的坐标, 如何求点到直线的距离? 课题三:线性规划问题的拓展 问题:线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最值的问题,若 目标函数和约束条件中有非线性情况的时候,问题又如何解决? 本人曾经设计问卷调查, 大部分同学对研究性学习在数学文化渗透方面的作 用表示肯定,学生在进行数学课题研究性学习中,体会到生活中到处有数学,只 要你用心观察,就会发现数学的美,数学思想方法的应用无处不在,给了学生一 双善于发现数学美的眼睛;学生逐步学会运用观察、分析、联想、转化等数学方 法解决问题,养成“问题意识”和交流的习惯,加强了与人合作的意识和能力, 增强了学习数学的自信心和兴趣,数学表达能力得到提高,学生切身感悟到数学 的价值之所在。 在新课程背景下,广州市执信中学的卢光老师从 04 年 7 月至 05 年 6 月,在 高中一年级数学必修课教学中,经过一年的实验研究表明,数学课题研究的实施 在加强学生对数学知识的理解和应用,提高学生的数学学习兴趣,增强学生的自 主学习能力,激发学生的探索求知的热情,促进学生的全面发展等方面确实起到 了积极作用。卢老师的研究受到广州市教育局教研室的肯定,作为贯彻实施新课 程标准的好方法在全市推广。另外在《中学数学教与学》04 年 12 期第 35 页登 载了江苏睢宁高级中学黄安成老师引导学生进行数学研究性学习成功的课例。 需要提醒的是,学生完成课题探究后,老师还应及时搭建起展示小组成果的

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平台,让其他同学对展示小组的研究提出不同意见,经过交流,使大家对问题的 看法和理解得到提高和升华,这样学生学习数学的热情和积极性就能持久,这对 学生本身也是一种很好的锻炼。 总之,学生通过进行数学研究性学习,主动参与、积极思考、与人合作、交 流,获得数学学习的自信心和方法;体验到创造的激情,培养了勇于质疑和善于 反思的严谨的科学态度和不怕困难的科学精神,提高学生发现问题、提出问题和 解决问题的能力;学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中去,体会数学 的探究过程,体会数学与自然、社会和人类生活的联系,获得情感、能力、知识 的全面发展,也让学生真正深刻理解和体会到数学文化的价值。

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第五章 高中数学教学渗透数学文化教育的实验研究
5.1 实验的目的
新课程背景下, 在高中数学必修课教学过程中, 有意识地渗透数学文化教育, 旨在加强学生对数学知识的理解和应用,提高学生对数学学习的兴趣和信心,提 高对数学价值的认识,激发学生探索奥秘的求知热情,全面提高学生数学素养。

5.2 实验的理论依据
5.2.1 普通高中数学新课程标准 在《普通高中数学新课程标准》 (实验)中指出:数学是人类文化的重要组 成部分,数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。课程的基本理念之一是: 体现数学的文化价值,让学生通过高中阶段数学的学习,初步了解数学科学与人 类社会发展之间的相互作用, 体会数学科学中的科学价值、 人文价值, 开阔视野, 寻求数学进步的历史轨迹, 激发对数学创新原动力的认识, 受到优秀文化的熏陶, 领会数学的美学价值,从而提高自身的文化素养和创新意识。 5.2.2 学习理论 人本主义学习理论认为:学习是人固有能量的自我实现过程,强调人的尊严 和价值,强调无条件积极关注个体成长过程中的重要作用,认为教育和教学过程 就是要促进学生个性的发展, 发挥学生的潜能, 培养学生学习的积极性与主动性。 建构主义学习理论认为:学习者以自己的方式建构对事物的理解,不同的人 看到的是事物的不同方面,不存在唯一的标准解。因此,建构主义指导下的教学 组织形式有小组学习,合作学习等。 人的全面发展理论认为: “人的全面发展”主要含义是人的本质的真正实现 和个性得到自由发展,教育的根本使命是促进人的全面发展,提高个体素养。

5.3 实验设计
实验对象 实验主持人为笔者,被试是广州大学附属中学高一(8)(9)班,这两班都 , 是依据中考入学成绩均衡编排的 7 个平行班中的两个,男女生比例、年龄、学生 家庭情况等基本相同,确定高一(9)班为实验班, (8)班为对照班,两班学生 人数几乎一样,高一(8)班 55 人,高一(9)班为 56 人,男女生比例为 5:4. 实验假设 新课程背景下,在高一数学教学中,两个普通平行班,其中一个班采取原来 的教学理念方法, 而另一个班在原来的教学方法的基础上有意识地渗透数学文化
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教育,通过一年(两学期)的实验,比较两班级的学生在数学成绩、学习方式、 学习兴趣、信心和能力等方面是否存在差异。 实验研究的变量分析 自变量:在数学教学中渗透数学文化教育 因变量:学生的数学成绩、数学学习方式、对数学学习的兴趣和信心、对数 学知识的理解和应用等。 干扰变量:学生初中学习数学的方法,学生对新的教学方法的适应力和接受 程度,新课程改革对知识的变革性的重组,教师原来的教育教学观念等。 实验材料 教学材料:北师大版 普通高中课程标准实验数学教科书必修 1~4 模块。 测评材料: (1)2005 年广州市中考数学卷,广州市高中 B 组十校联考高一 学年度水平能力测试数学卷。 (2)数学学习兴趣、信心,学习方式问卷调查(附录) 实验程序 (1)前测:把学生中考的数学成绩作为前测成绩,并进行数学学习兴趣、 信心,学习方式的调查。 (2)执行实验:由本人执教,同时对所任教的两个班进行实验,对照班用 以往的教学思想方法组织教学,实验班在教学中进行渗透数学文化教育。 变量控制:两个班做到教学课时、教学进度一致,工作态度一致。 实验时间:2005 年 9 月~2006 年 6 月 (3)后测:用高一下学期的期末联考数学成绩,同时进行数学学习兴趣、 信心,学习方式的调查统计。

5.4 实验结果分析
借助统计软件辅助计算,对数据进行分析: 实验班与对照班前、后测数学成绩差异比较 因样本容量均大于 30,所以用 Z 检验,结果见表 1。 表 1:实验班与对照班前、后测数学成绩均分比较( x + s ) 班级 实验班 对照班 N 56
55

前测
104.32 ± 16.47 103.51 ± 18.31 0.094

后测
89.58 ± 14.06 80.34 ± 12.65 3.641

Z

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表中数据表明:实验班与对照班比较,前测数学均分无显著差异。 (Z=0.094<1.96,取 a=0.05),后测数学均分差异显著(Z=3.641>1.96,取 a=0.05), 实验班的数学成绩明显高于对照班,体现出整体超越的总趋势。 从试卷答题情况来看,实验班的同学答题思路清晰,善于运用数学思想方法 如化归思想、数形结合、类比与猜想、构造函数等思想去解决疑问,推敲解题的 最佳思路。实验班的同学在数学文化的熏陶下,普遍建构了数学思想意识,他们 的试卷展示的不仅仅是一份答卷, 更重要的是展示了实验班的同学学习数学的自 信与成熟,他们不再把考试当作考试,而将考试理解为挑战智慧,体验卓越,他 们乐于接受这样的挑战和体验,他们乐于享受这种实现自我的过程。很显然,在 高中数学教学中渗透数学文化教育能明显提高学生的数学成绩, 也能真正实现学 生学习数学的价值。 实验班与对照班在数学学习兴趣、信心,学习方式方面的比较( x + s ) 为了对两个班学生数学学习兴趣、 信心, 学习方式的检测, 对附录表中的 A、 B、C、D、E 五个选项分别赋予 5,4,3,2,1 分的分值,并用 Z 检验,其结果如下: 表 2: 实验班与对照班在数学学习兴趣、信心,学习方式方面的比较( x + s ) 班级 实验班 对照班 N 56
55

前测
72.32 ± 5.21 73.14 ± 7.24 ?0.41

后测
79.65 ± 8.43 75.27 ± 9.26 2.61

Z

表中数据说明:在数学学习兴趣、信心,学习方式方面,实验班与对照班前 测成绩差异不显著 |Z|=0.41<1.96, 取 a=0.05) ( ,但后测成绩差异显著 Z=2.61>1.96, ( 取 a=0.05),实验班学生的数学学习兴趣明显提高、信心增强,学习方式也有很 大改善,特别值得强调的有两点: 一、学生逐步认识并认同数学文化在数学学习中的价值和意义,愿意将数学 文化纳入到自己的学习范围,并主动、自觉地探究数学文化的内涵,数学文化内 在美的规律吸引着学生,数学前辈刻苦钻研、百折不挠的探索精神激发了学习的 兴趣和热情。上课不再觉得枯燥、作业不再是沉重的负担,考试也不再是难以逾 越的大山,相反,对数学的热爱成为学生挑战自我实现自我的内需,学习数学变 得如同呼吸一样自然,他们从怕学、厌学、逃学到爱学、乐学,学得津津有味, 学习面貌、效率和成绩都发生了根本性的变化。数学文化从尊重学生对世界的理 解和渴望的角度,激发了学生的非智力因素,挖掘了学习的内需,帮助学生建构

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了个性化的认知,彻底改变了数学学习的传统,赋予数学课堂勃勃生机。 二、数学文化在高中数学教学的渗透不仅彻底变革了学生的思想认识,更重 要的是改变了学生的数学学习方式。从数据中可以看出,参加数学研究性学习的 人数增多,课题研究质量也越来越高。研究性学习方式成为学生非常喜爱的学习 方式,他们认为研究性学习不仅拓宽了数学视野,促进了成绩的提高,还加强了 师生、生生之间的民主、平等的关系,加强了合作与竞争。学生逐渐摆脱机械、 盲目的听讲、死记、死做的苦学方式,开始发挥自己的潜能,在小组合作过程中 贡献个体的智慧,在小组竞争中发挥集体的力量。研究性学习既是个人固有能量 的实现,也是集体合作的价值体现。研究性学习强调竞争与合作,恰好反映了与 二十一世纪对创新人才的要求。 在高中数学教学中渗透数学文化教育之所以受到 学生的欢迎,也正是因为学生在这样的教学当中体会到了能力的提高,体验到了 创新的魅力,也意识到了建构数学能力体系对自己成才的意义。 结论: 结论:从实验的结果来看,在高中数学教学中渗透数学文化教育对提高学生 的数学成绩, 培养学生对数学学习兴趣、 信心以及改善学习方式是有明显作用的, 数学教学可以藉此培养学生的数学素养,培养全面发展的创新人才,在高中数学 教学中渗透数学文化,是新课程理念下数学教学改革的一条必由之路。

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经过一年半时间对数学文化与高中数学教育相融合的学习和研究, 阅读了有 关名家、大师的著作,查阅了大量的文献资料,感到自己对高中数学教育的认识 有了很大的提升,如何在高中数学教学中渗透数学文化教育,充分挖掘、发挥教 材中的人文教育功能,体现数学的人文精神,培养学生严谨朴实的科学态度,诚 实、宽容的人格特征,严密的思维,坚韧的意志品质和创新精神,使数学教学改 变枯燥乏味又艰深的旧貌,成为充满美感蕴涵人格魅力的教育学科,是一个非常 有研究价值和实践价值的课题,也是本文意义所在。 有不少研究者已经注意到数学教学的人文性, 但却还远远没有全面发掘数学 文化丰富的内涵,而这正是本文所要做出的尝试。 本文通过回顾数学史,回顾数学文化的形成和发展,确立数学文化观,从高 中新课程标准的要求,实施素质教育,有效激发数学热情,全面认识数学价值四 个方面论证渗透数学文化教育在高中数学教学中的必要性, 并提出了具体的实施 方案:即通过介绍数学史来渗透数学文化教育;创新教学方法,传播数学文化; 渗透数学思想方法,培养正确的世界观、完善认知结构,培养数学创新意识;开 展研究性合作学习,体验感悟数学文化的价值。 本人在广州大学附中工作期间,参与新课程改革,进行了高中数学教学渗透 数学文化教育的实验研究,结果表明,在高中数学教学中渗透数学文化教育对培 养学生数学学习兴趣、信心以及改善学习方式是有明显作用的,也有助于提高学 生的数学成绩,提升学生的数学素养。 本人还了解到广东省实验中学的周映平老师从 2000 年秋至 2003 年夏进行了 “问题解决”教学模式的实验研究,取得了巨大的成功,当年高考数学 900 分 1 人,800 分以上 18 人,占全广州市 800 分以上总人数的四分之一,全班 51 位同 学全部考上重点大学。 她的教学方式正是通过数学问题让学生感受到数学的奇妙 和美,激发学生的求知欲和对数学的兴趣;通过学生自己的调查、研究、实验, 从中体验学习数学的自信和成就感,培养学生的科学态度和科学意识,创新思维 和创造能力。 周老师的教学模式中数学文化的教育功能已经初露端倪, 同道如此, 本人深感欣慰。 在数学教育中呈现数学文化的研究活动正大量开展,并取得了长足的进步, 也还有着广阔无垠的前景,本人将一如既往地实践、反思、论证、再反思、再实 践,为中学数学教学的发展进步贡献绵薄之力。

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参考文献
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渗透数学文化教育的高中数学教学研究 [32]李志厚等:学习论与新课程学习理论研究,广州:广东教育出版社,2004.7 [33]王子兴:数学方法论-问题解决的理论,长沙:中南大学出版社,1997(2002.3 重印) [34]叶尧城:高中数学课程标准教师读本,武汉:华中师范大学出版社,2003.9 [35]齐民友:数学与文化,长沙:湖南教育出版社,1991.5 [36]邵瑞珍:教育心理学(修订本) ,上海:上海教育出版社,2003.8 重印 [37]广东省教学教材研究室 编著:研究性学习方法指导,广州:广东教育出版社, 2001.8 [38]金一鸣:教育原理,合肥:安徽教育出版社,1995.12(1999 重印) [39]高隆昌:数学及其认识,北京:高等教育出版社,2001.10(2004 重印) [40]严士健:面向 21 世纪的中国数学教育, 南京:江苏教育出版社,1994 年版 [41]朱哲 张维忠:一节基于数学史的教学课例,中学数学教与学, 2004(7) [42]黄安成:由实验得结论 从特殊到一般,中学数学教与学, 2004(12)

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附录 1
附:高中数学课题研究性学习调查问卷
调查对象:广州大学附属中学高一(9)班,有 56 个人,采取不记名的 方法进行。 1.你喜欢数学课题研究性学习吗? A.相当喜欢 D.不喜欢 A.相当适合 D.比较不适合 A.相当肯定 D.不明显 40.5% 3.6% B.比较喜欢 46% C.一般 2.7% C.一般 6.3% 29.7% 21.6% 11.7% E.相当不喜欢 36%

2.数学课题研究性学习是否适合你深化对数学知识的理解? 33.3% B.比较适合 2.7% 28.8% 3.6% 36% E.相当不适合 B.比较肯定 E.相当不明显

3.数学课题研究性学习是否提高了你对数学的学习兴趣? 32.4% C.一般 5.4% 38.7% C.一般 16.2%

4.数学课题研究性学习是否帮助你形成良好的数学学习方法? A.相当有帮助 D.没帮助 A.相当肯定 D.不明显 A.相当有利 D.不利于 A.相当有利 B.比较有帮助 E.相当没帮助 B.比较肯定 E.相当不明显 36.9% 2.7% 46% 5.4% 6.3% 36% 0.9% C.一般 18% C.一般 16.2%

5.数学课题研究性学习是否加强了你对数学的应用意识?

6.数学课题研究性学习是否有利你进行对数学问题的逻辑推理? 37.8% B.有利 4.5% E.很不利于 2.7% 27% C.一般 6.3% 3.6% 10.8%

7.数学课题研究性学习是否有利于加强你与同学合作的意识和能力? 50.5% B.有利 E.很不利于 D.不利于 5.4% A.相当有利 D.不利于

8.数学课题研究性学习是否提高了你运用多媒体信息技术? 78.4% 0% B.比较有利 18% C.一般 0% C.一般 11.7% E.很不利于 48.6%

9.数学课题研究性学习是否对增强你学习数学的信心有帮助? A.相当有帮助 D.没帮助 B.比较有帮助 36% 1.8% 1.8% E.根本没帮助

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附录 2
数学学习兴趣、信心,学习方式,数学文化的了解情况问卷调查表 亲爱的同学们: 你好!为了了解同学们学习数学的情况,制作了你手上这份问卷,本 调查是无记名调查,结果只作为论文研究之用,请你协助完成。 谢谢! 〔答题时,请在你所选字母上打“√” 〕 1.著名的诺贝尔奖中有数学单项奖吗? A.没有 B.好像没有 C. 不清楚 D. 有 E.肯定有 2.菲尔玆奖、沃尔夫奖是目前国际数学领域最高荣誉奖对吗? A.是的 B.不完全是 C. 不清楚 A.没有压力 A.非常同意 A.非常同意 B.压力不大 B. 同意 B. 同意 D.不是 E.肯定不是 E.很大 E. 非常不同意 E. 非常不同意 3.目前你感到所学科目中数学的学习压力最大吗? C.一般 C.说不清 C.说不清 D.较大 D.不同意 D.不同意 4.数学很重要,将来不管干什么工作都用得上数学。 5.我对数学作业从来不感到厌烦。 6.如果老师不布置作业,我就不做数学题。 A. 非常不同意 B. 不同意 C. 说不清 D. 同意 E. 非常同意 7.不用老师或家长监督,我能主动完成数学作业。 A.是的 B.时常是这样 B.喜欢 B.喜欢 C.偶尔这样 C.一般 C.一般 D.没有 E.从来没有 8.我喜欢数学教材中的阅读材料和课题学习。 A.非常喜欢 A.非常喜欢 D.不喜欢 D.不喜欢 E.从来不看 E.从来不看 9.我爱看数学课外书籍。 10.数学对解决日常生活中的问题没有太多用处。 A. 非常不同意 B. 不同意 C. 说不清 D. 同意 E. 非常同意 11.你目前学习数学的目的或动力是: A.个人爱好 B.求知 C.说不清 A. 非常不同意 B. 不同意 A.非常同意 B. 同意 D.考试 E.老师或家长所逼 D. 同意 E. 非常同意 12.只有头脑聪明的人才能把数学学好。 C. 说不清 13.与人进行数学交流,我会很主动或很乐意的。 C.说不清 D.不同意 E. 非常不同意 14.我会将所学数学知识、思想方法应用于解决实际问题或研究有关问题。

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A.非常同意 A.非常同意 A.找原因

B. 同意 B. 同意

C.说不清 C.说不清

D.不同意 D.不同意

E. 非常不同意 E. 非常不同意 E.预料之中 E.没有感觉

15.学习数学可以使人头脑灵活。 16.数学考试成绩不理想,你会有怎样的感受? B.难过之后找原因 C.伤心 D.无所谓 D.很紧张 17.数学考试前你通常是什么状态? A.盼望考试 B.充满信心 A.从不 B.不 C.有时 B. 同意 B. 同意 C.较紧张 D.会的 C.说不清 C.说不清 18.你认为数学枯燥乏味吗? E.经常会的 D.不同意 D.不同意 E. 非常不同意 E. 非常不同意 19.你认为学习数学能锻炼人的意志力品质吗? A.非常同意 A.非常同意 个人基本情况 性别:A、男 年龄:A14 岁 B、女 B15 岁 C16 岁 D17 岁 E18 岁 20.你认为数学是“美”的化身吗?

再次感谢你的支持!

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在这三年的学习生涯中,遇到过许多困难,在单位领导、老师和同事的关怀 与帮助,使我顺利完成学业,在这里,真心地感谢曾经帮助和关心过我的领导、 老师和同事们。 本文的编写是在黄根发老师的指导下完成的,从题目的选定、材料的收集以 及论文的写作、修改和定稿,黄老师都给予了耐心细致的指导和帮助,黄老师严 谨的治学作风、淡泊名利的高尚的人格、诲人不倦的精神、渊博的知识、丰富的 人生底蕴以及广阔的胸怀,都是我一生受用不尽的学习财富,黄老师给我的谆谆 教诲永远铭记在心。 真诚地感谢江西师大数信学院、 教育学院和研究生院的所有领导和老师对我 的培养和帮助,特别是易才凤老师、叶企祥老师、刘华祥老师、宋荣廉老师、万 文涛老师对我的教育。还要感谢宁都中学易旭赣校长和其他同事们对我的关心、 支持和帮助,母校浓郁的学习氛围、和谐的人文环境为我的成长提供了一个很好 的平台。 感谢江西师大 2004 级教育硕士数学班 16 位同学在学习生活中对我的关 心和理解。 感谢我的家人对我学习的理解和支持, 特别是我的妻子胡仁真和女儿琛琛对 我的研究生学习给予的大力支持,感谢妻子不顾自己的工作、学业和家务沉重的 负担为我的论文不辞辛苦的校对,感谢妻子、女儿在此期间为家庭所作出的辛勤 劳动和无私奉献,她们的理解和支持以及最真挚的爱始终是我奋勇前进、不断进 取的原动力。 最后, 我再一次真诚地感谢恩师黄根发, 祝他及其家人身体健康! 工作顺利! 家庭幸福!

陈建武 2006 年 7 月 5 日于广州黄华路黄华塘 9 月 16 日修改稿

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独创性声明
本人郑重声明:呈交的学位论文,是本人在导师指导下,独立进行研究工作 所取得的成果。据我所知,除文中已经注明引用的内容外,本学位论文的研究成 果不包含任何他人享有著作权的内容。 对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其 他个人和集体,均已在文中以明确方式标明并表示谢意。 学位论文作者签名: 签字日期: 年 月 日

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