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上海寒假补习班高三数学讲义——新王牌教育赵G老师


上海寒假补习班高三数学讲义——新王牌教育赵 G 老师
(一) 〖知识点 1〗确定一平面的条件 1:不在同一直线上的三点确定一平面; 2:一直线及其外一点确定一平面; 3:两平行直线确定一平面; 4:两相交直线确定一平面; 〖知识点 2〗直线与直线的位置关系 平行—没有公共点 共面 直线与直线 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 【例 1】 三条平行线所

确定的平面的个数是 A.三个 B.两个 C.一个 ( ) D.一个或三个

【例 2】 空间交于一点的四条直线最多可以确定的平面的个数是 A.4 B.5 C.6 D.7





【例 3】直线 l1∥l2,l1 上取 3 点,l2 上取 2 点,由这五个点能确定的平面的个数是( A.1 B.3 C.6 D.9



『巩固练习 1』四条线段顺次首尾相接,它们所在的直线最多可以确定的平面的条数是(



A.4

B.3

C.2

D.1

『巩固练习 2』空间三个平面两两相交,则它的交线的条数是(



A.1

B.2

C.3

D.1 或 3

【例 4】两条异面直线是指 ( ) (A)空间两条没有公共点的直线 (B)平面内一直线与这平面外的一条直线 (C)分别在两个平面内的两条直线 (D)不同在任何一个平面内的两条直线

『巩固练习 3』若空间中有两条直线,则“这两条直线为 异面直线”

是“这两条直线没有公共点的( A.充分非必要条件; C.充要条件;

) B.必要非充分条件; D.非充分非必要条件

【例 5】垂直于同一条直线的两条直线一定 ( A、平行 B、相交 C、异面
『巩固练习 4』给出下列命题

) D、以上都有可能

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中错误命题的个数为( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

『巩固练习 5』一直线与两异面直线之一相交时,这条直线与异面直线中另一条的位置关系为_____。

〖知识点 3〗异面直线所成的角的解答过程 第一步:平移直线,使得要求所成角的直线放在同一个平面内 第二步:找出直线所在的三角形,确定出所求的角,或者它的补角 第三步:通过余弦定理或者勾股定理来解三角形,得出角的具体大小,一般用反三角来表示 【例 6】设两条异面直线所成的角为?度,则角?的范围 ;

【例 7】a,b 是异面直线,a⊥b,c 与 a 成 30°角,则 c 与 b 所成角的范围是( A.[60°,90°] B.[30°,90°] C.[60°,120°] D.[30°,120°]



『巩固练习 6』如图,AA1 与 BB1 是异面直线,线段 AA1=2,BB1=1,

AB⊥BB1,A1B1⊥BB1 则 AA1 与 BB1 所成的角为 (B)45o (C)60o (A)30o

( ) (D)不确定

【 例 8】在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∠ BAB1 = ∠ B1A1C1 = 30 ° , 则 AB 与 A1C1 所 成的 角 是 ; ;AB1 与A1C1 所成角的正弦值是

; AA1 与 B1C 所成 的 角 是

【例 9】在空间四边形 ABCD 中,各边长和对角线长均为 a, 点 E、 F 分别是 BD、AC 的中点,求异面直线 AE 和 BF 所成的角.

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『巩固练习 7』四面体 ABCD 中,O、E 分别 BD、

BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2 (1)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小;

【例 10】已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M、N 分别是 BB1 和 BC 的中点,AB=4,AD=2, B1 D 与平面 ABCD 所成角的大小为 60 度,求异面直线 B1 D 与 MN 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

『巩固练习 8』已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AA1=2,

底面 ABCD 是直角梯形,角 A 为直角, AB // CD ,AB=4,AD=2, DC-1,求异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小. (结果用反三角函 数值表示)

(二) 完成下面表格中内容: 椭圆 定 图 形 范 顶 围 点 义 标准方程 双曲线 抛物线

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【典型例题分析】
问题 1:求圆锥曲线的标准方程、准线方程等. 例 1、设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴 上较近的端点距离为 4 2 -4,求此椭圆方程.

变式练习 1:已知椭圆 C 的长轴长与短轴长之比为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

3 ,焦点坐标分别为 F1 (?2,0) , F2 ( 2,0) 。 5

变式练习 2:已知双曲线 C: (1)求双曲线 C 的方程; (

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点是 F2 (2, 0) ,且 b ? 3a 。 a 2 b2

问题 2:圆锥曲线的几何性质

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 为上一点,已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶 例 2、设 F1、F2 为椭圆 9 4
点,且 |PF1|>|PF2|,求 .

| PF1 | 的值. | PF2 |

变式练习 1:已知 F1 , F2 是椭圆 大值是

x2 y2 ? ? 1 的 两个焦点, P 是椭圆上的任意一点,则 | PF1 | ? | PF2 | 的最 25 9
( )

A 、9

B 、16
2

C 、 25

D、

25 2

变式练习 2: 从抛物线 y ? 4 x 上一点 P 引其准线的垂线, 垂足为 M , 设抛物线的焦点为 F , 且 | PF |? 5 , 则 ?MPF 的面积为 ________ 10

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变 式 练 习 3: 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 的 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P 在 椭 圆 上 , 若 | PF1 |? 4 , 则 ?F1 PF2 的 大 小 为 9 2
?

__________ ___. 120

问题 3:有圆锥曲线的定义的问题 例 3、已知某椭圆的焦点 F1(-4,0) ,F2(4,0) ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个焦点为 B,且 =10,椭圆上不同两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列.(1)求该椭 圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标. 思路分析:因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离,所以可以从椭圆的定义入手.

变 式 练 习 1 : 已 知 抛 物线 x ? my ? 0 上 的 点 到定 点 (0, 4) 和 到 定直 线 y ? ?4 的 距 离相 等 , 则 m ?
2

( A.



1 ; 16

B. ?

1 ; 16

C. 16 ;

D. ?16 .

变式练习 2:已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1( a ? b ? 0 ) ,其左、右焦点分别为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) ,且 a 、 b 、 a 2 b2

c 成等比数列. c (1)求 的值. a
(2)若椭圆 C 的上顶点、右顶点分别为 A 、 B ,求证: ?F1 AB ? 90? . ( 3 )若 P 为椭圆 C 上的任意一点,是否存在过点 F2 、 P 的直线 l ,使 l 与 y 轴的交点 R 满足 ??? ? ???? ? RP ? ?2 PF2 ?若存在,求直线 l 的斜率 k ;若不存在,请说明理由.

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问题 4:直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程,利用判别式、韦达定理来求解或 证明. 例 4、抛物线 C 的方程为 y ? ax ( a ? 0) ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为 k1,k2 的两条直线
2

分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同),且满足 k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0且? ? ?1) . (Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上; (Ⅲ)当 ? =1 时,若点 P 的坐标为(1,-1) ,求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取值范围. 思路分析:将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程,用韦达定理来求解.

变式练习 1:已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点是 F2 (2, 0) ,且 b ? 3a 。 a 2 b2

(1)求双曲线 C 的方程; (2)设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为 ( m,1) ,当直线 l 与双曲线 C 的右支相交于 A, B 不同 的两点 时,求实数 m 的取值范围;并证明 AB 中点 M 在曲线 3( x ? 1) ? y ? 3 上。
2 2

(3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 的右支相交于 A, B 两点,问是 否存在实数 m ,使得 ?AOB 为锐角?若 存在,请求出 m 的范围;若不存在,请说明理由。

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问题 5:轨迹问题 根据已知条件求出轨迹方程,再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征. 2 例 5、如图,M 是抛物线上 y =x 上的一点,动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点,且 MA=MB. (1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心 G 的轨迹

问题 6:与圆锥曲线有关的定值、最值问题 建立目标函数,转化为函数的定值、最值问题.

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 例 6、点 A、B 分别是椭圆 36 20

x 轴上方, PA ? PF .
(1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的 最小值.

问题 7:与圆锥曲线有关的对称问题 利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.

c 2 1 的椭圆 C 相交于 A、B 两点,直线 y= x ? a 2 2 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程 思路分析: 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,两 式相减得关于直线AB斜率的等式,再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解;解法二,用韦达 定理
例 7、过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且
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特级教师 王新敞
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(三) 高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一
1.已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M ?1, 2 ? ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐 标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (Ⅰ)求这三条曲线的方程; (Ⅱ)已知动直线 l 过点 P ? 3,0 ? ,交抛物线于 A, B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? 被以 AP 为直径的 圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l ? 的方程;若不存在,说明理由.

2.已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,点 An an , an ?1 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上;数列 ?bn ? 中,点 Bn ? n, bn ? 在过点

?

?

? 0,1? ,以方向向量为 ?1, 2 ? 的直线上.
(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

? ? an , (Ⅱ)若 f ? n ? ? ? ? ?bn ,
若不存在,说明理由;

? n为奇数 ? ,问是否存在 k ? N ,使 f ? k ? 27 ? ? 4 f ? k ? 成立,若存在,求出 k 值; ? n为偶数 ?
a n ?1 ? 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? b1 ?? b2 ? ? bn ? an n ? 2 ? an

(Ⅲ)对任意正整数 n ,不等式

?

? 0 成立,求正数 a 的取值范围.

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1 (x ? R ) . 4 ?2 1 1 (1) 试证函数 f ( x ) 的图象关于点 ( , ) 对称; 2 4 n (2) 若数列 {a n } 的通项公式为 a n ? f ( ) ( m ? N ? , n ? 1, 2, ? , m) , 求数列 {a n } 的前 m 项和 S m ; m 1 2 (3) 设数列 {b n } 满足: b1 ? , b n ?1 ? b n ? b n . 3
3.已知函数 f ( x ) ?
x

设 Tn ?

1 1 1 . ? ??? b1 ? 1 b 2 ? 1 bn ? 1

若(2)中的 S n 满足对任意不小于 2 的正整数 n, S n ? Tn 恒成立, 试求 m 的最大值.

4.已知数列 ?an ? 中, a1 ?

2 2Sn 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 S n 满足 an ? , 2Sn ? 1 3

(1) 求 S n 的表达式及 lim

n ??

an 的值; 2 Sn

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 设 bn ?

1 (2n ? 1)
3

?

1 (2n ? 1)3

,求证:当 n ? N 且 n ? 2 时, an ? bn .

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【四】
1、设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax ( a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的 面积为 4,则抛物线方程为 ( ).
2

A. y ? ? 4 x
2

B. y ? 4 x
2
2

C. y ? ?8 x
2

D. y ? 8 x
2

2、 ( A.

已 知 抛 物 线 x ? my ? 0 上 的 点 到 定 点 (0, 4) 和 到 定 直 线 y ? ?4 的 距 离 相 等 , 则 m ? )

1 ; 16

B. ?

1 ; 16

C. 16 ; ) .

D. ?16 .

3、已知曲线 C :

x| x| y| y| ? 2 ? 1 ,下列叙述中错误的是( a2 b

A.垂直于 x 轴的直线与曲线 C 只有一个交点 B.直线 y ? kx ? m ( k , m ? R )与曲线 C 最多有三个交点 C.曲线 C 关于直线 y ? ? x 对称 D.若 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 为曲线 C 上任意两点,则有

y1 ? y2 ?0 x1 ? x2

4、设曲线 C 定义为到点 ( ?1,?1) 和 (1,1) 距离之和为 4 的动点的轨迹.若将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转

45 ? ,则此时曲线 C 的方程为_____________.

y2 x2 ? ?1 4 2

5、 设双曲线

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的半焦距为 c . 已知原点到直线 l : bx ? ay ? ab 的距离等于 c ? 1 , 2 a b 4

则 c 的最小值为_________.4 6、以双曲线

x2 y2 ? ?1 的 右 焦 点 为 圆 心 , 且 被 其 渐 近 线 截 得 的 弦 长 为 6 的 圆 的 方 程 为 4 16 ( x ? 2 5 ) 2 ? y 2 ? 25 .

2 7、以抛物线 y ? 8 x 的顶点为中心,焦点为右焦点,且以

y ? ? 3 x 为渐近线的 双曲线方程是

.

x2 ?

y2 ?1 3

2 8、已知抛物线 x 2 ? 3 y 上的两点 A、B 的横坐标恰是方程 x ? px ? q ? 0 ( p, q 是实数)的两个实根,

则直线 AB 的方程是

. px ? 3 y ? q ? 0 ( ? ? p ? 4q ? 0)
2

9、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,常数 m 、 n ? R ? ,且 m ? n . m n
??? ? ??? ?

与 y 轴交于点 Q , 若 QF ? 2 FP , (1) 当 m ? 25,n ? 21 时, 过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于点 P , 求直线 PQ 的斜率;
[来源:Z,xx,k.Com]

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(2)过原点且斜率分别为 k 和 ? k ( k ? 1 )的两条直 线与椭圆

x2 y2 + = 1 的交点为 A、B、C、D m n
[来源:学_科_ 网 Z_X_X_K]

(按逆时针顺序排列,且点 A 位于第一象限内) ,试用 k 表示四边形 ABCD 的面积 S ; (3)求 S 的最大值.

10、已知椭圆 C : 金椭圆” .

c 5 ?1 x2 y 2 ,其焦距为 2c ,若 ? ( ? 0.618 ) ,则称椭圆 C 为“黄 ? 2 ?1( a ? b ? 0 ) 2 a 2 a b x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )中, a 、 b 、 c 成等比数列. a 2 b2

(1)求证:在黄金椭圆 C : (2)黄金椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (c,0) , P 为椭圆 C 上的 a 2 b2 ??? ? ???? ? 任意一点.是否存在过点 F2 、 P 的直线 l ,使 l 与 y 轴的交点 R 满足 RP ? ?3PF2 ?若存在,求直线 l 的斜
率 k ;若不存在,请说明理由.
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

(3)在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右 a 2 b2

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(五)数列的通项公式
【例 1】已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

【例 2】已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 a n 2 n ?n

『巩固练习 1』 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

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【例 3】已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

n 2 , a n ?1 ? a n ,求 a n 。 n ?1 3

『巩固练习 2』已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 a n 。 3n ? 2

『巩固练习 3』已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2( n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

【例 4】已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 3 ,求 a n .

『巩固练习 4』已知数列 ?a n ? 中, a1 ?

1 1 n ?1 5 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 a n 。 3 2 6

【例 5】已知数列{ a n }中, a1 ? 1, a n ?1 ?

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?a n ? 的通项公式. a

【例 6】数列 ?a n ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.(1)求 a n ?1 与 a n 的关系; (2)求通项公式 a n .

『巩固练习 5』等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,

已知对任意的 n ? N (1)求 r 的值;

?

,点 ( n, S n ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上。
x

(11)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

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【例 8】已知各项均为正数的数列{ a n }的前 n 项和 满足 S n ? 1 ,且 6 S n ? ( a n ? 1)(a n ? 2), n ? N 求{ a n }的通项公式;
*

1 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且对任意正整数 n , an ? S n ? 4096 。 (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn ,对数列 ?Tn ? ,从第几项起 Tn ? ?509 ?

2 已知数列 ?a n ? 中,a

n

≠0,且 a 1 =3,

1 a n ?1

=2+

1 ? (n∈N ).求数列 ?a n ? 的通项公式。 an

3 已知数列 ?a n ? 中,满足 a 1 =6,a n ?1 +1=2(a n +1) (n∈N )求数列 ?a n ? 的通项公式。
?

4 已知数列 ?a n ? 中,a n >0,且 a 1 =3, a n ?1 = a n +1

(n∈N )

?

5 已知数列 ?a n ? 中,a 1 =3,a n ?1 =

1 ? a n +1(n∈N )求数列 ?a n ? 的通项公式 2

6 已知数列 ?a n ? 中,a 1 =1,a n ?1 =3a n +2,求数列 ?a n ? 的通项公式

7 已知数列 ?a n ? 中,a n ≠0,a 1 =

an 1 ,a n ?1 = 2 1 ? 2a n

(n∈N )

?

求 an

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8 设数列 ?a n ? 满足 a 1 =4,a 2 =2,a 3 =1

若数列 ?a n ?1 ? a n ? 成等差数列,求 a n

9 设数列 ?a n ? 中,a 1 =2,a n ?1 =2 a n +1

求通项公式 a n

10 已知数列 ?a n ? 中,a 1 =1,2 a n ?1 = a n + a n ? 2 11、已知数列 ?a n ? 的前 n 项的和 S n =

求 an 求 an

3 a n -3 2

12、已知数列 ?a n ? 的前 n 项的和 S n =3+2

n

求 an

13 已知数列 ?a n ? 的前几项和 S n 与 a n 之间满足2S n (1)证明:数列 ? (2)求 a n

2

=2a n S n -a n (n≥2)且 a 1 =2

?1? ? 是以2为公差的等差数列 S ? n?

14 设 ?a n ? 是首项为1的正数数列,且(n+1)a

2

n ?1

-n a

2

n

+a n ?1 a n =0 (n∈N )求 a n

?

作业:已知数列 ?a n ? 满足下列递推关系,求通项公式 a n (1)a 1 =1, a n ?1 =a n + 2
n

(2) a 1 = 3 , a n ?1 =a n · 2

n

第 16 页 共 33 页

(3)a 1 =2,a n ?1 =2a n +1

2 2 ?1? (4)a 1 = ,a n ?1 = a n + ? ? 3 3 ?3?

n ?1

2、数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n =an+b,(a ? 0, 且 a ? 1),则数列 ?a n ? 成等比数列的充要条件是__________ 3、已知数列{ an }的前 n 项和 ,则其通项 an ? ;若它的第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则

k?

. .

,则该数列的通项 an= 4、数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1) 5、数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 ? 1, an ?1 ? 2S n ? 1? n ? 1?

(1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn

(六)不等式 利用基本不等式求最值 例 1 当 x ? R 时 ,求 x 2 ?

1 的最小值 x ?2
2

相关练习 x>0, y>0, x+3y=1



1 1 ? 的最小值 x y

已 知

a,b,c

为 不 全 相 等 的 正 数 , 分 别 用 分 析 法 和 综 合 法 证 明 不 等 式

ab?a ? b ? ? bc?b ? c ? ? ca?a ? c ? ? 6abc

例 2. a>0, b>0 且 a+b=1,求证 ? a ?

? ?

1 ?? 1 ? 25 ?? b ? ? ? a ?? b? 4

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3.分类举例 例 1. 关于 x 的方程 x ? ?7q ? 4?x ?
2

q2 ? 2q ? 0 ,有两个互异的正数根,求 q 的取值范围 4

例 2.若关于的二次方程 mx ? ?m ? 1?x ? m ? 7 ? 0 有两个实数根 a,b 且满足-1<a<0,0<b<1,求 m 的取值
2

范围

例 3.关于 x 的不等式 2 x ? ?2a ? 1?x ? 5 ? 0 ,在-1 ? x ? 1 时恒成立,求 a 的取值范围
2

例 4.当 m 取何实数时, f ? x ? ? m ? 4m ? 5 x ? 2?m ? 1?x ? 3 的值总是正数
2 2

?

?

例 5.二次函数 y ? mx ? ?m ? 1?x ? m ? 1 的图象总是在 x 轴下方,求 m 的取值范围
2

1. 已知关于 x 的方程 x ? ?m ? 3?x ? ?7 ? m ? ? 0 的两个根都比 3 大,求实数 m 的取值范围
2

已知关于的方程 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0? x ? R ?
2

?1? 证明不论 a 取任何实数值, 方程必须有两个不相等的实

数根

?2?

x1 ? x 2 ?

2 ,求 a 3

?3?

x1 ? 2且x 2 ? 2 , 求 a 的取值范围

1.

证明不等式 a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? 2ab 2 c

2. a, b ? R ?,且a ? b ? 1, 求证, ?1 ?

? ?

1 ?? 1 ? ??1 ? ? ? 9 a ?? b ?

3.当 x > 0 时,

3x 的最大值 x ?4
2

第 18 页 共 33 页

1. 求

x2 ? 6 x2 ? 2

的最小值

2. 用 12 米长的铁丝围成一个一边靠墙的矩形养鸡场,要使鸡场面积最大,问其长,宽各应多少米?并 求出此时养鸡场的最大面积。

3. 若 a, b ? 0 ,求代数式

b a ? 的取值范围 a b

4. 已知, ad ? bc,求证, a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ?

?

??

?

2

5. 若 a, b, c ? R,求证,a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

6. 求下列代数式的最大值

?1? ?2?

x ? 4, 求x ?

1 的最小值 x?4 1 x ? 1, 求x ? 的最大值 x ?1

7. 已知正数 x,y 满足 x+3y=1,求

1 1 ? 的最小值 x y

12. 已知 a>0, b>0 且 a+b=1,求证,

1 1 1 ? ? ?8 a b ab

第 19 页 共 33 页

13. 已知 a, b, c ? R , 求证, a ? 1 b ? 1 c ? 1 ? 8abc
2 2 2

?

?

??

??

?

?1 ? a ??1 ? b ??1 ? c ? ? 8 17.已知 a, b, c为正数,若abc ? 1, 求证,

18. 一批货物随 17 列货车从甲市以 v 千米
2

小时

匀速直达乙市, 已知两地铁路线长 400 千米, 为了安全,

? v ? 两列货车间的距离不得小于. ? ? 千米 ,那么这些货物全部运到乙市,最快需要多少小时?﹝不计货物 ? 20 ?
和车身长﹞ 并求出相应的 v 值

(七)

1. 2.

对于一切实数 x x ? 3 ? x ? 2 ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 已知不等式
mx ? 1 ? 0 的解为 ? 1 ? x ? 1 ,则实数 m 的值是 ? mx ? 1

?

A 1 C 3. A
?1

B

-1

D 以上都不对

若关于的不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? a 的解集为 ? ,则实数 m 的取值范围是 ? ?
a?3

B D

a?3 a?3
x?3 ? 0 ,相同解的是 ? 2? x

C a?3 4.

下列不等式中与不等式 A ?x ? 3??2 ? x ? ? 0 C

?

B

3? x
x?2

?0

2? x D ?x ? 3??2 ? x ? ? 0 ?0 x?3 1 5. 设 ? ?? 5,9? 则 a ? a 3 6.若不等式 x ? ax ? 的解为4 ? x ? m 则 a= 2

m=

7. 若一个数不小于它的倒数,则这个数的取值范围是
第 20 页 共 33 页

8.设 y 是实数,且 4 y 2 ? 4 xy ? x ? 6 ? 0 则 x 的取值范围是 ? ? A ?3? x ? 2 C x ? ?3或x ? 2 B
?2? x ?3

D x ? ?2或x ? 3

9.对于任意实数 x, x ? 1 ? kx恒成立 ,则实数 k 的取值范围是 ? ? A ?? ?, 0? C ?0,1? B ?? 1,0? D ?0,???

〖知识点 2〗函数的定义域 已知解析式的函数,其定义域是指:使解析式有意义的自变量的取值范围 求函数定义域的重要依据有: ① 分式函数的分母不为零; ② 偶次根式函数的被开方式的值不小于零; ③ 整式的定义域为全体实数; ; ④ 函数 f(x)=x0 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) ⑤ 实际问题中或几何问题应考虑实际或几何意义。 【例 3】函数 y=

1 ? x 2 ? 1 的定义域是_______ 2? x

『巩固练习 2』函数 y

? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 的定义域 ________

【例 4】已知 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是 ?0

, 3? ,则函数

y ? f ?x 2 ? 1?的定义域是___________

『巩固练习 4』函数

y ? f ( x ? 1) 的定义域为 (?
2

1 , 2) , 2

则 y ? f ( x ) 的定义域为_______________

【例 5】函数 f ( x) ?

(1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a ) x ? 6 ,

(1)若 f ( x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围. (2)若 f ( x) 的定义域为[-2,1],求实数 a 的值.

第 21 页 共 33 页

『巩固练习 5』设 f(x)的定义域为[0,2],求函数

f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域

【例 6】求函数 y ?

3? x 的值域(分离常数法) 4? x

【例 7】求 f ( x) ? 2

2 x ?1

? 2 x ? 2 ? 3 的值域(配方法)

『巩固练习 6』函数 f ( x ) ? log 1 x ? 2 x ? 5 的值域
2 2

?

?

『巩固练习 7』已知 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3, 当其值域为 [1, 7] 时,
x x

求 x 的取值范围

新疆 源头学子小屋
ht p /: w / ww.x jk y t gc .o m/ wx c/

特级 教师 王新敞
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【例 8】求函数 y=x2-5x+6,x∈[-1,3]的值域(图象法)

『巩固练习 8』求函数 y=|x-2|-|x+1|的值域

【例 8】求函数 y ?

5 的值域 (判别式法) 2x ? 4x ? 3
2

【例 9】求函数 y ? x ? 1 ? x 的值域
2

第 22 页 共 33 页

【例 10】求函数 y ?

x 的值域 x ?1

『巩固练习 9』求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域

【例 11】函数 y ?

ex ? 1 的值域 ex ? 1

【例 12】已知函数 f ( x) 满足 f (log a x) ?

a ? 1? ?x? ? a ?1 ? x? (其中 a? 0 , a ? 1, x ? 1 ) ,求 f ( x) 的表达式
2

『巩固练习 10』已知

f (1 ? cos x) ? sin 2 x, 求 f x 2 的解析式。

? ?

【例 13】设 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) 。

『巩固练习 11』已知 f

? f [ f ( x)]? ? 27 x ? 13 ,
1 x

求 f ( x) 。

【例 14】已知 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) 的解析式

【例 15】已知 f (0) ? 1 , f (a ? b) ? f (a ) ? b(2a ? b ? 1) ,求 f ( x)

第 23 页 共 33 页

(八)
知识点:

第 24 页 共 33 页

高考热点透析:三角函数的图像与性质,包括:定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性(对
称轴、对称中心) 、三角函数的图象变换等。 一)三角函数的定义域 【例 1】已知函数 f ( x) ?

6 cos 4 x ? 5 cos 2 x ? 1 ,求 f ( x) 的定义域。 cos 2 x

练习: (1) y ? lg sin x 1.求函数的定义域: (2) y ? 2
cos x

第 25 页 共 33 页

2.函数 y ? lg(cos x ? sin x) 的定义域是____________。

3.函数 y ?

? sin

x 的定义域是______________。 3

二)三角函数的最值 【例 2】求函数 y ? 2 cos( x ?

? ? ) cos( x ? ) ? 3 sin 2x 的值域和最小正周期。 4 4

练兵: 1. 设 M 和 m 分别表示函数 y ?

1 cos x ? 1 的最大值和最小值,则 M ? m 等于( 3



A.

2 3

B.-

2 3

C.-

4 3

D.-2

2. 函数 y=

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
B.



A.

2 -1 2

2 +1 2

C.1-


2 2

D.-1-

2 2

3.函数 y ? a ? b sin 2 x, (b ? 0) 的最大值是(

A. a ? b
2

B. a ? b
2

C. a ? b

D. a ? b

4.已知函数 f ( x) ? cos x ? 2sin x cos x ? sin x 。求 f ( x) 的最大值和最小值。

三)三角函数的图像
第 26 页 共 33 页

【例 3】函数 y ? x ? sin | x |, x ? [?? , ? ] 的大致图像是(



练习: 1.函数 y ? ? x cos x 的部分图像是(



【例 4】已知 0 ? x ? 2? , 且 sin x ? cos x ,则 x 的取值范围是( A. ? 0, ? ? 4? 练习: 1. 在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为( )



? ??

B. ?

? ? 5? ? , ? ?4 4 ?

C. (

5? , 2? ) 4

, 2? ? D. ? 0, ? ? ? ? 4? ? 4 ?

? ? ? ? 5?

?

A. (

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4

B. (

?
4

,? )

C.(

?
4



5? ) 4

D. (

?
4

,? ) ? (

5? 3? , ) 4 2

2. 已知 f ( x) 是定义在(0,3)上的函数, f ( x) 的图像如图所示,那么不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集 是( ) A. (0,1) ? (2,3) C. (0,1) ? ( B. (1,

?

?
2

) ? ( ,3) 2 2

?

,3)

D. (0,1) ? (1,3)

四)三角函数的变换 【例 5】把曲线 y cos x ? 2 y ? 1 ? 0 先沿 x 轴向右平移 的曲线方程是( )

?
2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到

第 27 页 共 33 页

A. (1 ? y ) sin x ? 2 y ? 3 ? 0 C. (1 ? y ) sin x ? 2 y ? 1 ? 0 练习: 1. 把函数 y ? cos( x ? A.

B. ( y ? 1) sin x ? 2 y ? 3 ? 0 D. ? (1 ? y ) sin x ? 2 y ? 1 ? 0

4π 3

4? ) 的图像向左平移 ? 个单位,所得的函数为偶函数,则 ? 的最小值是( 3 2π π 5π B. C. D. 3 3 3

)

2.要得到函数 y ? cos(2 x ? A. 左平移

?

?

4

) 的图像,只要将函数 y ? cos 2 x 的图像(



8 8 1 1 3.函数 y ? tan( x ? ? ) 在一个周期内的图像是( 2 3

B. 右平移

?

C. 左平移

?
4


D. 右平移

?
4

4. 试述如何由 y ?

? 1 sin(2 x ? ) 的图像得到 y ? sin x 的图像。 3 3

五)三角函数的周期性 【例 6】设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos ?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f ( 值。

?
12

) ? 4 ,求 ? 、 a 、 b 的

练习: 1.求函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期,并求 x 为何值时, y 有最大值。
6 6

2.若 f ( x) 是周期为 ? 的奇函数,则 f ( x) 可以是( A. sin x B. cos x

) D. cos 2 x

C. sin 2 x

第 28 页 共 33 页

3.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为(
4 2

) C.

A.

?
4

B.

4.函数 y ? tan(? x ?

?
3

π 2

?


D. 2?

) 的最小正周期是

六)三角函数的奇偶性 【例 7】关于 x 的函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) 有以下命题: ①对任意的 ? , f ( x) 都是非奇非偶函数; ③存在 ? ,使 f ( x) 是奇函数; ②不存在 ? ,使 f ( x) 既是奇函数,又是偶函数; ④对任意的 ? , f ( x) 都不是偶函数。

其中假命题的序号是_____,因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立。 练兵: 1.判断下面函数的奇偶性: f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin x )
2

2.若函数 f ( x) ? 3 sin(

?
2

? ?x) ? 1 ,则 f ( x) 是(

)

A. 周期为 1 的奇函数 C.周期为 1 的非奇非偶函数 七)三角函数的单调性 【例 8】求下列函数的单调区间: (1)y=

B. 周期为 2 的偶函数 D. 周期为 2 的非奇非偶函数

1 π 2x sin( - ) ; 2 4 3

(2)y=-|sin(x+

π )|。 4

练习: 1.若 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,且 A ? B ? C (C≠ A. sin A ? sin C 2.函数 y ? 2
sin x

?
2

) ,则下列结论中正确的是(



B. cot A ? cot C

C. tan A ? tan C

D. cos A ? cos C

的单调增区间是(



第 29 页 共 33 页

A. [2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

](k ? Z )

B. [2k? ?

?
2

,2k? ?

3? ](k ? Z ) 2

C. [2k? ? ? ,2k? ](k ? Z )

D. [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z )

3.函数 y ? ? sin A. [k? ?

?
4

x 的单调递减区间是( 2

) B. [k? ?

, k? ?

?

4

](k ? Z )

?
4

, k? ?

3? ](k ? Z ) 4

C. [4k? ? ? ,4k? ? ? ](k ? Z )

D. [4k? ? ? ,4k? ? 3? ](k ? Z )

二、反思总结
1、我是否能根据图象的变换准确画出三角函数的图象?对于图象的平移,我是否了解清楚? 反思: 2、在研究三角函数的的图象与性质时,我用到最多的是哪个公式? 反思: 3、在转化为形如 y ? A sin(?x ? ? ) 研究其性质时,有哪些地方需要注意? 反思: 4、有哪些地方是我还不熟悉的?或者容易出错的?

课后作业:
?? ? 1.函数 y ? 4sin ? 2 x ? ? ? 1 的最小正周期为( ?? ?

) D. 4?

A.

? 3 , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于 2 5 4 1 1 B.7 C.- A. 7 7 2 3.若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? ,则 sin A ? cos A ? 3
2. 已知 ? ∈(
A.
15 3

? ?

B. ?

C. 2?

?

D.-7

B. ?

15 3

C.

5 3

D. ?

5 3

4.设点 P 是函数 f ( x) ? sin ?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离

的最小值 ,则 f ( x) 的最小正周期是
4

?

A.2π

B. π

C.

?
2

D.

?
4

第 30 页 共 33 页

5.

?? ? 函数 f ? x ? ? tan ? x ? ? 的单调增区间为 4? ? ? ?? ? A. ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 2 2? ?
3? ?? ? C. ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 4 4? ?

B. ? k? , ? k ? 1? ? ? , k ? Z

? 3? ? ? D. ? k? ? , k? ? ?,k ? Z 4 4 ? ?

6.对于函数 f ? x ? ?

sin x ? 1 (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是( ) sin x A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值

7.若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)= A.3-cos2x B.3-sin2x

C.3+cos2x

D.3+sin2x

8.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是

?? ? A. y ? sin ? x ? ? 6? ? ?? ? C. y ? cos ? 4 x ? ? 3? ?

?? ? B. y ? sin ? 2 x ? ? 6? ? ?? ? D. y ? cos ? 2 x ? ? 6? ?

9.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x(a 、 b 为常数, a ? 0, x ? R) 的图象关于直线 x ?

?
4

对称,则函

数y? f(

3? ? x) 是 4





A.偶函数且它的图象关于点 (? , 0) 对称 B.偶函数且它的图象关于点 ( C.奇函数且它的图象关于点 (

3? , 0) 对称 D.奇函数且它的图象关于点 (? , 0) 对称 2 ? 1 10. 如果 cos ? = ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos(? ? ) = 5 2

3? , 0) 对称 2

? ? 12 ?? 3 ? ? ? 3? ? 11.已知 ? , ? ? ? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? , 则 cos ?? ? ? =________. 4 ? 13 4? 5 ? ? ? ? 4
? ? ?? 12.已知函数 f ( x ) ? 2 sin ? x (? ? 0) 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值是___ ? 3 4?

_。

? ? 13. 若 f ( x) ? a sin( x ? ) ? b sin( x ? )( ab ? 0) 是 偶 函 数 , 则 有 序 实 数 对 ( a, b ) 可 以 4 4
第 31 页 共 33 页



.(注:只要填满足 a ? b ? 0 的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).

14.设函数 f ? x ? ? cos

?

3x ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 。若 f ? x ? ? f / ? x ? 是奇函数,则 ? ? __________。

?

15.已知函数 f(x)=sin2x+ 3 xcosx+2cos2x,x ? R.

(I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

第 32 页 共 33 页

第 33 页 共 33 页


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