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三角形三条中线、高、角平分线相交于一点的证明


证明三条角平分线重合

过点 O 做 ΔABC 三边的垂线 OM、OR、ON ∵BN、CM 是 ΔABC 的角平分线 ∴OM=OR=ON ∴点 O 在∠BAC 的角平分线上 ∴三角形的三条角平分线相交于一点

证明三条高线重合 求证:P、Q、O 三点重合 证明:如图,∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠AEB = ∠AFC = 90° 又∵∠BA

E = ∠CAF ∴△ABE ∽ △ACF ∴

AB AE ? AC AF

即 AB·AF = AC·AE 又∵AD⊥BC ∴△AEQ ∽ △ADC,△AFP ∽ △ADB ∴

AE AQ AF AP ? ? , AD AC AD AB

即 AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP ∵AB·AF = AC·AE,AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP ∴AD·AQ = AD·AP ∴AQ = AP ∵点 Q、P 都在线段 AD 上 ∴点 Q、P 重合 ∴AD 与 BE、AD 与 CF 交于同一点 ∵两条不平行的直线只有一个交点 ∴BE 与 CF 也交于此点 ∴点 Q、P、O 重合。

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证明三条中线交于一点 已知:△ABC 的两条中线 AD、CF 相交于点 O,连接并延长 BO,交 AC 于点 E。 求证: AE=CE .

证明: 如图,延长 OE 到点 G,使 OG=OB。 ∵OG=OB ∴点 O 是 BG 的中点 又∵点 D 是 BC 的中点 ∴OD 是△BGC 的一条中位线 ∴AD‖ CG(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半) ∵点 O 是 BG 的中点,点 F 是 AB 的中点 ∴OF 是△BGA 的一条中位线 ∴CF‖ AG ∵AD‖ CG,CF‖ AG ∴四边形 AOCG 是平行四边形 ∴AC、OG 互相平分 ∴AE=CE 命题得证。

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