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异面直线所成的角


异面直线所成的角 复习:
1、异面直线的概念:

不同在任一平面内的两条直线 我们把_________________________________ 叫做异面直线

相交、平行、异面 2、空间两条直线的位置关系有且只有三 __种: ____________

问题1:正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为

BC的中

点,判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB
的位置关系。
说明:从位置关系来看,同为异面 直线,但它们的相对位置却是不同 A1 D1 B1 C C1

的,说明仅用“异面”来考虑异面
直线间的相对位置是不够的。

D

A

E

B

问题2:用什么来刻划两条异面直线的相对位置呢? 距离和角

问题3:一张纸中画有两条能相交的直线a、b(但交点在
纸外)现给你一副三角板和量角器,限定不许拼接纸片,

不许延长纸上的线段,问如何量出a、b所成角的大小?其
理论依据是什么?
b a

b′

问题4:能否将上述结论推广到空间两直线?

异面直线所成角的定义: 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引 直线a′//a,b′//b,把直线a′和b′所成的锐角(或直角) 叫直线a和b所成的角。
b’

b
O

a’

a

范围 : ? ? (0, ], 当? ? 时, 则异面直线a, b互相垂直, 记作a ? b 2 2

?

?

思考:两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变? 点O可任选,一般取在其中一条 异面直线段的中点或端点上

巩固、提高
? 例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求: ? (1)A1B与CC1所成的角;
分析:
D1

C1

(1)∵B1B // CC1 --------找 --------证 在△A1BB1中,A1B1=BB1; ∴ ∠A1BB1=45o --------算

A1

B1

∴ ∠A1BB1为A1B与CC1所成的角
D

C
B

A

∴A1B与CC1所成的角为45o --------答

练一练:
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求: D1 (1)A1B1与C1C所成的角; (2)A1C1与BC所成的角;A1 (3)A1C1与D1C所成的角。
D A B

C1
B1 C

课堂小结:

? 1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在 求解中,一定要紧扣定义中点O的任意性,恰 当选择。 ? 2、计算角的大小,要遵循“作——证——算— —答”四步骤。 ? 3、求解异面直线所成的角的方法是“平移法”, 也即“化异面为共面”,“化空间为平面”, 它突出体现了转化化归的数学思想与方法。在 计算的过程中,若直观性不强,则要懂得将平 面图形单独分离,有利于计算的直观性。作答 时要注意异面直线所成的角的范围的约束。


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