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2012组合教育密押三套卷北京卷(三)


秘密★启用前

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

(文)从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高 (单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图如下图 所示.由图中数据可知身高在 [120,130] 内的学生 人数为( A. 20 C. 30 ). B. 25 D. 35

频率/组距 0.035 a

0.020 0.010 0.005 O 100 110 120 130 140 150 身高

密押卷三
科类 线





本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题 题

共 40 分)
5. (理) 已知函数 f ( x) = sin x ? 题中真命题的序号是( ① f ( x ) 的最大值为 f ( x0 ) ③ f ( x ) 在 [ 0, x0 ] 上是减函数 A. ①③ (文)函数 f ( x) = ln ). B. ①④ ).

考场号

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 A = x 2 x ? a - 0 , B = x 4 x ? b > 0 , a, b ∈ Ν ,且 ( A ∩ B ) ∩ N = {2,3} , 由整数对 ( a, b ) 组成的集合记为 M ,则集合 M 中元素的个数为( A. 5 2. 复数 z = B. 6 C. 7 ). D. 8 ).

1 1 x , x ∈ [ 0, π ] , cos x0 = , ( x0 ∈ [ 0, π ]) ,那么下面命 3 3

{

}

{

}



封 不 得

② f ( x ) 的最小值为 f ( x0 ) ④ f ( x ) 在 [ x0 , π ] 上是减函数 C. ②③ ) D. ②④

准考证号

1 i + ,则 z = ( 1? i 1+ i



3.

A. i B. ?i C. 1 + i D. 1 ? i 若一个螺栓的底面是正六边形,它的正视图和俯视图如图所示,则它的体积是 ( A.



线

1? x 的图象只可能是( 1+ x



3 3 32 + π 2 25

B. 3 3 +

32 π 25 128 π 25
A. B.
2

姓名

C. 9 3 +



32 π 25

D. 9 3 +

C.

D.

4. (理)阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为(

).

6. (理)长为 l ( l < 1) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y = x 上滑动,则线段 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值是( A. ). B.

县(区)

A. 1

B.

3
3 2
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1 C. 2

D.

l 2

l2 2

C.

l 4

D.

l2 4

《洞穿高考数学解答题核心考点》配套北京密押试卷(三)

《洞穿高考数学解答题核心考点》配套北京密押试卷(三)

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x2 y2 (文)已知椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在椭圆第一象限图象 a b
上,若△ AF1 F2 的面积为 3 ,则椭圆方程可能为( A. )

且 E 是 OB 的中点,则半圆的半径长为 (文)下列四个命题中真命题的序号是 ①“若 am 2 < bm 2 ,则 a < b ”的逆命题为真;

. .

②命题“ ?x ∈ R , x 2 ? x > 0 ”的否定是“ ?x ∈ R , x 2 ? x - 0 ”; D.

x2 + y2 = 1 2

B.

x2 + y2 = 1 3

C.

x2 + y2 = 1 4

x2 + y2 = 1 5
).

③命题 p : ?x ∈ [0,1], e x ≥ 1 ,命题 q : ?x ∈ R , x 2 + x + 1 < 0 ,则 p ∨ q 为真. 11.(理)在公差为 d ,各项均为正整数的等差数列 {an } 中,若 a1 = 1 , an = 51 ,则 n + d 的最 小值等于 .

7.

△ ABC 的外接圆的圆心为 O , AB = 2 , AC =

3 ,则 AO ? BC = (

9 A. ? 4

9 B. 4

1 C. ? 2

1 D. 2

(文) 数列 {an }的通项公式为 an = log 2 立的自然数 n 的最小值为

2 ?? 1? x ? ?? ? + 1( x > 0 ) 3 2 2? 8. (理)已知函数 f ( x) = x ? 3 x + 1 , g ( x) = ?? , 2 ? ? ? ( x + 3 ) + 1( x - 0 )

n n +1


其前 n 项和为 S (n∈Ν ) ,
?



则使 n,

S n < ?4 成



12.(理)将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴伦敦奥运会的四个 不同场馆服务,不同的分配方案有 种(用数字作答) . (文) 已知函数 f ( x) = sin x ? 题中真命题的序号是 ① f ( x ) 的最大值为 f ( x0 ) ③ f ( x ) 在 [ 0, x0 ] 上是减函数

线

则方程 g [ f ( x) ] ? a = 0 ( a 为正实数)的实数根最多有( A. 4 B. 6 C. 7

)个. D. 8

1 1 x , x ∈ [ 0, π ] , cos x0 = , ( x0 ∈ [ 0, π ]) ,那么下面命 3 3
. ② f ( x ) 的最小值为 f ( x0 ) ④ f ( x ) 在 [ x0 , π ] 上是减函数

内 不

1 ? ? x + , ( x ∈ A), ? 1? ?1 ? (文)设集合 A = ?0, ?, B = ? ,1? ,函数 f ( x) = ? , x0 ∈ A, 2 ? 2? ?2 ? ? ?2(1 ? x), ( x ∈ B)
且 f [ f ( x0 )] ∈ A, A. ? 0, ? 4 则 x0 的取值范围是( B. ? )

得 答 题

? ?

1? ?

? 1 1? , ? 4 2? ?

C. ?

?1 1? , ? ?4 2?

D. ?0, ? 8

? 3? ? ?

13. (理)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心为 ? 6,

? ?

π? ? ,半径为 5 ,直线 θ = α 2?


第 II 卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

π ? ? ? 0 - α - , ρ ∈ R ? 被圆截得的弦长为 8 ,则 α 的值等于 2 ? ?
(文)如下图,给定两个平面单位向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 .

π 3 9. 已知△ ABC 的面积为 , AC = 3 , ∠ABC = ,则△ ABC 的周长等于 3 2
10. (理)如图, AB 是半圆的直径, C 是 AB 延长线一点,

120 ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上,且 OC = xOA + yOB
(其中 x, y ∈ R ) ,则满足 x + y .

2 的概率为



CD 切半圆于 D , CD = 3 , DE ⊥ AB ,垂足为 E ,
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14. (理)已知数列 A : a1 , a2 , ???, an n . 3, n ∈ Ν ? .

(

)

②将①中的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的

TA = { x x = ai + a j ,1 - i < j - n} , card (TA ) 表示 TA 中的元素个数.
(1)若 A : 2, 4,8,16 ,则 card (TA ) = ;

1 ; 2

③将②中的图象的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍. (1)求 f ( x ) 的最小正周期和对称轴方程; (2)若角 A, B 为锐角△ ABC 的内角,且 A = 2 B , g ( x ) = 4 sin 2 x + 3 sin x + cos x , 试求函数 y = f ( A) + g ( A) 的值域.

科类

线

, (2)若 A : a1 , a2 , ???, an n . 3, n ∈ Ν ? 且 an +1 ? an = c ( c 为常数, i = 1, 2, ? ??, n ) 则 card (TA ) = .

(

)

(文)已知数列 A : a1 , a2 , ???, an n . 3, n ∈ Ν ? .

(

)

考场号

TA = { x x = ai + a j ,1 - i < j - n} , card (TA ) 表示 TA 中的元素个数.
(1)若 A : 2, 4,8,16 ,则 card (TA ) = ;



16. (理) (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,

AD∥BC , ∠ADC = 90° ,平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是
棱 PC 上的点, PA = PD = 2 , BC =



封 不 得

, (2)若 A : a1 , a2 , ???, an n . 3, n ∈ Ν ? 且 an +1 ? an = c ( c 为非零常数, i = 1, 2, ???, n ) 则 card (TA ) = .

(

)

1 AD = 1 , CD = 3 . 2

(1)若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA∥ 平面 BMQ ; (2)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (3)若二面角 M ? BQ ? C 为 30°,设 PM = tMC ,试确定 t 的值. (文) (本小题满分 13 分) 如图, 平面 ABCD 是正方形, DE ⊥ 平面 ABCD , AF // DE ,

准考证号

内 线

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (理) (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) = 2 3 sin x cos x + 2cos x ? 1( x ∈ R ) .
2





(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0, ? 上的最大值和最小值; 2

? ?

π? ?

DE = 3 AF .
(1)求证: AC ⊥ 平面 BDE ; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置, 使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论.

姓名

(2)若 f ( x0 ) =



6 ?π π? , x0 ∈ ? , ? ,求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?

(文) (本小题满分 13 分)已知 y = f ( x ) 函数的图象是由 y = sin x 的图象经过如下 三步变换得到的:

县(区)

①将 y = sin x 的图象整体向左平移

π 个单位; 6

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17.(理) (本小题满分 13 分)某市公租房的房源位于 A 、 B 、 C 三个片区. 设每位申请人 只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一片区的房源是等可能的. 求该市的任 4 位 申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望. (文) (本小题满分 13 分)为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育 教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段, 参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决 赛. (1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.

(文) (本小题满分 14 分)设椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , A a2 2

是椭圆 C 上的一点, AF2 ? F1 F2 = 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 (1)求椭圆 C 的方程;

1 OF1 . 3

(2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F ( ?1, 0) ,交 y 轴于点 M , 若 | MQ |= 2 | QF | ,求直线 l 的斜率.

密 封

20.(理) (本小题满分 13 分)已知每项均是正整数的数列 A : a1 , a2 , a3 , ???, an ,其中等于 i 的 18.(理) (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) = x + 2 x + a ln x .
2

线

项有 ki 个 ( i = 1, 2,3, ???) ,设 b j = k1 + k 2 + ??? + k j

( j = 1, 2,3, ???) , g (m) = b1 + b2 + ???



(1)若函数 f ( x ) 在区间 ( 0,1] 上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 t . 1 时,不等式 f ( 2t ? 1) . 2 f (t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围. (文) (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) = a ln x ? ax ? 3(a ∈ R ) . (1)当 a = 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 y = f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ,问: m 在什么范围取 值时,对于任意的 t ∈ [1, 2] ,函数 g ( x ) = x 3 + x 2 ?

+ bm ? nm ( m = 1, 2,3, ???) .
(1)设数列 A :1, 2,1, 4 ,求 g (1) , g (2) , g (3) , g (4) , g (5) ;

不 得

(2)若数列 A 满足 a1 + a2 + ??? + an ? n = 100 ,求函数 g ( m) 的最小值. (文) (本小题满分 14 分)已知实数 a > 0 且 a ≠ 1 ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,它



?m ? + f ′( x ) ? 在区间 (t ,3) 上总存在极值? 2 ? ?



an ?1 1 = 1 ? ( n ∈ Ν? ) ,数列 {bn } 中: bn = a n lg a n , ( n ∈ Ν ? ) . 满足条件: Sn a
(1)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (2)若对一切 n ∈ Ν? ,数列 {bn } 单调递增,求实数 a 的取值范围.

19.(理) (本小题满分 14 分)已知椭圆 M :

x2 y 2 2 2 ,且 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的离心率为 2 a b 3

椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 6 + 4 2 . (1)求椭圆 M 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 M 交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C ,求 △ ABC 面积的最大值.
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