2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(附详细答案)

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（本题共 10 小题，满分 70 分，每小题 7 分．要求直接将答案写在横线上． ） 1．若 x ? 2 ，则函数 f ( x ) ? x ?

1 的最小值是 x ?1

． ．

2．已知函数 f ( x) ? e x ．若 f (a ? b) ? 2

，则 f (3a) ? f (3b) 的值是

3．已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列，公差为 d ， Sn 为前 n 项和，且满足 an 2 ? S2n?1 ， n ? N ，
*

则数列 ?an ? 的通项 an

?

．

?2 x 2 ? 3x, x ≥ 0, 4．若函数 f ( x) ? ? 是奇函数，则实数 a 的值是 ? 2 ? ??2 x ? ax, x ? 0

．

5．已知函数 f ( x) ? lg | x ? 是 ．

10 2 | ．若关于 x 的方程 f ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 m ，则 f ( m) 的值 3

6．设 ? 、 ? 都是锐角，且 cos ? ?

3 5 ， sin(? ? ? ) ? ，则 cos ? 等于 5 5

．

AB ? 3 ， CD ? 5 ， 7． 四面体 ABCD 中， 异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4， 夹角为 60 ， 则四面体 ABCD 的体积为 ．
o

8．若满足 ?ABC ?

?
3

， AC ? 3 ， BC ? m 的 △ ABC 恰有一解，则实数 m 的取值范围是

．

9．设集合 S ? ?1, 2,?,8? ， A ， B 是 S 的两个非空子集，且 A 中的最大数小于 B 中的最小数，则这样的 集合对 ( A, B) 的个数是 ．

10．如果正整数 m 可以表示为 x 2 ? 4 y 2 ( x ， y ? Z )，那么称 m 为“好数” ．问 1，2，3，?，2014 中“好 数”的个数为 ． 二、解答题（本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分） 11．已知 a ， b ， c 为正实数， a ? b ? c ，
x y z

1 1 1 ? ? ? 0 ，求 abc 的值． x y z

1

12．已知 F 1 ， F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点，点 B 的坐标为 (0, b) ，直线 F1B a 2 b2 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P ， Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M ．若 1 MF2 ? F1F2 ，求双曲线 C 的离心率． 2

13． 如图， 已知 ?ABC 是锐角三角形， 以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D ， 交边 AB 上的高 CH 于点 E ． 以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G ．求证： AG ? AE ．

14． （1）正六边形被 3 条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成 4 个三角形．将每个三角形区域涂上 红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数 与蓝色三角形个数的差最大？ （2）凸 2016 边形被 2013 条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成 2014 个三角形．将每个三角形 区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中， 红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．

2

3

4

5

6