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山东省莱州一中2012届高三第一次质量检测理数


山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测

理数

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中选择一个 符合题目要求的选项) 1.设集合 M ? x x ? 2 , P ? x x ? 3 , 那么 x ? M 或x ? P ” “ x ? M ? P ” ( “ 是 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

?

?

?

?



xa x ( a ? 1) 的图像大致形状是( 2.函数 y ? x

3.不解三角形,下列判断正确的是( A. a ? 30, b ? 25, A ? 150? ,有一解. C. a ? 6, b ? 9, A ? 45? ,有两解.

) B. a ? 7, b ? 14, A ? 30? ,有两解. D. a ? 9, b ? 10, A ? 60? ,无解.

4.若函数 f ( x ) ? loga (3 ? ax)(a ? 0, a ? 1) 在区间 ?1, 2? 上单调递减,则 a 的取值范围是 ( ) B. ?1, 3? C. ? 1,

A. ? 0,1?

? 3? ? ? 2?

D. ? 1, ?

? 3? ? 2?

5.将函数 y ? f ′ ( x )sin x 的图象向左平移 则 f ( x ) 是( A. 2cos x D. 2sin x 6.设函数 f ( x ) ? ) B. cos x

? 2 个单位,得到函数 y ? 1 ? 2sin x 的图象, 4

C. sin x

1 x ? ln x( x ? 0) 则 y ? f ( x ) ( 3

) B.在区间 (1, e),( e,3) 内均有零点.
2

A.在区间 ( ,1),(1, e) 内均有零点.
2

1 e

C.在区间 (e,3),(3, e ) 内均无零点.

D. 在 区 间 内 (1, e),(3, e ) 内 均 有 零

点. 7.已知

? 1 1 ) ? ? ? ?, ?? ? ? ? 0, tan ? ? ? , tan ? ? ? ,则 2? ? ? =( 2 3 7 3? 5? 7? 3? 7? A. B. C. D. 或 4 4 4 4 4


8.已知二次函数 f ( x ) 的图象如下图所示, 则其导函数 f ′ ( x ) 的图象的大致形状是 (

9.在地面上某处测得山峰的仰角为 ? ,对着山峰在地面上前进 600m 后,测得仰角为 2? , 继续前进 200 3m 后又测得仰角为 4? ,则山的高度为( A. 200 B. 300 C. 400 ) m. D. 500 )

10.求由曲线 y ? ? x ,直线 y ? ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积错误的为( .. A. C.

? ?

4

0 2

(2 ? x ? x )dx (2 ? y ? y 2 )dy

B. D.

?

4

0 0

xdx (4 ? y 2 )dy

?2

?

?2

11. 设 函 数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? 称,它的周期是 ? ,则下列结论一定正确的是( .. A. f ( x ) 的图象过点 (0, )

? ? 2 ? ? ? ) 的图象关于直线 x ? ? 对 2 2 3
) B. f ( x ) 的图象在 ?

1 2

?5 2 ? ?, ? 上是减函 ? 12 3 ? ?

数 C. f ( x ) 的最大值为 A D. f ( x ) 的一个对称中心是点 (

5 ?,0) 12

12.已知函数 f ( x)( x ? R) 导函数 f ′ ( x ) 满足 f ′ ( x ) < f ( x ) ,则当 a ? 0 时, f ( a ) 与

ea f (0) 之间的大小关系为(
A. f (a ) ? e f (0)
a

) B. f (a ) ? e f (0)
a

C. f (a ) ? e f (0)
a

D.不能确定,与 f ( x ) 或 a 有关

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分) 13.已知 sin(

? 3 ? 5? ,则 cos? ? ??) ? , ? ? ? 6 5 3 6

. .

14.已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则 a 的值为

15.奇函数 f ( x ) 满足对任意 x ? R 都有 f (2 ? x ) ? f (2 ? x) ? 0 ,且 f (1) ? 9 ,则

f (2010) ? f (2011) ? f (2012) 的值为
16.下列五个函数中:① y ? 2 ;② y ? log 2 x ;③ y ?
x

.

x ;④ y ?

1 ;⑤ y ? cos2 x , x
(将正确的

当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,使 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的函数是 )? 2 2

序号都填上). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 记 函 数 f ( x ) ? lg( x ? x ? 2) 的 定 义 域 为 集 合 A , 函 数
2

g ( x) ?

3? x 的定义域为集合 B .

(1)求 A ? B ; (B)若 C ? x x ? 4 x ? 4 ? p ? 0, p ? 0 ,且 C ? ( A ? B) ,求实数 p 的取值范围.
2 2

?

?

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 4cos x sin( x ?

? ) ?1 . 6

(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? , 上的最大值和最小值. ? 6 4? ?

19.(本小题满分 12 分) f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 、 x ? ?2 处取得极值
3 2

(1)求 a 、 b 的值. (2)若 x ? ? ?3, 2? , f ( x ) ?

1 1 ? 恒成立,求 c 的取值范围. c 2

20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c . 已 知

1 s i nA ? s i C ? p s i B p? R ac ? b2 . n n ( 且) 4 5 (1)当 p ? , b ? 1 时,求 a, c 的值; 4
(2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;

21.(本小题满分 12 分)某分公司经销某品牌产品每件产品成本 3 元,且每件产品需向总公 司交 a 元( 3 ? a ? 5 )的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ? x ? 11 )时,一年的 销售量为 (12 ? x ) 万件.
2

(1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q ( a )

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? a ln( x ? 1)(a ? R).
2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)试说明是否存在实数 a (a ? 1) 使 y ? f ( x ) 的图象与 y ?

5 ? ln 2 无公共点. 8

莱州一中 2009 级高三第一次质量检测数学试题(答 案)
1.B 13. 2.B 3.A 4.D 5.D 6.D 7.C 8.C 9.B 10.C 11.D 12.A

3? 4 3 10

14.2

15.-9

16.(2)(3)

17.解:依题意,得 A ? x x ? x ? 2 ? 0 ? x x ? ?1或x ? 2
2

?

? ?

?

B ? x 3 ? x ? 0 ? ?x ?3 ? x ? 3?

?

?

? A ? B ? ?x ?3 ? x ? ?1或2 ? x ? 3?
(2)? p ? 0 ? C ? x ?2 ? p ? x ? ?2 ? p 又 C ? ( A ? B)

?

?

? ?2 ? p ? ? 3 ?? ? ?2 ? p ? ? 1

?0 ? p ? 1
18.解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 4cos x sin( x ?

? ) ?1 6

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x ) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2cos2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2sin(2 x ? ) 6
所以 f ( x ) 的最小正周期为 ?

? ? ? ? 2? . ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? 6 4 6 6 3 ? ? ? 于是,当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2 ; 6 2 6
(Ⅱ)因为 ?

当 2x ?

? ? ? ? ? ,即 x ? ? 时, f ( x ) 取得最小值 ?1 . 6 6 6
2

19.(1) f ′ ( x ) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 的两根为 1, ?2

? 2a ? ? ? 3 ? ?1 ? a ? 3 ? ?? ?? 2 ? b ? ?2 ? b ? ?6 ? ?3 ?
(2)

x
f ′ ( x)

?3

( ?3, ?2)
+

?2
0
极大

( ?2,1)


1
0
极 小

(1, 2)
+ ↑

2

f ( x)

9 c? 2



c?

7 2

1 1 7 c 2 ? 3c ? 1 ?1 ? ? ?c? 即 c c 2 2
解得

3 ? 13 3 ? 13 ? c ? 0 或c ? 2 2

5 ? a?c? ? ? 4 20.(Ⅰ)解:由题设并利用正弦定理,得 ? 1 ? ac ? ? ? 4
1 ? a ? 1, ? ? ?a ? , 解得 ? 4 1 或? ? c ? 4 , ? c ? 1. ? ?
(Ⅱ)解:由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B 1 1 ? p 2b2 ? b2 ? b2 cos B, 2 2 3 1 2 即 p ? ? cos B, 2 2
因为 0 ? cos B ? 1 ,得 p ? ( , 2) ,
2

3 2

由题设知 p ? 0 ,所以

6 ? p? 2. 2
2

21.(1) L( x ) ? ( x ? 3 ? a )(12 ? x ) , x ? ?9,11? (2) L ′ ( x ) ? (12 ? x)(18 ? 2a ? 3x ) ? 0 得 x ? 6 ?

2a 或 x ? 12 (舍去) 3

2a 28 ? 3 3 2a 9 ①当 8 ? 6 ? ? 9 即 3 ? a ? 时 Lmax ? L(9) ? 9(6 ? a ) 3 2 2a 28 2a a ②当 9 ? 6 ? 即 3 ? a ? 5 时 Lmax ? L(6 ? ? ) ? 4(3 ? )3 3 3 3 3

?3 ? a ? 5

?8 ? 6 ?

9 ? 9(6 ? a ),3 ? a ? ? ? 2 ?Q (a ) ? ? a 3 9 ?4(3 ? ) , ? a ? 5 ? 3 2 ?

9 ?若 3 ? a ? 则售价 9 元时 L 最大为 9(6 ? a ) 万元 2 9 2a a 若 ? a ? 5 则售价 (6 ? ) 元时 L 最大为 4(3 ? )3 万元 2 3 3
22.解: (1)函数 f ( x ) ? x ? ax ? a ln( x ? 1)(a ? R) 的定义域是 (1, ??) .
2

3 2 x( x ? ) 1 2 ,所以 f ( x ) 在 (1, 3 ) 为减函数, 当 a ? 1 时, f ′ ( x ) ? 2 x ? 1 ? ? 2 x ?1 x ?1 3 3 3 在 ( , ?? ) 为增函数,所以函数 f ( x ) 的最小值为 f ( ) ? ? ln 2 . 2 2 4 a?2 2 x( x ? ) a 2 , (2) f ′ ( x ) ? 2 x ? a ? ? x ?1 x ?1 a?2 2 x( x ? ) a?2 2 ? 0 在 (1, ??) 恒成立, 若 a ? 0 时,则 ? 1, f ( x) ? 2 x ?1
所以 f ( x ) 的增区间为 (1, ??) .

a?2 ? a ? 2? , f ′ ( x) ? ? 1 ,故当 x ? ? 1, 2 ? 2 ? ? a?2 2 x( x ? ) ?a ? 2 ? 2 ? 0, 当 x? , ?? ? 时, f ( x ) ? ? 2 x ?1 ? ?
若 a ? 0 ,则

2 x( x ?

a?2 ) 2 ? 0, x ?1

所以 a ? 0 时 f ( x ) 的减区间为 ? 1,

? a ? 2? ?a ? 2 ? ? , f ( x ) 的增区间为 ? 2 , ?? ? . 2 ? ? ? ?

(3) a ? 1 时,由(2)知 f ( x ) 在 (1, ??) 上的最小值为 f (

a?2 a2 a ) ? ? ? 1 ? a ln , 2 4 2

令 g (a ) ? f (

a?2 a2 a ) ? ? ? 1 ? a ln 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 2 4 2

3 5 1 ? ln 2 ,则 g (a ) max ? ( ? ln 2) ? ? 0 , 4 8 8 5 因此存在实数 a (a ? 1) 使 f ( x ) 的最小值大于 ? ln 2 , 8 5 故存在实数 a (a ? 1) 使 y ? f ( x ) 的图象与 y ? ? ln 2 无公共点. 8
所以 g (a ) max ? g (1) ?


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