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山东省鱼台一中2013届高三上学期期末模拟数学文试题 Word版含答案


鱼台一中 2012—2013 学年高三 1 月模拟考试 数学(文)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 1.已知集合 A ? 1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A ? B ? ( A. 3,5?

?

) D. 3,

9?

?

B. 3, 6?

?

C. 3, 7?

?

?

2.若条件 p :

x ?3 ? 0 ,条件 q : x 2 ? 5 x ? 6 ,则 p 是 q 的 ( x?5
B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



A.充分不必要条件 C.充要条件

3.已知向量 a ? (1, n) , b ? (?1, n ? 2) ,若 a 与 b 共线.则 n 等于( B. 2 C. 2 D.4 ? 1 ? 4.已知 sin(? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值等于( 4 3 4 A. A. 1

?

?

?

?



) D.—

2 2 3

B.—

2 2 3

C.

1 3

1 3


5. 已知 a1, a2 , a3 , a4 都是非零实数, “ a1a4 =a2a3 ” “ a1, 2a 3a 4 ” 则 是 成等比数列的 ( a, , A.充分不必要条件 C. 充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知三个平面 ? , ? , ? ,若 ? ? ? ,且 ? 与 ? 相交但不垂直, a, b 分别为 ?, ? 内的直线, 则( ) A. ?a ? ?, a // ? 7. 在 ?ABC B. ?a ??, a ? ? C. ?b ? ? , b // ? D. ?b ? ? , b ? ? 的 对 边 , 且

中 , a、b、c

分 别 是 三 内 角 A B、C 、 ,则角 C 等于( C. )ks5u D.

sin2 A ? sin2 C ? (sin A ? sin B)sin B
A.

? 6

B.

? 3

5? 6

2? 3

ks5u

8.已知命题错误!未找到引用源。 ;命题错误!未找到引用源。的极大值为 6.则下面选项中 真命题是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用 源。 D.错误!未找到引用源。 9.已知向量 a ? (2,1), b ? (1, k ) A. (-2,+?)

?

?

且 a 与 b 的夹角为锐角,则 k 的取值范围是(



B. (?2, ) ? ( , ??)

1 2

1 2

C . (??, ?2)

D. ( ?2, 2)

10.已知 F、F2 分别是双曲线 C : 1

x2 y 2 ? ? 1 ( a >0, b ? 0 )的左、右焦点, B 是 a 2 b2

虚轴的端点,直线 F1 B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P 、 Q 两点,线段 PQ 的垂直 平分线与 x 轴交于点 M ,若 MF2 ? F1 F2 ,则 C 的离心率是( )

A.

2 3 3

B.

6 2

C. 2

D.

3

11.设错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数,当错误!未找 到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ( A.错误!未找到引用源。 D.3 12. 已知函数错误! 未找到引用源。 且错误! , 未找到引用源。 则错误! , 未找到引用源。 ( A. 错误!未找到引用源。 未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 ) B. 错误!未找到引用源。 ) C.1

C.错误!

D.错误!未找到引用源。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知角错误!未找到引用源。的终边上一点的坐标为错误!未找到引用源。 ,则角错误! 未找到引用源。 的最小正值为 . 14.已知错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 . 15.已知函数错误!未找到引用源。的图象由错误!未找到引用源。的图象向右 平移错误!未找到引用源。个单位得到,这两个函数的部分图象如图 所示,则错误!未找到引用源。= . 16.已知定义在 R 的奇函数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。 ,且错误!未 找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,下面四种说法①错误!未找到引用源。 ;②函数 错误!未找到引用源。在[-6,-2]上是增函数;③函数错误!未找到引用源。关于直线 错误!未找到引用源。对称;④若错误!未找到引用源。 ,则关于错误!未找到引用源。的 方程错误!未找到引用源。在[-8,8]上所有根之和为-8,其中正确的序号 .

三、解答题:本大题共 6 个小题.共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 , q : ( x ? 1 ? m)( x ? 1 ? m) ? 0 ( m ? 0) , 且 q 是 p 的必要不充分 3

条件,求实数 m 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin

x x x 1 cos ? cos2 ? 。 4 4 4 2

(1)求 f (x ) 的周期和及其图象的对称中心; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求函 数 f (A) 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,一条准线 l : x ? 2 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点, M 是 l 上的点, F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于 P, Q 两点. ①若 PQ ? 6 ,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证:点 P 在定圆上,并求该定圆的方程.

y

Q M

O

F P

x

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ?x3 ? x 2 ? b, g( x) ? a ln x ,

(1)若 f (x ) 在 x ? ??

3 ? 1 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ?

(2)若对任意 x ? ?1, e? ,都有 g ( x) ? ?x 2 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) (1) 在 的条件下, F ( x ) ? ? 设

? f ? x ?, x ? 1 , 对任意给定的正实数 a , 曲线 y ? F (x) 上 ? g ? x ?, x ? 1

是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且 此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由。

21. (本小题满分 12 分)

E F PA 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, ? 平面 ABCD , 四边形 ABCD 是矩形, , 分别是 AB ,

PD 的中点.若 PA ? AD ? 3 , CD ? 6 。
(1)求证: AF // 平面 PCE ; (2)求直线 FC 平面 PCE 所成角的正弦值。

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ex ? a) ( a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数 g(x) ? ? f (x) ? sin x 是区 间 [?1,1] 上的减函数。 (1)求 g ( x) 在 x?[?1,1] 上的最大值;
ln x f ( x)

(2)若 g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1 对 ?x ? [?1,1] 及 ? ?? ??, ?1? 恒成立,求 t 的取值范围; (3)讨论关于 x 的方程

? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数。

参考答案: 1-5 DBADB 6-10 ABBBB 11-12 AB 13.错误!未找到引用源。 14.-4; ;

15.错误!未找到引用源。

16.①④

17.由

1?

x ?1 ?2 3
?

?

?2 ?

x ?1 ?1 ? 2 3

?2 ? x ? 10

即 p 为: [ ?2, 10] 而 q 为: [1 ? m, 1 ? m] , 又 q 是 p 的必要不充分条件, 即 p ? q 所以

?1 ? m ? ?2 ? ?1 ? m ? 10

?

m?9

即实数 m 的取值范围为 [9, ? ?) 。 18. (1)由 f ( x) ?

3 x 1 x x ? sin ? cos ? 1 ? sin( ? ) ? 1 , 2 2 2 2 2 6

? f (x) 的周期为 4? .
由 sin( ?

x ? ? ) ? 0, 得x ? 2k? ? , 2 6 3

故 f ( x ) 图象的对称中心为 (2k? ?

?
3

,1), k ? Z .

7分

(2)由 (2a ? c) cos B ? b cos C , 得 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ,

? 2 sin A cos B ? cos B sin C ? sin B cos C ,
? 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ,? A ? B ? C ? ? ,

1 ? 2? ?sin( B ? C) ? sin A, 且sin A ? 0, ? cosB ? , B ? ,0 ? A ? . 2 3 3 3 ? A ? ? 1 A ? ? ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1, 故函数 f (A) 的取值范围是 ( , 2) 。 2 6 2 6 2 2 2 6
?c 2 ? ? ?a ? 2 ? ? 19. (1)由题设: ? a 2 2 ,? ? ,?b2 ? a2 ? c2 ? 1, c ?1 ? ? a ?2 ? ? c ? x2 ? y2 ? 1 ? 椭圆 C 的方程为: 2 (2)①由(1)知: F (1,0) ,设 M (2, t) ,
t t2 则圆 D 的方程: ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 ? , 2 4 直线 PQ 的方程: 2x ? ty ? 2 ? 0 ,

?PQ ? 6 ,? 2 (1 ?

t2 )?( 4

2?

t2 ?2 2

4 ? t2

)2 ? 6 ,

?t 2 ? 4 ,? t ? ?2 ? 圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ②解法(一) :设 P ( x0 , y0 ) ,
? t 2 t2 2 ? ( x0 ? 1) ? ( y0 ? ) ? 1 ? 由①知: ? 2 4 , ?2 x ? ty ? 2 ? 0 0 ? 0

? x 2 ? y02 ? 2 x0 ? ty0 ? 0 ? 即: ? 0 , ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ? 0 ?
消去 t 得: x0 2 ? y0 2 =2
? 点 P 在定圆 x2 ? y 2 =2 上.

20. (1)由 f ? x? ? ?x3 ? x2 ? b ,得 f ? ? x? ? ?3x2 ? 2x ? ?x ?3x ? 2? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 或 列表如下:
x
f ?? x? f ? x?

2 . 3
? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ? ? 2? ? 0, ? ? 3?
?

?

1 2

0 0 极小值

2 3
0 极大值

?2 ? ? ,1? ?3 ?

?

?
?

1 f (? ) 2

?

?

1 3 2 4 1 2 由 f (? ) ? ? b , f ( ) ? ? b ,? f (? ) ? f ( ) , 2 8 3 27 2 3 1 3 3 即最大值为 f (? ) ? ? b ? ,?b ? 0 . 2 8 8
(2)由 g ? x ? ? ?x2 ? ?a ? 2? x ,得 ? x ? ln x ? a ? x2 ? 2x .
? x ??1, e?,?ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,?ln x ? x,即x ? ln x ? 0 ,
?a ? x2 ? 2 x x2 ? 2x ) min . 恒成立,即 a ? ( x ? ln x x ? ln x x2 ? 2 x ? x ? 1?? x ? 2 ? ln x ? , , x ??1, e ?? ,求导得, t? ? x ? ? 2 x ? ln x ? x ? ln x ?

令 t ? x? ?

当 x ? ?1, e? 时, x ?1 ? 0,ln x ? 1, x ? 2 ? ln x ? 0 ,从而 t? ? x ? ? 0 ,
?t ? x ? 在 ?1, e ? 上为增函数,?tmin ? x ? ? t ?1? ? ?1 ,? a ? ?1 .
?? x3 ? x 2 , x ? 1 (3)由条件, F ? x ? ? ? , ?a ln x, x ? 1

假设曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧, 不妨设 P ? t , F ? t ? ? ? t ? 0 ? ,则 Q ? ?t , t 3 ? t 2 ? ,且 t ? 1 .
? ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,

??? ???? ? ?OP ? OQ ? 0 ,??t 2 ? f ? t ? ? t 3 ? t 2 ? ? 0 ??*? ,
是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 时是否有解. ①若 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t 2 ? ? ?t 3 ? t 2 ?? t 3 ? t 2 ? ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ?1 ? 0 , 此方程无解; ②若 t ? 1 时, ?*? 方程为 ?t 2 ? a ln t ? ? t 3 ? t 2 ? ? 0 ,即

1 ? ? t ? 1? ln t , a

1 设 h ?t ? ? ?t ? 1? ln t ?t ? 1? ,则 h? ? t ? ? ln t ? ? 1 , t
显然,当 t ? 1 时, h? ? t ? ? 0 ,即 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,
? h ? t ? 的值域为 ? h ?1? , ?? ? ,即 ? 0, ?? ? ,
? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解. ? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x? 上总存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为

坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. 21. (1)取 PC 的中点 G,连结 EG,FG,又由 F 为 PD 中点,

1 CD . 2 1 又由已知有 AE= CD,? FG // AE. // = 2
则 F G // ∴四边形 AEGF 是平行四边形. 又 AF 平面 PEC,

? AF //EG.

EG ? 平面 PCE . ? AF // 平面 PCE

(2)? PA ? 平面ABCD , ks5u Ks5u

? EG ? 平面PCD. ? 平面PCD内, 过F 作FH ? PC于H , ks5u 由于平面PCD ? 平面PCE ? PC ,
故 ?FCH 为直线 FC与平面 PCE 所成的角.

3 2, PC ? 2 6. 2 1 3 由于CD ? 平面PAD,??CPD ? 30?.? FH ? PF ? 2. 2 4 由已知可得 P D ? 3 2, PF ?

? FC ? CD 2 ? FD 2 ? ? sin FCH ? FH 21 ? FC 14

42 . 2

? 直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值为.
22. (1) f ( x) ? ln( x ? a) 是奇函数, e 则 ln( ? x ? a) ? ? ln( x ? a) 恒成立. e e

21 14

(2) 只需 ? ? ? sin1 ? t ? ?t ? 1 在 ? ?? ??, ?1? 上恒成立,
2

?(e? x ? a)(e x ? a) ? 1. 1 ? ae? x ? aex ? a 2 ? 1,?a(e x ? e? x ? a) ? 0,?a ? 0. 又? g (x) 在[-1,1]上单调递减,? g( x) max ? g(?1) ? ?? ? sin1,

? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0在? ? ?-?,- ? 恒成立. 1
令 h(?) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1(? ? ?1), 则 ?

?t ? 1 ? 0
2 ?? t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0,

?t ? ?1 ?? 2 而t 2 ? t ? sin1 ? 0恒成立, ?t ? ?1 . ?t ? t ? sin1 ? 0 ln x (3)由(1)知 f ( x) ? x,? 方程为 ? x 2 ? 2ex ? m, x ln x 令 f 1 ( x) ? , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m , x 1 ? ln x , ? f1?( x) ? x2 当 x ? (0, e)时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在(0, e] 上为增函数; x ?[e,?? )时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在[0, e) 上为减函数, 1 当 x ? e 时, f1 ( x) max ? f1 (e) ? . e 2 2 而 f 2 ( x) ? ( x ? e) ? m ? e , ?函数f1 ( x) 、 f 2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示, 1 1 2 2 ∴①当 m ? e ? ,即m ? e ? 时,方程无解. e e 1 1 2 2 ②当 m ? e ? ,即m ? e ? 时,方程有一个根. e e 1 1 2 2 ③当 m ? e ? ,即m ? e ? 时,方程有两个根. e e


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