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高中物理 12.2波的图像学案 新人教版选修3-4


第2节

波的图象

新知预习 1.机械波的图象:在平面直角坐标系中,用横坐标表示___________;用纵坐标表示某一时 刻,各质点____________,连接各位移矢量的末 端,得出的曲线即为波的图象,简谐波的 图象是___________曲线. 2.介质中有正弦波传播时,介质的质点在做___________运动. 3.波形曲线表示

介质中的___________的位移,振动图象则表示介质中__________________ 的位移. 典题·热题 知识点一 波的图象 例 1 如图 12-2-5 所示是一列横波在某一时刻的波形图,波沿 x 轴正向传播.

图 12-2-5 (1)该时刻 A 质点运动的方向是向_____________,C 点的运动方向是向_____________,D 点的运动方向是向_____________. (2)再经过

T ,质点 A 通过的路程是___________cm,质点 C 的位移是___________cm. 2

解析:(1)由于波沿 x 轴正方向传播,所以 A 点在“下坡区”,向上运动;C 点、D 点均在 “上坡区”,C、D 两点都向下运动. (2)再经过

T ,A 又回到平衡位置,所以 A 通过的路程为 4 cm;C 点也回到平衡位置,其 2

位移为 0. 答案:(1)上 下 下 (2)4 0 方法归纳 对于做简谐运动的质点其位移都是相对平衡位置而言.与起点在何处无关, 这一点 与运动学中的位移有所不同. 例 2 一列横波在某时刻的波形图象如图 12-2-6 所示,此时质点 F 的运动方向向下,则下列 说法正确的是( )

图 12-2-6 A.波水平向右传播 B.质点 H 与质点 F 的运动方向相同 C.质点 C 比质点 B 先回到平衡位置 D.此时刻质点 C 的加速度为零 解析: 由于质点 F 要追随和它邻近的并且离波源稍近的质点运动, 又知道质点 F 的运动方向 是向下的, 则与它相邻的离波源稍近的质点的位置应在它的下方, 对照图象可以判断出波源

1

在质点 F 的右方,故波是向左传播的,所以 A 选项错误;与质点 H 邻近的并且离波源在质点 I 的位置在质点 H 的上方,则质点 H 的运动方向是向上的,故 B 选项错误;同理,可判断质 点 C 要向下直接回到平衡位置, 而质点 B 则先向上运动到最大位移后再返回平衡位置, 这样 质点 C 要比质点 B 先回到平衡位置,故 C 选项正确;质点 C 此时处于最大位移处,其加速度 最大,D 选项错误. 答案:C 方法归纳 明确质点间的带动作用及 F 点的振动方向, 判断出波的传播方向, 是解题的关键. 知识点二 波的图象的应用 例 3 一列横波在某时刻的波形图如图 12-2-7 所示.若此时刻质点 a 的振动方向向下, 则波向 什么方向传播?

图 12-2-7 解析:取和 a 点相邻的两个点 b、c,若 a 点此时刻向下振动,则 b 点应是带动 a 点振动的, c 点应是在 a 点带动下振动的,所以 b 点先振动,其次是 a、c 两点.因此,波是向左传播的. 答案:波向左传播. 方法归纳 此题是考查波的传播方向与质点振动方向的关系 .具体可以采用带动法或对波动 图象形状变化的想象法得出答案. 巧解提示 此类题目也可用平 移法,画出下一时刻的波形,进行比较. 知识点三 波的图象和振动图象 例 4 一列简谐波在 t=0 时刻的波形图如图 12-2-8(a)所示,图(b)表示该波传播的介质 中某质点此后一段时间内的振动图象,则( )

图 12-2-8 A.若波沿 x 轴正方向传播,(b)图应为 a 点的振动图象 B.若波沿 x 轴正方向传播,(b)图应为 b 点的振动图象 C.若波沿 x 轴正方向传播,(b)图应为 c 点的振动图象 D.若波沿 x 轴正方向传播,(b)图应为 d 点的振动图象 解析:在图(b)的振动图象中,t=0 时刻质点在平衡位置并向 y 轴的正方向运动,而图(a)的 波形图却表明在 t=0 时刻,质点 b、d 在平衡位置,而 a、c 不在平衡位置,故 A、C 选项不 可能正确.若波沿 x 轴正方向传播,质点 b 应向上运动(逆着波的传播方向在它附近找一相 邻点,此点正好在它的上方,质点 b 就应跟随它向上运动),B 选项正确.若波沿 x 轴正方 向传播,同理可以确定质点 d 应向下运动.D 选项错. 答案:B 巧解提示 对振动图象中某时刻振动质点运动方向的判断也可用“上坡上,下 坡下”方法判 断,“上 坡”与“下坡”是指沿时间看去,“上坡”区均向上振,“下坡”区均向下振. 例 5 图 12-2-9(a)表示一列简谐波在介质中传播时,某一质点 a 的振动图象,请你在(b) 图中作出这列简谐波在 t=0 时刻的波形图(质点 a 画在坐标原点上).

2

图 12-2-9 解析:t=0 时刻质点 a 正处于平衡位置且沿+y 方向运动,经

T 达正向最大位移处,设 x 轴 4

正向为波动方向,由波动与振动方向关系的判断方法,得出 t=0 时刻的波形如图 12-2-10.

图 12-2-10 答案:如图 12-2-10 所示. 方法归纳 解此题关键要抓住 t=0 时,质点 a 的振动方向,这就要求同学们熟练掌握振动图 象,知道质点 a 的振动方向后,又假设波传播方向为 x 轴正向,根据带动法即可得到 t=0 时的波的图象. 知识点四 由已知波形图象画出某一时刻的波形图象 例 6 一列沿 x 轴正方向传播的横波在某一时刻的波形图象如图 12-2-11 所示, 已知波的传播 速率是 16 m/s.

图 12-2-11 (1)指出这列波中质点振动的振幅是多少; (2)画出再经过 0.125 s 时的波形图象. 解析:由图象的含义可以直接读出各质点的振幅,利用平移法可画出再经过 0.125 s 时的波 形图象. 答案:(1)由图象可以看出,质点振动的最大位移是 10 cm,因此振幅是 10 cm. (2) 经 0.125 s 波形沿 x 轴正方向移动的距离为 Δ x=vΔ t=16×0.125 m=2 m, 所以经过 0.125 s 后的波形图象如图 12-2-12 中的虚线所示.

图 12-2-12 方法归纳 当波形曲线沿 x 轴正方向移动 2 m 后,要注意将 0 到 2 m 之间的曲线补齐,画好. 巧妙变式 若要画出此时刻前 0.125 s 时的波形图象,只需沿 x 轴负方向移动 2 m 即可. 知识点五 波形图的周期性以及波传播方向的双向性 例 7 如图 12-2-13 是一列简谐波某一时刻波的图象,下列说法正确的是( )

3

图 12-2-13 A.波一定沿 x 轴正方向传播 B.a、b 两个质点的振动速度方向相反 C.若 a 点此时的速度方向沿 y 轴正向,那么波的传播方向是沿 x 轴的正方向 D.若波沿 x 轴的负向传播,则 b 质点的振动速度方向沿 y 轴的负方向 解析:x 轴是表示在波传播方向上的一系列质点的平衡位置,但 x 轴指向不表示波的传播方 向,故 A 选项错.根据“坡形”法:无论波向左还是向右传播,a、b 都处于不同“坡区”, 即当 a 处于下坡路时,b 为上坡路,所以两者振动速度方向相反,故 B 选项正确.同理可判 断 C 选项正确,D 选项错误. 答案:BC 误区警示 波的图象问题中,由于波传播的周期性,波形图的周期性以及波传播方向的双向 性,常有很多问题会出现多解,部分同学在解答时常会出现漏解现象. 自主广场 我夯基我达标 1.关于振动和波的关系,下列说法正确的是( ) A.如果振源停止振动,在介质中传播的波动也立即停止 B.物体做机械振动,一定产生机械波 C.波的速度即振源的振动速度 D.波在介质中的传播频率与介质性质无关,仅由振源的振动频率决定 思路解析: 机械振动传播形成机械波, 振源停止振动时, 其他质点仍会引起相邻质点的振动, 即波继续在介质中传播,所以 A、B 错.机械波在介质中的传播速度由介质本身性质决定,与 振源振动速度无关,所以 C 错.在波动中,各个质点的振动周期、频率是相同的,它们都等 于波源的振动周期或频率,D 对. 答案:D 2.如图 12-2-9 所示为某一时刻简谐波的图象,波的传播方向沿 x 轴正方向,下列说法正确 的是 ( )

图 12-2-9 A.质点 a、b 的振幅相等 B.该时刻质点 b、c 的速度相同 C.该时刻质点 c、f 的加速度为零 D.该时刻质点 d 正向下运动 思路解析:该时刻波的图象中 a、b 质点位移不同,但对简谐波来说,各质点的振幅都是相等 的;质点 b 速度方向向上,而 e 质点速度方向向下,它们此时刻速度不同,选项 B 是错的. 质点 c 位移为负的最大值,回复力为 正最大值,加速度也为正的最大值,质点 f 位移为正 最大值,其回复力和加速度都为负的最大值,C 错误.d 质点的速度方向是向下的,D 正确. 答案:AD 3.如图 12-2-10 所示为一列沿 x 轴正方向传播的简谐横波在某时刻的波形图,P 点是介质中

4

的某一点,则 P 点的运动方向(

)

图 12-2-10 A.向上 B.向下 C.向右 D.向左 思路解析:解法一:带动法,如图 1 中 P′靠近波源且在 P 点上方.解法二:图 2 中虚线为 经 Δ t 后的波形,P′在 P 点上方,P′即为质点 P 运动后的位置,故该时刻 P 沿 y 轴正方向 运动.

图1

图2 答案:A 4.如图 12-2-11 甲图是振源 P 的振动图象,乙图为振源 P 产生的横波向右传播,M、N 是波 传播路径中的两个质点,已知 PM=54.2 m,PN=55.4 m,波的传播速度为 v=20 m/s.当 P 通过 平衡位置向上振动时,试判断 M、N 的位置.

图 12-2-11

? 所以 λ =vT=0.8 m T PM 54.2 3 所以 M 点相距 P 点的波长数 γ m= ? ? 67 ? 0.8 4 PN 55.4 1 N 点相距 P 点的波长数 γ n= ? ? 69 ? 0.8 4
思路解析:由图甲知:T=0.04 s,由 v= 由以上可知,画出 M、N 到 P 的最简波形,如下图所示,可见,当 P 通过平衡位置向上振动 时,M 点在波峰,N 点在波谷.

5

答案:M 点在波峰,N 点在波谷 5.一列简谐波在 x 轴上传播,波速为 50 m/s,已知 t0=0 时刻如图 12-2-12 所示,图中 M 处 的质点此时正经过平衡位置沿 y 轴正方向运动,将 t=0.5 s 时的波形图画在图 12-2-12 上, 用②标出.(至少画出一个波长)

图 12-2-12 思路解析:从图中读出 λ =20 m,据 v=

? ? 20 1 ,所以 T= = s 所以 Δ t=1 T 4 T v 50

由于介质中的所有质点经一周期后,又回到原来的位置(完成一次全振动),所以对各质点

T 的位置即可,或由题设 M 的运动方向可知,波形向左传播,则 t=0.5 4 ? s 后的波形,只要把波形向左平移 即可. 4
而言,只需找出经过 解法一:质点移动法 对 5 m、10 m、15 m、20 m、25 m、30 m 各质点据各自振动方向振动 的位置,将它们连接起来即可,如图②

T T ,即可得各自经 后 4 4

解法二:波形平移法 将波形沿 x 轴向左平移

? 即可,如图② 4

答案:如图② 我综合我发展 6.如图 12-2-13 所示,甲为某一波动在 t=1.0 s 时的图象,乙为参与该波动 P 质点的振动图 象.

图 12-2-13

6

(1)说出两图中 AA′的意义. (2)说出甲图中 OA′B 图线的意义. (3)求该波速 v. (4)在甲图中画出再经 3.5 s 时的波形图. (5)求再经过 3.5 s 时 P 质点的路程 s 和位移. 思路解析: (1)甲图中 AA′表示 A 质点的振幅或 1.0 s 时 x=1.0 m 的质点的位移大小为 0.2 m,方向为负;乙图中 AA′表示 P 质点的振幅,也代表 P 质点在 0.25 s 内的位移大小为 0.2 m,方向为负. (2)甲图中 OA′B 段图线表示 O 到 B 之间所有质点在 1.0 s 时的位移,方向均为负.由乙图 看出 P 质点在 1.0 s 时向-y 方向振动,所以甲图中波向左传播,则 OA′间各质点正向远离 平衡位置方向振动,A′B 间各质点正向靠近平衡位置方向振动. (3)由甲图得波长 λ =4 m,由乙图得周期 T=1 s 所以波速 v=

? =4 m/s. T

(4)传播距离:Δ x=v·Δ t=4×3.5 m=14 m=(3+1/2)λ 所以只需将波形向 x 轴负向平移

1 λ =2 m 即可,如下图所示. 2

(5)求路程:因为 n=

?t 3.5 =7 ? T / 2 1/ 2

所以路程 s=2An=2×0.2×7 m=2.8 m 求位移:由于波动的重复性,经历时间为周期的整数倍时,位移不变,所以只需考查从图示 时刻 P 质点经 T/2 时的位移即可,所以经 3.5 s 质点 P 的位移仍为零. 答案:(1)甲图中的 AA′表示 A 质点的振幅,乙图中的 AA′表示质点 P 的振幅. (2)甲图中 OA ′B 图线表示 O 到 B 之间所有质点在 1.0 s 时的位移情况. (3)4 m/s (4)如解析图所示 (5)2.8 m 零 7.在波的传播方向上有两个质点 P 和 Q,它们的平衡位置相距 s=1.2 m,且大于一个波长,介 质中的波速 v=2 m/s, P 和 Q 的振动图线如图 12-2-14 所示,求振动周期的最大值,并画出 t=0 时的波的图象.

图 12-2-14 思路解析:(1)若波由 P 点向 Q 点传播,根据题目中给出的振动图象可知,Q 点的振动在 时间上比 P 点至少落后

1 1 T,因而 P、Q 两点间的距离至少是 λ ,根据波的周期性,s 与 4 4

7

λ 的关系应为:(s>λ )s=nλ + 解得 λ =

1 λ (n=1,2,3,?) 4

4s (n=1,2,3,?) 4n ? 1
4s 2.4 (n=1,2,3,?) ? (4n ? 1)v 4n ? 1

故波的周期为 T=

?
n

?

显然,当 n=1 时,λ 和 T 取最大值,其最大值分别为 λ 1=0.96 m,T1=0.48 s 下面作出以下情况 t=0 时的波动图象: ①根据题中振动图线,t=0 时 P 点位移 yP=A,速度 vP=0;Q 点位移 yQ=0,速度 vQ>0. ②以 P 点为原点,PQ 为 x 轴画出直角坐标系,并根据 s=

5 及 PQ=s 进行合理分度. 4

③在坐标 图上分别标出 P、Q 的坐 标:P 点:xP=0,yP=A,Q 点:XQ=s,yQ=0,然后画出经过这 两点的一条正弦曲线如图甲所示,注意 PQ=

5 λ . 4

(2)波由 Q 向 P 点传播 分析方 法和(1)基本相同,请读者自己分析,波长周期最大值:λ 1= 时波形图象如图乙所示. 答案:(1)T1=0.48 s (2)如解析图乙所示.

4.8 2.4 m,T1= s,t=0 7 7

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