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【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-6]


课时作业(九)
一、选择题 1.(2013· 温州市高三第二次适应性测试)以下函数中满足 f(x+ 1)>f(x)+1 的是( A.f(x)=ln x C.f(x)=ex-x ) B.f(x)=ex D.f(x)=ex+x

解析:代入选项验证知 D 正确,选 D. 答案:D 2.(2013· 济宁市高三模拟)设 a=30.3,b=logπ3,c=log0.3e(e 为自 然对数的底数),则 a,b,c 的大小关系是( )

A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 解析:a=30.3>1,0<b=logπ3<1,c=log0.3e<0,则 a>b>c,选 B. 答案:B 3.(2013· 江西师大附中、鹰潭一中高三联考)已知函数 f(x)=
x ? ?2 ,x<1 ? ,则 f(log27)=( ?f?x-1?,x≥1 ?

)

7 7 7 7 A.16 B.8 C.4 D.2 解析:

答案:C 4.函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则 b-a 的最 小值为( )

2 1 A.2 B.3 C.3 D.1 解析:由题知函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],当 1 f(x)=0 时,x=1;当 f(x)=1 时,x=3 或3,
?1 ? ?1 ? 所以要使值域为[0,1],定义域可以为[x,3]?3≤x≤1?,?3,x? ? ? ? ?

(1≤x<3), 2 所以 b-a 的最小值为3,故选 B. 答案:B 5.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x) =lnx,则有(
? ?

)
? ? ?1? ?1? B.f?2?<f(2)<f?3? ? ? ? ? ?1? ?1? D.f(2)<f?2?<f?3? ? ? ? ?

?1? ?1? A.f?3?<f(2)<f?2? ?1? ?1? C.f?2?<f?3?<f(2) ? ? ? ?

解析:由 f(2-x)=f(x)得 x=1 是函数 f(x)的一条对称轴, 又 x≥1 时,f(x)=lnx 单调递增, ∴x<1 时,函数单调递减.
?1? ?1? ∴f?2?<f?3?<f(2). ? ? ? ?

答案:C

?log2x,x>0, 6. 设函数 f(x)=? 1 ?log2?-x?,x<0.
值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)

若 f(a)>f(-a), 则实数 a 的取

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

解析:①当 a>0 时,f(a)=log2a,f(-a)=log1 a,
2

1 f(a)>f(-a),即 log2a>log1 a=log2a,
2

1 ∴a>a,解得 a>1. ②当 a<0 时,f(a)=log1 (-a),f(-a)=log2(-a),
2

f(a)>f(-a),即 log1 (-a)>log2(-a)=log1
2 2

1 , -a

1 ∴-a< ,解得-1<a<0, -a 由①②得-1<a<0 或 a>1. 答案:C 二、填空题 7.(2013· 辽宁五校高三第二次模拟)函数 y= 定义域为________. 解析:函数 y= log1 ?4x2-3x?的定义域应保证满足 0<4x2-
3

log1 ?4x2-3x?的
3

1 3 3x≤1,解得-4≤x<0 或4<x≤1.
? 1 ? ?3 ? 答案:?-4,0?∪?4,1? ? ? ? ?

8.(2012· 北京卷)已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2) =________. 解析:∵f(x)=lg x,f(ab)=1,∴lg(ab)=1, ∴f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=2(lg a+lg b)=2lg(ab)=2. 答案:2 9.(2013· 福建质检)定义两个实数间的一种新运算“*”∶x*y=

lg(10x+10y),x,y∈R.当 x*x=y 时,记 x=* y.对于任意实数 a,b, c,给出如下结论: ①(a*b)*c=a*(b*c);②(a*b)+c=(a+c)*(b+c); a+b ③a*b=b*a;④* a*b≥ 2 . 其中正确的结论是________.(写出所有正确结论的序号) 解析:对于①,(a*b)*c=lg(10a*b+10c)= lg(10lg(10a+10b)+10c)=lg(10a+10b+10c) a*(b*c)=lg(10a+10b*c)=lg[10a+10lg(10b+10c)]= lg(10a+10b+10c),故①正确. (a*b)+c=lg(10a+10b)+c,而(a+c)*(b+c)=lg(10a+c+10b+c)= lg[10c(10a+10b)]=c+lg(10a+10b),故②正确; a*b=lg(10a+10b),b*a=lg(10b+10a),故③正确; 令* a*b=m,则 m*m=a*b 10a+10b 即 lg(10 +10 )=lg(10 +10 ),∴10 = 2
m m a b m

10a+10b a+b a+b ∴m=lg ≥ lg 10 = 2 2 ,故④正确. 答案:①②③④ 三、解答题 10.(1)计算:2(lg 2)2+lg 2· lg 5+ ?lg 2?2-lg 2+1; (2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n 的值. 解:(1)原式=lg 2(2lg 2+lg 5) + ?lg 2?2-2lg 2+1

=lg 2(lg 2+lg 5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1.

(2)法一:∵loga2=m,∴am=2. ∵loga3=n,∴an=3. 故 a2m+n=(am)2· an=4×3=12. 法二:∵loga2=m,loga3=n, ∴a2m+n=a2loga2+loga3=aloga12=12. 11.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 解:(1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),
? ?x+1>0, 则? 解得-1<x<1. ? ?1-x>0,

故所求定义域为{x|-1<x<1}. (2)f(x)为奇函数. 证明如下:由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)] =-f(x). 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}上是增函数, x+1 所以 f(x)>0? >1,解得 0<x<1. 1-x 所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是{x|0<x<1}. 12.已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;

若不存在,说明理由. 解:(1)∵f(1)=1, ∴log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,函数定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3. 则 g(x)在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减, 又 y=log4x 在(0,+∞)上递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1,

?a>0, 因此应有?3a-1 ? a =1,

1 解得 a=2.

1 故存在实数 a=2使 f(x)的最小值等于 0. [热点预测] 13.(2013· 北京东城统一检测)给出下列命题: 1 ①在区间(0,+∞)上,函数 y=x-1,y=x2,y=(x-1)2,y=x3 中有 3 个是增函数; ②若 logm3<logn3<0,则 0<n<m<1; ③若函数 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称;
?3x-2,x≤2 ? 1 ④已知函数 f(x)=? ,则方程 f(x)=2有 2 个实数 ? ?log3?x-1?,x>2

根,其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4

)

解析:命题①中,在(0,+∞)上只有 y=x ,y=x3 为增函数, 故①不正确;②中不等式等价于 0>log3m>log3n,故 0<n<m<1,②正 确;③中函数 y=f(x-1)的图象是把 y=f(x)的图象向右平移一个单位 得到的,由于函数 y=f(x)的图象关于坐标原点对称,故函数 y=f(x- 1 1 1)的图象关于点 A(1,0)对称,③正确;④中当 3x-2=2时,x=2+log32 1 1 <2,当 log3(x-1)=2时,x=1+ 3>2,故方程 f(x)=2有 2 个实数根, ④正确.故选 C. 答案:C

1 2



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