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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第5章 第32讲 向量的概念与线性运算


uuu uur uuu r r 1.如图,在平行四边形ABCD中, ? CA ? BD AB ?
uuu r CD

uur uuu uuu r r 2.平面内有四边形ABCD和点O,若OA ? OC ? OB ? uuu r OD则四边形ABCD的形状是 平行四边形

uur uuu uuu uuu r r r uur uuu uuu uuu r r r 解析: ? OC ? OB ? OD ? OA ? OB ? OD ? OC OA uur uuu r ? BA ? CD 即AB / /CD,故四边形ABCD是平行四边形.

3.平面向量a,b共线的充要条件是 _____   ④ . (填写正确序号) ①a,b方向相同; ②a,b两向量中至少有一个为零向量; ③存在? ? R,b ? ? a; ④存在不全为零的实数?1,?2使得?1a ? ?2b ? 0

4.一架飞机向西飞行100 km,然后改变方 向向南飞行100 km,则飞机两次位移的和 100 2km 为__________________

uuu uur uuu r u r 解析:如图所示, ? AB ? BC AC uuu r 所以 AC =100 2,方向为西南方向.

uuu r uuu r 5.在V ABC中,已知D是AB边上一点,若 AD ? 2 BD, uuu 1 uur r uur 2 CD ? CA ? ? CB则? ? 3 3
uuu r uuu uuu 1 uur r r uur 解析:因为 AD ? 2 BD, CD ? CA ? ? CB 3 uuu uur uuu uur 2 uuu r r r 则CD ? CA ? AD ? CA ? AB 3 uur 2 uur uur ? CA ? (CB ? CA) 3 1 uur 2 uur ? CA ? CB 3 3

平面向量的概念
【例1】 下列各命题中,真命题的个数为 ________ . uuu uuu r r ①若 AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形; ②若 | a | = b ,则a=b或a=-b; ③若a=b,b=c,则a=c; ④若a / / b,b / / c,则a / / c.

【解析】①正确. ②不正确,因为两向量相等必须大小 相同且方向相同,模相等是向量相等 的必要不充分条件.

④不正确,当b=0时,a∥c不一定成
立. ③正确. 答案:2

向量的相关概念较多,且容易 混淆,所以在学习中要分清,理解各 概念的实质.注意向量相等应满足的 两个条件:①模相等;②方向相 同.还要注意零向量的特殊性,尤其 是判定向量共线时不要忽略零向量.

【变式练习1】 ④ 下列命题中正确的有_______. ①单位向量都相等; ②长度相等且方向相反的两个向量不一定 是共线向量; ③若非零向量a,b满足|a|=|b|,且a与b同向,

则a>b;
④对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|.

向量的线性表示
【例2】 如图所示,D、E分别是?ABC的边AB、AC 的中点,M 、N 分别是DE、BC的中点.已 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 知BC=a, =b,试用a、b分别表示DE、 BD CE ???? ? 和MN .

1 【解析】由三角形的中位知DE / / ? BC, 2 ???? 1 ??? ? 故DE= BC, 2 ???? 1 ??? ??? ??? ???? ? ? ? 即DE= a.所以CE= +BD+DE CB 2 1 1 =-a+b+ a=- a+b, 2 2 ???? ???? ??? ???? 1 ??? ??? 1 ??? ? ? ? ? ? ? MN=MD+DB+BN= ED+DB+ BC 2 2 1 1 1 =- a-b+ a= a-b. 4 2 4

用已知向量来表示另外一些 向量,是用向量解题的基本功, 除综合利用向量的加、减法运算 及数乘向量外,还需要充分利用 平面几何中的一些定理.

【变式练习 】 2 平行四边形ABCD中,M 、N 分别为 ???? ? ???? DC、BC的中点.已知AM=c, =d, AN ??? ???? ? 试用c,d 表示AB和AD.

??? ? ???? 【解析】如图.设AB=a, =b,则由M 、N AD ???? 1 ???? 1 ? 分别为DC、BC的中点可得DM= a, = b. BN 2 2 在? ABN 和? ADM 中,

2 1 ? ? ? a ? 3 ? 2d ? c ? ?a ? 2 b ? d ? ? 可得? ,解得? .   ?b ? 1 a ? c ? b ? 2 ? 2c ? d ? ? ? ? 2 3 ? ??? 2 ? ???? 2 所以, = (2d-c ), = (2c-d ). AB AD 3 3

向量共线
【例3】 设a,b是两个不共线的非零向量. ??? ? ??? ? ??? ? OA OA ?1? 若OA=2a-b, =3a+b, =a-3b, 求证:A、B、C 三点共线;

? 2 ? 若8a+kb和ka+2b共线,求实数k的值.

??? ? 【解析】 证明:因为 AB=(3a+b)-(2a-b) (1) =a+2b, ??? ? ??? ? BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 AB, ??? ??? ? ? 所以 AB、 共线. BC 又AB、BC有公共点B,所以A、B、C三点共 线.

(2)因为8a+kb和ka+2b共线, 所以存在实数λ,使8a+kb=λ(ka+2b), 即(8-λk)a+(k-2λ)b=0. 因为a与b不共线, 所以,

解得λ=±2, 所以k=2λ=±4.

本题从正反两方面考查了向量共 线的充要条件,即b与非零向量a共线, 则必存在唯一实数λ,使b=λa;若b =λa(λ∈R),则b与a共线.三点共线 问题可利用向量共线的充要条件来解 决.

【变式练习 】 3 若a,b是两个不共线的非零向量,t ? R. 若a与b起点相同,t为何值时,a,tb, 1 (a+b)三向量的终点在一直线上? 3

1 【解析】设a-tb=?[a- (a+b)], 3 2 ? 得a-tb= ? a- b, 3 3 3 ?2 ? ?3 ? ? 1 ?? ? 2 ? ? 因为a,b不共线,所以? ,所以? , ??t ? ? ? ?t ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 1 故t= 时,a,tb, (a+b)三向量终点在同 2 3 一直线上.

1.已知e1 ,e2 是一对不共线的非零向量, 若a=e1+λe2,b=-2λe1-e2,且a,b共
2 线,则λ=_______。 ? 2

【解析】因为a,b共线,所以b=ma, 得-2? e1-e2=me1+m? e2, ? m ? 2? 2 故? ,解得?=? . 2 ? m ? ? ?1

??? ? ??? ? 2.在四边形ABCD中, =a+2b, = AB BC ??? ? -4a-b, =- a- b,其中a、b不 CD 5 3 共线,则四边形ABCD是 梯形
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 【解析】因为 AB+BC+ +DA= , CD 0 ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? 所以DA=-( AB+BC+ ) CD =-(a+2b-4a-b- a- b) 5 3 ??? ? =-2(-4a-b)=-2 BC. ??? ? ??? ? ??? ? 又 | DA | =2 | BC |?| BC | , 所以四边形ABCD是梯形.

3.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于O点, E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于 ???? ??? ? ??? ? 2 1 点F . AC=a, =b,则 AF等于 a + b BD
3 3

【解析】利用平面几何知识得出 DF:FC= : 1 2. ??? ???? ??? ? ? ? 2 ??? 所以AF=AC+ =a+ CD CF 3 1 2 1 =a+ (b-a )= a+ b. 3 3 3

4.已知任意四边形ABCD中,E是AD ??? ? 的中点,F 是BC的中点,求证: = EF ? 1 ??? ???? ( AB+DC ). 2

【解析】连结EC、EB. 因为F 为BC的中点, ??? 1 ??? ??? ? ? ? 所以EF= ( EC+EB ) 2 ? ? ? 1 ??? ???? 1 ??? ??? = ( ED+DC )+ ( EA+AB ) 2 2 ? ? 1 ??? ???? ? 1 ??? ??? = ( EA+ED )+ ( AB+DC ). 2 2 因为E为AD的中点, ??? ??? ? ? ??? 1 ??? ???? ? ? 所以ED+EA=0,所以EF= ( AB+DC ). 2

5..设e1,e2是两个不共线的非零向量,如 ??? ? ??? ? ??? ? 果AB=e1+e2, =2e1+ e2, = (e1-e2 ). BC 8 CD 3

?1? 确定实数k的值,使k的取值满足向量 ? 2 ? 证明:A、B、D三点共线.
ke1+e2与向量e1+ke2 共线;

【解析】(1)若向量ke1+e2与向量e1+ke2共线,

则存在实数λ,使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立,
即ke1+e2=λe1+λke2,



,解得k=±1.

??? ??? ??? ? ? ? ? 2 ? 证明:因为BD=BC+CD =2e1+ e2+ e1-e2 )= e1+ e2, 8 3( 5 5 ??? ? 又因为 AB=e1+e2, ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 所以BD= AB,所以BD / / BD. 5 ??? ??? ? ? 又BD, 有公共点B, AB 所以A、B、D三点共线.

本节内容主要从四个方面考查, 一是考查向量的有关概念;

二是向量加法、减法及数乘,平面向
量基本定理的应用; 三是共线向量与三点共线问题.在这 些方面注意使用数形结合思想解决问题. 常用定理与公式:

?1? 三点共线定理:平面上三点A、
B、C共线的充要条件是:存在实数?、 ??? ? ??? ? ???? ?,使OA ? OB+? OC,其中?+?=1, = O为平面内的任意一点.

(2)①平面内有任意三个点O、A、B. ???? 1 ??? ??? ? ? ? 若M 是线段AB的中点,则OM= (OA+ ); OB 2 ??? ??? ??? ? ? ? ②? ABC中,G为重心,则 AB+BC+ CA ??? ??? ???? ? ? =; + + =; 0 GA GB GC 0 ③有限个向量a1,a2, ,an相加,可以从 ? ???? ????? 点O出发,逐一作向量OA1=a1,1 A2=a2, , A ? ??????? ???? ? An ?1 An=an n,则向量OAn即这些向量的和,即 ???? ????? ??????? ???? ? ? a1+a2+?+an= 1+A1 A2+?+An-1 An= n OA OA (向量加法的多边形法则).

当 An 和 O 重 合 时 ( 即 上 述 折 线 OA1A2…An 成封闭折线时),则和向量 为零向量. 注意:反用以上向量的和式,即

把一个向量表示为若干个向量和的形
式,是解决向量问题的重要手段.


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