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【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:9.7 棱柱与棱锥(A、B)(共37张PPT)


§9.7

棱柱与棱锥(A、B)

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.棱柱、棱锥的定义 棱柱 棱锥 平行 多边形 有两个面互相_____,其余各 有一个面是______,其 面都是四边形,并且每相邻两 余各面是有一个 公共顶点 ________的三角形,由 个四边形的公共边都互相 平行 _____,这些面围成的几何体 这些面围成的几何体 互相平行的平面 多边形 其余各面 相邻两侧面公共边 棱交点 各侧面公共顶点 上、下底面距离 顶点到底面距离
目录

定义 底面 侧面 侧棱 顶点 高

2.棱柱、棱锥的性质 棱柱 棱锥 三角形 __________ 交于一点 与底面相似的多边 形 三角形
目录

侧面
侧棱 平行于底 面的截面 纵截面

平行四边形 ____________ 平行且相等 与底面全等的多边 形 平行四边形

3.直棱柱、正棱柱、平行六面体的性质 名称 性质 ①侧面和经过不相邻棱的截面是平行四边形 棱柱 ②两底面平行,并且平行于底面的截面与底面是 全等的多边形 直棱柱 侧棱垂直于底面,各侧面是矩形

正棱柱 底面是正多边形且是直棱柱
平行六 底面和侧面都是平行四边形,是中心对称图形, 面体 对角线交于一点,并且在交点处互相平分

目录

4.四棱柱的一些常用性质

相交于一点 (1)平行六面体的四条对角线互相平分且_____________;
(2)直四棱柱的侧棱与高相等,直四棱柱的侧面及过相对棱的 截面都是矩形,直棱柱的侧面与底面垂直; 正方形 (3)正四棱柱与正方体的底面都是___________,且侧面和底面 垂直 都_______;

(4)长方体的体对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的
平方和 __________.

目录

5.正棱锥是棱锥的特殊情形,是棱锥的主要研究对象
(1)定义:

正多边形 底 面 是 ____________ , 并 且 顶 点 在 底 面 上 的 射 影 是 底 面 的 中心 ________,这样的棱锥叫做正棱锥.
(2)性质:

全等 ①侧面是______的等腰三角形,与底面所成二面角均相等; 相等 ②侧棱均相等,侧棱与底面所成的角均_______;
③平行于底面的截面是和底面相似的正多边形; 它们的面积之比等于截得的棱锥与原棱锥的对应边(高、侧棱、 平方比 两底面边长等)的_____________,体积之比等于它们对应边的 立方比.
目录

6.侧面积、全面积与体积公式 (1)棱柱的侧面积是各侧面面积之和,直棱柱的侧面积是底面周

侧棱长 长与_________之积;棱锥的侧面积是各侧面面积之和,正棱
锥的侧面积是底面周长与斜高一半之积. (2)全面积等于侧面积与底面积之和,即 S 全=S 侧+S 底. (3)柱体体积公式为 V=S· h,其中 S 为底面面积,h 为高. 1 (4)锥体的体积公式为 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为锥 3 体的高.

目录

思考探究 1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一

定是棱柱吗?
提示:不一定.如图所示的几何体有两个面平行,其余各面 都是平行四边形,但它不满足“每相邻两个侧面的公共边互

相平行”,所以它不是棱柱.

2.{四棱柱}、{直四棱柱}、{正四棱柱}、{长方体}、{正方体}
有怎样的包含关系? 提示:{四棱柱}?{直四棱柱}?{长方体}?{正四棱柱}? {正方体}.
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课前热身
1.已知一个长方体的三条棱长比是 1∶2∶3,体积是 48 cm3, 则它的体对角线长为( A.8 cm C.4 14 cm ) B.56 cm D.2 14 cm

答案:D

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2.棱柱成为直棱柱的一个必要非充分条件是( A.棱柱有一条侧棱和底面垂直 B.棱柱有一条侧棱和底面的两边垂直 C.棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直 D.棱柱有一个侧面是矩形且和底面垂直 答案:B

)

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3.一个平行于棱锥底面的截面把棱锥某侧面分成两部分的面 积之比为1∶3,则把棱锥的侧棱分成的两部分长度之比(从上 到下)为( )

A.1∶1
C.1∶2

B.1∶3
D.1∶5

答案:A

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4.正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E、F分别是AB、 A1C1的中点,则EF的长为________.
答案: 5

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5.在四棱锥中,底面是正方形,一条侧棱垂直于底面,不通

过此棱的一个侧面与底面所成的二面角为45°,且最长的侧
棱长为15 cm,则棱锥的高为________.
答案:5 3 cm

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 棱柱、棱锥的概念与性质

从构成它们的元素:底面、侧面、侧棱所具有的位置关系、 量的关系上,分析、归纳其几何性质.

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例1

对于下列命题:

①棱锥的侧面是全等的等腰三角形,该棱锥一定是正棱锥; ②各个面都是三角形的多面体一定是棱锥;

③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;
④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直 四棱柱. 其中,真命题的编号是________(写出所有真命题的编号). 【思路分析】从棱锥、正棱锥、直四棱柱的性质上分析判定.

目录

【解析】

对①如图所示,棱锥的侧面是全等的等腰三角形,

但该棱锥不是正三棱锥;①错.②是错误的,只要将底面全 等的两个棱锥的底面重合在一起,所得多面体的每个面都是 三角形,但这个多面体不是棱锥;③错,反例,可以是一个 斜四棱柱;④正确,对角线两两相等,则对角面均为矩形.

【答案】


直棱柱、正棱柱、正棱锥的性质的逆命题不

【名师点评】

一定都成立,要用线面关系推证.
目录

考点2

棱柱、棱锥中的平行与垂直问题

在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面的平行与垂直的证明,
除了要正确使用判定定理与性质定理外,对几何体本身所具 有的性质也要正确把握.如正棱锥、正棱柱的特性,特殊三 角形、特殊梯形的使用等,其次还要注意各种平行与垂直之 间的相互转化,如将线线平行转化为线面平行或面面平行 来解决.

目录

例2

如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=

90°,AB=2,BC=1,AA1=.M,N分别是AC,BC的中点. (1)证明:A1C⊥平面AB1C1; (2)证明:MN∥面A1B1C.

【思路分析】

(1)挖掘直三棱柱的性质,结合计算证明垂

直.(2)利用线面平行的判定定理证明.
目录

【证明】 (1)因为∠ACB=90° 所以 BC⊥AC.因为三棱柱 ABC , -A1B1C1 为直三棱柱,所以 BC⊥CC1, 因为 AC∩CC1=C,所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 A1C?平面 ACC1A1,所以 BC⊥A1C. 因为 BC∥B1C1,所以 B1C1⊥A1C. 在 Rt△ABC 中,AB=2,BC=1,所以 AC= 3. 因为 AA1= 3, 所以四边形 ACC1A1 为正方形. 所以 A1C⊥AC1. 因为 B1C1∩AC1=C1,所以 A1C⊥平面 AB1C1. (2)在底面 ABC 中,有 MN∥AB,又∵AB∥A1B1, ∴MN∥A1B1 且 MN?面 A1B1C.∴MN∥面 A1B1C.

目录

【思维总结】

对于垂直关系,要充分利用几何图中本身的

垂直关系,来寻找垂直与平行. 本题也可以建立坐标系C-xyz,用向量来证.

目录

跟踪训练 1.在例2中,若D是棱CC1的中点,其他条件不变,在棱AB上

是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1.证明你的结论.
解:存在.当点 E 为棱 AB 的中点时,DE∥平面 AB1C1. 如图所示,取 BB1 的中点 F,连结 EF,FD,DE,因为 E、F 分别为 AB、BB1 的中点,所以 EF∥AB1. 因为 AB1?平面 AB1C1, EF?平面 AB1C1, 所以 EF∥平面 AB1C1. 同理可证 FD∥平面 AB1C1. 因为 EF∩FD=F,所以平面 EFD∥平面 AB1C1. 因为 DE?平面 FED,所以 DE∥平面 AB1C1.

目录

考点3

棱柱、棱锥中的角与距离

棱柱、棱锥是立体几何中的重要几何体.根据它们的性质,
可以计算有关的空间距离与空间角度.在计算时要注意把某

些平面图形(如直截面、对角面、中截面等)分离出来,进而运
用平面几何方法解决.

目录

例3

如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D

是侧棱CC1的中点,直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°. (1)求此正三棱柱的侧棱长; (2)求二面角A-BD-C的正切值.

【思路分析】
→侧棱长

(1)AE⊥BC于E点→在Rt△ADE中,求ED长

(2)从E点作BD的垂线,寻找A-BD-C的平面角,求解三角形

目录

【解】 (1)设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长为 x.取 BC 中点 E,连结 AE.如图所示.

∵△ABC 是正三角形, ∴AE⊥BC.又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C,且交线为 BC, ∴AE⊥侧面 BB1C1C.连结 ED, 则直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成 的角为∠ADE=45° . AE 在 Rt△AED 中,tan45° = = ED 3 x 1+ 4
2,解得

x=2 2.

目录

(2)过 E 作 EF⊥BD 于 F,连结 AF, ∵AE⊥侧面 BB1C1C,∴AF⊥BD. ∴∠AFE 为二面角 A-BD-C 的平面角. 在 Rt△BEF 中,EF=BE· sin∠EBF,又 BE=1, sin∠EBF= 又 AE= 3. ∴在 Rt△AEF 中,tan∠AFE= AE =3. EF CD 2 3 3 = = ,∴EF= , 3 3 BD 22+? 2?2

故二面角 A-BD-C 的正切值为 3.

目录

【思维总结】

在(1)中通过解方程的方法求出棱长,从而确

定了二面角A-BD-C的大小,利用三垂线法作出平面角,也
可以E点为原点建立空间坐标系.

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跟踪训练 2.若例3中条件不变,求点C到平面ABD的距离.
解:由(2)可知,BD⊥平面 AEF, ∴平面 AEF⊥平面 ABD,且交线为 AF, ∴过 E 作 EG⊥AF 于 G,如图,则 EG⊥平面 ABD. 3 3× 3 AE· EF 30 在 Rt△AEF 中,EG= = = , 10 AF 32 2 ? 3? +? ? 3 ∵E 为 BC 中点, 30 ∴点 C 到平面 ABD 的距离为 2EG= . 5

目录

方法感悟
方法技巧

1.棱柱、棱锥问题中经常遇到侧棱、侧面与底面所成角的问
题,解决这些问题时一般从顶点向底面作垂线,利用前面学 过的知识,准确判断垂足的位置,以此沟通各种关系.

2.在解正棱锥的问题时,要注意利用四个直角三角形,如图所
示,O为底面正多边形的中心,E为AB的中点,四个直角三角 形为Rt△VOA、Rt△AEO、Rt△VEA和Rt△VOE,它们包含 了棱锥高、斜高、侧棱、底边长的一半、底面正多边形外接 圆半径.

目录

失误防范
1. 以棱柱或棱锥为载体研究线面关系时, 其自身的性质为隐含 条件,应特别注意这些性质的挖掘利用. 2.要 理清各 种几 何体的 内涵与 外延的 变化 .如: 四棱柱
底面是平行四边形 底面是矩形

― ― ― → 平行六面体― ― ― ― →直平行六面体 ― ― ― ― ― ― ―
底面是正方形 棱长都相等

侧棱与底面垂直

― ― ― →长方体 ― ― → 正四棱柱― ― →正方体. ― ― ― ― ― ― ― 3.注意区分几何体中各量的涵义:如高与斜高,面对角线与体 对角线等及运算关系.如: 若长方体的一条体对角线与过一个顶点的三条棱所成角分别为 α,β,γ,则 cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1. 若长方体的一条体对角线与过一个顶点的三个面所成角分别为 α,β,γ,则 cos2 α+cos2 β+cos2 γ=2.
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考向瞭望把脉高考
命题预测 近几年热点是以棱柱、棱锥为载体综合考查有关线面位置关

系、角与距离的计算且难度较大(前几节已经作过详细的分析);
有时也在填空题、选择题中考查棱柱、棱锥的定义和性质以 及面积和体积的计算. 2012年的高考中,全国各省市考题中绝大多数立体几何题均 以棱柱或棱锥为载体,通过它们的棱、面(侧面、截面、底面 等)及角考查点、线、面之间的平衡、垂直、夹角距离、体积、 表面积等问题.上海卷等以棱锥为载体求体积问题.福建卷 等以柱体为载体进行考查.
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预测2014年高考仍将以选择题、填空题的形式考查基本概念 和性质;以解答题的形式借棱柱、棱锥为载体对有关线面位置 关系的判断和论证、角与距离以及面积和体积的计算作综合 考查.

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规范解答
高考上海卷) 例 (本题满分 14 分)(2011·

已知 ABCD-A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱, 1 是 A1C1 O 与 B1D1 的交点. (1)设 AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角的大小为 α,二面角 A- B1D1-A1 的大小为 β,求证:tan β= 2tan α; 4 (2)若点 C 到平面 AB1D1 的距离为 ,求正四棱柱 ABCD- 3 A1B1C1D1 的高.
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【解】 (1)证明:设正四棱柱的高为 h,连接 AO1,如图(1), ∵AA1⊥底面 A1B1C1D1 于 A1, ∴AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角为∠AB1A1, 即∠AB1A1=α.(2 分) ∵AB1=AD1,O1 为 B1D1 的中点, ∴AO1⊥B1D1. 又 A1O1⊥B1D1, ∴∠AO1A1 是二面角 A- 1D1- 1 的平面角, B A 即∠AO1A1=β.(4 分) 图(1) AA1 AA1 ∴tan α= =h,tan β= = 2h= 2tan α. A1B1 A1O1 ∴tanβ= 2tan α.(6 分)

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(2)法一:如图(1),连接 AC,过 C 作 CH⊥AO1 于 H. ∵B1D1⊥平面 ACC1A1, ∴平面 AB1D1⊥平面 ACC1A1,(9 分) 4 ∴CH⊥平面 AB1D1,故 CH= . 3 又∠O1AC=β,AC= 2,(11 分) 16 2 在 Rt△ACH 中,AH= 2- = , 9 3 4 3 h ∴tan β= =2 2= ,∴h=2, 2 2 3 2 故正四棱柱的高为 2.(14 分)
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法二:建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则 A(0,0, h), B1(1,0,0),D1(0,1,0),C(1,1,h), → → → AB1 =(1,0,-h),AD1=(0,1,-h),AC=(1,1,0).(9 分) 设平面 AB1D1 的一个法向量为 n=(x,y,z). → ?n⊥AB1 ?n·→1 =0, ? ? AB 由? ?? (11 分) → ?n⊥AD1 ?n·→1 =0, ? ? AD 取 z=1 得 n=(h,h,1). ∴点 C 到平面 AB1D1 的距离为 → h+h+0 |n· | AC 4 d= = 2 = ,则 h=2.(14 分) 2 |n| h +h +1 3

图(2)

目录

【名师点评】

本题以正四棱柱为载体,考查直线与平面所成

的角、二面角、点到平面的距离等立体几何中的主干知识,同 时考查空间想象能力、 运算求解能力以及分析解决问题的能力, 属中档题.解决第(1)问的关键就是将线面角,二面角转化为平 面角,再在含该角的直角三角形中寻找关系得以解决,解决第 (2)问应将点 C 到平面 AB1D1 的距离通过作 CH⊥AO1 证得面 AB1D1⊥面 ACC1A1, 将已知量未知量转化到一个直角三角形中 求解,也可直接用空间向量求解(如解法二).
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