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2013高考数学(新课标卷)试题及答案河北省的


2013 年全国卷新课标——数学理科
一、选择题:本大题共 12 小题,
1. 已知集合 A ? {1,2,3,4,5} ,B ? {( x, y) | x ? A, y ? A, x ? y ? A} , 则 B 中所含元素的个 数为 A. 3 【解析】选 D.

B. 6

C. 8

D. 10



法一:按 x ? y 的值为 1,2,3,4 计数,共 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 10 个;
2 法二:其实就是要在 1,2,3,4,5 中选出两个,大的是 x ,小的是 y ,共 C5 ? 10 种选

法. 2. 将 2 名教师,4 名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个 小组由一名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种 【解析】选 A.
1 2 只需选定安排到甲地的 1 名教师 2 名学生即可,共 C2 C4 种安排方案.

3. 下面是关于复数 z ?

2 的四个命题: ?1? i
P2 : z 2 ? 2i P4 : z 的虚部为 ? 1

P 1 : | z |? 2

P3 : z 的共轭复数为 1 ? i
其中的真命题为 A. P2 , P 3 【解析】选 C. 经计算, z ? B. P1 , P2

C. P2 , P4

D. P 4 3,P

2 ? ?1 ? i, z 2 ? 2i . ?1 ? i

4.

设 F1 , F2 是椭圆 E :

3a x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点,P 为直线 x ? 上的一点, 2 2 a b

△F2 PF 1 是底角为 30 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为
A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

【解析】选 C.

画图易得, △F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形可得 PF2 ? F 1F 2 ,即 2 ?
?

? 3a ? ? c ? ? 2c , ? 2 ?

所以 e ?

c 3 ? . a 4

5. 已知 {an } 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? A. 7 【解析】选 D. B. 5 C. ? 5 D. ? 7

a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ,?a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 , a1 , a4 , a7 , a10 成等
比数列,? a1 ? a10 ? ?7 . 6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ? 2) 和 实数 a1 , a2 ,?, aN ,输出 A , B ,则

A. A ? B 为 a1 , a2 ,?, aN 的和 B.

A? B 为 a1 , a2 ,?, aN 的算术平均数 2

C. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, aN 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, aN 中最小的数和最大的数 【解析】选 C.

7. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【解析】选 B. 由三视图可知,此几何体是底面为俯视图三角形,高为 3 的三棱锥,

1 1 V ? ? ?3 2 ?3 2 ?3 ? 9 . 3 2
8. 等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A ,B , 两点, | AB |? 4 3 ,则的实轴长为

A. 2 【解析】选 C.

B. 2 2

C. 4

D. 8

易知点 ?4, 2 3 在 x2 ? y 2 ? a 2 上,得 a ? 4 , 2a ? 4 .
2

?

?

9. 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(?x ?

?

) 在 ( , ? ) 单调递减,则 ? 的取值范围是 2 4
C. (0, ]

?

A. [ , ] 【解析】选 A. 由

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

1 2

D. (0,2]

?
2

? 2 k? ?

?
2

??

?
4

? ?? ?

?
4

?

3? 1 5 ? 2k? , k ? Z 得, ? 4k ? ? ? ? 2k , k ? Z , 2 2 4

1 5 ?? ? 0 ? ? ? ? . 2 4
10. 已知函数 f ( x) ?

1 ,则 y ? f ( x) 的图像大致为 ln(x ? 1) ? x

【解析】选 B. 易知 y ? ln( x ? 1) ? x ? 0 对 x ? ? ?1, ?? ? 恒成立,当且仅当 x ? 0 时,取等号. 11. 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ,则此棱锥的体积为 A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

【解析】选 A. 易知点 S 到平面 ABC 的距离是点 O 到平面 ABC 的距离的 2 倍.显然 O ? ABC 是棱长为

1 的正四面体,其高为

6 1 3 6 2 2 ,故 VO ? ABC ? ? , VS ? ABC ? 2VO ? ABC ? ? ? 3 3 4 3 12 6
1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 | PQ | 的最小值为 2
B.

12. 设点 P 在曲线 y ? A. 1 ? ln 2 【解析】选 B.

2 (1 ? ln 2)

C. 1 ? ln 2

D.

2 (1 ? ln 2)

1 1 y ? e x 与 y ? ln(2 x) 互为反函数,曲线 y ? e x 与曲线 y ? ln(2 x) 关于直线 y ? x 对称, 2 2
只需求曲线 y ?

1 x ? 1 ? e 上的点 P 到直线 y ? x 距离的最小值的 2 倍即可.设点 P ? x, e x ? ,点 2 ? 2 ?

1 x ? ex 2 P 到直线 y ? x 距离 d ? . 2

令 f ? x? ? ex ? x

1 2

, 则 f ? ? x? ?

1 x e ? 1 . 由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ln 2 ; 由 f ? ? x ? ? 0 得 2

1 1 x x ? ex e ?x 2 2 ? x ? ln 2 , 故 当 x ? l n 2 时 , f ? x ? 取 最 小 值 1 ? l n 2. 所 以 d ? , 2 2

d min ?

1 ? ln 2 . 2

所以 | PQ |min ? 2dmin ?

2 ?1 ? ln 2 ? .

二、填空题.本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.已知向量 a , b 夹角为 45 ? ,且 |a| ? 1 , |2a ? b| ? 10 ,则 |b| ? 【解析】 3 2 .
2 2 b + b 2 ? 4 a ? 4 a ?b cos 45? + b 由已知得, | 2a ? b | ? ? 2a ? b ? ? 4a ? 4a ? 2 2 2

.

? 4 ? 2 2 b + b ? 10 ,解得 b ? 3 2 .

2

? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 ? 14. 设 x , y 满足约束条件 ? 则 Z ? x ? 2 y 的取值范围为 ?x ? 0 ? ?y ? 0
【解析】 ? ?3,3? .

.

画 出 可 行 域 , 易 知 当 直 线 Z ? x ? 2 y 经 过 点 ?1, 2? 时 , Z 取 最 小 值 ?3 ; 当 直 线

Z ? x ? 2 y经过点 ? 3,0 ? 时, Z 取最大值 3.故 Z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? ?3,3? .
15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的 元件 1 使用寿命(单位:小时)服从正态分布

N (1000 ,502 ) ,且各元件能否正常工作互相独立,
那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 【解析】 . 元件 2

元件 3

3 . 8 1 ,所以该部件的使用 2

由已知可得,三个电子元件使用寿命超过 1000 小时的概率均为

? ? 1 ?2 ? 1 3 寿命超过 1000 小时的概率为 ?1 ? ? 1 ? ? ? ? ? . ? ? 2? ? ? 2 8 ?
16. 数列 {an } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {an } 的前 60 项和为 【解析】1830. 由 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 得, .

a2k ? a2k ?1 ? 4k ? 3 ……① a2k ?1 ? a2k ? 4k ?1 ……②,
再由② ? ①得, a2k ?1 ? a2k ?1 ? 2 ……③ 由①得, S偶 ? S奇 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a4 ? a3 ? ? ? a6 ? a5 ? ? … ? ? a60 ? a59 ?

? 1 ? 5 ? 9 ? … ?117 ?

?1 ? 117 ? ? 30 ? 1770
2

由③得, S奇 ? ? a3 ? a1 ? ? ? a7 ? a5 ? ? ? a11 ? a9 ? ? … ? ? a59 ? a59 ?

? 2 ?15 ? 30
所以, S60 ? S偶 ? S奇 ? S偶 ? S奇 ? 2S奇 ? 1770 ? 2 ? 30 ? 1830 .

?

?

三、解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) 已 知 a , b , c 分 别 为 △ ABC 三 个 内 角 A , B , C 的 对 边 ,

a c oC s ? 3a s i C n ?b ?c ? 0.
(Ⅰ) 求 A ; (Ⅱ) 若 a ? 2 , △ ABC 的面积为 3 ,求 b , c . 解:(Ⅰ)法一:由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 及正弦定理可得

sin A cos C ? 3 sin Asin C ? sin B ? sin C ? 0 ,
sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin ? A ? C ? ? sin C ? 0 ,

3sin Asin C ? cos Asin C ? sin C ? 0 ,
? sin C ? 0 ,? 3 sin A ? cos A ?1 ? 0 ,

?? ?? 1 ? ? ? 2sin ? A ? ? ? 1 ? 0 , sin ? A ? ? ? , 6? 6? 2 ? ?
? 0 ? A ? ? ,??

?
6

? A?

?
6

?

?A?

?
6

?

?
6

5? 6 ,

?A?

?

3

法二:由正弦定理可得 a sin C ? c sin A ,由余弦定理可得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 . 2ab

a 2 ? b2 ? c 2 ? 3c sin A ? b ? c ? 0 , 再由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 可得, a ? 2ab
即 a2 ? b2 ? c2 ? 2 3bc sin A ? 2b2 ? 2bc ? 0 ,

a2 ? b2 ? c2 ? 2 3bc sin A ? 2b2 ? 2bc ? 0
b2 ? c 2 ? a 2 ?? ? ? ? 3 sin A ? 1 ,即 3 sin A ? cos A ? 1 , 2sin ? A ? ? ? 1 , 2bc 6? ?

? ? 5? ?? 1 ? sin ? A ? ? ? , ? 0 ? A ? ? ,?? ? A ? ? 6 6 6 , 6? 2 ?
?A?

?
6

?

?
6

?A?

?
3

(Ⅱ)? S△ABC ? 3 ,? bc sin A ?

1 2

3 bc ? 3 ,? bc ? 4 , 4
2 2 2 2

? a ? 2, A ?

?

3 解得 b ? c ? 2 .

, ? a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? 4 , ? b ? c ? 8 .
2 2 2

18. (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售. 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 y (单位: 元) 关于当天需求量 n(单 位:枝, n ? N )的函数解析式; (Ⅱ) 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列、 数学期望及方差; (ⅱ) 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说 明理由. 解:(Ⅰ) y ? ?

? ?10n ? 80, ? n ? 15 ? (n? N ) ; ? n ? 16 ? ? ?80,
X P
60 0.1 70 0.2 80 0.7

(Ⅱ) (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 的分布列为

X 的数学期望 E ? X ? =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76, X 的方差 D ? X ? = ( 60-76 ) 2 ×0.1+ ( 70-76 ) 2 ×0.2+ ( 80-76 ) 2 ×0.7=44.
(ⅱ)若花店计划一天购进 17 枝玫瑰花, X 的分布列为

X P

55 0.1

65 0.2

75 0.16

85 0.54

X 的数学期望 E ? X ? =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4,
因为 76.4 ? 76,所以应购进 17 枝玫瑰花. 19. (本小题满分 12 分)

AC ? BC ? 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
(Ⅰ) 证明: DC1 ? BC (Ⅱ) 求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

1 D 是棱 AA1 的中点, AA1 , DC1 ? BD 2

(Ⅰ) 证 明 : 设 A C?

1 BC ? 2

1

A? A , a ? 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 ,

? DC1 ? DC ? 2a , CC1 ? 2a ,? DC12 ? DC 2 ? CC12 ,? DC1 ? DC .
又? DC1 ? BD , DC1 ? DC ? D ,? DC1 ? 平面 BDC .

? BC ? 平面 BDC ,? DC1 ? BC .

(Ⅱ)由 (Ⅰ)知, DC1 ? 2a , BC1 ? 5a ,又已知 DC1 ? BD ,? BD ? 3a . 在 Rt△ABD 中, BD ? 3a, AD ? a, ?DAB ? 90? , ? AB ?

2a .

? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,? AC ? BC .
法一:取 A1B1 的中点 E ,则易证 C1E ? 平面 BDA1 ,连结 DE ,则 C1E ? BD , 已知 DC1 ? BD ,? BD ? 平面 DC1E ,? BD ? DE ,

??C1DE 是二面角 A1 ? BD ? C1 平面角.
2a 2 ? 1 ,??C DE ? 30? . 1 2a 2

CE 在 Rt△C1DE 中, sin ?C1 DE ? 1 ? C1 D
即二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30 .
?

法二:以点 C 为坐标原点,为 x 轴, CB 为 y 轴 , CC1 为 z 轴 , 建立空间直角坐标系

C ? xyz .则 A 1 ? a,0,2a ? , B ? 0, a,0? , D ? a,0, a ? , C1 ? 0,0,2a ? .

??? ? ???? ? ?? DB ? ? ?a, a, ?a ? , DC1 ? ? ?a,0, a ? ,设平面 DBC1 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? ??? ? ?? ? n ? DB ? ?ax1 ? ay1 ? az1 ? 0 ? 则 ? ? ???? ,不妨令 x1 ? 1 ,得 y1 ? 2, z1 ? 1 ,故可取 n1 ? ?1, 2,1? . ? ? ?n?DC1 ? ?ax1 ? az1 ? 0 ?? ? 同理,可求得平面 DBA1 的一个法向量 n2 ? ?1,1,0 ? .

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 3 设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? , ? ? ? 2 6? 2 n1 n2

?? ? 30? .
?

由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30 . 20. (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A 为 C 上一点,已知以 F 为圆 心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B 、 D 两点 (Ⅰ) 若 ?BFD ? 90? , △ABD 面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (Ⅱ)若 A 、 B 、 F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 的距离的比值. 解: (Ⅰ)由对称性可知, △BFD 为等腰直角三角形,斜边上的高为 p ,斜边长 BD ? 2 p . 点 A 到准线 l 的距离 d ? FB ? FD ? 由 S△ABD ? 4 2 得,

2p .

1 1 ? BD ? d ? ? 2 p ? 2 p ? 4 2 , 2 2

?p ? 2.
2 圆 F 的方程为 x ? ? y ? 1? ? 8 . 2

(Ⅱ)由对称性,不妨设点 A ? xA , yA ? 在第一象限,由已知得线段 AB 是圆 F 的在直径,

?ADB ? 90o ,? BD ? 2 p ,? y A ?
直线 m 的斜率为 k AF ?

3 p ,代入抛物线 C : x 2 ? 2 py 得 xA ? 3 p . 2

3p p 3 .直线 m 的方程为 x ? 3 y ? ?0. ? 2 3p 3
x x2 , y? ? . p 2p

由 x ? 2 py 得 y ?
2

由 y? ?

? 3p p ? 3 x 3 p .故直线 n 与抛物线 C 的切点坐标为 ? 得, x ? ? ? 3 ,6? ?, 3 p 3 ? ?

直线 n 的方程为 x ? 3 y ?

3p ?0. 6

3p 所以坐标原点到 m , n 的距离的比值为 4 ? 3 . 3p 12

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? f ?(1)e
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x . 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的解析式及单调区间; (Ⅱ) 若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值 2

解: (Ⅰ) f ?( x) ? f ?(1)e x?1 ? f (0) ? x ,令 x ? 1 得, f (0) ? 1 ,

1 2 x ,令 x ? 0 得 f ? ?1? ? e . 2 1 2 x 所以 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ? x . 2
再由 f ( x) ? f ?(1)e
x ?1

? f (0) x ?

f ?( x) ? ex ?1 ? x ,易知 f ?( x) ? ex ?1 ? x 是 R 上的增函数,且 f ?(0) ? 0 .
所以 f ?( x) ? 0 ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? x ? 0, 所以函数 f ( x) 的增区间为 ? 0, ?? ? ,减区间为 ? ??,0 ? .

1 2 x ? ax ? b 恒成立, 2 1 2 x 即 h ? x ? ? f ( x) ? x ? ax ? b ? e ? ? a ? 1? x ? b ? 0 恒成立, 2
(Ⅱ) 若 f ( x) ?

?h? ? x ? ? ex ? ? a ?1? ,
(1)当 a ? 1 ? 0 时, h? ? x ? ? 0 恒成立, h ? x ? 为 R 上的增函数,且当 x ??? 时, h ? x ? ? ?? , 不合题意; (2)当 a ? 1 ? 0 时, h ? x ? ? 0 恒成立, 则 b ? 0 , (a ? 1)b ? 0 ; (3)当 a ? 1 ? 0 时, h? ? x ? ? e ? ? a ? 1? 为增函数,由 h? ? x ? ? 0 得 x ? ln ? a ? 1? ,
x

故 f ?( x) ? 0 ? x ? ln ? a ? 1? , f ?( x) ? 0 ? x ? ln ? a ? 1? , 当 x ? ln ? a ? 1? 时, h ? x ? 取最小值 h ln ? a ?1? ? a ?1 ? ? a ?1? ln ? a ?1? ? b . 依题意有 h ln ? a ?1? ? a ?1 ? ? a ?1? ln ? a ?1? ? b ? 0 , 即 b ? a ?1 ? ? a ?1? ln ? a ?1? ,

?

?

?

?

? a ? 1 ? 0 ,? ? a ? 1? b ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? ln ? a ? 1? ,
2 2

令 u ? x ? ? x ? x ln x
2 2

? x ? 0? ,则 u? ? x? ? 2x ? 2x ln x ? x ? x ?1? 2ln x ? ,

u?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , u?( x) ? 0 ? x ? e ,
所以当 x ? 故当 a ? 1 ? 综上, 若 f ( x) ?

e 时, u ? x ? 取最大值 u
e,b ?

e . ? e? ? 2

e e 时, ? a ? 1? b 取最大值 . 2 2

e 1 2 x ? ax ? b ,则 (a ? 1)b 的最大值为 . 2 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分,作答时 请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 △ ABC 边 AB , AC 的中点,直线 DE 交 △ ABC 的 外接圆于 F , G 两点.若 CF // AB ,证明: (Ⅰ) CD ? BC ; (Ⅱ) △BCD ∽△GBD . 证明:(Ⅰ) ∵ D , E 分别为 △ ABC 边 AB , AC 的中点, ∴ DE // BC .

? CF // AB , DF // BC , ?CF ? BD 且 CF =BD ,
又∵ D 为 AB 的中点, ? CF ? AD 且 CF =AD ,? CD ? AF .

? CF // AB ,? BC ? AF .? CD ? BC .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, BC ? GF ,? GB ? CF ? BD , ?BGD ? ?BDG ? ?DBC ? ?BDC

?△BCD∽△GBD .
23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半 ? y ? 3sin ?

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 .正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上, 且 A , B , C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2, (Ⅰ)点 A , B , C , D 的直角坐标; (Ⅱ) 设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围.
2 2 2 2

?
3

).

解:(Ⅰ)依题意,点 A , B , C , D 的极坐标分别为. 所以点 A , B , C , D 的直角坐标分别为 (1, 3) 、 (? 3,1) 、 (?1, ? 3) 、 ( 3, ?1) ; (Ⅱ) 设 P ? 2cos?,3sin ? ? ,则 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD |
2 2 2 2

? ?1 ? 2cos ? ? ?
2

?
2

? ? ?1 ? 2cos ? ?

? ? ? ? 3 ? 2cos? ? ? ?1? 3sin ? ? ? ? ? 3 ? 3sin ? ? ? ? 3 ? 2cos ? ? ? ? ?1 ? 3sin ? ?
3 ? 3sin ?
2 2 2 2 2

2

? 16cos2 ? ? 36sin 2 ? ? 16 ? 32 ? 20sin2 ? ??32,52? .
所以 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围为 ?32,52? . 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ) 当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ) f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2] ,求 a 的取值范围. 解:(Ⅰ) 当 a ? ?3 时,不等式 f ( x) ? 3 ? | x ? 3| ? | x ? 2 |? 3

? ? ? ?x ? 2 ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 或? 或? ? ? ? ?? ? x ? 3? ? ? x ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? x ? 3? ? ? x ? 2 ? ? 3 ? ?? x ? 3? ? ? x ? 2 ? ? 3

?或 x ? 4 .
所以当 a ? ?3 时,不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x x ? 1 或 x ? 4? . (Ⅱ) f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2] , 即 | x ? a | ? | x ? 2 |?| x ? 4 | 对 x ??1, 2? 恒成立, 即 | x ? a |? 2 对 x ??1, 2? 恒成立, 即 ?2 ? a ? x ? 2 ? a 对 x ??1, 2? 恒成立, 所以 ?

?

??2 ? a ? 1 ,即 ?3 ? a ? 0 . ?2 ? a ? 2

所以 a 的取值范围为 ? ?3,0? .


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