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2016届高三文科数学 数列每日一题(答案版)


2016 届高三文科数学
1.已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和满足 Sn (1)求 a1 的值 ;(2)求数列 {an } 的通项公式; (3)求证:

数列 每日一题

? 1 , 6Sn ? (an ? 1)(an ? 2)

1 1 1 1 ? ??? ? a1a2 a2 a3 an a

n ?1 6

【解析】 (1)? 6Sn ? (an ? 1)(an ? 2) , n ? N* 由 6a1 ? 6S1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 ,∵ a1 ? S1 ? 1 ,∴ a1 ? 2 .…………2 分 (2)∵ an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? ∴

1 1 (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) ,…………3 分 6 6

an?1 ? an ? 3 ,或 an?1 ? ?an ,∵ an ? 0 ,∴ an?1 ? an ? 3 ,………………5 分

∴ {an } 是以 2 为首项,公差为 3 的等差数列,∴ {an } 的通项为 an ? 3n ? 1 .…………6 分 (3)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) …………………8 分 an an?1 (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2

?

1 1 1 ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ( ? )? ? ? 3 2 5 3 5 8 3 3n ? 1 3n ? 2 3 2 3n ? 2 6 3(3n ? 2) 6
从而,有

1 1 1 1 ? ??? ? …………………………12 分 a1a2 a2 a3 an an ?1 6

2. 已知等差数列{an}的首项 a1=2,a7=4a3,前 n 项和为 Sn. (I) 求 an 及 Sn; (Ⅱ) 设 bn=

S n ? 4an ? 4 ,n∈N*,求 bn 的最大值. n

2.(Ⅰ) 设公差为 d,由题意知 a1+6d=4(a1+2d), ………… 2 分 由 a1=2 解得 d=-3,故 an=-3n+5, ………… 5 分 Sn=
?3n 2 ? 7 n ,n∈N*. 2

………… 7 分 bn=

(Ⅱ) 由(I)得

S n ? 4an ? 4 n
n+



31 3 16 - (n+ ). 2 2 n

………… 9 分

由基本不等式得

16 16 ≥2 n ? =8, n n

………… 11 分

所以 bn=

7 31 3 16 7 - (n+ )≤ ,又当 n=4 时,bn= . 2 2 n 2 2 7 从而得 bn 的最大值为 . 2

………… 15 分

3. 已知 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列, a2 , a6 , a22 成等比数列, a4 ? a6 ? 26 ;数列 ?bn ? 是公比 q 为正 数的等比数列,且 b3 ? a2 , b5 ? a6 . (I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 ?n . 解: (Ⅰ)因为 d ≠0 的等差数列, a2 , a6 , a22 成等比数列
2 ? a6 ? a 2 a22 即 ? a1 ? 5d ? ? ? a1 +d ?? a1 ? 21d ? 即 d ? 3a1 ①……………1 分
2

又由 a4 ? a6 =26 得 2a1 +8d ? 26

②……………………2 分

,d ? 3 ?an ? 3n ? 2 ……………………3 分 由①②解得 a1 =1
?b3 ? a2 ? 4 即 b1q2 ? 4 , 又b5 ? a6 ? 16 即 b1q 4 ? 16 ;? q2 ? 4 ………………5 分
又 q 为正数? q ? 2 , b ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 anbn

?bn ? 2n?1 ……………………6 分

? ?3n ? 2? 2n?1 ……………………1 分

?Tn ? 1? 20 ? 4 ? 2 ? 7 ? 22 ??? ?3n ? 2? 2n?1 ……………………2 分 ?2Tn ? 1? 2 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ??? ?3n ? 2? 2n ……………………3 分
??Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2
2 n ?1

? ?3n ? 2 ? 2 ? 1 ?
n

6 ?1 ? 2n ? 1? 2

? ?3n ? 2 ? 2n ? ? ?3n ? 5? ? 2n ? 5

?Tn ? ?3n ? 5? ? 2n ? 5 ……………………6 分
4.设 ?an ? 的公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a22 ? 10 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2) 设 ?bn ? 是以函数 y ? 4sin 2 ? x 的最小正周期为首项, 以 3 为公比的等比数列, 求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

4.【解析】 (1)设 ?an ? 的公差为 d ,则

?

a1 ? 2

a1 ? 2 d ?? a1 ? d ? ?10
2

解得 d ? 2 或 d ? ?4 (舍)

所以 an ? 2 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n
2 (2)因为 y ? 4sin ? x ? 4 ?

其最小正周期为

2? ? 1 ,所以首项为 1; 2?

1 ? cos 2? x ? ?2cos 2? x ? 2 2

因为公比为 3,从而 bn ? 3n?1 所以 an ? bn ? 2n ? 3n?1
0 1 n ?1 故 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? ??? ? 2n ? 3

?

? ?

?

?

?

?

? 2 ? 2n ? n ? 1 ? 3n
2 1? 3

? n2 ? n ?

1 1 n ? ?3 2 2

5.已知数列{an}是等比数列,首项 a1=1,公比 q>0,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 an+1=( ) ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,若 Tn≥m 恒成立,求 m 的最大值.

解: (Ⅰ)法一:由题意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2) ∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3, 即 4a3=a1,于是 ,∵q>0,∴ ;

∵a1=1,∴



(Ⅰ)法二:由题意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2) 当 q=1 时,不符合题意; 当 q≠1 时, ∴2(1+q+q2+q2)=2+1+q+q,∴4q2=1,∴ ∵a1=1,∴ . ,

,∵q>0,∴



(Ⅱ)∵

,∴

,∴



∴ ∴ ∴(1)﹣(2)得:

(1) (2)

= ∵Tn≥m 恒成立,只需(Tn)min≥m ∵



∴{Tn}为递增数列,∴当 n=1 时, (Tn)min=1,∴m≤1,∴m 的最大值为 1.

6.

已知 Sn 是数列{ an }的前 n 项和,S2=2,且 2 Sn +nS1=n an . (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn =

S n+2 S + n+1 -2,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . S n+1 S n+2

7.设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 bn ? 2 ? 2Sn ;数列 ?an ? 为等差数列,且 a5 ? 14 , a7 ? 20 . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn

? an ? bn , n ? 1,2,3, ?, Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和.

求证:

Tn ?

7 2

7. 解: (1)由 bn ? 2-2Sn ,令 n ? 1 ,则 b1 ? 2 ? 2S1 ,又 S1 ? b1 ,所以 b1 ?

2 . 3

b2 ? 2 ? 2(b1 ? b2 ) ,则 b2 ?

2 . 9

当 n ? 2 时,由 bn ? 2-2Sn ,可得 bn ? bn?1 ? ?2(Sn ? Sn?1 ) ? ?2bn . 即 所以 ?bn ? 是以 b1 ?

bn 1 = . bn-1 3

2 1 1 为首项, 为公比的等比数列,于是 bn ? 2 ? n . ……6 分 3 3 3 1 (2)数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? ( a7-a5 ) ? 3 ,可得 an ? 3n ? 1. 2 1 从而 c n ? a n ? bn ? 2(3n ? 1) ? n . 3 1 1 1 1 ∴ Tn ? 2[2 ? ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? ? (3n ? 1) ? n ], ,连接 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn ? 2[ 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n ?1 ] 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? 2[3 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n ?1 ] . 3 3 3 3 3 3 3 7 7 1 n 7 从而 Tn ? ? ? n ? n ?1 ? ………………………………12 分 2 2 3 2 3

8. 在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 1 , a2 ? 2 ,前三项和 S3 ? 7 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ)记 bn ? log2 an , cn ? 8.(Ⅰ) q ? 1, 时, a2 ? a1q ? 2 ;

1 ,求数列 {cn }的前 n 项和 Tn . bn ?1 ? bn ? 2

S3 ? a1 (1 ? q ? q ) ? 7
2

? a1 ? 1 得? ?q ? 2

………………4 分

an ? 2n?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)中, an ? 2
n ?1

………………6 分 , bn ? log2 an ? log2 2n?1 ? n ?1 …………8 分 ………………10 分

∴ cn ?

1 1 1 1 ? ?( ? ) bn?1 ? bn? 2 n ? (n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ) ?1? ? ∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ……12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
2 9.(12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项之和为 S n ? pn ? 2n ? q, ( p, q 是常数, n ? N ?)

(1)求 q 的值; (2)若等差数列 {an } 的公差 d ? 2 ,求 S n 。 9.解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q ,

??an ? 是等差数列,? p ? 2 ? q ? 2 p ? p ? 2 ,? q ? 0 。 ……… (6 分)


当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? 2n ? q ? p(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? q ? 2 pn ? p ? 2 .

(2)由公差为 2.即 an ? an?1 ? 2 pn ? p ? 2 ? 2(n ? 1) p ? p ? 2 ? 2 p ? 2 ,

p ? 1,

又 q ? 0 ,∴ S n ? n 2 ? 2n 。………(7 分)

10. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an ? 0, an an?1 ? 4Sn ?1(n ? N*) ( Ⅰ)证明: an?2 ? an ? 4 ; ( Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式。
[来源:学_科_网]

11. 已知数列{an}的首项为 1,前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn?1 ?1(n ? 2) . (1)求 Sn 与数列{an}的通项公式; (2)设 bn ?

12 1 (n∈N*) ,求使不等式 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 成立的最小正整数 n . 25 an an ?1

17.解: (1)因为 Sn ? Sn?1 ?1(n ? 2) ,所以 { Sn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 则 Sn =1+(n-1)1=n, 从而 Sn=n2.…………………3 分 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2 =2n-1. 因为 a1 ? 1 也符合上式, 所以 an=2n-1.…………………6 分 (2)由(Ⅰ)知 bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) ,……………8 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? ,……………10 分 2 2n ? 1 2n ? 1



n 12 ? ,解得 n>12. 所以使不等式成立的最小正整数为 13.……………12 分 2n ? 1 25

12. 已知数列 an 是公差大于零的等差数列,数列 bn 为等比数列,且

? ?

? ?

a1 ? 1, b1 ? 2, b2 ? a2 ? 1, a3 ? b3 ? 13 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式; (2)设 cn ? anbn ,求数列 cn 前 n 项和 S n .

? ? ? ?

? ?


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