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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 综合法与分析法(一)


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2.2.1(一)

2.2.1
【学习要求】

综合法与分析法(一)

1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.
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2.理解综合法和分析法的思考过程、 特点, 会用综合法和 分析法证明数学问题

. 【学法指导】 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法, 要结合实例了解两种证法的思考过程、特点.

填一填· 知识要点、记下疑难点

2.2.1(一)

1.综合法 和 分析法 是直接证明中最基本的两种证明方
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法,也是解决数学问题时常用的思维方式. 2.综合法是从 已知条件 出发,经过 逐步的推理 ,最后达 到待证结论. 3.分析法是从 待证结论 出发,一步一步寻求结论成立的

充分条件 最后达到题设的已知条件, ________, 或已被证明的事实.

研一研· 问题探究、课堂更高效

2.2.1(一)

探究点一
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综合法

问题 1 证明下面的问题,总结证明方法有什么特点? 已知 a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
证明 因为 b2+c2≥2bc,a>0,所以 a(b2+c2)≥2abc.

又因为 c2+a2≥2ac,b>0,所以 b(c2+a2)≥2abc. 因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 特点:从已知条件出发,经过逐步的推理达到待证结论.

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问题 2 综合法又叫由因导果法,其推理过程是合情推理还 是演绎推理?
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因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理, 因此所

得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜 想”,所以综合法是演绎推理.

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例 1 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且 A,B,C 成等差数列,a,b,c 成等比数列, 求证:△ABC 为等边三角形.
证明
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由 A,B,C 成等差数列,有 2B=A+C,①

由 A,B,C 为△ABC 的三个内角,所以 A+B+C=π.②
π 由①②,得 B=3,③
由 a,b,c 成等比数列,有 b2=ac,④ 由余弦定理及③,可得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,
再由④,得 a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0, 从而 a=c,所以 A=C.⑤ π 由②③⑤,得 A=B=C=3,所以△ABC 为等边三角形.

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小结 综合法的证明步骤如下:
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(1)分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系, 合理选择相关定义、定理等; (2)转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的 证明过程.

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AC cos B 跟踪训练 1 在△ABC 中,AB= ,证明:B=C. cos C
sin B cos B 证明 在△ABC 中,由正弦定理及已知得sin C=cos C. 于是 sin Bcos C-cos Bsin C=0,即 sin(B-C)=0, 因为-π<B-C<π,从而 B-C=0,所以 B=C.

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探究点二 问题 1

分析法 a+b 回顾一下:均值不等式 ≥ ab(a>0,b>0)是 2

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怎样证明的? a+b 答 要证 2 ≥ ab,
只需证 a+b≥2 ab,
只需证 a+b-2 ab≥0,

只需证( a- b)2≥0, 因为( a- b)2≥0 显然成立,所以原不等式成立.

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问题 2 证明过程有何特点?

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从待证结论出发, 一步一步寻求结论成立的充分条件,

最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.

小结 分析法定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步 寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公 理)为止,这种证明方法叫做分析法.

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问题 3 综合法和分析法的区别是什么?
答 综合法是从已知条件出发, 逐步推向未知, 每步寻找的是必要条件;分析法是从待证结论 出发, 逐步靠拢已知, 每步寻找的是充分条件.

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例 2 求证: 3+ 7<2 5.
证明 因为 3+ 7和 2 5都是正数,
所以要证 3+ 7<2 5,只需证( 3+ 7)2<(2 5)2,
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展开得 10+2 21<20,只需证 21<5,只需证 21<25, 因为 21<25 成立,所以 3+ 7<2 5成立.

小结

当已知条件和结论联系不够明显、直接,证明中

需要用哪些知识不太明确具体时, 往往采用从结论出发, 结合已知条件,用结论反推的方法.

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跟踪训练 2 求证: a- a-1< a-2- a-3(a≥3).
证明 方法一 要证 a- a-1< a-2- a-3 (a≥3)

只需证 a+ a-3< a-2+ a-1,
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只需证( a+ a-3)2<( a-2+ a-1)2,
只需证 2a-3+2 a2-3a<2a-3+2 a2-3a+2,
只需证 a2-3a< a2-3a+2,

只需证 0<2, 而 0<2 显然成立, 所以 a- a-1< a-2- a-3(a≥3).

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方法二

∵ a+ a-1> a-2+ a-3(a≥3),

1 ∴ < , a+ a-1 a-2+ a-3
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1

∴ a- a-1< a-2- a-3.

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探究点三

综合法和分析法的综合应用

问题 在实际证题中,怎样选用综合法和分析法?
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对思路清楚,方向明确的题目,可直接使用综合法;对于

复杂的题目,常把分析法和综合法结合起来,先用分析法去转 化结论,得到中间结论 Q;再根据结构的特点去转化条件,得 到中间结论 P.若 P?Q,则结论得证.

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π 例 3 已知 α,β≠kπ+ (k∈Z),且 2 sin θ+cos θ=2sin α, ① sin θ· θ=sin2β. cos ② 1-tan2α 1-tan2β 求证: 2 = 2 . 1+tan α 2?1+tan β? 证明 因为(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=1,
所以将①②代入,可得
4sin2α-2sin2β=1. ③ 1-tan2α 1-tan2β 另一方面,要证 = , 1+tan2α 2?1+tan2β? sin2α sin2β 1- 2 1- 2 cos α cos β 即证 = , sin2α sin2β 1+ 2 2?1+ 2 ? cos α cos β

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1 即证 cos α-sin α= (cos2β-sin2β), 2 1 2 即证 1-2sin α= (1-2sin2β), 2
2 2

即证 4sin2α-2sin2β=1.
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由于上式与③相同,于是问题得证.

小结

用 P 表示已知条件、定义、定理、公理等,用 Q

表示要证明的结论,则综合法和分析法的综合应用可用 框图表示为:

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跟踪训练 3

若 tan(α+β)=2tan α,求证:3sin β=

sin(2α+β). 证明 由 tan(α+β)=2tan α,
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sin?α+β? 2sin α 得 = , cos?α+β? cos α

即 sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α.①
要证 3sin β=sin(2α+β), 即证 3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],
即证 3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α] =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α, 化简得 sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. 这就是①式. 所以,命题成立.

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2.2.1(一)

1.下列表述:
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①综合法是由因导果法; ②综合法是顺推法; ③分析法是执果索因法; ④分析法是间接证明法; ⑤分析法是逆推法. 其中正确的语句有 A.2 个 B.3 个 C.4 个
解析 ①②③⑤正确.

( C ) D.5 个

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( C )

2.欲证 2- 3< 6- 7成立,只需证 A.( 2- 3)2<( 6- 7)2 B.( 2- 6)2<( 3- 7)2 C.( 2+ 7)2<( 3+ 6)2
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D.( 2- 3- 6)2<(- 7)2
解析 根据不等式性质,a>b>0 时,才有 a2>b2,
∴只需证: 2+ 7< 6+ 3, 只需证:( 2+ 7)2<( 3+ 6)2.

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1 2 3 3.求证: + + <2. log519 log319 log219
1 解 因为log a=logab, b
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所以左边=log195+2log193+3log192=log195+log1932 +log1923=log19(5×32×23)=log19360.
因为 log19360<log19361=2, 1 2 3 所以log 19+log 19+log 19<2. 5 3 2

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1-tan α 4.已知 =1,求证:cos α-sin α=3(cos α+sin α). 2+tan α 证明 要证 cos α-sin α=3(cos α+sin α),
cos α-sin α 只需证 =3, cos α+sin α
1-tan α 只需证 =3, 1+tan α 1 只需证 1-tan α=3(1+tan α),只需证 tan α=- , 2 1-tan α ∵ =1,∴1-tan α=2+tan α,即 2tan α=-1. 2+tan α 1 ∴tan α=-2,∴结论得证.

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2.2.1(一)

1.综合法证题是从条件出发,由因导果;分析法是
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从结论出发,执果索因. 2.分析法证题时,一定要恰当地运用“要证”、“只 需证”、“即证”等词语. 3.在解题时,往往把综合法和分析法结合起来使用.


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