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2013海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理)带答案


海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (理) 2013.1

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 C

8 D

二、填空题(本大题共 6

小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分)

9. x 2 ? y 2 ? 4

10. 8; 2n?1 ? 2 13. ?1

11. 135

12. 4 2 三、 解答 题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分)

14.

3 π; 0,2,3,4 4
题(本大

x x x 1 解: (I)因为 f ( x) ? 3sin cos ? cos2 ? 2 2 2 2
3 cos x ? 1 1 sin x ? ? 2 2 2 3 1 ? sin x ? cos x 2 2 ?

π ? sin( x ? ) 6

??????6 分

( 又 y ? sin x 的单调递增区间为 2kπ ? π π π ? x ? ? 2 kπ ? 2 6 2

π π , 2 kπ ? ) , ( k ? Z) 2 2

所以令 2kπ ?

解得 2kπ ?

2π π ? x ? 2 kπ ? 3 3

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (2kπ ?

2π π , 2 k π ? ) , ( k ? Z) 3 3

??????8 分

π (Ⅱ) 因为 f ( B ? C ) ? 1, 所以 sin( B ? C ? ) ? 1 , 6 π π 7π 又 B ? C ? (0, π) , B ? C ? ? ( , ) 6 6 6 π π π 所以 B ? C ? ? , B ? C ? , 6 2 3 所 A? 2π 3
??????10 分 由正弦定理 把



sin B sin A ? b a

a ? 3, b ? 1
1 i 2
b ? a,











s B?
12 分 又

n

??????

B? A







B?

π 6







C?

π 6

??????13 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 30 ? ? 0.6 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 30 ? 20
这 0.6 分 (II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , “事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天” 其中 i, j ? 1,2,3,...,7 , 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 辆 汽 车 是 A 型 车 的 概 率 为 ??????3

P( A1B3 ? A2 B2 ? A3B1 ) ? P( A1B3 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A3B1 )

??????5 分 ??????7 分

? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? P( A3 ) P( B1 )

5 2 0 1 0 2 0 3 0 1 4 ? ? ? ? ? 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 9 ? 1 2 5 ?
该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

9 125

??????9 分 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为

X P

1 0.05

2 0.10

3 0.30

4 0.35

5 0.15

6 0.03

7 0.02

设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为

Y P
=3.62

1 0.14

2
0.20

3 0.20

4 0.16

5 0.15

6 0.10

7 0.05

E ( X ) ? 1 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05

=3.48
??????12 分 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天,B 类车型一个星期出租天数的 平均值为 3.48 天. 从出租天数的数据来看,A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的 方差,综合分析,选择 A 类型的出租车更加合理 . ??????13 分 17.(本小题满分 14 分) (I) 连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO 因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点, 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线, 所以 EO / / A1B ??????2 分 又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 所以 A1B / / 平面 AEC1 ??????4 分 (Ⅱ)以 A 为原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系

所以 A(0,0,0), A1 (0,0,2), B(2,0,0), B1 (2,0,2), C(0,2,0), C1 (0,2,2), E (1,1,0), 设 M (0,0, m)(0 ? m ? 2) ,所以 B1M ? (?2,0, m ? 2), C1E ? (1, ?1, ?2) , 因 为 B1M ? C1E , 所 以

?????

???? ?

????? ???? ? B1M ? C1E ? 0 , 解 得 m ? 1 , 所 以

AM ? 1

??????8 分

(Ⅲ)因为 AE ? (1,1,0), AC1 ? (0,2,2) , 设平面 AEC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ?

???? ? ?

??? ? ? ? AE ? n ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? 则有 ? ???? ? ,得 ? , ? AC1 ? n ? 0 ?y ? z ? 0 ?
y ? ?1, 令 ? n ? (1, ?1,1) ,



x ? 1, z ? 1













??????10 分 平 面





AC ?

A B 1B , A 取 平 面 1

A B 1 B 的A 法 向 量 为 1

??? ? AC ? (0,2,0)


??????11 分 以

c

? ?A

? A ? ? |A

3 3

o

? C

?

? C ? C|

??????13 分 平 面
AEC1

与 平 面

ABB1 A1

所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为

3 3 18. (本小题满分 13 分)
解 : 当

??????14 分

a ?1





f ( x) ?

e ax x ?1



f '( x ) ?

e x ( x ? 2) ( x ? 1)2

??????2 分

又 f (0) ? ?1 , f '(0) ? ?2 , 所 以

f ( x)



(0, f (0))







线







y ? ?2 x ? 1

??????4 分

(II) f '( x ) ?

eax [ax ? (a ? 1)] ( x ? 1)2
?1 ?0 ( x ? 1)2

当 a ? 0 时, f '( x ) ?

又函数的定义域为 {x | x ? 1} 所 以

f ( x)

















( ??,1),(1, ??)
当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,即 ax ? (a ? 1) ? 0 ,解得 x ? 分 当 a ? 0 时, x ?

??????6 分

a ?1 a

??????7

a ?1 ? 1, a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:
x

( ??,1)
?

1
无定义

(1,

a ?1 ) a
?

a ?1 a
0 极小值

(

a ?1 , ??) a
?

f '( x)

f ( x)

?

?

?

所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,1) , (1,

a ?1 ), a
??????10 分

单调递增区间为 (

a ?1 , ??) a

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ?1 a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:
x

( ??,

a ?1 ) a
?

a ?1 a
0 极大值

(

a ?1 ,1) a
?

1
无定义

(

a ?1 , ??) a
?

f '( x)

f ( x)

?

?

?

所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??,

a ?1 ), a
??????13 分

单调递减区间为 (

a ?1 ,1) , (1, ??) a

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)将 E ? 2, 2? 代入 y 2 ? 2 px ,得 p ? 1 所 以 抛 物 线 方 程 为

y2 ? 2x













1 ( ,0) 2
(Ⅱ)设 A(

??????3 分

y12 y2 , y1 ) , B( 2 , y2 ) , M ( xM , yM ), N ( xN , yN ) , 2 2

法一: 因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率 设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) 与抛物线方程联立得到 ?

? y ? k ( x ? 2)
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

ky 2 ? 2 y ? 4k ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ?

2 k
??????6 分

直线 AE 的方程为: y ? 2 ?



2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 y1 ? 2 ?2 2 x ? ?2 ,



yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
??????9 分 理 可 得 :



yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2
??????10 分

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

????

?4 ), ym 2 y1 ? 4 2 y2 ? 4 ? y1 ? 2 y2 ? 2

所以 OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ?

???? ???? ?

? 4?

4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

4 ? 4) k ?4? 4 4( ?4 ? ? 4) k 4( ?4 ?
?0
所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值 法二: 设直线 l 方程为 x ? my ? 2 与抛物线方程联立得到 ? ??????13 分

π 2

??????14 分

? x ? my ? 2
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

y 2 ? 2my ? 4 ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m
??????6 分 直线 AE 的方程为: y ? 2 ?



2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 y1 ? 2 ?2 2 x ? ?2 ,



yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
??????9 分 理 可 得 :



yN ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2
??????10 分

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

????

?4 ), ym

???? ???? ? 4( y1 ? 2)( y2 ? 2) OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 4? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

?4?

4( ?4 ? 2m ? 4) 4( ?4 ? 2m ? 4)

?0
??????13 分 所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值

π 2

??????14 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 f ( x) ? ?1 , 且 f ( x) ? ? 2 , 即 g ( x) ?

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 x

??????1 分

而 h( x ) ?

f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '( x ) ? 1 ? 2 2 x x x

当 h( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h( x ) 不是增函数时, h ? 0 综 上 ??????4 分 (Ⅱ) 因为 f ( x ) ? ?1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c 所以 , 得

h?0

f (a ) f (a ? b ? c ) 4 ? = , a a?b?c a?b?c 4a , a?b?c 4b 4c , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c 4(a ? b ? c ) ? 4, a?b?c

所以 f ( a ) ? d ?

同理可证 f (b) ? d ?

三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c ) ? 2d ? t ?





2d ? t ? ?
??????6 分 因为

4

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab


而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所

d(

?
??????8 分

2d

?

(Ⅲ) 因为集合 ? ? ? f ( x ) | f ( x ) ? ? 2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x ) ? k ?, 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立 我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 , 记
f ( x0 ) ?m?0 x0 2

因为 f ( x ) 是二阶比增函数,即 所以当 x ? x0 时,

f ( x) 是增函数. x2

f ( x ) f ( x0 ) ? ? m ,所以 f ( x) ? mx 2 x2 x0 2

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k 这 盾
f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立



f ( x) ? k



x ? (0, ??)







??????11 分

所以 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 下面我们证明 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,
f ( x) 是增函数 x2 f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾 一定存在 x3 ? x2 ? 0 , x32 x2 2

则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即

所以 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立

1 x f ( x) ?1 又有 2 ? 3 在 (0, ??) 上是增函数 ,所以 f ( x ) ? ? , x x 而任取常数 k ? 0 ,总可以找到一个 x0 ? 0 ,使得 x ? x0 时,有 f ( x ) ? k

又令 f ( x) ? ? ( x ? 0) ,则 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,

所 0



M
??????13 分












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