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【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修4双基限时练13]


双基限时练(十三)
一、选择题

三角函数的简单应用

1.已知函数 y=2sinωx(ω>0)的图像与直线 y+2=0 相邻的两个公 2π 共点之间的距离为 3 ,则 ω 的值为( A.3 2 C.3 ) 3 B.2 1 D.3

2 2π 解析 由题可知 T=3π,又 ω>0,T= ω ,∴ω=

3. 答案 A

2.一弹簧振子做简谐振动,离开平衡位置的位移 s 与时间 t 的函 数关系式为 s=3cos?
? ?

g π? ?,t∈[0,+∞),则弹簧振子振动的周期 at+3?

为(

) A. 2π ag C. 2π ag T= 2π 2π a = . g g a B. 2π D. 2π a g g a

解析

答案

B

3.某人的血压满足函数关系式 f(t)=24sin160πt+110,其中 f(t)为 血压,t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( A.60 C.80 B.70 D.90 )

2π 1 解析 ∵T=160π=80, 1 ∴f=T=80. 答案 C

4.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上 按逆时针方向旋转一周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长 为 d,则函数 d=f(l)的图像大致是图中的( )

︵ θ d 解析 令AP所对圆心角为 θ,由|OA|=1,则 l=θ,sin2=2, θ l l ∴d=2sin2=2sin2,即 d=f(l)=2sin2(0≤l≤2π),它的图像为 C. 答案 C

5.动点 A(x,y)在以坐标原点为圆心,以 1 为半径的圆上沿逆时
?1 3? 针方向匀速旋转,12 秒旋转一周,已知时间 t=0 时,A? , ?,则当 2? ?2

0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(时间:s)的函数的单调增区间为 ( ) A. [0,1] C. [7,12] 解析 B. [1,7] D. [0,1]和[7,12]

动点 A 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系式为 y =

π? ? t ?π π? π π π π sin ?12×2π+3? = sin ?6t+3? 由 2kπ - 2 ≤ 6 t + 3 ≤2kπ + 2 (k ∈ Z) , 又 ? ? ? ? 0≤t≤12,可知 t∈[0,1]和[7,12]. 答案 D

6.设函数 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数, 其中 0≤t≤24.下表所示的是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 6 9 9.1 12 15 18 21 8.9 24 12.1

15.1 12.1

11.9 14.9 11.9

经长期观察,函数 y = f(t) 的图像可以近似地看成函数 y = k + Asin(ωt+φ)的图像.下面的函数中,最能近似地表示表中数据间对应 关系的函数是( )

π A.y=12+3sin6t,t∈[0,24]

?π ? B.y=12+3sin?6t+π?,t∈[0,24] ? ?

π C.y=12+3sin12t,t∈[0,24] π? ?π D.y=12+3sin?12t+2?,t∈[0,24]
? ?

π 解析 易知 k=12, A=3, 由周期 T=12 知, ω=6, 由 t=3 时, y≈15, 得 φ=0,故选 A. 答案 A

7.一根长为 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆 动 时 离 开 平 衡 位 置 的 位 移 s(cm) 与 时 间 t(s) 的 函 数 关 系 式 是 s = 3cos?
? ?

g π? ?,其中 g 是重力加速度,当小球摆动的周期是 1 s 时,线 l t+3? ) g B. 2π g D. 4π2 2π g ,∴l=4π2. g l

长 l 等于( g A. π g C. π2 解 1=

答案

D

二、填空题 8.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三
?π ? 角函数 y=a+Acos?6?x-6??(x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的 ? ?

月平均气温最高,为 28℃,12 月份的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. 解析 由题意得

?a+Acos0=28, ? ?π ? ? ?12-6??=18, a + A cos ? ?6 ?
?π ? ∴y=23+5cos?6?x-6??, ? ?

? ?a=23, 得? ? ?A=5,

?π ? 5 当 x=10 时,y=23+5cos?6×4?=23-2=20.5. ? ?

答案 20.5 9.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地 绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A, B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d=__________,其中 t∈ [0,60]. πt 解析 如图所示:经历 t 秒钟,秒针转过的角度为∠AOB=30,取 πt AB 的中点 C,则∠AOC=60, πt d=|AB|=2|OA|sin∠AOC=10sin60.

πt 答案 10sin60 10.某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x) π =Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<2)的模型波动(x 为月份),已知 3 月

份达到最高价 9 千元,7 月份价格最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________. π 解析 3 月份最高,7 月份最低,所以 T=8,则 ω=4,A=2,b =7.
?π ? ?3π ? 令 x=3,得 9=2sin?4×3+φ?+7?sin? 4 +φ?=1. ? ? ? ?

π π 又∵|φ|<2,∴φ=-4, π? ?π ∴f(x)=2sin?4x-4?+7.
? ?

π? ?π 答案 f(x)=2sin?4x-4?+7
? ?

三、解答题 11.已知某游乐园内摩天轮的中心 O 点距地面的高度为 50 m,摩 天轮做匀速运动,摩天轮上的一点 P 自最低点 A 点起,经过 t min 后,
?π π? 点 P 的高度 h=40sin?6t-2?+50(单位:m).那么在摩天轮转动一圈的 ? ?

过程中,点 P 的高度在距地面 70 m 以上的时间将持续多少分钟?
?π π? 解 依题意,得 40sin?6t-2?+50≥70, ? ? ?π π? 1 即 sin?6t-2?≥2, ? ?

5 π π π 所以在一个周期内持续的时间为6π≥6t-2≥6,解得 4≤t≤8, 即持续时间为 4 分钟.

12.在图中,点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方

向为物体位移的正方向,若已知振幅为 3 cm,周期为 3 s,且物体向右 运动到距平衡位置最远处时开始计时. (1)求物体对平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系式; (2)求该物体在 t=5 s 时的位置. 解 (1)设 x 和 t 之间的函数关系为 x=3sin(ωt+φ)(ω>0,0≤φ<2π).

2π 2π 则由 T= ω =3,可得 ω= 3 . 当 t=0 时,有 x=3sinφ=3, 即 sinφ=1. π 又 0≤φ<2π,故可得 φ=2.
?2π π? 所以,所求函数关系为 x=3sin? 3 t+2?, ? ?

2π 即为 x=3cos 3 t. 10π (2)令 t=5,得 x=3cos 3 =-1.5,故该物体在 t=5 s 时的位置是 在 O 点左侧且距 O 点 1.5 cm 处. 13.在自然条件下,对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年 的统计,得到 10 次测量结果(时间近似到 0.1 小时),结果如下表所示:

(1)以日期在 365 天中的位置序号 x 为横坐标,一天内存活时间 y

为纵坐标,作出这些数据的散点图; (2)试选用一个形如 y=Asin(ωx+φ)+t 的函数来近似描述一年中该 细菌一天内存活的时间 y 与日期位置序号 x 之间的函数关系; (3)用(2)中的结果估计该种细菌一年中有多少天存活时间大于 15.9 小时? 解 (1)散点图如下图所示:

(2)由散点图知细菌存活时间与日期位置序号之间的函数关系式满 足 y=Asin(ωx+φ)+t,由图形可认为函数的最大值为 19.4,最小值为 5.4,所以 19.4-5.4=14,故 A=7,由 19.4+5.4=24.8,故 t=12.4, 2π 又因为 T=365,所以 ω=365. 2πx π 当 x=172 时,365+φ=2, 323π 所以 φ=- 730 . 323π? ? 2π 故 y=7sin?365x- 730 ?+12.4(1≤x≤365,x∈N+).
? ?

323 ? 1 ? 2π (3)由 y>15.9,得 sin?365x-730π?>2,
? ?

π 2π 323 5π 所以6<365x-730π< 6 , 365×5 323 365 323 解得 12 + 4 <x< 12 + 4 ,112≤x≤232. 即这种细菌一年中大约有 121 天的存活时间大于 15.9 小时.


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